statnice:bakalar:b4b36zui

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
====== Metody prohledávání stavového prostoru, algoritmy. Reprezentace znalostí a rozhodování s nepřesnou znalostí. Dvouhráčové hry. ======

[[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/47/02/p4702906.html|B4B36ZUI]] [[https://cw.fel.cvut.cz/wiki/courses/zui/lectures|Webové stránky předmětu]]

  * **Známé systémy umělé inteligence** – DeepBlue, Watson, AlphaGo, Eliza, Shakey, DQN.
  * **Formální reprezentace problému AI** – problém mnohorukého banditu, MDP, POMDP, hra v rozšířené formě.
  * **Metody prohledávání stavového prostoru** – DFS, BFS, ID-DFS, Dijkstra, A*.
  * **Algoritmy posilovaného učení** – policy evaluation, policy improvement, policy iteration, value iteration, Q-learning.
  * **Algoritmy pro řešení her dvou hráčů** – minimax, alpha-beta prořezávání, negamax, negascout, MCTS.
  * **Strukturovaná reprezentace znalostí** – CSP, Scheduling, Situation calculus, STRIPS.
  * **Neurčitost v AI** – maximalizace očekávané utility, Bayesovo pravidlo, Bayesovské sítě.
  * **Řešení POMDP** – PBVI, HSVI.

===== 1. Známé systémy umělé inteligence =====

**DeepBlue, Watson, AlphaGo, Eliza, Shakey, DQN**

==== DeepBlue ====
  * **Vývojce**: IBM  
  * **Účel**: Hraní šachů.  
  * **Popis**: První počítač, který v roce 1997 porazil světového šachového mistra Garryho Kasparova. Používal kombinaci **brute-force vyhledávání**, **Alpha-Beta prořezávání** a **heuristických pravidel** trénovaných na hrách šachových velmistrů. Byl implementován na superpočítači s paralelním zpracováním a databází zahájení.  
  * **Význam**: Ukázal, že stroj může porazit člověka v komplexní strategické hře a otevřel cestu dalším AI v herních aplikacích.

==== Watson ====
  * **Vývojce**: IBM  
  * **Účel**: Řešení otázek v přirozeném jazyce (NLP).  
  * **Popis**: Zvítězil v soutěži *Jeopardy!* v roce 2011 nad nejlepšími lidskými hráči. Využíval **zpracování přirozeného jazyka**, **analýzu velkých dat**, **strojové učení** a **vyhledávání informací**.  
  * **Význam**: Demonstroval schopnost AI pracovat s jazykem a znalostmi, otevřel cestu pro využití AI v oblastech jako medicína, právní poradenství nebo finance.

==== AlphaGo ====
  * **Vývojce**: DeepMind (Google)  
  * **Účel**: Hraní deskové hry Go.  
  * **Popis**: V roce 2016 porazil světového mistra Lee Sedola. Kombinoval **Monte Carlo Tree Search**, **neuronové sítě** a **reinforcement learning**. AlphaGo Zero, jeho pozdější verze, se učil hrát zcela sám bez lidských dat.  
  * **Význam**: Překonal hranice tehdejší AI v oblasti her a ukázal schopnost učit se bez lidských vzorů.

==== Eliza ====
  * **Vývojce**: Joseph Weizenbaum (1960s)  
  * **Účel**: Simulace psychoterapeuta.  
  * **Popis**: Jeden z prvních chatbotů, založený na **pattern matchingu** a klíčových slovech. Uměl reagovat generickými frázemi na vstupy typu „Jsem smutný“ apod.  
  * **Význam**: Ukázal, že lidé mohou přisuzovat strojům lidské vlastnosti (**Eliza efekt**). Nešlo o skutečnou AI, ale psychologický experiment.

==== Shakey ====
  * **Vývojce**: SRI International (1966–1972)  
  * **Účel**: Autonomní robot s pohybem a plánováním.  
  * **Popis**: První robot, který kombinoval **vnímání prostředí**, **plánování** (jazyk STRIPS: P, A, I, G), a **vykonávání úloh**. Uměl se sám rozhodnout, jak splnit zadaný cíl (např. přesunout krabici). Implementován v jazyce Lisp, představil také první využití **A*** algoritmu.  
  * **Význam**: Zakladatel robotiky a plánování v umělé inteligenci.

==== DQN (Deep Q-Network) ====
  * **Vývojce**: DeepMind (2013)  
  * **Účel**: Učení se hrát videohry bez znalosti pravidel.  
  * **Popis**: Kombinuje **Q-learning** s **hlubokými neuronovými sítěmi**. AI se učila hrát Atari hry (např. Pong, Breakout) pouze pozorováním obrazovky a získáváním odměn. Využívá **Stochastic Gradient Descent** k optimalizaci politiky.  
  * **Význam**: Ukázal, že AI může samostatně zvládnout úkoly jen na základě surových dat (pixely, odměny). Položil základ pro další metody v oblasti her i simulací.

===== 2. Formální reprezentace problému AI =====

**problém mnohorukého banditu, MDP, POMDP, hra v rozšířené formě**

Formální modelování rozhodovacích úloh je základním stavebním kamenem inteligentních systémů. Každý typ problému umožňuje jinou míru pozorování a interakce s prostředím.

==== Problém mnohorukého banditu (Multi-Armed Bandit, MAB) ====

MAB modeluje situaci, kdy agent volí mezi akcemi (pažemi), z nichž každá přináší náhodnou odměnu s neznámým očekáváním. Cílem je maximalizovat kumulovaný výnos.

=== Formální definice: ===

  * **Akce**: $A = \{a_1, \dots, a_k\}$
  * **Odměny**: pro každé $a_i$ náhodná proměnná $r_t^{(i)} \sim \nu_i$ s očekáváním $\mu_i$
  * **Očekávaná hodnota akce**:  
    $$
    q_*(a) \doteq \mathbb{E}[R_t \mid A_t = a], \quad \forall a \in \{1, \dots, k\}
    $$
  * **Cíl**: 
    $$
    \max_{\pi} \mathbb{E} \left[ \sum_{t=1}^T r_t \right]
    $$
  * Tato formalizace popisuje prostředí, kde agent volí z konečného množství akcí a pro každou dostává stochastickou odměnu, jejímž očekáváním se snaží řídit své rozhodování s cílem maximalizovat dlouhodobý zisk.

=== Algoritmy: ===

  * **Greedy** – vždy vybírá akci s nejvyšším známým odhadem odměny:
    $$
    a_t = \text{argmax}_a Q(a)
    $$

  * **Epsilon-Greedy** – s pravděpodobností $1 - \epsilon$ volí nejlepší známou akci, s $\epsilon$ náhodně:
    $$
    a_t = \begin{cases}
    \text{argmax}_a Q(a) & \text{s pravd. } 1 - \epsilon \\
    \text{náhodná akce} & \text{s pravd. } \epsilon
    \end{cases}
    $$

  * **UCB (Upper Confidence Bound)** – zohledňuje nejen očekávanou odměnu, ale i nejistotu v důsledku dosavadního počtu výběrů:
    $$
    A_t \doteq \arg\max_a \left[ Q_t(a) + c \sqrt{\frac{\log t}{N_t(a)}} \right]
    $$
  * kde:
    * $Q_t(a)$ je odhad očekávané odměny pro akci $a$ ve čase $t$,
    * $N_t(a)$ je počet výběrů akce $a$ do času $t$,
    * $c$ je parametr určující míru explorace (čím větší $c$, tím více prozkoumáváme nové akce).

