statnice:bakalar:b0b39pgr

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
====== Rastrový zobrazovací řetězec, jeho fixní a programovatelné bloky, programování pomocí shaderů. Typické transformace a jejich reprezentace. Osvětlovací model. Základní parametrické křivky. ======

[[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/31/32/p3132906|B0B39PGR]] [[https://cw.fel.cvut.cz/wiki/courses/pgr/start|Webové stránky předmětu]]

  * **Rastrový zobrazovací řetězec, jeho fixní a programovatelné bloky** – popis logických bloků v zobrazovacím řetězci a jejich funkce. Perspektivně správná interpolace. Vrstvy obrazové paměti a jejich účel (použití v bloku operací a testů). Textury – zobrazování (způsoby kombinace s osvětlením), filtrování, mip-mapping, mapa prostředí.
  * **Programování pomocí shaderů** – základní datové typy v GLSL (skalár, vektor, matice, sampler). Rozdíl mezi proměnnými in a uniform. Jak se přiřazují hodnoty proměnných z OpenGL do GLSL.
  * **Typické transformace a jejich reprezentace** – lineární a afinní transformace a jejich maticová reprezentace, homogenní souřadnice. Sestavení matice rotace podle jedné souřadné osy, škálování, nastavení kamery (lookAt) a záběru (viewport). Posloupnost souřadných systémů, kterými prochází vrchol, než získá souřadnice v rámci okna. Transformace vůči zadanému souřadnému systému. Matice rovnoběžného a perspektivního promítání. Gimbal lock. Interpolace translace a rotace (kvaterniony, lerp a slerp).
  * **Osvětlovací model** – normálový vektor a jeho použití při výpočtu osvětlení v bodě. Výpočet normály trojúhelníka. Interpolace normály a ostatních vektorů a proč se používají normalizované vektory. Phongův osvětlovací model, vzorce jednotlivých složek. Proč stačí kanály RGB (metamerismus)? Základní typy světel a jejich simulace ve Phongově osvětlovacím modelu. Metody stínování.
  * **Základní parametrické křivky** – interpolační (Ferguson, Catmull-Rom) a aproximační křivky (Bézier, B-spline, NURBS). Parametrická reprezentace. Spojitost při napojování segmentů. Adaptivní vykreslování Bézierovy křivky (algoritmus de Casteljau).

===== 1. Rastrový zobrazovací řetězec =====

==== 1. Popis rastrového zobrazovacího řetězce ====

Rastrový zobrazovací řetězec (pipeline) je sekvence operací, která převádí 3D scénu na 2D obraz. Obsahuje programovatelné (*) i fixní bloky.

**Pipeline kroky:**
  * **Vertex data** – vstupní data: pozice, normály, barvy, texturovací souřadnice.
  * **Vertex Shader** (*) – operace nad každým vertexem: transformace vertexů do prostoru kamery, výpočet osvětlení (per-vertex) a texturovacích souřadnic
  * **Tesselation** (*) – volitelně rozdělí geometrii na jemnější prvky (detailnější modely)
  * **Primitive Assembly** – spojení vertexů do základních grafických útvarů (primitiv - trojúhelníky, quady)
  * **Clipping** – odstraní části primitiv, které leží mimo pohledový objem (frustum)
  * **Back-face culling** – odstraní plochy, které jsou odvráceny od kamery (zrychluje vykreslování)
  * **Perspective Divide** – převod souřadnic do normalizovaného prostoru zařízení (NDC)
  * **Viewport Transform** – převede NDC souřadnice do okna aplikace (obrazovky)
  * **Geometry Shader** (*) – volitelně generuje nové vrcholy nebo primitiva z existujících
  * **Rasterizace** – převede primitiva na fragmenty (kandidáty na pixely)
  * **Fragment Shader** (*) – vypočítá barvu, texturu a efekty pro každý fragment
  * **Operace s fragmenty** – rozhodují, zda a jak se fragment vykreslí:
    * **Depth test** – fragment se vykreslí jen pokud je blíže k kameře než předchozí fragment (řeší zakrývání objektů)
    * **Stencil test** – umožňuje omezit vykreslování na specifické oblasti nebo tvary (např. efekty, zrcadla)
    * **Blending** – kombinuje barvu nového fragmentu s barvou již existující (například pro průhlednost nebo světelné efekty)
    * **Scissor test** – kreslí se jen fragmenty uvnitř předem definovaného obdélníku (používá se například při optimalizaci výpočtů)

{{:statnice:bakalar:pasted:20250311-101844.png?350}}

Poznámka: Fragment je soubor hodnot vytvořený rasterizací, který reprezentuje vzorek z oblasti jednoho pixelu vykreslovaného primitiva. Obsahuje například interpolovanou barvu, hloubku nebo pozici v okně.
==== 2. Perspektivně správná interpolace ====

Při rasterizaci musí být atributy (barvy, normály, texturovací souřadnice) interpolovány tak, aby respektovaly perspektivní zkreslení. Lineární interpolace v obrazovém prostoru by vedla ke zkreslení.

