statnice:bakalar:b4b33alg

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
==== Základní algoritmy a datové struktury pro vyhledávání a řazení. Vyhledávací stromy, rozptylovací tabulky. Prohledávání grafu. Úlohy dynamického programování. Asymptotická složitost a její určování. ====

[[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/82/p4682306.html|B4B33ALG]] [[https://cw.fel.cvut.cz/b211/courses/b4b33alg/start|Webové stránky předmětu]]

  * **Řád růstu funkcí** – asymptotická složitost algoritmu.
  * **Rekurze** – stromy, binární stromy, prohledávání s návratem.
  * **Fronta, zásobník** – průchod stromem/grafem do šířky/hloubky.
  * **Binární vyhledávací stromy** – AVL a B-stromy.
  * **Algoritmy řazení** – Insert Sort, Selection Sort, Bubble Sort, QuickSort, Merge Sort, Halda, Heap Sort, Radix Sort, Counting Sort.
  * **Dynamické programování** – struktura optimálního řešení, odstranění rekurze. Nejdelší společná podposloupnost, optimální násobení matic, problém batohu.
  * **Rozptylovací tabulky (Hashing)** – hashovací funkce, řešení kolizí, otevřené a zřetězené tabulky, double hashing, srůstající tabulky, univerzální hashování.

===== 1. Řád růstu funkcí =====
  * asymptotická složitost algoritmu
  * slouží k odhadu doby běhu algoritmu vzhledem k velikosti vstupu

=== Asymptotická složitost ===
Je způsob klasifikace algoritmů podle chování při rostoucím množství vstupních dat. Důležité pro srovnání algoritmů nezávisle na implementaci a výpočetní síle.

**Horní asymptotický odhad (velké O):**  
$f(n) \in O(g(n))$  
→ funkce $f$ je shora ohraničena funkcí $g$, až na konstantu.  
Formálně:  
$\exists c > 0, n_0 > 0 : \forall n > n_0 : f(n) \leq c \cdot g(n)$

**Dolní asymptotický odhad (velká Ω):**  
$f(n) \in \Omega(g(n))$  
→ funkce $f$ je zdola ohraničena funkcí $g$.  
Formálně:  
$\exists c > 0, n_0 > 0 : \forall n > n_0 : f(n) \geq c \cdot g(n)$

**Těsný asymptotický odhad (velké Θ):**  
$f(n) \in \Theta(g(n))$  
→ funkce $f$ je ohraničena funkcí $g$ shora i zdola.  
Formálně:  
$f(n) \in O(g(n))$ a zároveň $f(n) \in \Omega(g(n))$

**Poznámka:**  
Třída složitosti obsahuje všechny algoritmy s "podobným" chováním až na konstantu.

→ Jinými slovy: asymptotická složitost nám říká, jak se bude algoritmus chovat pro opravdu velké vstupy. Nezáleží na detailech, implementaci nebo výkonu stroje – zajímá nás jen „trend“ růstu počtu operací.

=== Klasifikace dle složitosti ===
Od nejmenší po největší:
  * $O(1)$ – konstantní
  * $O(\log n)$ – logaritmická
  * $O(n)$ – lineární
  * $O(n \log n)$ – lineárně logaritmická
  * $O(n^2)$ – kvadratická
  * $O(n^3)$ – kubická
  * $O(n^k)$ – polynomiální
  * $O(k^n)$ – exponenciální
  * $O(n!)$ – faktoriálová

→ Čím „nižší“ složitost, tím lépe škáluje. Např. algoritmus s $O(n)$ zpracuje dvojnásobný vstup asi dvakrát pomaleji, ale $O(n^2)$ už čtyřikrát.

===== 2. Rekurze =====
  * Stromy, binární stromy, prohledávání s návratem

==== Stromy ====
Strom je základní datová struktura, která se skládá z kořene, uzlů a listů. Používá se pro uchovávání hierarchických dat, jako jsou například složky v počítači nebo organizační struktury.

  * Kořen je výchozí uzel stromu – ten, který nemá žádného rodiče.
  * Uzel je obecně jakýkoliv prvek stromu. Může mít žádného, jednoho nebo více potomků.
  * List je uzel, který nemá žádné potomky. Často představuje koncový bod datové struktury.

Strom je speciálním případem grafu – je to souvislý, neorientovaný graf bez cyklů, ve kterém mezi každými dvěma uzly existuje právě jedna cesta.

  * Vždy platí, že strom s $n$ uzly má přesně $n - 1$ hran.
  * Hloubka stromu je délka nejdelší cesty od kořene k některému listu. Ukazuje, jak „vysoký“ strom je.

V informatice se často používá tzv. kořenový strom, což je strom, kde začínáme právě od jednoho výchozího kořenového uzlu.

  * Stromy tedy nejsou jen teoretická struktura – často se s nimi setkáváme i při běžné práci s daty nebo při návrhu algoritmů.

==== Binární stromy ====
Binární strom je strom, kde každý uzel má maximálně dva potomky. Tito potomci se obvykle nazývají levý a pravý. Tato jednoduchá struktura je ale velmi výkonná a často používaná.

  * Binární vyhledávací strom (BST) je binární strom s uspořádanými hodnotami – pro každý uzel platí:
    * hodnota v levém podstromu je menší než hodnota v uzlu,
    * hodnota v pravém podstromu je větší než hodnota v uzlu.

  * Vyvážené BST (např. AVL stromy nebo červeno-černé stromy) udržují výšku stromu malou, obvykle logaritmickou, což zajišťuje rychlé operace jako vyhledávání, vkládání a mazání.