  * **Nestacionární MAB** – modeluje časově proměnná očekávání $\mu_i(t)$. Používá se např. vážený klouzavý průměr nebo diskontování starších dat.

=== Poznámka: ===

  * Problém odhaluje **exploration–exploitation dilema**.
  * Exploration = zkoumání nových akcí,
  * Exploitation = výběr nejlepší doposud známé akce.
  * Greedy přístup vede k **exploitingu**, epsilon-Greedy a UCB kombinují **exploring** a **exploiting**.

==== MDP (Markovský rozhodovací proces) ====

MDP je základní model sekvenčního rozhodování v prostředí, kde je aktuální stav plně pozorovatelný. Klíčovým rysem je **Markovova vlastnost** – budoucí stav závisí pouze na současném stavu a akci, nikoliv na celé minulosti.

{{:statnice:bakalar:pasted:20250529-115146.png?300}}

=== Formální definice: ===

MDP je pětice:
$$
(S, A, P, R, \gamma)
$$
  * kde:
    * **$S$** – konečná množina stavů,
    * **$A$** – konečná množina akcí,
    * **$P(s'|s,a)$** – přechodová pravděpodobnost: pravděpodobnost přechodu do stavu $s'$ po provedení akce $a$ ve stavu $s$,
    * **$R(s,a)$** – očekávaná odměna za provedení akce $a$ ve stavu $s$,
    * **$\gamma \in [0,1)$** – diskontní faktor: určuje, jak silně jsou preferovány okamžité odměny před budoucími.

=== Cíl agenta: ===

Nalézt **politiku** $\pi: S \to A$, která maximalizuje očekávaný kumulovaný výnos:
$$
V^\pi(s) = \mathbb{E}_\pi \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \gamma^t R(s_t, a_t) \mid s_0 = s \right]
$$

Politika může být **deterministická** (každý stav má přesně jednu akci) nebo **stochastická** (každé akci ve stavu je přiřazena pravděpodobnost).

=== Hodnotové funkce: ===

  * **Stavová hodnota** $V^\pi(s)$ – očekávaný výnos při dodržování politiky $\pi$ ze stavu $s$.
  * **Akční hodnota** $Q^\pi(s,a)$ – očekávaný výnos při provedení akce $a$ ve stavu $s$ a dalším následování politiky $\pi$.

Optimální politika $\pi^*$ maximalizuje hodnotu ve všech stavech:
  * $V^*(s) = \max_\pi V^\pi(s)$
  * $Q^*(s,a) = \max_\pi Q^\pi(s,a)$

=== Bellmanovy rovnice: ===

Bellmanovy rovnice vyjadřují vztah mezi hodnotou daného stavu (nebo akce) a hodnotami následných stavů, čímž umožňují rekurzivně dopočítat optimální strategii jako součet okamžité odměny a očekávané budoucí hodnoty.

Pro optimální hodnoty platí:
$$
V^*(s) = \max_{a \in A} \left[ R(s,a) + \gamma \sum_{s'} P(s'|s,a) V^*(s') \right]
$$
$$
Q^*(s,a) = R(s,a) + \gamma \sum_{s'} P(s'|s,a) \max_{a'} Q^*(s',a')
$$
=== Algoritmy: ===

  * **Value Iteration** – opakovaně aktualizuje $V(s)$ podle Bellmanovy rovnice, dokud nedojde ke konvergenci.
  * **Policy Iteration** – střídavě provádí evaluaci politiky ($V^\pi$) a zlepšuje ji výběrem akcí s vyšší hodnotou.
  * **Q-learning (off-policy)** – učí přímo $Q(s,a)$ ze vzorků přechodů bez znalosti $P$:
    $$
    Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha \left[ r + \gamma \max_{a'} Q(s',a') - Q(s,a) \right]
    $$
  * **SARSA (on-policy)** – upravuje $Q(s,a)$ na základě akce vybrané politikou:
    $$
    Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha \left[ r + \gamma Q(s', a') - Q(s,a) \right]
    $$

MDP poskytuje základní rámec pro plánování i učení z interakce, a jeho rozšíření vedla k hlubokému rozvoji oblasti reinforcement learningu.

==== POMDP (Partiálně pozorovatelný Markovský rozhodovací proces) ====

POMDP popisuje rozhodování v prostředí, kde stav není přímo pozorovatelný, ale agent dostává pouze nepřímé signály – pozorování. Musí si tedy udržovat **belief**, což je pravděpodobnostní rozdělení nad možnými stavy.

=== Formálně: ===

POMDP je sedmice:
$$
(S, A, P, R, \Omega, O, \gamma)
$$
  * **$S$** – stavový prostor  
  * **$A$** – množina akcí  
  * **$P(s'|s,a)$** – přechodová pravděpodobnost  
  * **$R(s,a)$** – funkce odměny  
  * **$\Omega$** – prostor pozorování  
  * **$O(o|s',a)$** – pravděpodobnost pozorování $o$ po přechodu do stavu $s'$  
  * **$\gamma \in [0,1)$** – diskontní faktor

=== Belief: ===

**Belief $b$** je distribuční odhad stavu systému. Po akci $a$ a pozorování $o$ se aktualizuje podle:
$$
b'(s') = \eta \cdot O(o|s',a) \sum_{s \in S} P(s'|s,a) \cdot b(s)
$$
kde $\eta$ je normalizační konstanta zajišťující, že nový belief je opět pravděpodobnostní rozdělení.

=== Cíl agenta: ===

Nalézt **politiku** $\pi: \mathcal{B} \to A$, která každému beliefu přiřadí akci. Cílem je maximalizovat očekávaný kumulovaný výnos:
$$
V^\pi(b) = \mathbb{E} \left[ \sum_{t=0}^{\infty} \gamma^t R(s_t, a_t) \mid b_0 = b \right]
$$
kde očekávání se bere přes možné trajektorie stavů, pozorování a akcí, které vyplývají z původního beliefu a politiky.

=== Hodnotová funkce: ===

  * **Belief value function $V(b)$** – očekávaný výnos z beliefu $b$ při dodržování politiky $\pi$
  * Je to rozšíření hodnotové funkce z MDP, ale definované na prostoru pravděpodobnostních rozdělení místo diskrétních stavů.

POMDP model je velmi silný, ale výpočetně náročný, protože belief space je spojitý a vysokodimenzionální – řešení se často aproximuje pomocí metod jako **PBVI** nebo **HSVI**.

