statnice:bakalar:b4b17eam

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
====== Elektrostatické, stacionární a nestacionární elmag. pole, elmag. vlny v prostoru a na vedení, obvody s odporovými a reaktančními prvky, přechodové jevy, vlastnosti reálných obvodových prvků a jejich měření. ======
 

[[https://intranet.fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/69/p4669306.html|B4B17EAM]] [[https://cw.fel.cvut.cz/b201/courses/b4b17eam/start|Webové stránky předmětu]]
[[https://docs.google.com/document/d/1OdzB7hVeEXmFQt-ja64aemszHEAahUjCwbeLMHbycCg/edit?tab=t.0#heading=h.vrcigc81pn9p|Vypracované otázky]]

  * Jednotky veličin: intenzita elektrického a magnetického pole, proudová hustota, měrná vodivost.
  * K čemu slouží rotace, divergence, tok vektorové veličiny plochou.
  * Použití Gaussovy věty pro zjištění elektrostatického pole nabité koule.
  * Definice el. napětí z potenciálu a intenzity el. pole.
  * Kapacita - definice, kapacitor.
  * Ampérův zákon celkového proudu (klešťový ampérmetr).
  * Magnetické pole v ideálním solenoidu (dlouhé cívce).
  * Indukčnost - definice, induktor.
  * Ideální napěťový a proudový zdroj, vnitřní odpor zdroje.
  * K čemu slouží Kirchhoffovy zákony.
  * Odporový dělič napětí a proudu - nakreslit.
  * Střední a efektivní hodnota harmonického průběhu.
  * Činný, jalový a zdánlivý výkon.
  * Impedance prvků R, L, C.
  * Nakreslit sériový či paralelní LC rezonanční obvod, k čemu slouží.
  * Činitel jakosti.
  * Definice decibelu, proč jej používáme.
  * Bipolární tranzistor a tranzistor řízený polem - výhody, nevýhody, použití. Dioda.
  * Elektromagnetická vlna, jak vypadají vektory E, H v takové vlně, co je to impedance prostředí.
  * Činitel odrazu na vedení, return loss, poměr stojatých vln.
  * Základní typy a parametry antén (dipól, Yagi, trychtýř, reflektor...), impedance, zisk.
  * Vyzařovací charakteristika půlvlnného dipólu.

====== 1. Jednotky veličin ======
**Intenzita elektrického pole**:
\begin{align*} 
\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \quad [N \cdot C^{-1} = V \cdot m^{-1} = kg \cdot m \cdot A^{-1} \cdot s^{-3}]
\end{align*}

kde $\vec{E}$ je intenzita el. pole, $\vec{F}$ je síla, $q$ je náboj

případně:
\begin{align*} 
\vec{E} = -grad\varphi \quad [V \cdot m^{-1}]
\end{align*}
kde $\varphi$ je elektrický potenciál

**Intenzita magnetického pole**:

ve stacionárním poli platí (Ampérův zákon):
\begin{align*} 
\vec{I}_{vol} = \oint \vec{H} \cdot dl 
\end{align*}
kde $\vec{I}_vol$ je volný elektrický proud a $\vec{H}$ je intenzita magnetického pole

odtud:
\begin{align*}
\vec{H} [A \cdot m^{-1}]
\end{align*}

**Proudová hustota**:

platí:
\begin{align*} 
\vec{I} =  \int_{S} \vec{J} \cdot dS
\end{align*}
kde $I$ je elektrický proud, $S$ je plocha a $\vec{J}$ je proudová hustota

pak v případě, že proud je rozdělen rovnoměrně platí:
\begin{align*} 
\vec{J} = \frac{I}{S} \quad [A \cdot m^{-2}]
\end{align*}

**Měrná vodivost**:
\begin{align*} 
\sigma = \frac{\mho}{l} = \frac{1}{R \cdot l} \quad [S \cdot m^{-1} = \Omega^{-1} \cdot m^{-1}]
\end{align*}
kde $\sigma$ je měrná vodivost, $\mho$ je elektrická vodivost, $R$ je elektrický odpor a $l$ je délka

případně pro výpočet s průřezem vodiče platí
\begin{align*} 
\sigma = \frac{\mho}{l} = \frac{\mho \cdot l}{S} \quad [S \cdot m \cdot m^{-2}]
\end{align*}

kde $S$ jako veličina je průřez vodiče, jako jednotka je $S$ Siemens – jednotka elektrické vodivosti