**Postup:**
1. Atributy vertexu se vynásobí hodnotou \( W_c \), kde:
\[
W_c = -z_{\text{eye}}
\]
2. Následuje lineární interpolace mezi vrcholy:
\[
A_{\text{interpolated}} = (1 - t) A_1 W_{c1} + t A_2 W_{c2}
\]
3. Výsledek se vydělí interpolovanou hodnotou \( W_c \):
\[
A = \frac{A_{\text{interpolated}}}{W_{c,\text{interpolated}}}
\]

Tím je dosaženo perspektivně správné interpolace.

==== 3. Vrstvy obrazové paměti ====

Různé vrstvy obrazové paměti slouží k uchovávání informací o scéně během vykreslování.

  * **Depth buffer (Z-buffer)** – ukládá hloubku každého pixelu vůči kameře. Zajišťuje, že blíže položené objekty překryjí vzdálenější.
  * **Stencil buffer** – obsahuje masku pro určení, které části obrazu se mají vykreslit. Používá se např. pro odrazy nebo výřezy.
  * **Color buffer** – obsahuje barevné hodnoty pixelů. Má dvě verze:
    * **Front buffer** – aktuálně zobrazovaný obraz.
    * **Back buffer** – obraz připravovaný v paměti před překreslením.
  * **Stereo buffer** – obsahuje dva obrazy (pro levé a pravé oko) pro stereoskopické zobrazování.

==== 4. Testy fragmentů ====

Při vykreslování jsou fragmenty testovány, zda mají být zapsány do framebufferu.

  * **Pixel ownership test** – testuje, zda pixel náleží aplikaci (například zda není překryt jiným oknem).
  * **Scissor test** – povolí vykreslení pouze uvnitř definovaného obdélníku.
  * **Depth test** – fragment je vykreslen jen pokud je blíže než již uložený pixel v depth bufferu.
  * **Stencil test** – kontroluje, zda fragment splňuje podmínky masky nastavené ve stencil bufferu.

==== 5. Operace s fragmenty ====

Po úspěšném průchodu testy mohou být fragmenty upraveny před zápisem do framebufferu.

  * **Blending** – míchání barvy fragmentu a barvy pozadí, umožňuje např. průhledné objekty.
  * **Logické operace** – provádí bitové operace mezi barvou fragmentu a barvou v bufferu (např. invertování nebo mazání).

==== 6. Textury ====

Textura je 2D obrázek nebo vzorek, který se aplikuje na povrch objektu pro zajištění detailu, barvy, lesku nebo průhlednosti.

=== Texturování ===
  * **Texture coordinates** – dvojice [s, t] nebo [u, v], které definují pozici texelu na ploše objektu.
  * **Dopředné mapování** – převod souřadnic textury na plochu modelu.
  * **Inverzní mapování** – výpočet texturových souřadnic zpětně z pozice fragmentu na obrazovce.

=== Filtering ===
Slouží ke zjemnění nebo zrychlení zobrazení textur při zvětšení nebo zmenšení.

  * **GL_NEAREST** – zvolí nejbližší texel; rychlé, ale vzniká aliasing (kostrbaté hrany).
  * **GL_LINEAR** – provádí vážený průměr několika texelů; hladší výsledek, vyšší náročnost.

=== Mip-Mapping ===
Optimalizační technika, kdy jsou předpočítané menší verze textury (pyramida textur různých rozlišení)
  * Při zmenšování objektu se použije odpovídající úroveň detailu → vyšší výkon a menší aliasing.

=== Opakování textur ===
Určuje, jak se textura chová mimo rozsah souřadnic [0, 1].

  * **Clamp** – opakuje poslední texel na okraji.
  * **Clamp to border** – okolí je vyplněno zvolenou barvou (často černou).
  * **Repeat** – textura se opakuje periodicky.
  * **Mirrored repeat** – textura se periodicky opakuje s převrácením.