**Reprezentace v jazyce C:**
<code cpp>
typedef struct node {
    int data;
    struct node *left;
    struct node *right;
} Node;
</code>

  * Ve většině případů se binární stromy implementují pomocí dynamických struktur – tedy uzly spojované pomocí ukazatelů. Alternativně lze binární strom uložit i jako pole (například v algoritmu heapsort).

=== Využití ===
Stromy se široce využívají k reprezentaci hierarchických informací:
  * souborové systémy (adresáře a soubory),
  * organizační struktury firem,
  * výrazy v programovacích jazycích (každý uzel je operace, potomci jsou operandy),
  * datové struktury jako haldy, binární vyhledávací stromy a rozhodovací stromy.

Také se využívají k realizaci algoritmů, např. při prohledávání, řazení nebo optimalizaci.

==== Procházení stromem ====
Jednou z nejčastějších operací nad stromy je jejich průchod – tedy návštěva všech uzlů. Nejčastěji se k tomu používá rekurze.

Existují tři klasické způsoby průchodu binárního stromu:

  * Preorder (předřazení) – nejprve navštívíme samotný uzel, poté levý podstrom a nakonec pravý podstrom.
  * Inorder (meziřazení) – nejprve levý podstrom, pak uzel a nakonec pravý podstrom.
  * Postorder (pořadí) – nejprve levý podstrom, potom pravý podstrom a až nakonec samotný uzel.

  * Především inorder je velmi důležitý pro binární vyhledávací stromy – tento způsob průchodu totiž dává prvky seřazené podle velikosti.

==== Rekurze ====
Rekurze je programovací technika, kdy funkce volá sama sebe, aby vyřešila menší instanci téhož problému. Je velmi vhodná pro strukturované problémy – jako jsou stromy nebo dělení na menší části.

Důležitou podmínkou každé rekurze je tzv. **ukončovací podmínka**, která zabrání nekonečnému volání – tedy přetečení zásobníku.

Rekurze se typicky používá v technice **rozděl a panuj**:
  * Problém se rozdělí na několik menších podobných částí.
  * Tyto části se řeší samostatně, opět rekurzivně.
  * Výsledky se nakonec spojí do finálního řešení.

**Příklady využití rekurze:**
  * třídicí algoritmy: MergeSort, QuickSort,
  * výpočty: faktoriál, Fibonacciho čísla,
  * algoritmy nad stromy a grafy.

==== Backtracking (prohledávání s návratem) ====
Backtracking je technika, která prochází všechny možné kombinace, ale inteligentně vynechává ty, které už zjevně nevedou ke správnému řešení. Zkoušíme řešení krok za krokem a když zjistíme, že už nemůže být platné, vracíme se zpět a zkusíme jinou větev.

Tato metoda je známá z problémů jako jsou $n$-dámy nebo sudoku. Umí ušetřit obrovské množství času oproti čistému brute-force.

**Aby backtracking fungoval, musí být splněno:**
  * Můžeme zkontrolovat, zda částečné řešení je zatím platné.
    * Např. při $n$-queens lze i s neúplnou šachovnicí ověřit, jestli se královny neohrožují.
    * Naproti tomu při hledání hashe hesla nemůžeme říct, že je „částečně správně“.
  * Problém má **monotónní** strukturu – když už je část řešení špatně, další volby to nespraví.

**Jak takový algoritmus vypadá?**

<code python>
def candidates(solution):
  # Z předchozího řešení vygenerujeme další možné volby
  ...
  return candidates

def add(candidate, solution):
  # Přidání kandidáta do řešení
  ...
  return new_solution

def remove(candidate, new_solution):
  # Odebrání kandidáta, krok zpět
  ...
  return old_solution

def is_valid(solution):
  # Ověříme platnost řešení
  ...
  return True/False

def process(solution):
  # Hotové řešení nějak zpracujeme
  print(solution)

def backtracking(solution):
  if solution is complete:
    process(solution)
  else:
    for next in candidates(solution):
      if is_valid(next):
        solution = add(next, solution)
        backtracking(solution)
        solution = remove(next, solution)
</code>

  * Použití: n-queens, sudoku, kombinatorické generování, obchodní cestující, a mnoho dalších úloh.

==== Mistrovská věta ====
Když máme rekurzivní algoritmus, chceme často zjistit jeho časovou složitost. Pokud má tvar:

$T(n) = a \cdot T(n / b) + f(n)$  
můžeme použít tzv. **mistrovskou větu**, která nám umožní složitost určit rychle – bez nutnosti řešit rekurentní rovnici ručně.

  * $a$ – kolik podproblémů vznikne
  * $b$ – jak moc se velikost zmenší
  * $f(n)$ – jak náročné je zpracování mimo rekurzi

**Možnosti:**
  * Pokud $f(n)$ roste pomaleji než $n^{\log_b a}$ ⇒ první případ ⇒ $T(n) \in \Theta(n^{\log_b a})$
  * Pokud $f(n) \sim n^{\log_b a}$ ⇒ druhý případ ⇒ $T(n) \in \Theta(n^{\log_b a} \cdot \log n)$
  * Pokud $f(n)$ roste rychleji a splní se ještě další podmínka ⇒ třetí případ ⇒ $T(n) \in \Theta(f(n))$

**Příklad:**
  * MergeSort: $T(n) = 2T(n/2) + n$
  * $a = 2$, $b = 2$, $\log_b a = 1$
  * $f(n) = n \in \Theta(n)$ ⇒ druhý případ
  * ⇒ Složitost: $T(n) \in \Theta(n \log n)$

==== Substituční metoda ====
Další způsob, jak určit časovou složitost, je tzv. substituční metoda. Používá se k **důkazu** pomocí matematické indukce.