====== 2. Rotace, divergence, tok vektorové veličiny plochou ======

** Gradient **
nejprve si zadefinujme gradient, jako //směrnici největšího přírůstku//, matematicky zapsáno:

\begin{align*}
grad = \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x};\frac{\partial}{\partial y};\frac{\partial}{\partial z}\right)
\end{align*}

** Divergence **
{{ :statnice:bakalar:pasted:20250512-092539.png?400| Divergence a jeji mozne hodnoty}}

divergenci následně definujeme jako //skalární součin s gradientem//:
\begin{align*}
\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} = div\vec{A}
\end{align*}

Nabízí nám například nástroj k hledání zdrojů/nor, k čemuž je využívána ve 4. Maxwellově rovnici k definování nonexistence magnetických monopólů.

** Rotace **

rotaci následně definujeme jako //vektorový součin s gradientem//:
\begin{align*}
\nabla \times \vec{A} = 
\begin{vmatrix}
\vec{x_0} & -\vec{y_0} & \vec{z_0}\\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
A_x & A_y & A_z
\end{vmatrix}
=
x_0 \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}  \right) 
- y_0 \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) 
+ z_0 \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) = rot\vec{A}
\end{align*}

Rotace slouží k hledání vírů v poli - resp. je to //test vírovosti pole//.

** Tok vektorové veličiny plochou (Gaussova věta) **
{{ :statnice:bakalar:pasted:20250512-094929.png?400| Objem rozdělený plochou a tok plochou}}

Tok vektorové veličiny plochou nám definuje Gaussova věta. Tu lze zapsat například jako


$$ \phi = \oiint \vec{A} \cdot d\vec{S} $$


====== 3. Použití Gaussovy věty pro zjištění elektrostatického pole nabité koule ======

Obecně platí:

$$ \oiint \vec{D} d\vec{S} = Q \quad \dots \quad \oiint \vec{E} d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}$$ 

$$\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r \quad \dots \quad \vec{D} = \varepsilon \cdot \vec{E} \quad \dots \quad \vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q} $$

kde $\vec{D}$ je vektor **elektrické indukce**.

Pro vzájemný** vztah dvou kulových nábojů** také:

$$ \vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{R^2}\vec{r_0} $$

(Coulombův zákon) $R$ - skalární vzdálenost nábojů, $r_0$ - směrový vektor

Dosazením získáváme:

$\vec{D}$ je konstantní, proto:

$$ \vec{D} = konst. \quad \rightarrow \quad \vec{D} \oiint d\vec{S} = Q $$

kde pro kouli je 

$$ \oiint d\vec{S} = 4\pi r^2 $$

tedy dosadíme-li, dostaneme

$$ \vec{D} \oiint d\vec{S} = \vec{D} 4\pi r^2  = Q $$

odkud můžeme vyjádřit
$$ \vec{D} = \frac{Q}{4\pi r^2} \vec{r_0}  $$

Pro získání intenzity elektrického pole dosadíme do $ \vec{D} = \varepsilon \cdot \vec{E} $ a získáme

$$ \vec{E} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2} \vec{r_0} $$

Pro potenciál platí:

$$ \varphi = -\int\vec{E} \cdot d\vec{r} $$

tedy po dosazení:

$$ \varphi = -\int \frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2} d\vec{r} $$

a úpravou získáme

$$ -\int \frac{Q}{4\pi\varepsilon r^2} d\vec{r} = \frac{-Q}{4\pi\varepsilon} \int r^{-2} d\vec{r} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r} + C $$

tedy

|$$ \varphi = \frac{Q}{4\pi\varepsilon r} + C $$|


====== 4. Definice el. napětí z potenciálu a intenzity el. pole ======

=== Statická definice === 
Napětí mezi body A a B lze vyjádřit jako **rozdíl jejich potenciálů**

|$$ U_{AB} = \varphi(A)-\varphi(B) $$|

Současně platí

|$$ U_{AB} = \int_A^B \vec{E}\cdot d\vec{r} $$|

=== Energetická definice ===

Už víme, že platí:

$$ \vec{D} = \epsilon_0 \epsilon_r \vec{E} \quad a \quad \vec{E} = \frac{\vec{F_e}}{Q} $$

