statnice:bakalar:b0b01lag

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
====== Lineární prostor, báze a dimenze, řešení soustav lineárních rovnic, lineární zobrazení. Základy maticového počtu. ======

[[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680606.html|B0B01LAG]] [[https://math.fel.cvut.cz/en/people/velebil/teaching/b0b01lag.html|Webové stránky předmětu]]

  * **Lineárnı́ prostor a podprostor** – ilustrace na přı́kladech.
  * **Lineárnı́ obal** – lineárnı́ závislost a nezávislost.
  * **Báze, dimense a souřadnice vektoru v bázi**.
  * **Matice** – sčı́tánı́ a násobenı́ matic.
  * **Lineárnı́ zobrazenı́** – matice lineárnı́ho zobrazenı́, transformace souřadnic v jedné bázi na souřadnice v jiné bázi.
  * **Soustavy lineárnı́ch rovnic** – Frobeniova věta a geometrie množiny všech řešenı́ soustavy lineárnı́ch rovnic.
  * **Determinant čtvercové matice** – výpočet determinantu (GEM a rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce).
  * **Vlastnı́ čı́sla a vlastnı́ vektory matice** – diagonalisace matice.
  * **Skalárnı́ součin** – výpočet souřadnic vzhledem k ortogonálnı́ bázi. Ortogonalisačnı́ proces (Gram-Schmidt).
 
===== 1. Lineární prostor a podprostor =====

==== Lineární prostor ====

Lineární prostor \( L \) nad tělesem \( F \) je množina s definovanými operacemi:
  * sčítání vektorů: \( + : L \times L \to L \)
  * násobení vektoru skalárem: \( \cdot : F \times L \to L \)

které splňují následující axiomy:

=== (1) Axiomy pro sčítání vektorů ===
  * Existence nulového vektoru: \( \exists\ \vec{0} \in L:\ \vec{x} + \vec{0} = \vec{x} \)
  * Asociativita: \( (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) \)
  * Komutativita: \( \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \)
  * Existence opačného vektoru: \( \exists\ -\vec{x} \in L:\ \vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{0} \)

=== (2) Axiomy pro násobení skalárem ===
  * Neutralita násobení jedničkou: \( 1 \cdot \vec{x} = \vec{x} \)
  * Asociativita násobení skalárem: \( a \cdot (b \cdot \vec{x}) = (a \cdot b) \cdot \vec{x} \)

=== (3) Distributivní zákony ===
  * Distributivita skalárů: \( (a + b) \cdot \vec{x} = a \cdot \vec{x} + b \cdot \vec{x} \)
  * Distributivita vektorů: \( a \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = a \cdot \vec{x} + a \cdot \vec{y} \)

=== Příklady lineárních prostorů ===
  * \( \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^n \) – vektory v rovině, prostoru, n-rozměrném prostoru
  * \( \mathbb{R}[x] \) – množina všech reálných polynomů
  * \( \mathbb{C} \) – množina komplexních čísel
  * množina všech funkcí \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

=== Důsledky definice ===
  * \( 0 \cdot \vec{x} = \vec{0} \)
  * \( a \cdot \vec{0} = \vec{0} \)
  * \( a \cdot \vec{x} = \vec{0} \iff a = 0\ \text{nebo}\ \vec{x} = \vec{0} \)

=== Příklad ===
Vektorový prostor \( \mathbb{R}^2 \):

\[
\vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix},\ \vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}
\]

Sčítání:
\[
\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}
\]

Násobení skalárem:
\[
2 \cdot \vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}
\]


=== Lineární kombinace ===
Pro seznam vektorů \( (v_1, v_2, ..., v_n) \in L \) a skaláry \( (a_1, a_2, ..., a_n) \in F \) je lineární kombinace definována jako:
\[
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n
\]

Pokud jsou všechny koeficienty \( a_1 = a_2 = ... = a_n = 0 \), mluvíme o **triviální lineární kombinaci**, jejímž výsledkem je nulový vektor.

Pokud existuje alespoň jeden koeficient nenulový, jde o **netriviální lineární kombinaci**.

Množina všech možných lineárních kombinací vektorů z dané množiny \( M \) se nazývá **lineární obal** této množiny a značí se jako \( \text{span}(M) \).
Tvoří podprostor lineárního prostoru \( L \), který obsahuje všechny vektory dosažitelné z \( M \) lineárními kombinacemi.


.

==== Lineární podprostor ====

Podmnožina \( W \subseteq L \) je lineární podprostor, pokud:

  * Uzavřenost na sčítání: \( \forall\ \vec{u}, \vec{v} \in W:\ \vec{u} + \vec{v} \in W \)
  * Uzavřenost na násobení: \( \forall\ a \in F,\ \forall\ \vec{v} \in W:\ a \cdot \vec{v} \in W \)

Podprostor obsahuje vždy \( \vec{0} \).

=== Příklad ===
Mějme \( L = \mathbb{R}^3 \), množina:
\[
W = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} : x,y \in \mathbb{R} \right\}
\]
(rovina XY v prostoru \( \mathbb{R}^3 \)).