==== 7. Sjednocení textury a světla ====

Při vykreslování se barva objektu určuje kombinací textury a světelného modelu:

\[
\text{Barva objektu} = \text{Textura} \times (\text{Ambient} + \text{Diffuse} + \text{Specular})
\]

Lze aplikovat více textur současně pomocí **alpha blending** (průhlednosti), což umožňuje například kombinovat základní texturu a detailní mapu.

==== 8. Environment mapping ====

Technika pro simulaci odlesků okolního prostředí na povrchu objektu.

  * **Sphere map** – sférická mapa prostředí, jednoduchá, ale odrazy správné jen z jednoho pohledu.
  * **Cube map** – šestiúhelníková textura tvořená 6 stranami krychle (±X, ±Y, ±Z); poskytuje realistické odlesky z různých směrů.

**Cube mapping** je dnes standard díky své univerzálnosti a podpoře dynamických odrazů v real-time grafice.

===== 2. Programování pomocí shaderů =====

==== 1. Shader a jeho význam ====

Shader je program běžící na GPU, který zpracovává grafická data během jednotlivých fází renderovací pipeline. Shadery umožňují velmi rychlé paralelní výpočty (**SIMD**).

**GLSL (OpenGL Shading Language)** je jazyk používaný k psaní shaderů.

Typy shaderů:
  * **Vertex shader** – operace s vrcholy (pozice, normály, textury).
  * **Fragment shader** – určuje barvu a vzhled každého fragmentu.
  * **Geometry shader** (volitelný) – generování nebo modifikace geometrie.
  * (další: tessellation shader, compute shader)

{{:statnice:bakalar:pasted:20250514-222243.png}}
==== 2. Základní datové typy v GLSL ====

  * **Skaláry** – `float`, `double`, `bool`, `int`, `uint`.
  * **Vektory** – např. `vec2`, `vec3`, `vec4`, `ivec3` (kombinace typu a dimenze).
  * **Matice** – `mat2`, `mat3`, `mat4` (čtvercové, obsahují `float`).
  * **Sampler** – speciální typ pro práci s texturami (`sampler2D`, `samplerCube`).

==== 3. Proměnné a jejich použití ====

  * **in** – vstupní proměnná shaderu; data z předchozí fáze pipeline (např. `in vec3 normal` ve fragment shaderu).
  * **out** – výstupní proměnná shaderu; předává data do další fáze pipeline.
  * **uniform** – globální proměnná neměnná během vykreslení jednoho objektu; nastavuje se z CPU přes OpenGL (např. `uniform mat4 modelViewMatrix`).

==== 4. Předávání dat z OpenGL do GLSL ====

**Uniformy**:
  * Získání polohy proměnné:  
    \[
    \text{location} = \text{glGetUniformLocation(program, "name")}
    \]
  * Nastavení hodnoty:  
    \[
    \text{glUniform*}(location, value)
    \]


V praxi to je např. glUniform1f, glUniform3fv

**Atributy (Vertex Attributes)**:
  * Vytvoření a naplnění bufferů (`VBO`, `VAO`).
  * Přiřazení atributů k vertex shaderu:
    * Získání polohy:  
      \[
      \text{location} = \text{glGetAttribLocation(program, "attributeName")}
      \]
    * Aktivace atributu:  
      \[
      \text{glEnableVertexAttribArray(location)}
      \]
    * Nastavení formátu:  
      \[
      \text{glVertexAttribPointer(location, size, type, normalized, stride, pointer)}
      \]

**Poznámka**: `stride` určuje vzdálenost mezi jednotlivými instancemi atributu, `pointer` určuje offset prvního prvku.

==== 5. Proces aplikace shaderů ====

  - Vytvoření a kompilace shaderů (vertex, fragment) pomocí GLSL zdrojového kódu.
  - Připojení shaderů k programu (`glAttachShader`) pro vytvoření kompletního pipeline.
  - Aktivace programu (`glUseProgram`) před vykreslováním geometrie.
  - Naplnění bufferů daty (`VBO`, `EBO`) obsahujícími vrcholy a indexy objektů.
  - Přiřazení dat shaderům (nastavení vertex atributů a uniformních proměnných).
  - Vykreslení scény voláním (`glDrawArrays`, `glDrawElements`) podle dat v bufferech.
  - Update scénických dat / animace pro dynamické změny v průběhu vykreslování.
  - Vyčištění frame bufferu (`glClear`) pro přípravu na další snímek.