**Jak postupovat:**
  * Odhadneme složitost $T(n) \in O(g(n))$
  * A pak to dokážeme indukcí

**Příklad:**

Odhad: $T(n) = 2T(n/2) + n \in O(n \log n)$

Pak dokážeme, že:
$$
T(n) \leq 2 \cdot c \cdot \frac{n}{2} \log \frac{n}{2} + n = c \cdot n \log n - c \cdot n + n
$$
Stačí zvolit vhodnou konstantu $c$ a dostaneme požadovanou nerovnost.

  * Tato metoda je užitečná, když máme podezření na složitost, ale chceme ji formálně potvrdit.

==== Rekurzivní strom ====
Tato metoda spočívá v tom, že si celý průběh rekurze nakreslíme jako strom a sečteme náklady na všech úrovních.

**Příklad:**
$T(n) = 3T(n/4) + n$

  * První úroveň: $n$
  * Druhá úroveň: $3 \cdot (n/4) = 3n/4$
  * Třetí úroveň: $9 \cdot (n/16) = 9n/16$

To je geometrická řada:
$$
T(n) = n \cdot \left(1 + \frac{3}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \dots \right) = n \cdot \frac{1}{1 - 3/4} = 4n
$$

⇒ Celková složitost $T(n) \in O(n)$

  * Tato metoda dává pěknou vizuální představu o tom, kde se v rekurzivním algoritmu dělá nejvíc práce.

==== Shrnutí ====
  * Stromy jsou skvělým nástrojem pro reprezentaci strukturovaných dat – ať už jde o soubory, výrazy nebo organizační grafy.
  * Rekurze nám umožňuje přirozeně řešit problémy, které se skládají ze stejných menších částí.
  * Backtracking umí efektivně procházet kombinace a omezit výpočet jen na ty smysluplné.
  * Mistrovská věta a ostatní metody (substituce, rekurzivní strom) nám pomáhají pochopit složitost rekurzivních algoritmů bez zdlouhavých výpočtů.


===== 3. Fronta, zásobník =====
  * Průchod stromem/grafem do šířky a do hloubky, využití fronty a zásobníku.

==== Fronta ====
Fronta je abstraktní datová struktura, která funguje na principu **FIFO** (First In, First Out).
  * Prvky se vkládají na konec a odebírají se z čela.
  * Lze ji implementovat např. pomocí cyklického pole.
  * Typicky se používá při procházení stromů nebo grafů do **šířky** (BFS).
  * Implementace obvykle obsahuje dva ukazatele – `head` a `tail`.

==== Zásobník ====
Zásobník je datová struktura s pořadím **LIFO** (Last In, First Out).
  * Prvky se vkládají i odebírají z jednoho konce – z vrcholu zásobníku.
  * Snadno se implementuje pomocí pole.
  * Používá se např. při **rekurzi** nebo při průchodu grafu/stromu do **hloubky** (DFS).

==== Průchod stromem do šířky (BFS) ====
BFS (Breadth-First Search) prochází graf po vrstvách.
  * Vytvoříme prázdnou frontu a vložíme do ní kořen.
  * Dokud není fronta prázdná:
    * odebereme prvek z čela,
    * zpracujeme ho,
    * a vložíme do fronty všechny jeho potomky.
  * BFS vždy najde **nejkratší cestu**, pokud existuje (počítá se počet hran).
  * Nevýhodou je větší paměťová náročnost – musí uchovávat celou "vrstvu" uzlů.

==== Průchod stromem do hloubky (DFS) ====
DFS (Depth-First Search) se snaží jít co nejhlouběji, než se vrátí zpět.
  * Na začátku vložíme kořen na vrchol zásobníku.
  * Poté opakujeme:
    * odebereme vrchol,
    * zpracujeme ho,
    * a vložíme jeho potomky (typicky v určitém pořadí).
  * DFS **nemusí najít nejkratší cestu**, ale často je **úspornější na paměť** než BFS.

==== IDDFS – iterativní prohledávání do hloubky ====
IDDFS (Iterative Deepening DFS) kombinuje výhody BFS a DFS.
  * Spouštíme DFS s omezením hloubky, které postupně zvyšujeme.
  * Tak najdeme nejkratší řešení (jako BFS), ale spotřebujeme méně paměti (jako DFS).

==== Průchody grafem (BFS/DFS) ====
Přístupy platí nejen pro stromy, ale i pro obecné grafy.
  * Graf můžeme reprezentovat maticí sousednosti nebo seznamem sousedů.
  * Oba algoritmy mají složitost $O(|V| + |E|)$ – tj. závisí na počtu vrcholů a hran.

**Využití v grafech:**
  * detekce souvislých komponent,
  * detekce cyklů,
  * hledání minimální kostry (spanning tree),
  * hledání nejkratší cesty (BFS),
  * topologické uspořádání (DFS).

==== Průchody binárním stromem ====
  * DFS (do hloubky) má několik variant, které se liší v pořadí operací:
    * **PreOrder** – operaci provádíme při první návštěvě uzlu.
    * **InOrder** – operaci provádíme po návratu z levého podstromu.
    * **PostOrder** – operaci provádíme po návratu z pravého podstromu.
  * BFS (do šířky) – prochází úrovně stromu pomocí fronty.