==== Algoritmy pro řešení POMDP: ====
Protože stav není přímo známý, POMDP se transformuje na MDP v prostoru beliefů.
  * **Value Iteration over belief space**  
    * Hodnotová funkce $V(b)$ je definována nad spojitým prostorem všech beliefů (pravděpodobnostních rozdělení).  
    * U diskrétních POMDP je $V(b)$ piecewise-lineární a konvexní, ale výpočetně velmi náročná.
  * **Point-based Value Iteration (PBVI)**  
    * Aproximuje $V(b)$ jen na konečné množině reprezentativních beliefů.  
    * Redukuje výpočetní náročnost a je vhodná pro větší stavové prostory.
  * **Monte Carlo metody (např. POMCP)**  
    * Používají vzorkování a simulace místo explicitního výpočtu.  
    * **POMCP (Partially Observable Monte Carlo Planning)** kombinuje **MCTS** (Monte Carlo Tree Search) s postupnou aktualizací beliefu pomocí vzorků, bez nutnosti modelovat celý přechodový systém.
  * **Policy Search**  
    * Namísto hodnotové funkce přímo hledá politiku.  
    * Obvykle používá parametrizované politiky (např. neuronové sítě) a **policy gradient** metody k optimalizaci očekávané odměny.

POMDP je obecně PSPACE-těžký problém, a proto se v praxi často používají přibližné metody. Přesto je klíčový v oblastech s částečnou observací, jako je robotika, zdravotnictví, plánování dialogu nebo navigace v neznámém prostředí.

==== Hra v rozšířené formě (Extensive-Form Games, EFGs) ====

Extensive-form games (EFGs) reprezentují vícekrokové rozhodovací situace pro více hráčů, často s neúplnou informací nebo náhodnými událostmi. Typicky jsou znázorňovány jako **stromy hry** (game trees).

  * **Strom rozhodnutí** – každý uzel odpovídá rozhodnutí určitého hráče, hrany reprezentují možné akce.  
    * Strom je obvykle **konečný** – hra má předem daný časový horizont (na rozdíl od MDP).
  * **Informované množiny (Information sets)** – hráč si není vždy vědom, v jakém přesném uzlu stromu se nachází (např. kvůli nedokonalé informaci).  
    * Skupina uzlů, mezi kterými nerozlišuje, tvoří jeho informační množinu.
  * **Výplaty (utilities)** – definované pouze v **terminálních uzlech** stromu hry.  
    * Každý hráč má přiřazen užitek v závislosti na dosaženém výsledku.
  * **Dynamika** – každý stav má přiřazeného hráče (včetně přírody), který v něm rozhoduje o dalším kroku.  
    * Hra tak popisuje střídání rozhodnutí různých aktérů (hráčů).

Hry v rozšířené formě se používají v oblasti víceagentních systémů, ekonomie, plánování a studia strategie. Vzhledem ke složitosti neúplné informace vyžadují často speciální algoritmy jako **regret minimization** nebo **Nashova rovnováha**.

===== 3. Metody prohledávání stavového prostoru =====

**DFS, BFS, ID-DFS, Dijkstra, A***

Prohledávání stavového prostoru je klíčovou technikou v umělé inteligenci, používanou např. při řešení hádanek, plánování, nebo hledání cest v grafech. Každá metoda má specifické chování, výhody a vhodné aplikace v závislosti na charakteru prostoru.

==== DFS (Depth-First Search – prohledávání do hloubky) ====

Prozkoumává nejprve co nejhlubší uzly, dokud nenarazí na cíl nebo slepou větev.
  * **Algoritmus**:
    * Vlož počáteční stav na zásobník.
    * Opakuj:
      * Odeber vrchol ze zásobníku.
      * Pokud je cílový, skonči.
      * Jinak rozšiř následníky a vlož je na zásobník.
  * **Vlastnosti**:
    * Paměť: $O(d)$ pro hloubku $d$
    * Nenajde nejkratší cestu
    * Riziko zacyklení (nutno pamatovat navštívené stavy)

==== BFS (Breadth-First Search – prohledávání do šířky) ====

Rozšiřuje stavy v pořadí jejich vzdálenosti od počátečního.
  * **Algoritmus**:
    * Vlož počáteční stav do fronty.
    * Opakuj:
      * Odeber vrchol z fronty.
      * Pokud je cílový, skonči.
      * Jinak rozšiř následníky a vlož je do fronty.
  * **Vlastnosti**:
    * Paměť: $O(b^d)$, kde $b$ je branching factor a $d$ hloubka řešení
    * Najde optimální cestu (pro jednotné náklady)
    * Náročné na paměť

==== ID-DFS (Iterative Deepening DFS) ====

Kombinuje výhody DFS a BFS – využívá malou paměť DFS, ale garantuje nalezení optimální cesty jako BFS.
  * **Algoritmus**:
    * Pro $l = 1, 2, 3, \dots$:
      * Proveď DFS s omezením hloubky $l$
  * **Vlastnosti**:
    * Paměť $O(d)$
    * Najde optimální řešení při jednotných nákladech
    * Časová rezie díky opakovanému průchodu, ale asymptoticky efektivní


==== Dijkstra ====

Hledá nejkratší cestu v grafu s nezápornými náklady hran.

  * **Algoritmus**:
    - Inicializuj vzdálenost všech uzlů na nekonečno, počáteční uzel na 0.
    - Vlož všechny uzly do prioritní fronty.
    - Opakuj:
      - Vyber uzel $u$ s nejmenší vzdáleností.
      - Pro každého souseda $v$: pokud $\text{dist}[v] > \text{dist}[u] + \text{cost}(u,v)$, aktualizuj.

  * **Vlastnosti**:
    - Garantuje optimální řešení.
    - Efektivní při známých a fixních nákladech.
    - Funguje v obecné třídě grafů s nezápornými náklady.

  * Dijkstra je speciální případ Uniform-Cost Search a může být použit k nalezení nejkratší cesty z jednoho bodu do všech ostatních.

==== A* (A-Star) ====

Rozšíření Dijkstry o heuristiku $h(n)$, která odhaduje náklady z uzlu $n$ do cíle.

  * **Algoritmus**:
    - Inicializuj frontu uzlů s prioritou $f(n) = g(n) + h(n)$.
    - Opakuj:
      - Odeber uzel s nejmenším $f(n)$.
      - Pokud je cílový, skonči.
      - Jinak rozšiř následníky a aktualizuj jejich $g$ a $f$.

  * **Heuristiky**:
    - **Admisibilní** – nikdy nepřeceňuje skutečné náklady (tj. $h(n) \leq h^*(n)$), což zaručuje optimálnost.
    - **Konzistentní (monotónní)** – platí $h(n) \leq c(n, n') + h(n')$, což zajišťuje, že se $f$ hodnoty uzlů nemohou zmenšovat při cestě stromem.
    - **Inadmisibilní** – rychlejší, ale nemusí najít optimální řešení.

  * **Vlastnosti**:
    - Při použití konzistentní heuristiky je A* optimální a rozšiřuje minimum uzlů mezi všemi optimálními algoritmy.
    - A* expanduje všechny uzly s $f(n) < C^*$, kde $C^*$ je náklad optimální cesty.
    - Efektivita závisí na informativnosti heuristiky – čím blíže je $h(n)$ ke skutečné ceně, tím méně uzlů A* expanduje.