  * Uzavřenost na sčítání: součet dvou bodů z roviny XY je opět v XY.
  * Uzavřenost na násobení: násobení libovolným skalárem zůstane v XY.

Tedy \( W \) je lineární podprostor \( \mathbb{R}^3 \).


===== 2. Lineární obal, lineární závislost a nezávislost =====

==== Lineární obal ====

Nechť \( M \subseteq L \) je podmnožina lineárního prostoru \( L \). Lineární obal množiny \( M \), značený jako \( \text{span}(M) \), je množina všech lineárních kombinací vektorů z \( M \):

\[
\text{span}(M) = \left\{ \vec{x} \, \middle| \, \vec{x} = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \vec{x}_i, \ a_i \in F, \ \vec{x}_i \in M, \ n \geq 0 \right\}
\]

  * Pokud \( M = \emptyset \), platí \( \text{span}(M) = \{ \vec{0} \} \).
  * Lineární obal je nejmenší lineární podprostor obsahující množinu \( M \).

=== Vlastnosti lineárního obalu ===
  * Pokud \( M \subseteq N \), pak \( \text{span}(M) \subseteq \text{span}(N) \).
  * \( M \subseteq \text{span}(M) \).
  * \( \text{span}(\text{span}(M)) = \text{span}(M) \).

=== Příklad ===
Mějme množinu \( M = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \subset \mathbb{R}^2 \).

Pak:
\[
\text{span}(M) = \mathbb{R}^2
\]

Každý vektor v \( \mathbb{R}^2 \) lze totiž vyjádřit jako:
\[
a \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}
\]

==== Lineární závislost a nezávislost ====

Seznam \( (\vec{x}_1, \vec{x}_2, ..., \vec{x}_n) \) vektorů je **lineárně závislý**, pokud existují skaláry \( a_1, a_2, ..., a_n \) ne všechna rovna nule, taková, že:
\[
a_1 \cdot \vec{x}_1 + a_2 \cdot \vec{x}_2 + \ldots + a_n \cdot \vec{x}_n = \vec{0}
\]

Pokud jediným řešením této rovnice je \( a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0 \), seznam je **lineárně nezávislý**.

=== Příklady ===
  * Prázdný seznam: vždy lineárně nezávislý.
  * Seznam obsahující nulový vektor: vždy lineárně závislý.
  * Seznam obsahující stejný vektor vícekrát: lineárně závislý.
  * Pokud soustava rovnic \( \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \vec{x}_i = \vec{0} \) má jen triviální řešení (všechna \( a_i = 0 \)), seznam je lineárně nezávislý.

=== Důležité vlastnosti ===
  * Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny je opět lineárně nezávislá.
  * Každá nadmnožina lineárně závislé množiny je opět lineárně závislá.

===== 3. Báze, dimenze a souřadnice vektoru v bázi =====

==== Báze ====

Báze lineárního prostoru \( L \) je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární obal je celý prostor \( L \).
Pokud je báze konečná, nazývá se **uspořádaná báze**.

**Definice:**  
Množina \( B \subseteq L \) je **bází** prostoru \( L \), pokud:
  * je lineárně nezávislá,
  * \( \text{span}(B) = L \).

**Poznámky:**
  * Prostor může mít více různých bází.
  * Všechny báze prostoru mají stejný počet prvků.

**Příklady:**
  * Prázdná báze generuje triviální prostor \( \{ \vec{0} \} \).
  * Vektory \( (1,0), (0,1) \) tvoří bázi \( \mathbb{R}^2 \).
  * Kanonická báze \( \mathbb{R}^3 \) je \( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \).
  * Množina \( (1, x, x^2, x^3, \dots) \) tvoří bázi prostoru všech reálných polynomů \( \mathbb{R}[x] \) (nekonečně dimenzionální).

==== Dimenze ====

**Definice:**  
Dimenze prostoru \( L \), značená jako \( \dim(L) \), je počet prvků libovolné báze prostoru \( L \).

**Poznámky:**
  * Pokud \( L = \{ \vec{0} \} \), pak \( \dim(L) = 0 \).
  * Pokud \( \dim(L) = n \), každá báze \( L \) má právě \( n \) prvků.
  * Ne každý prostor má konečnou dimenzi (například \( \mathbb{R}[x] \) má nekonečnou dimenzi).

**Příklady:**
  * \( \dim(\mathbb{R}^n) = n \).
  * \( \dim(\mathbb{C}) = 1 \) nad \( \mathbb{C} \), ale \( \dim(\mathbb{C}) = 2 \) nad \( \mathbb{R} \).
  * \( \dim(\mathbb{R}) = 1 \) nad \( \mathbb{R} \), ale nekonečno nad \( \mathbb{Q} \).

==== Souřadnice vektoru v bázi ====

Je-li \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) uspořádaná báze prostoru \( L \), pak pro každý vektor \( \vec{x} \in L \) existuje jediná kombinace:

\[
\vec{x} = a_1 \cdot \vec{b}_1 + a_2 \cdot \vec{b}_2 + \ldots + a_n \cdot \vec{b}_n
\]

kde \( a_1, \ldots, a_n \in F \) jsou tzv. **souřadnice vektoru** \( \vec{x} \) vzhledem k bázi \( B \).