Práce $W$ elektrické síly při přemístění náboje z bodu A do bodu B je

$$ W = \int_{A}^{B} \vec{F_e} d\vec{r} $$

Dosazením získáváme

$$ W = \int_{A}^{B} Q \cdot \vec{E} d\vec{r} $$

protože Q není závislý na dráze, tak

$$ W = Q \cdot \int_{A}^{B} \vec{E} d\vec{r} $$

z definice napětí platí 

$$ U_{AB} = \int_{A}^{B} \vec{E} d\vec{r} $$

tedy po dosazení získáme vztah:

|$$ \frac{W}{Q} = U $$|




====== 5. Kapacita - definice, kapacitor ======

Pro kapacitu definujeme dvě definice - statickou a energetickou.

=== Statická definice ===

Obecně pro vztah intenzity elektrického pole okolo nekonečně velké desky v prostoru je
{{ :statnice:bakalar:pasted:20250514-101258.png?600}}

$$ \vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon} $$

Ovšem představíme-li si dvě takovéto paralelní desky, jednu nabitou kladně a druhou záporně, získáme kondenzátor, s elektrickým polem o intenzitě

$$ \vec{E} = \frac{\sigma}{\epsilon} $$

pouze v prostoru mezi nimi. 
(Zjednodušení pro představu - z prostoru se stal poloprostor, proto)

Obecně platí vztah

$$ \sigma = \frac{Q}{S} $$

tedy plošná hustota náboje je rovna celkovému náboji obsaženému v ploše vydělená její velikostí.

Odtud můžeme dosazením získat vztah


$$ \vec{E} = \frac{Q}{\epsilon S} $$


což při dalším dosazení do známého vtahu pro napětí

$$ U = \int_0^d \vec{E} dx = \int_0^d \frac{Q}{\epsilon_0 \epsilon_r S} dx = \frac{Q}{\epsilon_0 \epsilon_r S} \int_0^d dx = \frac{Qd}{\epsilon_0 \epsilon_r S} $$

Čímž po dosazení do vztahu 

$$ Q = C \cdot U $$

získáváme úpravou

$$ C = \frac{Q}{\frac{Qd}{\epsilon_0 \epsilon_r S}} $$

a následně další úpravou pak
|$$ C = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r S}{d} $$|


=== Energetická definice ===

nejprve je třeba si zadefinovat tzv. //hustotu energie v poli//

$$ w_e = \frac{1}{2}\vec{D}\vec{E} = \frac{1}{2}\epsilon|\vec{E}|^2 $$

odtud – budeme-li počítat celkovou energii uloženou na deskách kondenzátoru, dostaneme vztah

$$ W_e = \iiint_V w_e dV = \frac{1}{2} \iiint_V \epsilon|\vec{E(x,y,z)}|^2 dxdydz $$

což lze další úpravou převést na

$$ = \iint_S \varphi \cdot \sigma dS $$

což lze aprosimovat jako součet energií na jednotlivých deskách

$$ \frac{1}{2} \sum_i Q_i \varphi_i = \frac{1}{2} (Q_1 \varphi_1 - Q_2 \varphi_2) = \frac{1}{2} QU = \frac{1}{2} CU^2 $$

čímž se úpravou dostaneme k finálnímu vztahu

|$$ C = \frac{2W_e}{U^2} $$|


====== 6. Ampérův zákon celkového proudu ======
** differenciální tvar **
$$ rot \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$

tj. rotace vektoru intenzity magnetického pole je rovna součtu proudu volného a posuvného.

(Pozn. posuvný proud je pro DC nulový)


** integrální tvar **
$$ \oint \vec{H} dl = \sum I $$

{{ statnice:bakalar:pasted:20250514-101510.png?400 }}

====== 7. Magnetické pole v ideálním solenoidu ======

{{ :statnice:bakalar:pasted:20250514-095932.png?450|}}

Obecně lze vycházet z Ampérova zákona celkového. Ten v Integrálním tvaru vypadá

$$ \oint \vec{H} dl = \sum I $$

Pro integraci po vyznačené křivce platí

$$ H \cdot h = N \cdot I $$

odtud

$$ H = \frac{N \cdot I}{h} $$

Pro získání velikosti dílčí části pole uvnitř solenoidu lze použít následujících vztahů:

{{:statnice:bakalar:pasted:20250514-100213.png?400}}
====== 8. Indukčnost - definice, induktor ======