  * **Využití**:
    - Plánování pohybu (robotika, hry).
    - Vyhledávání cest v grafech a mapách.
    - Pokud $h(n) = 0$, chování jako Dijkstra.

  * **Iterative Deepening A***:
    - Varianta A*, která omezuje průzkum na uzly s $f(n) \leq c$ a postupně zvyšuje $c$.
    - Úspornější na paměť než klasické A*, vhodné pro velmi hluboké nebo rozsáhlé prostory.
    - Další varianty:
      * Recursive Best-First Search (RBFS)
      * Memory-bounded A* (MA*, SMA*)

==== Shrnutí heuristik ====

  * **Heuristika** je funkce $h: S \rightarrow \mathbb{R}^+$, která odhaduje zbývající náklady do cíle.
  * **Admisibilní heuristika** – nikdy nepřeceňuje náklady (optimální řešení).
  * **Konzistentní heuristika** – splňuje $h(n) \leq c(n, n') + h(n')$, zajišťuje monotónnost $f(n)$.
  * Každá konzistentní heuristika je zároveň admisibilní.
  * Neinformativní heuristika (např. $h(n) = 0$) vede na Dijkstra.
  * Příliš silná heuristika (např. $h(n) > h^*(n)$) může zrychlit výpočet, ale ztrácí optimálnost.

====== 4. Algoritmy posilovaného učení ======

**policy evaluation, policy improvement, policy iteration, value iteration, Q-learning**

===== Základní pojmy =====

  * **Politika (policy) $\pi(a|s)$** Pravděpodobnostní pravidlo, které říká, jakou akci $a$ agent zvolí ve stavu $s$. Cílem posilovaného učení je najít **optimální politiku** $\pi^*$, která maximalizuje dlouhodobou očekávanou odměnu.
  * **Hodnotová funkce stavů $V^\pi(s)$** Očekávaná diskontovaná kumulovaná odměna, kterou agent získá, pokud začne ve stavu $s$ a dále se řídí politikou $\pi$.
  * **Akční hodnotová funkce $Q^\pi(s,a)$** Očekávaná diskontovaná odměna, pokud agent ve stavu $s$ zvolí akci $a$ a poté následuje politiku $\pi$.

==== Příklady reprezentace politik ====

  * **Deterministická pravidlová** (reaktivní): //Pokud přede mnou není překážka, jdi rovně; jinak zatoč doprava.//
  * **Tabulková stochastická**: explicitně uvedené pravděpodobnosti akcí v každém stavu.
  * **Funkční aproximátor**: např. neuronová síť, která ze stavu přímo vrací distribuci akcí.

Všechny algoritmy níže pracují s prostředím modelovaným jako **Markov Decision Process (MDP)** definovaným čtveřicí $(\mathcal S,\mathcal A,P,R)$, kde $P(s'|s,a)$ je pravděpodobnost přechodu a $R(s,a,s')$ jednorázová odměna.


 

===== Policy Evaluation =====

**Úkol.** Spočítat $V^\pi(s)$ pro danou politiku $\pi$.

$$
V^\pi(s) = \sum_{a} \pi(a|s)\sum_{s'} P(s'|s,a),\bigl[R(s,a,s') + \gamma V^\pi(s')\bigr],
$$

kde $\gamma \in [0,1)$ je diskontní faktor, jenž určuje, jak moc agent „přeje“ budoucím odměnám.

**Co rovnice říká?** Hodnota stavu je průměr (podle politiky a dynamiky prostředí) okamžité odměny $R$ a hodnoty následujícího stavu, zlevněné faktorem $\gamma$.

**Proč je to užitečné?**

**Jak se to počítá v praxi?** Policy evaluation řešíme vždy jen pro //jednu// konkrétní politiku, nikoliv pro celou (často nekonečnou) množinu všech možných politik.

  * **Malé & známé MDP:** rovnici lze vyřešit iterací nebo řešením soustavy lineárních rovnic.
  * **Velké / neznámé MDP:** hodnotu $V^\pi$ odhadujeme ze vzorků – Monte Carlo nebo TD(0), TD($\lambda$). Znalost $V^\pi$ říká, „kolik stojí“ být v každém stavu, pokud se budu chovat podle $\pi$. Je to klíčový stavební kámen pro zlepšování politik.

> **Příklad (Bludiště).** Pro pevně danou politiku chození náhodně určíme, kolik kroků (-odměn) v průměru chybí do cíle z každého políčka.


 

===== Policy Improvement =====

**Úkol.** Z $V^\pi$ vytvořit lepší politiku $\pi'$:

$$
\pi'(s) = \arg\max_{a}\sum_{s'} P(s'|s,a),\bigl[R(s,a,s') + \gamma V^\pi(s')\bigr].
$$

**Co rovnice říká?** V každém stavu vyber akci s největší očekávanou hodnotou budoucích odměn vzhledem k aktuálnímu odhadu $V^\pi$.

**Proč je to užitečné?** Zaručeně získáme politiku, která není horší než $\pi$ (tzv. policy improvement theorem).

> **Příklad.** Pokud v rohu bludiště vede akce //nahoru// k vyšší hodnotě než //doleva//, začneme v tomto stavu preferovat //nahoru//.


 

==== Jak policy improvement funguje v praxi ====

  - **Start:** vyber libovolnou počáteční politiku π₀ (třeba náhodnou).
  - **Policy evaluation:** odhadni hodnoty V^{π₀}.
  - **Greedy krok:** pro každý stav s spočítej očekávané výnosy jednotlivých akcí a zvol akci s nejvyšší hodnotou ⇒ vznikne nová politika π₁.
  - **Opakuj:** pokud se π₁ liší od π₀, vrať se na krok 2 (nyní s π₁). Jakmile se politika přestane měnit, dospěli jsme k optimu.

> Klíčové: **policy improvement je operátor** //„vezmi existující politiku → vrať o kousek lepší“//. Nehledá všechny politiky, jen lokálně zlepší tu, kterou dodáš.


 

=== Aproximované a stochastické politiky ===

Pokud je politika **parametrizovaná** (např. neuronová síť $\pi\_{\theta}(a\mid s)$ nebo soft-max nad lineárním modelem), //greedy přepsání tabulky nahradíme gradientovým krokem//:

$$
\theta \leftarrow \theta + \eta,\nabla_{\theta} J(\theta), \quad \text{ kde } J(\theta)=\mathbb E_{s\sim d^{\pi},a\sim\pi_{\theta}}[Q^{\pi}(s,a)].
$$

  * Gradient $\nabla_{\theta}J$ říká, **jak pohnout parametry, aby se zvýšila pravděpodobnost akcí s vyšším $Q^{\pi}(s,a)$.**
  * V praxi se počítá stochasticky (REINFORCE, actor–critic, PPO…).
  * **Intuice:** učíš síť, aby //častěji nabízela// akce, které aktuální odhad hodnot považuje za výhodné.