**Značení:**
\[
\text{coord}_B(\vec{x}) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}
\]

**Příklady:**
  * V kanonické bázi \( \mathbb{R}^n \) jsou souřadnice vektoru \( (x_1, ..., x_n) \) přímo \( (x_1, ..., x_n) \).
  * V různých bázích bude mít tentýž vektor jiné souřadnice.

**Vlastnosti:**
  * Výpočet souřadnic je lineární:  
  * \(  \text{coord}_B(\vec{x} + \vec{y}) = \text{coord}_B(\vec{x}) + \text{coord}_B(\vec{y}) \)
  * \(  \text{coord}_B(a \cdot \vec{x}) = a \cdot \text{coord}_B(\vec{x}) \)
  * Souřadnice základních vektorů báze tvoří kanonické jednotkové vektory.    


===== 4. Matice – sčítání a násobení matic =====

==== Matice ====

Matice nad tělesem \( F \) rozměrů \( r \times s \) je tabulka prvků uspořádaných do řádků a sloupců. Ztotožňujeme ji se zobrazením \( A : F^s \to F^r \).

Příklad:
Projekce na osy v \( \mathbb{R}^2 \):

\[
X = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad Y = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\]

==== Sčítání matic ====

Definice: Pro dvě matice \( A, B : F^s \to F^r \) stejného rozměru je součet definován po složkách:

\[
A + B = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)
\]

Podmínky:
  * Sčítáme pouze matice stejného rozměru.
  * Sčítání je komutativní a asociativní.
  * Pro každou matici \( A \) existuje opačná matice \( -A \), pro kterou platí \( A + (-A) = 0 \).

Příklad:

\[
\begin{bmatrix} 5 & 3 & 6 \\ -1 & 0 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 4 \\ 0 & 4 & 10 \end{bmatrix}
\]

==== Násobení matice skalárem ====

Definice: Pro matici \( A : F^s \to F^r \) a skalár \( a \in F \):

\[
a \cdot A = \left( a \cdot a_{ij} \right)
\]

Vlastnosti:
  * Platí: \( 1 \cdot A = A \)
  * Distributivita: \( a \cdot (A + B) = a \cdot A + a \cdot B \)
  * Asociativita: \( a \cdot (b \cdot A) = (a \cdot b) \cdot A \)

.


Příklad:

\[
(-2) \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & -4 \\ -4 & -12 & -8 \end{bmatrix}
\]

==== Nulová matice ====

Nulový prvek v prostoru matic \( Lin(F^s, F^r) \) je nulová matice \( O_{r,s} \), kde všechny prvky jsou nulové.

Příklad:

\[
O_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\]

==== Součin matic ====

Definice:  
Pokud má matice \( A \) rozměry \( p \times s \), matice \( B \) rozměry \( r \times p \), je součin \( B \cdot A \) definován jako:

\[
B \cdot A = (B \cdot a_1, B \cdot a_2, ..., B \cdot a_s)
\]

kde \( a_j \) je j-tý sloupec matice \( A \).

Položkový zápis:
\[
c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} b_{ik} \cdot a_{kj}
\]

Podmínka: Počet sloupců první matice = počet řádků druhé matice.

==== Vlastnosti součinu matic ====
  * Asociativita: \( C \cdot (B \cdot A) = (C \cdot B) \cdot A \)
  * Obecně neplatí komutativita: \( B \cdot A \neq A \cdot B \)
  * Jednotková matice \( E_n = (e_1, ..., e_n) \), kde \( e_i \) je kanonický vektor:
\[
E_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}
\]
Platí:
\[
E_r \cdot A = A = A \cdot E_s
\]

==== Příklady ====

Projekce na osu x v \( \mathbb{R}^2 \):
\[
P_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]

Rotace o úhel \( \alpha \):
\[
R_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}
\]

Složení:
\[
P_x \cdot R_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
\[
R_\alpha \cdot P_x = \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix}
\]

Reflexe podle osy svírající úhel \( \alpha \) s osou x:
\[
R_\alpha \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot R_{-\alpha} = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{bmatrix}
\]

Matice základních lineárních transformací lze definovat i v \( \mathbb{R}^n \) pro \( n \geq 3 \).  
Aplikace: matematika, fyzika, počítačová grafika.

=== Důsledek ===

Není-li čtvercová matice \( A \) regulární, obecně neexistují matice \( X, Y \) takové, aby platilo:
\[
A \cdot X = E_n \quad \text{nebo} \quad Y \cdot A = E_n
\]

Řešení maticových rovnic \( A \cdot X = B \), \( Y \cdot A = C \) je důležitou oblastí teorie lineárních rovnic.

===== 5. Lineární zobrazení =====

==== Definice ====

Nechť \( L_1, L_2 \) jsou lineární prostory nad tělesem \( F \). Zobrazení \( f : L_1 \to L_2 \) je **lineární zobrazení**, pokud platí:
  * \( f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \)
  * \( f(a \cdot \vec{x}) = a \cdot f(\vec{x}) \)

pro všechna \( \vec{x}, \vec{y} \in L_1 \) a všechna \( a \in F \).