Indukčnost $L [H]$lze definovat dvěma vztahy

** 1. Statická definice **

$$ \phi = L \cdot I \quad \rightarrow \quad L = \frac{\phi}{I} $$

kde $\phi$ je magnetický indukční tok $\phi = \iint_S \vec{B} d\vec{S} $ viz ([[statnice:bakalar:b4b17eam#rotace_divergence_tok_vektorove_veliciny_plochou|Gaussova věta]])

** 2. Energetická definice **

vychází ze vzorce pro hustotu energie v magnetickém poli

$$ w_m = \frac{1}{2} \vec{B} \vec{H} = \frac{1}{2} \mu_0 \mu_r H^2 $$

Pro celkovou energii v magnetickém poli pak platí

$$ W_m = \iiint_V w_m dV = \frac{\mu}{8\pi} \iiint \frac{\vec{J}(\vec{r}) \cdot \vec{J}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}} dVdV' = \frac{1}{2} L I^2 $$

odkud lze úpravou získat

$$ L = \frac{2W_m}{I^2} $$
====== 9. Ideální napěťový a proudový zdroj, vnitřní odpor zdroje ======

Ideální napěťový zdroj poskytuje konstantní napětí na svorkách, nezávisle na hodnotě odebíraného proudu.
Pro ideální napěťový zdroj je nepřípustný nulový zatěžovací odpor. Jeho vnitřní odpor je nulový.

Ideální proudový zdroj poskytuje konstantní proud, nezávisle na napětí na jeho svorkách.
Pro ideální proudový zdroj je nepřípustný nekonečný zatěžovací odpor. Jeho vnitřní odpor je nekonečný.

Pro výpočet vnitřního odporu reálného zdroje platí –

$$ -U_0 + R_i \cdot I_z + R_z \cdot I_z = 0 $$

(tj. [[statnice:bakalar:b4b17eam#k_cemu_slouzi_kirchhoffovy_zakony|1. Kirchhofův zákon]])

kde poslední člen $ R_z \cdot I_z $ značíme jako napětí zátěže $U_z$, tedy platí

$$ R_i = \frac{U_0 - U_z}{I_z} $$

{{:statnice:bakalar:pasted:20250514-125121.png?200}}

{{:statnice:bakalar:pasted:20250514-125146.png?200|}}
====== 10. K čemu slouží Kirchhoffovy zákony ======

Kirchhoffovy zákony jsou dva zákony popisující principy zachování náboje a energie v obvodech.

Jejich znění je:

  - **Součet proudů v uzlu je roven nule** $$ \oiint \vec{j} dS = \sum_{k=1}^{n}I_k = 0 $$ 
  - **Součet napětí po uzavřené křivce je roven nule** $$ \oint \vec{E} dl = \sum_{k=1}^{n}U_k = 0 $$




====== 11. Odporový dělič napětí a proudu ======

^   Dělič napětí                                     ^      Dělič proudu                                  ^
|{{:statnice:bakalar:pasted:20250514-101713.png?400}}|{{:statnice:bakalar:pasted:20250514-101742.png?400}}|




====== 12. Střední a efektivní hodnota harmonického průběhu ======

** Střední hodnota harmonického průběhu **

$$ I_{stř}(t) = \frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} i(t) dt \quad (= 0) $$

** Efektivní hodnota harmonického průběhu (Root Mean Square) **

velikost DC, který by vykonal za stejný čas na stejném odporu stejnou práci jako AC

$$ I_{ef}(t) = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} [i(t)]^2 dt} $$

například pro sinusový průběh platí

$$ I_{ef} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$$
====== 13. Činný, jalový a zdánlivý výkon ======

Ve střídavých obvodech rozlišujeme tři druhy výkonu:

  * **Činný výkon** $P$ $[W]$ – výkon, který se skutečně přeměňuje na užitečnou práci nebo teplo.
  * **Jalový výkon** $Q$ $[VAr]$ – výkon, který se periodicky ukládá do elektrických a magnetických polí cívek a kondenzátorů a následně se vrací zpět do obvodu.
  * **Zdánlivý výkon** $\widehat{S}$ $[VA]$ – komplexní veličina, která zahrnuje činný i jalový výkon.
=== Účiník ===

Veličina

$$
\cos\varphi
=
\cos(\varphi_U-\varphi_I)
$$

se nazývá **účiník**.