 

===== Policy Iteration =====

  - **Policy Evaluation:** spočti $V^\pi$
  - **Policy Improvement:** vytvoř $\pi'$
  - Opakuj s novou politikou, dokud se již nezmění.

Metoda konverguje k optimální politice $\pi^*$.

> **Použití.** Vhodné pro MDP s plným modelem; rychle konverguje v malých stavových prostorech (např. diskretizované robotické úlohy).


 

===== Value Iteration =====

Value iteration kombinuje **policy evaluation** (odhad $V$) a **policy improvement** (výběr nejlepší akce) do //jediného// kroku:

$$
V_{k+1}(s) = \max_a \sum_{s'} P(s'|s,a),\bigl[R(s,a,s') + \gamma V_k(s')\bigr].
$$

Po konvergenci se politika získá:

$$
\pi^*(s) = \arg\max_a \sum_{s'} P(s'|s,a),\bigl[R(s,a,s') + \gamma V(s')\bigr].
$$

> **Vhodné** pro velké MDP, kde je levnější aktualizovat pouze $V(s)$.


 

==== Q-learning ====

Q-learning je **model-free** off-policy algoritmus, který se učí optimální akční hodnoty $Q^*(s,a)$ přímo z interakcí s prostředím, aniž by potřeboval znát přechodové pravděpodobnosti $P(s'|s,a)$ nebo funkci odměn $R(s,a,s')$.

=== Aktualizační rovnice ===

$$
Q(s,a) \;\leftarrow\; Q(s,a) + \alpha\Bigl[r + \gamma \max_{a'} Q(s',a') - Q(s,a)\Bigr]
$$

**Vysvětlení jednotlivých termů:**

  * **$Q(s,a)$** - současný odhad hodnoty akce $a$ ve stavu $s$
  * **$\alpha \in (0,1]$** - **learning rate** (učící rychlost): jak rychle zapomínáme staré odhady ve prospěch nových zkušeností
    * Malé $\alpha$: pomalé učení, ale stabilnější konvergence
    * Velké $\alpha$: rychlé učení, ale může oscilovat
  * **$r$** - okamžitá odměna získaná po provedení akce $a$ ve stavu $s$
  * **$\gamma \in [0,1)$** - **discount factor**: jak moc vážíme budoucí odměny
    * $\gamma = 0$: agent se zajímá jen o okamžité odměny
    * $\gamma \to 1$: agent více váží dlouhodobé odměny
  * **$\max_{a'} Q(s',a')$** - odhad nejlepší možné hodnoty v následujícím stavu $s'$
  * **$r + \gamma \max_{a'} Q(s',a')$** - **TD target** (temporal difference target): náš nový odhad správné hodnoty $Q(s,a)$
  * **$r + \gamma \max_{a'} Q(s',a') - Q(s,a)$** - **TD error**: rozdíl mezi novým odhadem a současnou hodnotou

=== Intuice za rovnicí ===

Rovnice říká: //“Aktualizuj svůj odhad hodnoty akce směrem k tomu, co jsi právě zažil (okamžitá odměna) plus nejlepší hodnota, kterou očekáváš v dalším stavu.”//

=== Praktický příklad: Q-tabulka pro Gridworld ===

Představme si jednoduché bludiště 3×3, kde agent začína v levém horním rohu (0,0) a cílem je dostat se do pravého dolního rohu (2,2).

**Prostředí:**

<code>
S . .
. X .    S = start, G = goal, X = překážka, . = volné pole
. . G
</code>

**Možné akce:** ''%%↑%%'' (nahoru), ''%%↓%%'' (dolů), ''%%←%%'' (doleva), ''%%→%%'' (doprava)

**Odměny:** +10 za dosažení cíle, -1 za každý krok, -10 za náraz do zdi/překážky

**Počáteční Q-tabulka (náhodně inicializovaná)**

^Stav ^↑   ^↓   ^←   ^→   ^
|(0,0)|0.1 |-0.3|0.2 |0.4 |
|(0,1)|0.0 |0.1 |-0.1|0.3 |
|(0,2)|0.2 |0.0 |-0.2|0.1 |
|(1,0)|-0.1|0.2 |0.0 |-0.3|
|(1,2)|0.1 |0.3 |0.0 |-0.1|
|(2,0)|0.0 |-0.1|0.2 |0.4 |
|(2,1)|-0.2|0.1 |0.3 |0.0 |
|(2,2)|0.0 |0.0 |0.0 |0.0 |

**Průběh učení - příklad kroku**

**Situace:** Agent je ve stavu (0,0), zvolí akci → (doprava), dostane odměnu r = -1, dostane se do stavu (0,1).

**Parametry:** $\alpha = 0.1, \gamma = 0.9$

**Aktualizace:**  
  - Současná hodnota: $Q(0,0, →) = 0.4$ 2. Odměna: $r = -1$
  - Nejlepší hodnota v novém stavu: $\max_{a'} Q(0,1, a') = \max(0.0, 0.1, -0.1, 0.3) = 0.3$ 
  - TD target: $r + \gamma \max_{a'} Q(s',a') = -1 + 0.9 \times 0.3 = -0.73$
  - TD error: $-0.73 - 0.4 = -1.13$
  - Nová hodnota: $Q(0,0, →) = 0.4 + 0.1 \times (-1.13) = 0.287$

**Q-tabulka po několika tisících epizodách**

^Stav ^↑   ^↓   ^←   ^→   ^
|(0,0)|-8.2|5.4 |-8.1|6.1 |
|(0,1)|-7.1|6.8 |-7.8|7.2 |
|(0,2)|-6.3|7.9 |-7.2|8.1 |
|(1,0)|4.2 |-6.1|-7.9|-8.5|
|(1,2)|6.8 |8.9 |-6.4|9.2 |
|(2,0)|-5.4|-6.8|-7.1|7.8 |
|(2,1)|-4.2|-5.1|8.4 |9.7 |
|(2,2)|0.0 |0.0 |0.0 |0.0 |

**Optimální politika** 
(vyber akci s nejvyšší hodnotou): - (0,0): → (doprava) - (0,1): → (doprava) - (0,2): → (doprava) - (1,0): ↑ (nahoru) - (1,2): → (doprava) - (2,0): → (doprava) - (2,1): → (doprava)

**Klíčové vlastnosti Q-learningu**

  - **Model-free:** Nepotřebuje znát $P(s'|s,a)$ ani $R(s,a,s')$
  - **Off-policy:** Může se učit optimální politiku, i když jedná podle jiné (např. ε-greedy)
  - **Konvergence:** Za určitých podmínek (každý stav-akce navštíven nekonečněkrát, klesající learning rate) konverguje k $Q^*$
  - **Exploration vs Exploitation:** Často kombinováno s ε-greedy strategií pro vyvážení průzkumu a využívání

=== Praktické tipy ===

  * **Inicializace:** Q-tabulku obvykle inicializujeme optimisticky (vyšší hodnoty podporují exploration)
  * **Learning rate:** Často se snižuje v čase (např. $\alpha_t = \alpha_0 / (1 + t)$)
  * **Exploration:** ε-greedy s postupně klesajícím ε je standardní volba

> **Příklad použití:** Herní agent se z opakovaného hraní naučí strategii, aniž by znal pravidla hry předem. Q-learning úspěšně natrénoval agenty na Atari hry, šachy, nebo Go.