==== Princip superpozice ====
Princip superpozice říká, že lineární zobrazení zachovává lineární kombinace – výsledek zobrazení lineární kombinace je stejná lineární kombinace obrazů.

\[
f\left(\sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \vec{x}_i \right) = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot f(\vec{x}_i)
\]

==== Příklady ====
  * Zobrazení \( \text{coord}_B : L \to F^n \) je lineární (souřadnice vektoru v bázi).
  * Projekce, rotace, reflexe, změna měřítka.

==== Vlastnosti lineárních zobrazení ====
  * Složení lineárních zobrazení je lineární.
  * Identita je lineární zobrazení.
  * Množina všech lineárních zobrazení tvoří lineární prostor \( \text{Lin}(L_1, L_2) \).

==== Lineární zobrazení a báze ====

Zobrazení \( f : L_1 \to L_2 \) je určeno hodnotami na bázi prostoru \( L_1 \).

\[
f(e_j) = a_j, \quad j = 1, \ldots, s
\]
kde \( e_j \) jsou vektory báze prostoru \( F^s \), \( a_j \) jsou sloupce matice zobrazení.

==== Matice lineárního zobrazení ====

Matice \( A \) nad \( F \) s \( r \) řádky a \( s \) sloupci odpovídá zobrazení:
\[
A : F^s \to F^r, \quad e_j \mapsto a_j
\]

**Příklad základních zobrazení v \( \mathbb{R}^2 \):**
  * Projekce na osu x:
\[
P_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\]
  * Rotace o úhel \( \alpha \):
\[
R_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}
\]
  * Reflexe:
\[
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
\]
  * Zkosení (shear):
\[
S_{a,b} = \begin{bmatrix} 1 & b \\ a & 1 \end{bmatrix}
\]

==== Transformace souřadnic mezi bázemi ====

Nechť \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) a \( C = (\vec{c}_1, \ldots, \vec{c}_n) \) jsou uspořádané báze stejného lineárního prostoru \( L \).

{{:statnice:bakalar:pasted:20250517-165455.png}}

=== Definice (matice transformace souřadnic) ===
Matice \( T_{B \to C} \) je regulární čtvercová matice, která převádí souřadnice vektorů z báze \( B \) na souřadnice v bázi \( C \). Platí:
\[
T_{B \to C} \cdot \text{coord}_B(\vec{x}) = \text{coord}_C(\vec{x})
\]
j-tý sloupec matice \( T_{B \to C} \) je souřadnicový vektor \( \vec{b}_j \) vyjádřený v bázi \( C \):
\[
T_{B \to C} = \left[ \text{coord}_C(\vec{b}_1)\ |\ \cdots\ |\ \text{coord}_C(\vec{b}_n) \right]
\]

=== Vlastnosti matice transformace souřadnic ===
  * Matice \( T_{B \to C} \) je vždy regulární (má inverzi).
  * Inverzní matice převádí zpět: \( T_{C \to B} = (T_{B \to C})^{-1} \).
  * Transformace je skladatelná: \( T_{B \to D} = T_{C \to D} \cdot T_{B \to C} \).

=== Změna matice zobrazení při změně bází ===
Nechť \( f : L_1 \to L_2 \) je lineární zobrazení, a:
  * \( B, B' \) jsou báze prostoru \( L_1 \)
  * \( C, C' \) jsou báze prostoru \( L_2 \)
  * \( A_f \) je matice zobrazení \( f \) vzhledem k bázím \( B \) a \( C \)

Pak matice zobrazení vzhledem k novým bázím \( B', C' \) je:
\[
A_f' = T_{C \to C'} \cdot A_f \cdot T_{B' \to B}
\]

=== Bonus: podobnost matic ===
Pokud \( B = C \) a \( B' = C' \), pak:
\[
A' = T^{-1} \cdot A \cdot T
\]
Dvě matice \( A \), \( B \) jsou si podobné, pokud existuje regulární matice \( T \), pro kterou platí:
\[
B = T^{-1} \cdot A \cdot T
\]
Podobné matice popisují totéž lineární zobrazení v různých bázích.

=== Shrnutí ===
  * Jakoukoli regulární čtvercovou matici lze chápat jako matici transformace souřadnic z báze \( B \) do kanonické báze \( K_n \), pokud jsou vektory báze \( B \) sloupci této matice.
  * Pokud je \( A_f \) matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím \( B, C \), pak pro jiné báze \( B', C' \) má matice tvar:
\[
A_f' = S \cdot A_f \cdot T
\]
kde \( S, T \) jsou matice transformace souřadnic.

  * Speciální případ: pokud \( L_1 = L_2 \), \( B = C \) a \( B' = C' \), pak platí podobnost:
\[
A' = T^{-1} \cdot A \cdot T
\]

==== Jádro a obraz ====

Pro lineární zobrazení \( f : L_1 \to L_2 \):
  * Jádro: \( \text{ker}(f) = \{ \vec{x} \in L_1 \ | \ f(\vec{x}) = \vec{0} \} \)
  * Obraz: \( \text{im}(f) = \{ f(\vec{x}) \ | \ \vec{x} \in L_1 \} \)

Platí:
  * \( \text{ker}(f) \) je podprostor \( L_1 \).
  * \( \text{im}(f) \) je podprostor \( L_2 \).