Udává, jaká část zdánlivého výkonu se mění na výkon činný:

$$
\cos\varphi=\frac{P}{UI}=\frac{P}{S}.
$$

Obecně lze také říct:

$$
\varphi =\arctan(\frac{X_L - X_C}{R})
$$


  * $\cos\varphi=1$ – čistě odporová zátěž, všechen výkon je činný.
  * $\cos\varphi=0$ – čistě indukční nebo kapacitní zátěž, výkon je pouze jalový.
  * $0<\cos\varphi<1$ – kombinace odporových a reaktivních prvků.

=== Výpočet výkonu pomocí fázorů ===
Platí

$$
\widehat{S}=P+jQ,
$$

kde $j$ je imaginární jednotka.

Pro harmonický ustálený stav lze  tento vztah zapsat pomocí fázorů jako:

$$ \widehat{S} = \widehat{U} \cdot \widehat{I}^* $$

(hvězdička značí komplexně sdružené číslo)

Potom:

$$ \widehat{S} = U \cdot e^{j^{\varphi_{U}}} \cdot (I \cdot e^{j^{\varphi_{I}}})^* = UI e^{j^{\varphi_{U}}} \cdot e^{j^{\varphi_{I}}} = UI e^{j^{\varphi_{U} - \varphi_{I}}}$$

Označíme-li fázový posun mezi napětím a proudem

$$
\varphi=\varphi_U-\varphi_I,
$$

dostaneme

$$
\widehat{S}=UIe^{j\varphi}.
$$

Po rozkladu pomocí Eulerova vztahu

$$
e^{j\varphi}=\cos\varphi+j\sin\varphi
$$

získáme

$$
\widehat{S}
=
UI(\cos\varphi+j\sin\varphi).
$$

Porovnáním s rovnicí

$$
\widehat{S}=P+jQ
$$

dostáváme vztahy pro činný a jalový výkon:

$$
P=\operatorname{Re}\{\widehat{S}\}
=
UI\cos\varphi,
$$

$$
Q=\operatorname{Im}\{\widehat{S}\}
=
UI\sin\varphi.
$$

=== Okamžitý výkon ===

Okamžitý výkon je definován jako součin okamžitého napětí a proudu:

$$ p(t) = u(t)\cdot i(t) $$

Pro harmonické průběhy

$$
u(t)=U_m\sin(\omega t+\varphi_U),
$$

$$
i(t)=I_m\sin(\omega t+\varphi_I)
$$

Tedy po dosazení:

$$ p(t) = U_m sin(\omega t + \varphi_U) \cdot I_m sin(\omega t + \varphi_I) $$

Po použití goniometrického vzorce

$$
\sin\alpha\sin\beta
=
\frac12
\left[
\cos(\alpha-\beta)
-
\cos(\alpha+\beta)
\right]
$$

dostaneme

$$
p(t)
=
\frac{U_mI_m}{2}
\Big[
\cos(\varphi_U-\varphi_I)
-
\cos(2\omega t+\varphi_U+\varphi_I)
\Big].
$$

Vidíme, že okamžitý výkon se skládá ze:

  - **konstantní složky** $$ \frac{U_mI_m}{2}\cos(\varphi_U-\varphi_I),$$
  - **střídavé složky s dvojnásobnou frekvencí** $$-\frac{U_mI_m}{2} \cos(2\omega t+\varphi_U+\varphi_I).$$


=== Střední (činný) výkon ===

Činný výkon je [[statnice:bakalar:b4b17eam#stredni_a_efektivni_hodnota_harmonickeho_prubehu|střední hodnota]] okamžitého výkonu za jednu periodu:

$$
P
=
\frac1T
\int_0^T p(t)\,dt.
$$

Střední hodnota kosinu přes celou periodu je nulová, tedy

$$
\frac1T
\int_0^T
\cos(2\omega t+\varphi_U+\varphi_I)\,dt
=
0.
$$

Po integraci proto zůstane pouze konstantní složka:

$$
P
=
\frac{U_mI_m}{2}
\cos(\varphi_U-\varphi_I).
$$

Protože efektivní hodnoty jsou

$$
U=\frac{U_m}{\sqrt2},
$$

$$
I=\frac{I_m}{\sqrt2},
$$

a 

$$
\cos(\varphi) = \cos(\varphi_U-\varphi_I)
$$ 

lze psát také známý vztah

$$
P=UI\cos\varphi.
$$


{{:statnice:bakalar:pasted:20250514-141021.png?400}}
====== 14. Impedance prvků R, L, C ======

Impedance je komplexní fyzikální veličina. Značíme ji $Z$ a platí pro ni následující vztah

{{ :statnice:bakalar:impedance-diagram-for-normal-individual.png?250|}}

$$ \widehat{Z} = R + jX $$

kde $R$ je resistence, $j$ je imaginární jednotka a $X$ je reaktance (tj. jalový odpor).