BFS a DFS průchody pro následující graf:
<tikzjax>
\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows}

\begin{document}

\tikzset{
    ->, % makes the edges directed
    >=stealth', % makes the arrow heads bold
    node distance=3cm, % specifies the minimum distance between two nodes
    every state/.style={draw, circle, thick, fill=gray!10, minimum size=0.8cm}, % node style
}

\begin{tikzpicture}
    \node[state] (0) {0};
    \node[state, right of=0] (1) {1};
    \node[state, below of=0] (2) {2};
    \node[state, right of=2] (3) {3};
    
    \draw 
        (0) edge[bend left] (1)
        (0) edge (2)
        (1) edge (2)
        (2) edge[bend left] (0)
        (2) edge (3)
        (3) edge[loop right] ();
\end{tikzpicture}

\end{document}
</tikzjax>

<codedoc code:python> 
  <codedoc toggle BFS> 
  class Graph:
    def __init__(self):
        self.graph = defaultdict(list)

    def addEdge(self, u, v):
        self.graph[u].append(v)

    def BFS(self, s):
        visited = [False] * (max(self.graph) + 1)

        queue = []

        queue.append(s)
        visited[s] = True

        while queue:
            s = queue.pop(0)
            print(s, end=" ")

            for i in self.graph[s]:
                if not visited[i]:
                    queue.append(i)
                    visited[i] = True

  if __name__ == '__main__':
    g = Graph()
    g.addEdge(0, 1)
    g.addEdge(0, 2)
    g.addEdge(1, 2)
    g.addEdge(2, 0)
    g.addEdge(2, 3)
    g.addEdge(3, 3)

    print("Following is Breadth First Traversal"
        " (starting from vertex 2)")
    g.BFS(2)

    > 2 0 3 1
        
  </codedoc>
  <codedoc toggle DFS> 
  class Graph:

    def __init__(self):
        self.graph = defaultdict(list)

    def addEdge(self, u, v):
        self.graph[u].append(v)

    def DFSUtil(self, v, visited):
        visited.add(v)
        print(v, end=' ')

        for neighbour in self.graph[v]:
            if neighbour not in visited:
                self.DFSUtil(neighbour, visited)

    def DFS(self, v):
        visited = set()

        self.DFSUtil(v, visited)

  if __name__ == "__main__":
    g = Graph()
    g.addEdge(0, 1)
    g.addEdge(0, 2)
    g.addEdge(1, 2)
    g.addEdge(2, 0)
    g.addEdge(2, 3)
    g.addEdge(3, 3)

    print("Following is Depth First Traversal (starting from vertex 2)")
    
    g.DFS(2)

    > 2 0 1 3 
  </codedoc>
</codedoc>



===== 4. Binární vyhledávací stromy =====

==== Binární vyhledávací stromy (BST) ====
Binární vyhledávací strom je binární strom, ve kterém jsou uzly uspořádány podle hodnoty klíčů:
  * Levý podstrom obsahuje pouze uzly s menším klíčem než má uzel.
  * Pravý podstrom obsahuje pouze uzly s větším klíčem.

Každý uzel může mít maximálně dva potomky. Díky tomuto uspořádání je možné rychle vyhledávat, vkládat nebo mazat prvky – pokud je strom vyvážený, mají operace časovou složitost $O(\log n)$.

=== Vyhledávání v BST ===
  * Začínáme v kořeni stromu.
  * Pokud je hledaná hodnota menší než hodnota uzlu, pokračujeme do levého podstromu.
  * Pokud je větší, pokračujeme do pravého.
  * Pokud se rovná, našli jsme ji.
  * Díky binární struktuře je cesta k hledanému uzlu jednoznačná a v ideálním případě logaritmicky dlouhá.

=== Vkládání ===
  * Postupujeme podobně jako u vyhledávání.
  * Nový uzel vložíme tam, kde by se měl nacházet – vždy jako list (na konec větve).
  * Pokud strom připouští duplicitní klíče, vloží se do levého nebo pravého podstromu podle pravidel.

=== Mazání ===
  * Pokud má uzel **žádné** potomky, prostě ho odstraníme.
  * Pokud má **jeden** potomek, nahradíme jej tímto potomkem.
  * Pokud má **dva** potomky:
    * Najdeme jeho **in-order předchůdce nebo nástupce** – největší uzel v levém nebo nejmenší v pravém podstromu.
    * Jeho hodnotou nahradíme hodnotu mazání, a odstraníme ho rekurzivně – bude mít nanejvýš jeden potomek.

  * BST může snadno ztratit rovnováhu – pokud vkládáme vzestupně seřazená data, strom degeneruje do lineárního seznamu.

==== AVL stromy ====
AVL stromy jsou **samovyvažující** binární vyhledávací stromy. Zajišťují, že rozdíl výšky levého a pravého podstromu (tzv. **balance factor**) každého uzlu je maximálně 1.
  * To zaručuje, že operace vyhledávání, vkládání a odstraňování mají časovou složitost O(log n).
  * Díky tomu je výška stromu vždy $O(\log n)$ a operace jsou efektivní i v nejhorším případě.

**Rotace** se používají k vyvážení stromu po vkládání nebo mazání:
  * **Pravá rotace (LL)** – dvě levé hrany po sobě
  * **Levá rotace (RR)** – dvě pravé hrany po sobě
  * **Levá-pravá rotace (LR)** – levá, pak pravá
  * **Pravá-levá rotace (RL)** – pravá, pak levá

=== Vyhledávání ===
  * Probíhá stejně jako v BST – AVL zajišťuje jen lepší rovnováhu.
  * Časová složitost zůstává $O(\log n)$.

=== Vkládání ===
  * Nový klíč vložíme jako v BST.
  * Při návratu zpět kontrolujeme výšky podstromů.
  * Pokud je rozdíl > 1, provedeme vhodnou rotaci, podle tvaru nerovnováhy.
    * **LL** – pravá rotace
    * **RR** – levá rotace
    * **LR** – levá rotace na dítěti, pak pravá rotace
    * **RL** – pravá rotace na dítěti, pak levá rotace
  * Po max. 1–2 rotacích je strom opět vyvážen. Vše proběhne v čase O(log n).