{{:statnice:bakalar:pasted:20250517-164124.png}}

==== Defekt a hodnost ====

\[
\text{def}(f) = \dim(\text{ker}(f))
\]

.
\[
\quad \text{rank}(f) = \dim(\text{im}(f))
\]

.
\[
\dim(L_1) = \text{def}(f) + \text{rank}(f)
\]

==== Klasifikace zobrazení ====

  * **Monomorfismus**: injektivní zobrazení (prosté), \( \text{def}(f) = 0 \).
  * **Epimorfismus**: surjektivní zobrazení (na), \( \text{im}(f) = L_2 \).
  * **Isomorfismus**: bijektivní zobrazení, \( \text{def}(f) = 0, \ \dim(L_1) = \dim(L_2) \).

==== Matice lineárního zobrazení ====

Je-li \( f : L_1 \to L_2 \), \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_s) \), \( C = (\vec{c}_1, \ldots, \vec{c}_r) \):
  * Matice \( A_f \) má \( r \) řádků, \( s \) sloupců.
  * j-tý sloupec \( A_f \) je \( \text{coord}_C(f(\vec{b}_j)) \).

==== Věta o inverzi matice isomorfismu ====

Pokud \( f : L_1 \to L_2 \) je isomorfismus s maticí \( A_f \):
\[
A_f^{-1} \cdot A_f = E_n = A_f \cdot A_f^{-1}
\]

==== Poznámky ====
  * Souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi \( B \) lze chápat jako lineární zobrazení \( \text{coord}_B : L \to F^n \), které je isomorfismus.
  * Každý konečně dimenzionální prostor nad \( F \) je izomorfní s prostorem \( F^n \).
  * Matice transformace souřadnic: pokud \( Af \) je matice zobrazení vzhledem k bázím \( B, C \), pak vzhledem k jiným bázím \( B', C' \) platí:
\[
A' = S \cdot Af \cdot T
\]
kde \( S, T \) jsou regulární matice transformace mezi bázemi.

==== Bonus: Typy matic ====

  * **Regulární matice**: Inverzní čtvercová matice. Existuje \( A^{-1} \), takže \( A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E_n \).

  * **Singulární matice**: Čtvercová matice, která není invertibilní (neexistuje její inverze). Například pokud má nulový determinant nebo závislé řádky.

  * **Nulová matice**: Všechny prvky jsou nulové.
    \[
    O = \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0 \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Jednotková matice**: Čtvercová matice s jedničkami na diagonále, jinak nuly.
    \[
    I_3 = \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Diagonální matice**: Jen diagonála může obsahovat nenulové hodnoty.
    \[
    D = \begin{bmatrix}
    4 & 0 & 0 \\
    0 & -2 & 0 \\
    0 & 0 & 7 \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Horní trojúhelníková matice**: Všechny prvky pod diagonálou jsou nulové.
    \[
    U = \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    0 & 4 & 5 \\
    0 & 0 & 6 \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Dolní trojúhelníková matice**: Všechny prvky nad diagonálou jsou nulové.
    \[
    L = \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    7 & 2 & 0 \\
    8 & 9 & 3 \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Symetrická matice**: \( A = A^T \). Matice je zrcadlově stejná podle diagonály.
    \[
    A = \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    2 & 5 & 4 \\
    3 & 4 & 6 \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Antisymetrická matice**: \( A^T = -A \), na diagonále jsou jen nuly.
    \[
    A = \begin{bmatrix}
    0 & 2 & -1 \\
    -2 & 0 & -4 \\
    1 & 4 & 0 \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Ortogonální matice**: Čtvercová matice, kde \( A^T = A^{-1} \). Sloupce tvoří ortonormální bázi.
    \[
    A = \begin{bmatrix}
    \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
    \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Ortonormální matice**: Matice, jejíž **sloupce jsou ortonormální** vektory – tedy jsou navzájem kolmé (ortogonální) a všechny mají jednotkovou délku. Zároveň platí \( A^T \cdot A = I \), což znamená, že je také **ortogonální**.
    \[
    A = \begin{bmatrix}
    \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
    \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
    \end{bmatrix}
    \]

    * **Kontrola ortonormálnosti**:
      - Označme sloupce jako \( \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \), \( \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \)
      - \( \|\vec{v}_1\| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 \)
      - \( \|\vec{v}_2\| = 1 \)
      - \( \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \)
      - Sloupce jsou jednotkové a navzájem kolmé ⇒ matice je ortonormální.

  * **Řídká matice**: Obsahuje převážně nuly. Např. ve velkých systémech rovnic.
    \[
    S = \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 3 \\
    0 & 0 & 0 \\
    1 & 0 & 0 \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Hustá matice**: Většina prvků je nenulová. Opak řídké matice.