Rezistenci způsobjí v obvodu prvky s odporem. Odpor samotný má však vliv pouze na reálnou část impedance, nepodílí se na fázovém posuvu.

$$ R: u = R \cdot i \quad \rightarrow \quad R = \frac{u}{i}  \quad \rightarrow X_R = 0$$

Reaktance má dvě složky - induktanci a kapacitanci. Pro ně platí

$$ L: u = L \frac{d i}{d t} \quad \rightarrow \mathrm{(pro\ harmonicky\ ustálený\ stav)} \quad \widehat{U} = j \omega L \widehat{I} \quad \rightarrow \quad \frac{\widehat{U}}{\widehat{I}} = j \omega L = X_L $$  

$$ C: i = C \frac{d u}{d t} \quad \rightarrow \mathrm{(pro\ harmonicky\ ustálený\ stav)} \quad \widehat{I} = j \omega C \widehat{U} \quad \rightarrow \quad \frac{\widehat{U}}{\widehat{I}} = \frac{1}{j \omega C} = \frac{-j}{\omega C} = X_C $$  

Proto je celková reaktance:

$$ jX = j\omega L + (\frac{-j}{\omega C}) = X_L - X_C $$

a celkově tak platí:

$$ Z = \sqrt{R^2 - X^2} $$

====== 15. Nakreslit sériový či paralelní LC rezonanční obvod, k čemu slouží ======
Rezonanční obvody slouží zvláště jako pásmové propusti a zádrže (filtry). Rezonance nastává tehdy, když se účinky cívky a kondenzátoru vzájemně vyruší.

=== Sériový rezonanční obvod ===

{{:statnice:bakalar:pasted:20250515-070658.png?300}}

(Pro LC obvod stačí odmazat rezistor a odpovídající člen v následující rovnici)

Pro impedanci sériového rezonančního obvodu platí vztah

$$
\widehat{Z} = R + j \omega L - \frac{j}{\omega C}
$$

tedy

$$
\widehat{Z} = R + jX
$$

== Rezonance ==

Zajímavý stav, který nazýváme rezonance, nastává pokud je reaktance nulová, tedy

$$
X = 0
$$

neboli

$$
Im\{\widehat{Z}\}=0.
$$

Platí tedy

$$
\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0.
$$

Úpravou dostaneme

$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}
$$

Úhlovou rychlost lze vyjádřit jako

$$
\omega = 2 \pi f.
$$

takže

$$
f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
$$

Tento vztah nazýváme //Thomsonův vztah// a udává rezonanční frekvenci obvodu.

V rezonanci se indukční a kapacitní reaktance vzájemně vyruší

$$
X_L = X_C.
$$

**Impedance** obvodu je **minimální** a rovná se pouze odporu

$$
Z = R.
$$

**Proud** odebíraný ze zdroje je proto **maximální**

$$
I = \frac{U}{R}.
$$

**Sériový** LC obvod tedy **rezonanční frekvenci dobře propouští** a chová se jako **pásmová propust**.

== Použití ==

Používá se například v:

  * laděných obvodech rádiových přijímačů,
  * pásmových filtrech,
  * rezonančních měničích,
  * indukčním ohřevu.

=== Paralelní rezonanční obvod ===

{{:statnice:bakalar:pasted:20250515-071742.png?300}}

Pro admitanci $\left(\widehat{Y}=\frac{1}{\widehat{Z}}\right)$ paralelního rezonančního obvodu platí

$$
\widehat{Y}
=
\frac{1}{R}
+
\frac{1}{j\omega L}
+
j\omega C
=
\frac{1}{R}
+
j\Big(\omega C-\frac{1}{\omega L}\Big).
$$

Rezonance nastává tehdy, když je imaginární složka admitance nulová

$$
Im\{\widehat{Y}\}=0,
$$

tedy

$$
\omega C-\frac{1}{\omega L}=0.
$$

Po úpravě získáme stejnou rezonanční frekvenci jako u sériového rezonančního obvodu

$$
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}
$$

a

$$
f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.
$$

V rezonanci se proudy protékající cívkou a kondenzátorem vzájemně kompenzují.