===== 3. Typické transformace a jejich reprezentace =====

==== 1. Transformace a reprezentace ====
Transformace v grafice upravují pozice vertexů v prostoru a jsou reprezentovány maticemi (4×4). Rozlišujeme:
  * **Lineární transformace** – zahrnují škálování (scale) a rotace, neobsahují translaci.
  * **Afinní transformace** – rozšíření lineárních transformací o translaci.
  * **Homogenní souřadnice** – umožňují reprezentaci všech typů transformací jednotnou maticovou operací.

==== 2. Lineární a afinní transformace a jejich maticová reprezentace ====
  * Předpokládáme, že bod je sloupcový vektor souřadnic a ho maticí zleva (v OpenGL), pokud by byl řádkový a matice by byla transponovaná, násobil by se vektor zprava (DirectX)

=== Lineární transformace ===
  * **Rotace kolem osy X:**
    \[
    R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    \]
  * **Rotace kolem osy Y:**
    \[
    R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    \]
  * **Rotace kolem osy Z:**
    \[
    R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    \]   
  * **Škálování:**
    \[
    S(s_x, s_y, s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    \]
    
=== Afinní transformace ===
  * **Translace:**
    \[
    T(t_x, t_y, t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    \]
  * **Obecná afinní transformace se skládá z translace a lineární transformace:**
    \[
    A = \begin{bmatrix} L & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
    \]
    * kde \( L \) je 3×3 matice obsahující rotaci a škálování.

=== Rigidita (Proper Rigidity) ===
  * **Rigidní transformace** – zachovávají vzdálenosti mezi body objektu, a tím i jeho tvar.
  * Pokud rigidní transformace zahrnuje zrcadlení, dochází ke změně orientace souřadného systému.
  * **Testy rigidity:**
    * **Ortogonalita** – vektory jsou na sebe kolmé, což samo o sobě nestačí.
    * **Ortonormalita** – vektory jsou kolmé a jednotkové, determinant matice je 1.
    * **Determinant = -1** – označuje přítomnost lichého počtu zrcadlení.
    * **Determinant nelze použít jako spolehlivý test rigidity, pokud matice není ortogonální.**

==== 3. Homogenní souřadnice ====
  * V homogenních souřadnicích přidáváme čtvrtou souřadnici \( w \), což umožňuje jednotnou reprezentaci projekcí:
    \[
    (x, y, z) \to (xw, yw, zw, w)
    \]
  * **Interpretace souřadnice \( w \):**
    * Pro body je \( w = 1 \), což umožňuje aplikaci translací (posunutí).
    * Pro vektory je \( w = 0 \), což znamená, že nejsou ovlivněny translací (zůstávají pouze jako směry).

==== 4. Nastavení kamery (LookAt) a záběru (Viewport) ====
=== LookAt matice ===
Definuje pohled kamery na bod ve scéně, vstupy jsou:
  * **Eye** – pozice kamery
  * **Center** – bod, kam kamera míří
  * **Up** – směr nahoru

  * Výpočet os souřadného systému kamery:
  \[
  Z = \text{normalize}(E - C),\\ 
  X = \text{normalize}(\text{up} \times Z),\\ 
  Y = Z \times X
  \]

  * Matice LookAt:
  \[
  E = \begin{bmatrix} X & Y & Z & e \end{bmatrix}
  \]

=== Viewport ===
  * Transformace souřadnic Normalized Device Coordinates (NDC) do okna aplikace:
  \[
  O_x = x \frac{w}{2} + \frac{w}{2}, \\ 
  O_y = y \frac{h}{2} + \frac{h}{2} 
  \]

==== 5. Souřadné systémy a jejich transformace ====

{{:statnice:bakalar:pasted:20250311-101844.png?400}}

  * Proces, jakým prochází vertex od lokálního systému objektu až po vykreslení na obrazovce, lze popsat následovně:

  * **Objektový systém** – lokální souřadnice, definují pozici vertexů relativně k objektu.
    \[
    v_{obj} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \\ w_0 \end{bmatrix}
    \]

  * **Světový systém** – aplikací modelovací transformace se převádí vertex do globálního referenčního rámce:
    \[
    v_{world} = M \cdot v_{obj}
    \]

  * **Pohledový systém (kamera)** – aplikací pohledové transformace (LookAt matice) přesuneme vertexy do souřadnic kamery (oka):
    \[
    v_{view} = V \cdot v_{world}
    \]

  * **Projekční systém a ořezávací souřadnice (clipping)** – pomocí projekční matice (ortogonální nebo perspektivní) transformujeme souřadnice do tzv. ořezávacího prostoru (clipping space):
    \[
    v_{clip} = P \cdot v_{view}
    \]
      * Následuje clipping, kdy se odstraní vertexy mimo pohled kamery.