  * **Stochastická matice**: Matice pravděpodobnostního přechodu. Každý sloupec (nebo řádek) má součet 1, prvky jsou nezáporné.
    \[
    P = \begin{bmatrix}
    0.3 & 0.6 \\
    0.7 & 0.4 \\
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Permutační matice**: Jednotková matice s přeházenými řádky nebo sloupci.
    \[
    P = \begin{bmatrix}
    0 & 1 \\
    1 & 0 \\
    \end{bmatrix}
    \]

===== 6. Soustavy lineárních rovnic =====

==== Základní zápis ====

Soustava \( m \) lineárních rovnic o \( n \) neznámých se zapisuje ve tvaru:

\[
A \cdot \vec{x} = \vec{b}
\]

kde:
  * \( A \in F^{m \times n} \) je **matice soustavy**,
  * \( \vec{x} \in F^n \) je **vektor neznámých**,
  * \( \vec{b} \in F^m \) je **vektor pravých stran**.

Rozšířená matice soustavy:

\[
(A \mid \vec{b}) =
\left[
\begin{array}{ccc|c}
a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1 \\
\vdots &       & \vdots & \vdots \\
a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_m \\
\end{array}
\right]
\]


==== Geometrická interpretace ====

  * Řešení soustavy odpovídá průsečíku několika hyperrovin.
  * Nebo jinak: hledáme takové koeficienty lineární kombinace sloupců matice \( A \), které dají vektor \( \vec{b} \).

==== Gaussova eliminační metoda (GEM) ====

Pomocí **elementárních řádkových úprav** převádíme matici na **horní blokový tvar (HBT)**:

  * Prohození dvou řádků.
  * Násobení řádku nenulovým skalárem.
  * Přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku.

Definice (horní blokový tvar):

1. Nenulové řádky jsou nad nulovými.
2. Každý pivot (první nenulový prvek v řádku) je dále vpravo než pivot řádku nad ním.

Získáme:
  * **rank**: počet pivotů = počet nenulových řádků.
  * **defekt**: \( \text{def}(A) = n - \text{rank}(A) \)

==== Frobeniova věta ====

Soustava \( A \cdot \vec{x} = \vec{b} \) má řešení **právě tehdy**, když:

\[
\text{rank}(A) = \text{rank}(A \mid \vec{b})
\]

Pokud řešení existuje, všechna řešení mají tvar:

\[
\vec{x} = \vec{p} + \vec{x}_h, \quad \text{kde } \vec{x}_h \in \ker(A)
\]

kde \( \vec{p} \) je jedno (libovolné) partikulární řešení.

==== Homogenní soustava ====

Soustava tvaru \( A \cdot \vec{x} = \vec{0} \) je **homogenní**.

  * Množina řešení tvoří lineární podprostor: \( \ker(A) \subseteq F^n \)
  * Báze tohoto prostoru se nazývá **fundamentální systém**.
  * Má právě \( \text{def}(A) \) prvků.
  * Každé řešení je lineární kombinací těchto vektorů.

==== Obecné řešení soustavy ====

\[
\vec{x} = \vec{p} + \sum_{i=1}^{d} \alpha_i \cdot \vec{v}_i, \quad \vec{v}_i \in \ker(A)
\]

  * \( \vec{p} \) je partikulární řešení
  * \( \vec{v}_i \) tvoří bázi jádra
  * \( d = \text{def}(A) \)

==== Geometrický význam ====

  * Řešení soustavy tvoří **afinní podprostor** \( \vec{p} + \ker(A) \).
  * Homogenní soustava definuje rovinu/přímku/... procházející počátkem.
  * Inhomogenní soustava posouvá tento prostor do bodu \( \vec{p} \).

===== 6. Determinant čtvercové matice =====

==== Permutace a jejich vlastnosti ====

  * **Permutace** je libovolná bijekce množiny {1, 2, ..., n}.
  * **Symetrická grupa permutací** (značení \( S_n \)) je množina všech permutací této množiny s operací skládání.
  * **Znaménko permutace** (signum): 
    * sudý počet inverzí → \( \text{sign}(\pi) = +1 \)
    * lichý počet inverzí → \( \text{sign}(\pi) = -1 \)
    * Platí: \( \text{sign}(\pi \cdot \sigma) = \text{sign}(\pi) \cdot \text{sign}(\sigma) \)

==== Definice determinantu ====

  * Nechť \( A \) je čtvercová matice řádu \( n \) nad tělesem \( F \). Potom:

\[
\det(A) = \sum_{\pi \in S_n} \text{sign}(\pi) \cdot a_{\pi(1),1} \cdot a_{\pi(2),2} \cdots a_{\pi(n),n}
\]

  * Interpretace: Každý člen součtu odpovídá jedné permutaci a vybírá prvek z každého sloupce a různého řádku.

==== Geometrický význam ====

  * \( \det(A) \) vyjadřuje orientovaný objem rovnoběžnostěnu daného řádky/sloupci matice.
  * Například pro \( 2 \times 2 \) matici je absolutní hodnota determinantu plocha rovnoběžníku.