**Admitance** je **minimální** a **impedance maximální**.

Proud odebíraný ze zdroje je proto minimální, přestože mezi cívkou a kondenzátorem mohou obíhat velké proudy.

Paralelní rezonanční obvod se proto na rezonanční frekvenci chová jako **pásmová zádrž**.

== Použití ==

Paralelní LC se použivají například v:

  * oscilátorech,
  * anténních obvodech,
  * zádržných filtrech,
  * kompenzaci jalového výkonu.

=== pozn. ===
Sériová rezonance => minimální impedance, maximální proud.

Paralelní rezonance => maximální impedance, minimální proud ze zdroje.
====== 16. Činitel jakosti ======

{{:statnice:bakalar:pasted:20250515-075557.png?400}}

Obecně definujeme činitel jakosti prvku jako poměr 

$$ Q = 2\pi \frac{E}{E_T} $$

kde $ E $ je maximální akumulovaná energie na prvku a $ E_T $ je energie přeměněná na prvku za jednu periodu.

Pro **samostatný seriový RC a RL článek** platí, že enerie disipovaná za periodu je (při sinusovém průběhu) dána součinem průměrného výkonu na rezistoru a periody $T = \frac{1}{f}$ tedy
$$ E_t = E_r = \frac{I_m^2 R}{2f} $$ 

odtud po dosazení tohoto vztahu a vztahu pro maximální energii na prvku dostáváme vyjádření činitele jakosti pro RC a RL článek jako

$$ \mathrm{RL:} \quad E = \frac{1}{2} L I_m^2 \quad \mathrm{tedy} \quad Q = \frac{\frac{1}{2} L_m I^2}{\frac{I_m^2 R}{2f}} = \frac{\omega L}{R}$$
$$ \mathrm{RC:} \quad E = \frac{1}{2} C U_m^2 = \frac{1}{2}\frac{I_m^2}{\omega^2 C} \quad \mathrm{tedy} \quad Q = \frac{\frac{1}{2}\frac{I_m^2}{\omega^2 C}}{\frac{I_m^2 R}{2f}} = \frac{1}{\omega RC}$$ 



Pro **seriový RLC obvod** je v rezonanci naakumulováno konstantní množství energie. Platí, že když je napětí na kondenzátoru maximální, proud cívkou je nulový a platí 

$$ \frac{1}{2} C U_m^2 = \frac{1}{2} L I_m^2 $$


odtud lze vyvodit vztah

$$ Q_0 = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 R C} $$

Jak je vidět z přiloženého obrázku, proud je závislý na frekvenci, tedy i výkon $ P = I^2 R $ lze vyjádřit v závislosti na frekvenci. Při proudu $ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} $ je výkon roven polovině, 
tedy došlo k útlumu o 3 dB. To lze vyjádřit v závislosti na frekvenci jako body $f_-$ a $f_+$.

Rozdíl $f_+ - f_-$ budeme dále nazývat šířkou pásma ${B\!W}$.

Činitel jakosti tedy můžeme zapsat jako 

$$ Q_0 = \frac{\omega_0}{\omega_+ - \omega_-} =  \frac{f_0}{f_+ - f_-} =  \frac{f_0}{{B\!W}} $$

dále platí, že resonanční frekvence $f_0$ je geometrickým průměrem $f_0 = \sqrt{f_+ f_-}$


Pro **paralelní RLC obvod** se třemi větvemi platí analogicky, že je-li proud cívkou maximální je napětí na kondenzátoru nulové a $ \frac{1}{2} C U_m^2 = \frac{1}{2} L I_m^2 $. Tedy –

$$ Q_0 = \frac{R}{\omega_0 L} = \omega_0 RC $$
====== 17. Definice decibelu, proč jej používáme ======

obecně definujeme decibel jako

$$ dB = 10 log\frac{P}{P_0} $$

kde $P$ je sledovaná veličina a $P_0$ je referenční hodnota.
Například pro $dBm$ je $P_0 = 1\ mW$

Decibely užíváme u jednotek, u nichž vyžadujeme použití ve velkém dynamickém rozsahu. Například přijatý výkon anténou může být standardně v rozmezí $-30\ \mathrm{až}\ -90\ dBm$ (například pro Lora až $-120\ dBm$)
což odpovídá rozsahu $10^{-6}\ \mathrm{až}\ 10^{-12}\ W$

====== 18. Bipolární tranzistor a tranzistor řízený polem - výhody, nevýhody, použití. Dioda ======
** Dioda **

{{:statnice:bakalar:pasted:20250515-130142.png?200}}

Jeden PN přechod... 