=== Mazání ===
  * Najdeme a odstraníme klíč (případně jej nahradíme in-order předchůdcem/nástupcem).
  * Při návratu nahoru testujeme balance; pokud je mimo intervál $<-1,1>$, rotacemi jej opravíme.
  * V nejhorším provedeme až $O(\log n)$ rotací

==== B-stromy ====
B-stromy jsou **vyvážené vyhledávací stromy**, které **nejsou binární** – uzly mohou mít více klíčů i potomků
  * prakticky používá v databázových systémech a souborových systémech. 

B-strom je řízen parametrem **minimální stupeň _t_ (t ≥ 2)**:
  * Každý uzel (kromě kořene) má alespoň $t - 1$ a nejvýše $2t - 1$ klíčů.
  * Z toho plyne, že každý vnitřní uzel má mezi $t$ až $2t$ potomků.
  * Kořen může mít méně než $t - 1$ klíčů.

B-stromy umožňují efektivní vyhledávání, vkládání a odstraňování uzlů. Mají tyto vlastnosti:
  * Každý uzel může mít více než dva potomky.
  * Všechny listy jsou na stejné úrovni.
  * Každý uzel má minimální a maximální počet klíčů (viz definice $t$ výše).

  * Když uzel překročí maximální počet klíčů ($2t - 1$), rozdělí se na dva uzly a prostřední klíč se přesune do rodiče. 
  * Pokud rodič také překročí maximální počet klíčů, proces se opakuje až ke kořeni.

{{:statnice:bakalar:pasted:20250608-122910.png}}

=== Vyhledávání ===
  * V každém uzlu binárně vyhledáme správný interval a pokračujeme do příslušného potomka.
  * Díky větší větvenosti je výška malá – složitost $O(\log_t n)$.

=== Vkládání ===
  * Klíč vkládáme do správného listu.
  * Pokud uzel překročí $2t - 1$ klíčů:
    * Rozdělíme ho na dvě části.
    * Prostřední klíč přesuneme do rodiče.
    * Pokud přeteče i rodič, opakujeme postup až ke kořeni.

→ Kořen se může rozdělit – tím se strom **zvýší o úroveň**.

=== Mazání ===
  * Pokud uzel klesne pod $t - 1$ klíčů, musíme situaci opravit:
    * **Borrow** – vypůjčíme si klíč od sourozence.
    * **Merge** – sloučíme uzel se sourozencem a jeden klíč stáhneme z rodiče.
  * Pokud se vyprázdní kořen, strom se **zmenší o úroveň**.

→ Všechny listy B-stromu jsou vždy na stejné úrovni – struktura je přirozeně vyvážená.

==== Srovnání stromů ====

| Operace | BST (nevyvážený) | AVL | B-strom |
|---------|------------------|-----|---------|
| Vyhledávání | $O(n)$ | $O(\log n)$ | $O(\log n)$ |
| Vkládání | $O(n)$ | $\Theta(\log n)$ | $\Theta(\log n)$ |
| Mazání   | $O(n)$ | $\Theta(\log n)$ | $\Theta(\log n)$ |
| Vyváženost | ne | ano | ano |


===== 5. Algoritmy řazení =====
  * Insert Sort, Selection Sort, Bubble Sort, QuickSort, Merge Sort, Halda, Heap Sort, Radix Sort, Counting Sort.

==== Insert Sort ====
Řadíme postupně – začínáme druhým prvkem v poli a vkládáme ho na správné místo do již seřazené části vlevo. Tímto způsobem postupně "rozšiřujeme" seřazenou oblast.

  * Jednoduchý, intuitivní a stabilní algoritmus.
  * Vhodný pro malá pole nebo téměř seřazené vstupy.
  * Nejlepší případ (již seřazeno): $O(n)$, jinak $O(n^2)$
  * In-place (nepotřebuje další paměť)

{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Sorting_insertion_sort_anim.gif?200}}

<code python>
# Insertion Sort
def insertion_sort(arr):
    for i in range(1, len(arr)):
        key = arr[i]
        j = i - 1
        while j >= 0 and arr[j] > key:
            arr[j + 1] = arr[j]
            j -= 1
        arr[j + 1] = key
    return arr
</code>

==== Selection Sort ====
V každé iteraci najdeme nejmenší prvek z neseřazené části a vyměníme ho s prvkem na aktuální pozici. Tímto způsobem posunujeme nejmenší prvky na začátek.

  * Snadná implementace, ale **nestabilní**.
  * Malý počet přepisů (výměn).
  * Vždy $O(n^2)$, nezávisle na vstupu.
  * In-place, ale obecně neefektivní.

{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Sorting_selection_sort_anim.gif?200}}

<code python>
# Selection Sort
def selection_sort(arr):
    for i in range(len(arr)):
        min_idx = i
        for j in range(i + 1, len(arr)):
            if arr[j] < arr[min_idx]:
                min_idx = j
        arr[i], arr[min_idx] = arr[min_idx], arr[i]
    return arr
</code>

==== Bubble Sort ====
Postupně procházíme pole a porovnáváme sousední prvky. Pokud jsou v nesprávném pořadí, prohodíme je. Největší prvek tak "bublá" směrem doprava.

  * Stabilní a velmi jednoduchý algoritmus.
  * Nevhodný pro velké množiny – vždy $O(n^2)$.
  * In-place; snadná optimalizace pomocí flagu "swapped".