==== Vlastnosti determinantu ====

  * \( \det(A^T) = \det(A) \)
  * \( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \)
  * \( \det(\alpha A) = \alpha^n \cdot \det(A) \) pro skalár \( \alpha \)
  * Prohození dvou řádků mění znaménko.
  * Přičtení násobku jednoho řádku k jinému nemění determinant.
  * Vynásobení řádku skalárem \( a \) změní determinant \( a \)-násobně.
  * Determinant trojúhelníkové matice je součin prvků na diagonále.

==== Výpočet determinantu ====

=== (1) Gaussova eliminační metoda (GEM) ===

  * Převeď matici na horní trojúhelníkový tvar.
  * Výsledek je součin diagonálních prvků, upravený podle operací:
    * Změna znaménka při výměně řádků.
    * Dělení při násobení řádku.

=== (2) Laplaceův rozvoj ===

  * Pro pevný řádek nebo sloupec:
\[
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})
\]

  * kde \( A_{ij} \) je matice vzniklá vynecháním \( i \)-tého řádku a \( j \)-tého sloupce.
  * Pomalý výpočetně (složitost \( n! \)), ale vhodný pro řídké matice.

==== Adjungovaná matice ====

  * \( \text{adj}(A) \) je transpozice matice všech algebraických doplňků \( A_{ij} \).
  * Platí:
\[
A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n
\]
  * Pokud \( A \) je regulární, potom:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
\]

==== Cramerovo pravidlo ====

Pro soustavu \( A \cdot x = b \), kde \( A \) je regulární \( n \times n \) matice:

\[
x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}
\]

kde \( A_j \) je matice vzniklá nahrazením \( j \)-tého sloupce v \( A \) vektorem \( b \).

==== Shrnutí ====

  * Determinant měří objem a orientaci vektorů tvořících matici.
  * Nulový determinant znamená, že matice je singulární (neinvertibilní).
  * Výpočet pomocí GEM je nejrychlejší, ale pozor na změny během úprav.
  * Laplaceův rozvoj je přehledný, ale výpočetně náročný.

===== 7. Vlastní čísla a vlastní vektory matice =====

==== Definice ====

  * Vlastní číslo (eigenvalue) \( \lambda \in F \) lineárního zobrazení \( f : L \rightarrow L \) je takové číslo, pro které existuje nenulový vektor \( \vec{x} \in L \) splňující \( f(\vec{x}) = \lambda \cdot \vec{x} \).
  * Takovému vektoru \( \vec{x} \) říkáme vlastní vektor (eigenvector) příslušný k vlastní hodnotě \( \lambda \).
  * Vlastní vektory tvoří podprostor \( \text{eigen}(\lambda, f) = \{ \vec{x} \mid f(\vec{x}) = \lambda \vec{x} \} \).
  * \( \lambda \) je vlastní číslo právě tehdy, když \( \text{eigen}(\lambda, f) \neq \{ \vec{0} \} \).

==== Charakteristický polynom ====

  * Definice: \( \text{char}_A(x) = \det(A - x E_n) \), kde \( A \) je čtvercová matice řádu \( n \).
  * Je to polynom stupně \( n \); v tělese \( F \) může mít maximálně \( n \) kořenů (včetně násobnosti).
  * Podobné matice mají stejný charakteristický polynom: pokud \( A \approx B \), pak \( \text{char}_A(x) = \text{char}_B(x) \).

==== Diagonalizace matice ====

  * Matice \( A \) je **diagonalisovatelná**, pokud existuje regulární matice \( T \), taková že:
\[
T^{-1} A T = D
\]
  * \( D \) je diagonální matice s vlastními čísly \( \lambda_1, ..., \lambda_n \) na diagonále
  * Sloupce matice \( T \) tvoří bázi složenou z vlastních vektorů matice \( A \)
  * Podmínky diagonalizace:
    * Charakteristický polynom rozložitelný na lineární faktory
    * Algebraická násobnost \( \lambda \) = geometrická násobnost \( \lambda \)
    * Tzn. \( \dim(\text{eigen}(\lambda, A)) = \text{násobnost } \lambda \)

==== Výpočet vlastních čísel a vektorů ====

  * Najdeme kořeny charakteristického polynomu \( \det(A - \lambda E) = 0 \)
  * Pro každé \( \lambda \) řešíme soustavu:
\[
(A - \lambda E) \cdot \vec{x} = \vec{0}
\]
  * Výsledkem jsou vlastní vektory — báze podprostoru \( \ker(A - \lambda E) \)

==== Výpočet mocnin diagonalisovatelných matic ====

  * Pokud \( A = T^{-1} D T \), potom:
\[
A^k = T^{-1} D^k T
\]
  * Diagonální matici \( D \) lze snadno umocnit: mocníme diagonální prvky


==== Jordanův tvar ====

  * Pro matici, kterou nelze diagonalizovat, lze často najít tzv. **Jordanův tvar**
  * Skládá se z bloků \( J_i \), kde každý blok má tvar:
\[
J_i = 
\begin{pmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \lambda_i & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_i
\end{pmatrix}
\]

  * Jordanova buňka je nilpotentní (mocniny vedou k nulové matici)