** Bipolární tranzistor **

{{:statnice:bakalar:pasted:20250515-130327.png?200}}

Dva PN přechody...


{{:statnice:bakalar:pasted:20250515-130422.png?200}}

** Tranzistor řízený polem (FET) **

{{:statnice:bakalar:pasted:20250515-130903.png?200}}


Použití tranzistorů - spínač / zesilovač
====== 19. Elektromagnetická vlna, jak vypadají vektory E, H v takové vlně, co je to impedance prostředí ======

{{:statnice:bakalar:pasted:20250515-131742.png?200}}

Vektory $\vec{E}$ a $\vec{H}$ jsou na sebe kolmé.

** Impedance prostředí **

$$ Z = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j \omega\epsilon}} $$

pro $\sigma = 0$

$$ Z = \sqrt{\frac{\mu_0\mu_r}{\epsilon_0\epsilon_r}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{Z_0}{\sqrt{\epsilon_r}} $$


====== 20. Činitel odrazu na vedení, return loss, poměr stojatých vln ======

** Činitel odrazu na vedení **

$$ R = \frac{Z_L - Z_0}{Z_0 + Z_L} $$ kde $ Z_L $ je impedance zátěže a $ Z_0 $ charakteristická impedance vední

** Return loss **

$$ {R\!L} = 20 log |R| $$

** Poměr stojatých vln **

$$ {P\!S\!V} = \frac{1+|R|}{1-|R|} = \frac{U_{max}}{U_{min}} $$



====== 21. Základní typy a parametry antén (dipól, Yagi, trychtýř, reflektor...), impedance, zisk ======

Antény pro RF komunikaci mají standardizovanou impedanci na 50 Ohm ([[https://digital-library.theiet.org/doi/10.1049/pi-b-1.1955.0160|proč]] tl:dr je to kompromis mezi maximálním přenositelným výhonem, nejvyšším napětím a nejnižší ztrátou na koax kabelu)

  * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Dipole_antenna|dipól]] - zisk 2,15 dBi (tj. 0 dBd)
  * [[https://cs.wikipedia.org/wiki/Ant%C3%A9na_Yagi|yagi]] - zisk 6 až 14 dBi
  * [[https://www.radartutorial.eu/03.linetheory/tl50.cz.html|trychtýř]] - zisk 20 až 23 dB 
  * [[https://en.wikipedia.org/wiki/Reflector_(antenna)|reflektor]] - zisk závislý na průměru talíře a použité frekvenci.



====== 22. Vyzařovací charakteristika půlvlnného dipólu ======

{{:statnice:bakalar:pasted:20250515-123151.png?400}}
====== Zdroje Obrázků ======
  * Divergence [[ https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence#/media/File:Divergence_(captions).svg ]]
  * Gaussova věta [[ https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem#/media/File:Divergence_theorem_1_-_split_volume.png ]]
  * Dioda [[ https://www.electronics-tutorials.ws/wp-content/uploads/2013/08/diode7.gif ]]
  * BJT1 [[ https://www.allaboutelectronics.org/wp-content/uploads/2020/04/BJT_WB_1.png ]]
  * BJT2 [[ https://i.pcmag.com/imagery/encyclopedia-terms/bipolar-transistor-bipolar.fit_lim.size_512x.gif ]]
  * FET [[ https://cdn1.byjus.com/wp-content/uploads/2020/09/The-FET-Transistor-2.png ]]
  * vlna [[ https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/EM-Wave_noGIF.svg/1200px-EM-Wave_noGIF.svg.png ]]
  * Dipol [[ https://physics.stackexchange.com/questions/788829/wave-propagation-dipole-antenna ]]
  * zbytek vlastní
Trace: • b0b01ma1 • b4b32pks • b0b35lsp • b4b38nvs
Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code