{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Sorting_bubblesort_anim.gif?200}}

<code python>
# Bubble Sort
def bubble_sort(arr):
    for n in range(len(arr) - 1, 0, -1):
        swapped = False
        for i in range(n):
            if arr[i] > arr[i + 1]:
                arr[i], arr[i + 1] = arr[i + 1], arr[i]
                swapped = True
        if not swapped:
            break
    return arr
</code>

==== QuickSort ====
Vysoce efektivní algoritmus typu "rozděl a panuj". Vybereme prvek jako pivot, rozdělíme pole na dvě části (menší a větší než pivot) a rekurzivně řadíme každou část.

  * Průměrně $O(n \log n)$, ale nejhorší případ $O(n^2)$ (např. již seřazené pole a špatně zvolený pivot).
  * Nestabilní, ale rychlý v praxi.
  * In-place, obvykle používá rekurzi.

{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Sorting_quicksort_anim.gif?200}}

<code python>
# QuickSort
def quicksort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    pivot = arr[0]
    less = [x for x in arr[1:] if x < pivot]
    greater_eq = [x for x in arr[1:] if x >= pivot]
    return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater_eq)
</code>

==== Merge Sort ====
Rozdělíme pole na poloviny, každou rekurzivně seřadíme a pak sloučíme do jednoho seřazeného celku. Při slévání porovnáváme vždy první prvek obou podpolí.

  * Stabilní algoritmus s garantovanou složitostí $O(n \log n)$.
  * Vyžaduje pomocnou paměť pro slévání (není in-place).
  * Vhodný i pro externí řazení (např. řazení souborů na disku).

{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Merge_sort_animation2.gif?200}}

<code python>
# Merge Sort
def merge_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    mid = len(arr) // 2
    left = merge_sort(arr[:mid])
    right = merge_sort(arr[mid:])
    return merge(left, right)

def merge(left, right):
    result = []
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            result.append(left[i])
            i += 1
        else:
            result.append(right[j])
            j += 1
    result.extend(left[i:])
    result.extend(right[j:])
    return result
</code>

==== Heap Sort ====
Vytvoříme haldu z pole (max-heap nebo min-heap), a opakovaně vyjímáme kořen (největší/nejmenší) a přesouváme ho na konec pole. Po každém vyjmutí haldu opravíme.

  * Nestabilní, ale garantuje $O(n \log n)$ složitost.
  * In-place – nepotřebuje pomocnou paměť.
  * Využívá binární haldu; není tak rychlý jako QuickSort, ale má konzistentní výkon.

{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Sorting_heapsort_anim.gif?200}}

<code python>
# Heap Sort
def heapify(arr, n, i):
    largest = i
    l = 2 * i + 1
    r = 2 * i + 2
    if l < n and arr[l] > arr[largest]:
        largest = l
    if r < n and arr[r] > arr[largest]:
        largest = r
    if largest != i:
        arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
        heapify(arr, n, largest)

def heap_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, n, i)
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
        heapify(arr, i, 0)
    return arr
</code>

==== Radix Sort ====
Řadí čísla nebo řetězce po cifrách (např. nejprve podle jednotek, pak desítek…). Používá stabilní řadicí algoritmus jako Counting Sort pro každou cifru.

  * Stabilní, lineární: $O(n \cdot k)$, kde $k$ je počet číslic/znaků.
  * Vhodný pro řetězce nebo celá čísla s pevnou délkou.
  * Používá se např. u PSČ, osobních čísel apod.

<code python>
# Radix Sort
def counting_sort_by_digit(arr, exp):
    n = len(arr)
    output = [0] * n
    count = [0] * 10
    for i in range(n):
        index = (arr[i] // exp) % 10
        count[index] += 1
    for i in range(1, 10):
        count[i] += count[i - 1]
    for i in reversed(range(n)):
        index = (arr[i] // exp) % 10
        output[count[index] - 1] = arr[i]
        count[index] -= 1
    return output

def radix_sort(arr):
    if not arr:
        return []
    max_val = max(arr)
    exp = 1
    while max_val // exp > 0:
        arr = counting_sort_by_digit(arr, exp)
        exp *= 10
    return arr
</code>

==== Counting Sort ====
Nevyužívá porovnávání, ale frekvenční pole. Nejprve spočítáme výskyty všech hodnot, pak je seřadíme podle počtu. Funguje pouze pro celočíselné hodnoty v omezeném rozsahu.

  * Stabilní, velmi rychlý: $O(n + k)$ (k … rozsah hodnot)
  * Není in-place, vyžaduje pomocná pole.
  * Vhodný pro velké vstupy s malým rozptylem hodnot.

{{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Counting_Sort_Animation.gif?200}}

<code python>
# Counting Sort
def counting_sort(arr):
    if not arr:
        return []
    max_val = max(arr)
    count = [0] * (max_val + 1)
    for num in arr:
        count[num] += 1
    output = []
    for i in range(len(count)):
        output.extend([i] * count[i])
    return output
</code> 

==== Shrnutí složitostí a vlastností ====

| Algoritmus      | Průměrná složitost | Stabilní | In-place | Vhodné použití                  |
|------------------|--------------------|----------|----------|---------------------------------|
| Insert Sort      | $O(n^2)$           | Ano      | Ano      | Malé nebo téměř seřazené pole   |
| Selection Sort   | $O(n^2)$           | Ne       | Ano      | Výuka, málo pohybů              |
| Bubble Sort      | $O(n^2)$           | Ano      | Ano      | Jednoduchá implementace         |
| QuickSort        | $O(n \log n)$      | Ne       | Ano      | Prakticky nejrychlejší          |
| Merge Sort       | $O(n \log n)$      | Ano      | Ne       | Stabilita, externí řazení       |
| Heap Sort        | $O(n \log n)$      | Ne       | Ano      | Stabilní výkon, bez rekurze     |
| Counting Sort    | $O(n + k)$         | Ano      | Ne       | Hodně opakujících se čísel      |
| Radix Sort       | $O(n \cdot k)$     | Ano      | Ne       | Řetězce/čísla s omezenou délkou |

→ **Stabilita** znamená, že prvky se stejnou hodnotou zůstávají ve stejném pořadí jako na vstupu.