==== Shrnutí ====

  * Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \( \det(A - \lambda E_n) = 0 \)
  * Vlastní vektory odpovídají řešením homogenní soustavy \( (A - \lambda E)x = 0 \)
  * Matice je diagonalisovatelná, pokud existuje báze tvořená vlastními vektory
  * Výpočty usnadňuje přechod do báze, kde je matice diagonální
  * Pokud nelze diagonalizovat, lze často použít Jordanův tvar

===== 8. Skalární součin a ortogonalizace =====

==== Skalární součin a norma ====

  * Skalární součin vektorů \( \vec{u}, \vec{v} \) v \( \mathbb{R}^n \):
\[
\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \sum_{i=1}^n u_i v_i = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\alpha)
\]
  * Vlastnosti:
    * \( \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle \geq 0 \)
    * \( \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle \)
    * Lineární ve druhé složce: \( \langle \vec{x}, \vec{y} + \vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle + \langle \vec{x}, \vec{z} \rangle \)
    * Cauchy-Schwarzova nerovnost: \( |\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle| \leq \|\vec{x}\| \cdot \|\vec{y}\| \)

  * Norma vektoru:
\[
\|\vec{x}\| = \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle}
\]

==== Výpočet souřadnic v ortogonální bázi ====

  * Nechť \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) je ortonormální báze prostoru se skalárním součinem.
  * Souřadnice vektoru \( \vec{x} \) vzhledem k této bázi se spočítají jako:
\[
\text{coord}_B(\vec{x}) = \begin{pmatrix}
\langle \vec{b}_1, \vec{x} \rangle \\
\vdots \\
\langle \vec{b}_n, \vec{x} \rangle
\end{pmatrix}
\]
  * Pokud báze není normalizovaná, používáme ortogonální projekce:
\[
\text{coord}_{\vec{b}_i}(\vec{x}) = \frac{\langle \vec{b}_i, \vec{x} \rangle}{\langle \vec{b}_i, \vec{b}_i \rangle}
\]

==== Gram-Schmidtův ortogonalizační proces ====

Z libovolné báze \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) vytvoříme ortogonální bázi \( C = (\vec{c}_1, \ldots, \vec{c}_n) \):

  * \( \vec{c}_1 = \vec{b}_1 \)
  * \( \vec{c}_2 = \vec{b}_2 - \frac{\langle \vec{b}_2, \vec{c}_1 \rangle}{\langle \vec{c}_1, \vec{c}_1 \rangle} \cdot \vec{c}_1 \)
  * \( \vec{c}_3 = \vec{b}_3 - \frac{\langle \vec{b}_3, \vec{c}_1 \rangle}{\langle \vec{c}_1, \vec{c}_1 \rangle} \cdot \vec{c}_1 - \frac{\langle \vec{b}_3, \vec{c}_2 \rangle}{\langle \vec{c}_2, \vec{c}_2 \rangle} \cdot \vec{c}_2 \)
  * Obecně:
\[
\vec{c}_k = \vec{b}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \vec{b}_k, \vec{c}_i \rangle}{\langle \vec{c}_i, \vec{c}_i \rangle} \cdot \vec{c}_i
\]

  * Gram-Schmidtův proces postupně upravuje vektory báze tak, aby každý nový vektor byl kolmý na předchozí, čímž vzniká ortogonální báze se stejným roztahem jako původní.

==== Ortonormalizace ====

  * Vektory \( \vec{c}_i \) se normalizují na jednotkovou délku:
\[
\vec{u}_i = \frac{\vec{c}_i}{\|\vec{c}_i\|}
\]
  * Výsledná báze \( (\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_n) \) je ortonormální.

==== Obecný skalární součin ====

  * Obecný tvar: \( \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \vec{x}^T G \vec{y} \), kde \( G \) je pozitivně definitní symetrická matice (tzv. metrický tensor)
  * Takový skalární součin indukuje normu i metriku:
    * \( \|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x}^T G \vec{x}} \)
    * \( d(\vec{x}, \vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\| \)

==== Metoda nejmenších čtverců ====

  * Pokud \( A \vec{x} = \vec{b} \) nemá řešení, hledáme řešení minimalizující \( \|\vec{b} - A \vec{x}\|^2 \)
  * Řešení: \( \vec{x} = (A^T A)^{-1} A^T \vec{b} \)
  * Interpretace: ortogonální projekce vektoru \( \vec{b} \) na \( \text{im}(A) \)


==== Shrnutí ====
  * Skalární součin definuje normu, která určuje vzdálenost.
  * V ortonormální bázi lze souřadnice spočítat přímo pomocí skalárního součinu.
  * Gram-Schmidtův proces převádí libovolnou bázi na ortogonální.
  * Ortonormalizací získáme výhodnou bázi pro výpočty, souřadnice a projekce mají jednoduché vzorce.
  * Obecný skalární součin je definován pomocí pozitivně definitní matice \( G \).
  * Metoda nejmenších čtverců je založena na ortogonální projekci.
Trace: • b0b01ma1 • b4b36zui • b0b39pgr • be4b39vgo • b4b38psia • b0b35lsp • b4b39hry • b6b36omo • b4b39iur • b0b01pst
Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code