===== 5. Algoritmy pro řešení her dvou hráčů =====
Formální model dvouhráčových her s dokonalou informací popisuje interakci dvou hráčů v diskrétní sekvenci tahů.

  * **Hráči**: $P = \{1, 2\}$
  * **Historie**: $H$ je množina konečných posloupností tahů (stavů ve hře).
  * **Akce**: $A(h)$ je množina akcí dostupných v bodě $h \in H$.
  * **Terminální stavy**: $Z \subseteq H$ jsou stavy, kde hra končí.
  * **Výplatní funkce**: $u : Z \to \mathbb{R}$ přiřazuje každému koncovému stavu číselné ohodnocení (užitek).

Hra je obvykle reprezentována stromem, ve kterém se hráči střídají v rozhodování a každý uzel odpovídá jednomu rozhodovacímu bodu.

**minimax, alpha-beta prořezávání, negamax, negascout, MCTS.**

==== Minimax ====

Algoritmus pro rozhodování ve hrách s dokonalou informací (např. šachy, dáma), kde hráči střídavě maximalizují či minimalizují skóre.

**Minimax** je algoritmus pro rozhodování ve hrách s dokonalou informací, kde se hráči střídají a volí tahy s cílem maximalizovat (hráč 1) nebo minimalizovat (hráč 2) výsledné skóre.

  * **Algoritmus**:
    * Prochází herní strom do dané hloubky nebo do koncových stavů (listů).
    * Maximalizující hráč vybírá tah s nejvyšším skóre, minimalizující s nejnižším.
    * Hodnoty se rekurzivně propagují zpět ke kořeni stromu.

  * **Vlastnosti**:
    * Zaručuje optimální rozhodnutí, pokud je strom prohledán celý.
    * Exponenciální složitost $O(b^d)$, kde $b$ je počet možných tahů a $d$ hloubka.

  * **Využití**:
    * Hry pro dva hráče s nulovým součtem – např. šachy, tic-tac-toe, reversi.

==== Alpha-Beta Pruning ====

Vylepšení Minimaxu, které ořezává větve stromu, jež nemohou ovlivnit konečné rozhodnutí – významně zrychluje hledání.

  * **Algoritmus**:
    * Stejně jako Minimax, navíc udržuje dvě hodnoty:
      * **$\alpha$** – nejlepší nalezený výsledek pro Max hráče (spodní mez).
      * **$\beta$** – nejlepší nalezený výsledek pro Min hráče (horní mez).
    * Pokud během prohledávání platí $\alpha \geq \beta$, větev se **ořízne** (dál se neprohledává).

  * **Vlastnosti**:
    * Výsledky stejné jako Minimax, ale často prohledá podstatně méně uzlů (až $\sqrt{N}$ oproti $N$).
    * Maximální efektivita při dobrém pořadí tahů (nejlepší tahy prohledávány první).

  * **Využití**:
    * Hry pro dva hráče, kde je důležité rychlé prohledání (šachy, go, reversi).

==== Negamax ====

Zjednodušení Minimaxu pro hry s nulovým součtem – místo dvou funkcí (max, min) používá jednu a neguje hodnoty.

  * **Algoritmus**:
    * Reprezentuje úlohu tak, že vždy maximalizuje skóre pro "aktuálního hráče".
    * Po každém kroku neguje návratovou hodnotu: $score = -negamax(s', depth-1)$
    * Tím stačí jedna rekurzivní funkce místo dvou (min, max).

  * **Vlastnosti**:
    * Výsledky stejné jako Minimax, jednodušší implementace.
    * Snadné rozšíření o Alpha-Beta pruning.

  * **Využití**:
    * Hry s nulovým součtem, kde jsou hodnoty pro oba hráče přesně opačné.

==== Negascout (Principal Variation Search, PVS) ====

Další vylepšení algoritmu Alpha-Beta (resp. Negamax), které využívá předpoklad, že akce jsou předem dobře seřazené (např. pomocí heuristiky). Tím výrazně urychluje prohledávání.

  * **Algoritmus**:
    * První tah prohledá s plným oknem $[\alpha, \beta]$.
    * Ostatní tahy nejprve s "null window" $[\alpha, \alpha+1]$ (rychlý test).
    * Pokud výsledek překročí $\alpha$, provede se "re-search" s plným oknem.
    * Průběžně aktualizuje $\alpha$ a $\beta$, stejně jako Alpha-Beta.

  * **Vlastnosti**:
    * Ještě rychlejší než Alpha-Beta při dobrém pořadí tahů (většina tahů se nemusí detailně zkoumat).
    * Výsledky stejné jako Alpha-Beta/Negamax.

  * **Využití**:
    * Šachové, reversi a jiné herní enginy, kde záleží na hlubokém a rychlém prohledávání.

==== MCTS (Monte Carlo Tree Search) ====

Heuristický algoritmus pro rozhodování v rozsáhlých nebo neúplných herních stromech, založený na náhodném simulování partií z aktuální pozice.

  * **Algoritmus** (čtyři fáze):
    * **Selection** – Prochází strom podle nejlepší známé hodnoty (UCT, Upper Confidence Bound) až k listu.
    * **Expansion** – Pokud list není terminální, přidá nový poduzel.
    * **Simulation (Playout)** – Z nového uzlu simuluje hru do konce náhodnými tahy.
    * **Backpropagation** – Výsledek simulace propaguje zpět ke kořeni (aktualizuje statistiky uzlů).

  * **Vlastnosti**:
    * Nevyžaduje heuristiku, stačí simulace.
    * Schopný vyrovnat se s obrovskými stromy, neúplnou informací a pravděpodobnostními hrami.
    * S rostoucím počtem simulací se blíží optimálnímu rozhodnutí.

  * **Využití**:
    * Hry s obrovským stavovým prostorem (Go, některé deskovky, poker, plánování akcí v AI).


===== 6. Strukturovaná reprezentace znalostí =====

**CSP, Scheduling, Situation calculus, STRIPS**

Strukturovaná reprezentace znalostí se zaměřuje na formální způsoby, jakými lze reprezentovat a manipulovat se znalostmi v počítačových systémech. Používají se různé modely a formalismy pro popis problémů, plánování a inferenci.

==== CSP - Problémy splnění omezení (Constraint Satisfaction Problems) ====

=== Definice ===

CSP jsou definovány jako trojice **(X, D, C)**, kde: 
  * **X** je množina proměnných 
  * **D** je množina domén (každá proměnná má svou doménu možných hodnot) 
  * **C** je množina omezení, která specifikují povolené kombinace hodnot pro podmnožiny proměnných

**Cíl:** Nalézt přiřazení hodnot proměnným tak, aby byla všechna omezení splněna.

=== Kompletní ukázka - Barvení grafu ===

== Zadání problému ==

Máme graf se třemi uzly A, B, C, které jsou propojené takto:

<code>
A --- B --- C
|           |
+--- --- ---+
</code>

Chceme obarvit každý uzel jednou ze tří barev tak, aby žádné dva sousední uzly neměly stejnou barvu.