===== 6. Dynamické programování =====
  * struktura optimálního řešení, odstranění rekurze. Nejdelší společná podposloupnost, optimální násobení matic, problém batohu.

Je to všeobecná strategie pro řešení optimalizačních úloh. Významné vlastnosti:
  * Hledané optimální řešení lze sestavit z vhodně volených optimálních řešení téže úlohy nad redukovanými daty.
  * V rekurzivně formulovaném postupu řešení se opakovaně objevují stejné menší podproblémy. DP umožňuje obejít opakovaný výpočet většinou jednoduchou tabelací výsledků menších podproblémů, tedy volně řečeno, přepočítáním menších výsledků

===== Dynamické programování pro Nejdelší Společnou Posloupnost (LCS) =====
<markdown>
**Myšlenka algoritmu:**
  * Cíl: Najít nejdelší posloupnost znaků, která se vyskytuje ve stejném pořadí v obou vstupních řetězcích (ne nutně souvisle).
  * Dynamické programování (DP) využívá 2D tabulku pro ukládání dílčích výsledků. Buňka `dp[i][j]` udává délku LCS pro první `i` znaků řetězce `X` a první `j` znaků řetězce `Y`.
  * Pokud `X[i-1] == Y[j-1]`, přidáme tento znak k LCS a přičteme 1 k `dp[i-1][j-1]`.
  * Pokud se znaky liší, vezmeme maximum z `dp[i-1][j]` (horní buňka) a `dp[i][j-1]` (levá buňka).

**Pseudokód v Pythonu:**
```python
def lcs(X, Y):
    m = len(X)
    n = len(Y)
    # Vytvoření DP tabulky s nulami (m+1 x n+1)
    dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
    
    # Naplnění tabulky
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
    
    # Rekonstrukce LCS z tabulky
    i, j = m, n
    result = []
    while i > 0 and j > 0:
        if X[i-1] == Y[j-1]:
            result.append(X[i-1])
            i -= 1
            j -= 1
        elif dp[i-1][j] > dp[i][j-1]:
            i -= 1
        else:
            j -= 1
    return ''.join(reversed(result))
```

**Příklad tabulky pro `X = "BDCABA"`, `Y = "ABCBDAB"`:**
  - Řešení: **"BCBA"** (délka 4).

|   |   | A | B | C | B | D | A | B |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|   | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| B | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| D | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| C | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| A | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| B | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 |
| A | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 |

**Vysvětlení tabulky:**
  * První řádek a sloupec jsou inicializovány na 0 (prázdné podřetězce).
  * Buňka `dp[5][7]` (hodnota 4) ukazuje délku LCS. Cesta pro rekonstrukci je vyznačena šipkami:
    - Začínáme od `dp[6][7]` (4), postupujeme diagonálně při shodě znaků.

**Časová složitost:** 
  * Naplnění tabulky: $O(m \cdot n)$, rekonstrukce: $O(m + n)$.
  * Celkem: $O(m \cdot n)$.
</markdown>
===== Rozptylovací tabulky (Hashing) =====
  * hashovací funkce, řešení kolizí, otevřené a zřetězené tabulky, double hashing, srůstající tabulky, univerzální hashování.

  * rozptylovací funkce = hashovací funkce
  * Hashovací funkce přiřadí k potenciálně libovolnému množství dat hodnotu který má vždy kosntantní délku.
  * Hashovací funkce v kontextu algoritmizace by měla být hlavně rychlá (narozdíl od kryptografie, kde pomalost je část bezpečnosti za hashovací funkcí) s co nejméně kolizemi (kolize - 2 různé vstupy mají stejný výstup)
  * Umožňují vyhledávat v tabulkách s průměrnou časovou složitostí $O(1)$.
==== Algoritmické úlohy (soutěžní) ====
  * Two Sum – O(n) hledání dvojice se zadaným součtem pomocí `set`.
  * Dynamické programování s memoizací – ukládání $T(n)$ do hashe (Fibonacci, LCS…).
  * Rolling hash (Rabin–Karp) – rychlé vyhledávání vzoru v textu.
  * Longest Consecutive Sequence – O(n) řešení s `unordered_set`.
  * Počty výskytů / anagramy – frekvenční slovník pro srovnání řetězců.

==== Praktické použití ====
  * Symbol table v překladači (identifikátor → metadata).
  * Hash join v relačních databázích při spojování tabulek.
  * In-memory cache (DNS, LRU) pro konstantní přístup.
  * Deduplicace a kontrola integrity souborů (git objekty, zálohy).
  * Bloom filter – pravděpodobnostní test příslušnosti s malou pamětí.

==== Kolize v hashovacích tabulkách ====
Kolize  – situace, kdy dvěma různým vstupům hashovací funkce tabulky přiřadí stejný výstup.

Hashovací tabulky se používají k rychlému vyhledávání, ale protože hashovací funkce mohou mít kolize, tabulky musí umět tyto kolize řešit.

Tabulka je nejčastěji reprezentovaná polem s indexy $0 … n-1$, kde $n$ je délka pole.

Existují tři běžné způsoby řešení kolizí: zřetězený hashing, lineární sondování a double hashing.

=== Zřetězený hashing ===
Jak to funguje  – z každého políčka vede spojený seznam (linked list).

  * **Vkládání** – vypočítáme index $h(k)$.  
    Pokud políčko už obsahuje prvek, vložíme nový na *konec* jeho seznamu.
  * **Hledání** – projdeme seznam, dokud klíč nenajdeme, nebo nedojdeme na jeho konec.
  * **Mazání** – odstraníme uzel ze seznamu (klasická operace na linked-listu).

Výhody
  * Jednoduchá implementace, žádný problém s přeplněním pole.
  * Výkon se zhoršuje hladce – degraduje k $O(n)$ jen když se load-factor blíží ∞ a seznamy jsou dlouhé.

Nevýhody
  * Vícenásobné alokace a ukazatele → ztráta cache-locality.
  * Potenciálně vyšší režie alokátorů při častém vkládání.

Složitost  
  * Average-case: $O(1)$
  * Worst-case: $O(n)$

=== Otevřené rozptylování – Linear probing ===
Jak to funguje  – pokud je políčko z hashu obsazeno, posouváme se lineárně dál.

  * **Vkládání** – vypočítáme index $h(k)$.  
    Kolize ⇒ zkusíme $(h(k)+1) \mod n$, pak $+1$… dokud nenajdeme prázdné místo.
  * **Hledání** – stejně sondujeme, dokud
    * nenajdeme klíč  (nalezen) nebo nenarazíme na prázdné políčko  (klíč tam není).
  * **Mazání** – prvek nelze jen tak fyzicky odstranit, musíme použít **deleted marker** nebo re-hash kolem.

Výhody
  * Minimum ukazatelů → skvěle využívá cache.
  * Jednoduchá implementace (jedna hash funkce, žádné seznamy).

Nevýhody
  * **Primární shlukování (primary clustering)** – sousední obsazená místa tvoří dlouhé bloky a dramaticky zvyšují počet sond.
  * Vyšší load-factor (> 0.7) vede k prudkému zhoršení výkonu.

Složitost  
  * Average-case: $O(1)$
  * Worst-case: $O(n)$

=== Otevřené rozptylování – Double hashing ===
Používáme dvě hashovací funkce:

  * $h1(k)$ – primární index v rozsahu $0 … n-1$
  * $h2(k)$ – **krok (step)** v rozsahu $1 … n-1$;  
    musí být nesoudělný s $n$, aby prohlídka pokryla celé pole.

Algoritmus sondování  
$index(i) = (h1(k) + i * h2(k)) \mod n$, $i = 0,1,2,…$

  * **Vkládání** – sondujeme, dokud nenajdeme prázdné políčko.
  * **Hledání** – sondujeme, dokud  
    * nenajdeme klíč, nebo nenarazíme na prázdné políčko → klíč tam není.
  * **Mazání** – opět potřebujeme *deleted marker*.

Výhody
  * Menší shlukování než u lineárního i kvadratického sondování.
  * Při správné volbě $h2$ projde celou tabulku bez opakování indexů.

Nevýhody
  * Dvě hash funkce a nutnost hlídat nesoudělnost ➜ o chlup složitější implementace.
  * Více vypočtů hashů (na CPU to bývá zanedbatelné, ale přesto).

Složitost  
  * Average-case: $O(1)$
  * Worst-case: $O(n)$
=== Srůstající (coalesced) hashing ===
Kombinuje výhody otevřeného rozptylování a zřetězení:

  * Tabulka má vyhrazenou „sklepní“ část (**cellar**) – např. posledních 10–20 % buněk.
  * Při kolizi prvek uložíme do **prvního volného** místa hledaného lineárně *odspodu* tabulky
    (tj. v cellar-zóně) a pomocí ukazatele jej připojíme k řetězci své původní bucket-pozice.
  * Vyhledávání prochází ukazatele stejně jako u zřetězení, ale všechny uzly sedí přímo v poli,
    takže nedochází k fragmentaci paměti a cache-missům.

Složitost  
  * Best-case: $O(1)$  
  * Average-case (při load-faktoru $α<0{.}8$): $O(1)$  
  * Worst-case: $O(n)$

Výhody  
  * Lepší cache-localita než externí seznamy.  
  * Umožní load-faktor $α$ blízký 1, protože cellar oddálí „srůstání“ řetězců.

Nevýhody  
  * Složitější správa ukazatelů a mazání.  
  * Není-li cellar správně dimenzován, výkon degraduje na $O(n)$ podobně jako otevřené sondování.

=== Univerzální hashování ===
Myšlenka: místo jediné pevné hash-funkce zvolíme při inicializaci **náhodně** $h$  
z rodiny $ℋ$, která splňuje podmínku univerzality:

$$
\forall x\neq y \quad \Pr_{h\inℋ}[\,h(x)=h(y)\,] \le \frac1m ,
$$

kde $m$ je počet bucketů.

Důsledky

  * **Očekávaná** délka řetězce (nebo počet sond) je $\le α$, takže vkládání,
    vyhledávání i mazání běží v $O(1)$ očekávaném čase, bez ohledu na rozdělení klíčů.
  * Adversář, který nezná zvolenou $h$, neumí zkonstruovat mnoho kolizí
    (→ odolnost proti útokům na hash-tabulky např. v webových serverech).


Složitost  
  * Best / Average (v oč.) $O(1)$, protože $\mathbb{E}[\text{kolize}] \le α$.  
  * Worst-case: stále $O(n)$ (kdybychom si vybrali „špatnou“ funkci), ale pravděpodobnost,
    že se to stane, je $\le 1/m$ a můžeme $h$ jednoduše přelosovat.
Trace: • b4b32pks • b4b36sin • be4m33ssu • b0b01pst • b4b36zui • be4b39vgo • b4b35psr • b0b01ma1 • b4b39hry • b0b35apo
Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code