== Formální definice CSP ==

**Proměnné:** X = {A, B, C}

**Domény:** - $D_A$ = {červená, zelená, modrá} - $D_B$ = {červená, zelená, modrá}\\
- $D_C$ = {červená, zelená, modrá}

**Omezení:** C = {A $\neq$ B, B $\neq$ C, A $\neq$ C} - A a B musí mít různé barvy (jsou sousední) - B a C musí mít různé barvy (jsou sousední) - A a C musí mít různé barvy (jsou sousední)

=== Řešení pomocí backtrackingu ===

**Krok 1:** Přiřadíme A = červená - Současné přiřazení: {A: červená} 
  * Splněná omezení: žádná (zatím nemáme hodnoty pro B, C)

**Krok 2:** Zkusíme B = červená - Současné přiřazení: {A: červená, B: červená} 
  * Kontrola omezení A $\neq$ B: NESPLNĚNO (červená = červená) **Backtrack** 
  * zrušíme B = červená

**Krok 3:** Zkusíme B = zelená 
  * Současné přiřazení: {A: červená, B: zelená} 
  * Kontrola omezení A $\neq$ B: SPLNĚNO (červená $\neq$ zelená)

**Krok 4:** Zkusíme C = červená  
  * Současné přiřazení: {A: červená, B: zelená, C: červená} 
  * Kontrola omezení: - A $\neq$ B: SPLNĚNO (červená $\neq$ zelená) 
  * B $\neq$ C: SPLNĚNO (zelená $\neq$ červená) 
  * A $\neq$ C: NESPLNĚNO (červená = červená) **Backtrack** 
  * zrušíme C = červená

**Krok 5:** Zkusíme C = zelená - Současné přiřazení: {A: červená, B: zelená, C: zelená} 
  * Kontrola omezení B $\neq$ C: NESPLNĚNO (zelená = zelená) - **Backtrack**
  * zrušíme C = zelená

**Krok 6:** Zkusíme C = modrá - Současné přiřazení: {A: červená, B: zelená, C: modrá} 
  * Kontrola všech omezení: 
  * A $\neq$ B: SPLNĚNO (červená $\neq$ zelená)
  * B $\neq$ C: SPLNĚNO (zelená $\neq$ modrá) 
  * A $\neq$ C: SPLNĚNO (červená $\neq$ modrá) - **ŘEŠENÍ NALEZENO!**

== Nalezené řešení ==
  * **A = červená**
  * **B = zelená**
  * **C = modrá**

== Inference techniky == 
- **Forward checking:** Po přiřazení hodnoty odstraň nekompatibilní hodnoty ze sousedních proměnných 
- **Arc consistency:** Zajisti, aby pro každou hodnotu v doméně existovala kompatibilní hodnota v sousedních proměnných 

AC-3 algoritmus využívá arc consistency, asi nejlepší vysvětlení je zde:
{{youtube>4cCS8rrYT14?}}

=== Další příklady CSP ===

  * **Sudoku:** Proměnné = políčka, domény = čísla 1-9, omezení = unikátnost v řádcích/sloupcích/čtvercích
  * **N-queens:** Proměnné = pozice dam, domény = sloupce, omezení = žádné dva útočící
  * **Rozvrh hodin:** Proměnné = hodiny, domény = časy/místnosti, omezení = kolize učitelů/studentů

==== Scheduling ====

Plánování je specifický typ CSP, kde je cílem přiřadit činnosti časovým slotům s ohledem na omezení jako kapacity zdrojů a precedenční vztahy.

**Ukázka – rozvrh**: Aktivity: $X = \{\text{matematika}, \text{angličtina}\}$\\
Domény: časové sloty $\{8:00, 9:00\}$\\
Omezení: nelze mít matematiku a angličtinu zároveň → $\text{matematika} \neq \text{angličtina}$

==== Situation Calculus ====

Situation calculus je formální jazyk pro popis dynamických systémů. Používá se k popisu efektů akcí a plánování.

**Základní notace**: - $do(a, s)$: výsledek vykonání akce $a$ ve stavu $s$, - $Holds(p, s)$: predikát $p$ platí ve stavu $s$, - $Poss(a, s)$: akce $a$ je možná ve stavu $s$

**Ukázka**:

<code>

Holds(At(Robot, Room1), S0)
Poss(Move(Robot, Room1, Room2), S) ⟺ Holds(At(Robot, Room1), S)
Holds(At(Robot, Room2), do(Move(Robot, Room1, Room2), S))
</code>

==== STRIPS ====

STRIPS (Stanford Research Institute Problem Solver) je formalismus pro reprezentaci plánovacích problémů. Každá akce má:

  * **Preconditions**: podmínky pro použití akce
  * **Add list**: co bude po akci pravdivé
  * **Delete list**: co přestane platit

**Ukázka – akce “přesuň robota z místnosti A do B”**:

<code>

Action: Move(A, B)
Preconditions: At(Robot, A), Connected(A, B)
Add: At(Robot, B)
Delete: At(Robot, A)
</code>

Cílem je najít posloupnost akcí, která převede výchozí stav na cílový (např. Robot je v místnosti C).

===== 7. Neurčitost v AI =====

**maximalizace očekávané utility, Bayesovo pravidlo, Bayesovské sítě.**

Neurčitost v umělé inteligenci se objevuje v situacích, kdy nemáme úplné nebo přesné informace o stavu světa. V takových případech je třeba rozhodovat na základě pravděpodobnostních modelů. Hlavními nástroji pro práci s neurčitostí jsou Bayesovo pravidlo, maximalizace očekávané utility a Bayesovské sítě.

==== Bayesovo pravidlo ====

Bayesovo pravidlo umožňuje aktualizovat pravděpodobnost hypotézy na základě nových dat. Jeho matematická formulace je:

$$
P(H|D) = \frac{P(D|H) \cdot P(H)}{P(D)}
$$

kde: - $H$ je hypotéza, - $D$ jsou data, - $P(H|D)$ je posteriorní pravděpodobnost, - $P(D|H)$ je pravděpodobnost dat za předpokladu platnosti hypotézy (likelihood), - $P(H)$ je apriorní pravděpodobnost hypotézy, - $P(D)$ je marginální pravděpodobnost dat.

==== Maximalizace očekávané utility ====

Cílem rozhodování pod neurčitostí je zvolit akci, která maximalizuje očekávanou užitečnost:

$$
EU(a) = \sum_s P(s|a) \cdot U(s,a)
$$

kde: - $a$ je akce, - $s$ je možný stav světa, - $P(s|a)$ je pravděpodobnost stavu $s$ za předpokladu akce $a$, - $U(s,a)$ je užitečnost akce $a$ ve stavu $s$.

==== Bayesovské sítě ====

Bayesovské sítě (též grafické modely) jsou orientované acyklické grafy, ve kterých: - vrcholy reprezentují náhodné proměnné, - hrany reprezentují podmíněné závislosti mezi proměnnými, - každá proměnná má přidruženou podmíněnou pravděpodobnostní tabulku (CPT).

Sítě umožňují efektivní reprezentaci a výpočet složitých pravděpodobnostních modelů a jsou základem pro inferenci (zjištění pravděpodobností nepozorovaných proměnných) a rozhodování.

=== Příklad Bayesovské sítě ===
<tikzjax>
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[->, >=stealth, node distance=2cm, thick]
  \tikzstyle{node} = [circle, draw, minimum size=1.2cm]

  \node[node] (A) {A};
  \node[node, right of=A] (B) {B};
  \node[node, below of=A] (C) {C};
  \node[node, right of=C] (D) {D};

  \draw (A) -- (B);
  \draw (A) -- (C);
  \draw (B) -- (D);
  \draw (C) -- (D);
\end{tikzpicture}
\end{document}
</tikzjax>
Tato Bayesovská síť ilustruje následující závislosti mezi náhodnými proměnnými:

  * **A** je kořenová proměnná (nemá žádné předchůdce), která ovlivňuje:
    * **B**, tj. $P(B | A)$
    * **C**, tj. $P(C | A)$
  * **D** je ovlivněna jak proměnnou **B**, tak i **C**, což znamená:
    * $P(D | B, C)$

Celková společná distribuční pravděpodobnost lze tedy rozepsat jako:

$$
P(A, B, C, D) = P(A) \cdot P(B | A) \cdot P(C | A) \cdot P(D | B, C)
$$


==== Naivní Bayesův klasifikátor ====

Naivní Bayesův klasifikátor je jednoduchý pravděpodobnostní klasifikátor založený na Bayesově teorému s **naivním** předpokladem **podmíněné nezávislosti** příznaků dané třídy.

=== Formální popis: ===

Nechť $C$ je náhodná proměnná reprezentující třídu a $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ jsou příznaky. Pomocí Bayesova pravidla:

$$
P(C|X) = \frac{P(C) \cdot P(X|C)}{P(X)}
$$

Za předpokladu nezávislosti:

$$
P(X|C) = \prod_{i=1}^n P(X_i | C)
$$

Klasifikace se provádí výběrem třídy $c$, která maximalizuje posteriorní pravděpodobnost:

$$
\hat{c} = \arg\max_{c \in \mathcal{C}} P(C=c) \prod_{i=1}^n P(X_i | C=c)
$$

Použití: - textová klasifikace (spam, sentiment), - diagnostika v medicíně, - doporučovací systémy.



==== Skrytý Markovův model (Hidden Markov Model, HMM) ====

HMM je speciální typ Bayesovské sítě pro **časově závislé procesy**, kde:

  * máme posloupnost **skrytých stavů** $Z_1, Z_2, \ldots, Z_T$,
  * z každého stavu je generována pozorovatelná veličina $X_1, X_2, \ldots, X_T$,
  * každý stav závisí pouze na předchozím: $P(Z_t | Z_{t-1})$,
  * každé pozorování závisí pouze na současném stavu: $P(X_t | Z_t)$.

=== Společná pravděpodobnost: ===

$$
P(Z_{1:T}, X_{1:T}) = P(Z_1) \cdot \prod_{t=2}^T P(Z_t | Z_{t-1}) \cdot \prod_{t=1}^T P(X_t | Z_t)
$$

Použití: - rozpoznávání řeči, - analýza časových řad, - strojový překlad, - sledování objektů.

Hlavní algoritmy: - **Forward-backward** (výpočet pravděpodobností), - **Viterbiho algoritmus** (nejpravděpodobnější posloupnost), - **Baum-Welch** (EM algoritmus pro trénink).

===== 8. Řešení POMDP =====

**PBVI, HSVI**

Řešení problémů částečně pozorovatelných Markovových rozhodovacích procesů (POMDP) spočívá v nalezení optimální politiky, která maximalizuje očekávaný výnos na základě neúplné informace o stavu systému. V POMDP je totiž skutečný stav systému skrytý (latentní) a rozhodnutí je činěno na základě tzv. věrohodnostního rozdělení (belief state) – pravděpodobnostního rozdělení přes možné stavy daného systému.

POMDP je formálně definován jako sedmice $⟨S, A, T, R, Ω, O, \gamma⟩$, kde: - $S$ je množina stavů, - $A$ je množina akcí, - $T(s'|s,a)$ je přechodová pravděpodobnost, - $R(s,a)$ je funkce odměny, - $Ω$ je množina možných pozorování, - $O(o|s',a)$ je pravděpodobnost pozorování $o$ po provedení akce $a$ a přechodu do stavu $s'$, - $\gamma$ je diskontní faktor.

Hodnotová funkce pro POMDP je definována nad věrohodnostními stavy a je konvexní. Přesné řešení POMDP je výpočetně neproveditelné pro větší problémy, proto se používají aproximační metody. Mezi ně patří:

==== Point-Based Value Iteration (PBVI) ====

PBVI aproximuje hodnotovou funkci výběrem reprezentativní množiny víry (belief points) $B = \{b_1, b_2, ..., b_n\}$, a iterativně aktualizuje hodnotovou funkci pouze v těchto bodech.

Algoritmus PBVI: 1. Inicializuj hodnotovou funkci $V_0$ jako nulovou. 2. Pro každou víru $b \in B$ prováděj: - $V_{i+1}(b) = \max_{a \in A} \left[ R(b, a) + \gamma \sum_{o \in Ω} P(o|b,a) V_i(b_{a,o}) \right]$, kde $b_{a,o}$ je aktualizovaná víra po akci $a$ a pozorování $o$.

Tímto způsobem PBVI konstruuje aproximaci optimality pomocí hodnotové funkce složené z tzv. $\alpha$-vektorů.

==== Heuristic Search Value Iteration (HSVI) ====

HSVI je vylepšením PBVI, které využívá heuristické řízení výpočtu pro zlepšení efektivity. HSVI zachovává horní a dolní meze hodnotové funkce a iterativně je zpřesňuje pouze v místech, která ovlivňují politiku.

Algoritmus HSVI: 1. Udržuje dolní odhad $V^-$ a horní odhad $V^+$ hodnotové funkce. 2. Používá hloubkové prohledávání stromu víry řízené heuristikou k výběru větví, kde je největší rozdíl mezi $V^+$ a $V^-$. 3. Provádí zálohování hodnot a zpřesňuje odhady na cestě k listům stromu.

HSVI kombinuje výpočetní efektivitu s garancemi na kvalitu aproximace: algoritmus konverguje k ε-optimální politice, pokud se rozdíl mezi horním a dolním odhadem zmenší pod ε.

Oba algoritmy se osvědčily pro řešení středně velkých POMDP problémů, kde přesné metody selhávají kvůli výpočetní neúnosnosti.
Trace: • b4b01jag • b0b36pjv • b0b39pgr • be4b39vgo • exams • b4b35osy
Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code