  * **Normalizované souřadnice zařízení (NDC)** – provede se perspektivní dělení, normalizace podle homogenní složky \( w \):
    \[
    v_{NDC} = \frac{v_{clip}}{w}
    \]

  * **Souřadnice okna (viewport transformace)** – nakonec se NDC transformují do okna aplikace (viewport):
    \[
    v_{window} = V_p \cdot v_{NDC}
    \]

==== 6. Projekční matice ====

  * **Rovnoběžná (ortogonální) projekce** – nezohledňuje perspektivu, všechny body jsou promítány rovnoběžně na projekční rovinu. Používá se například pro technické výkresy.
  * **Perspektivní projekce** – zohledňuje vzdálenost, blízké objekty jsou větší než vzdálené. Používají se homogenní souřadnice.

  * **Perspektivní projekční matice** – reprezentuje převod ze světového prostoru do projekčního prostoru:
    \[
    \begin{bmatrix} 
    \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 
    0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 
    0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\ 
    0 & 0 & -1 & 0 
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Ortogonální projekční matice** – slouží pro ortogonální zobrazení, kde nejsou objekty zkresleny perspektivou:
    \[
    \begin{bmatrix} 
    \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 
    0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 
    0 & 0 & -\frac{2}{f-n} & 0 \\ 
    0 & 0 & 0 & 1 
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Perspektivní matice** – tato matice odpovídá za převod hloubky do homogenních souřadnic:
    \[
    \begin{bmatrix} 
    n & 0 & 0 & 0 \\ 
    0 & n & 0 & 0 \\ 
    0 & 0 & n+f & fn \\ 
    0 & 0 & -1 & 0 
    \end{bmatrix}
    \]

  * **Vztah mezi projekčními maticemi** – Perspektivní projekční matice je výsledkem násobení ortogonální projekční matice a perspektivní matice:
    \[
    P_{perspective} = P_{orthographic} \cdot P_{perspective\_depth}
    \]

==== 7. Gimbal Lock ====
  * Rotace kolem dvou os může vést ke ztrátě osy volnosti. Možné řešení:
    * **Použití kvaternionů místo Eulerových úhlů.**

==== 8. Interpolace translace a rotace ====

Kvaterniony poskytují stabilní a efektivní způsob reprezentace a interpolace rotací v počítačové grafice. Oproti maticové reprezentaci nevedou k problémům jako je **Gimbal Lock** a umožňují plynulejší interpolaci.

=== Kvaterniony ===
  * Kvaterniony jsou čtyřrozměrné vektory (skalární část \( q_0 \) a trojrozměrná imaginární část \( \mathbf{q} \)), které rozšiřují komplexní čísla pro reprezentaci rotací:
    \[
    q = q_0 + \mathbf{q} = q_0 + q_1 i + q_2 j + q_3 k
    \]

  * **Ryzí kvaternion** – nemá skalární část: \( q_0 = 0 \).
  * **Jednotkový kvaternion** – má normu \( |q| = 1 \) a představuje rotaci.
  * **Sdružený kvaternion** – kvaternion s opačnou imaginární částí:
    \[
    q^* = q_0 - \mathbf{q}
    \]
  * **Inverzní kvaternion** – vypočítá se jako:
    \[
    q^{-1} = \frac{q^*}{|q|^2}
    \]

  * **Násobení kvaternionů**:
    * **Ryzí kvaterniony**:
      \[
      pq = -\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} + \mathbf{p} \times \mathbf{q}
      \]
    * **Obecné kvaterniony**:
      \[
      p q = p_0 q_0 - \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} + p_0 \mathbf{q} + q_0 \mathbf{p} + \mathbf{p} \times \mathbf{q}
      \]

  * Kvaterniony lze získat **z rotace maticí** nebo **ze dvou vektorů pomocí úhlu a normalizovaného vektorového součinu**.

=== Kvaternion jako rotace ===
  * Kvaterniony umožňují reprezentaci rotace kolem osy \( \mathbf{u} \) o úhel \( \alpha \):
    \[
    q = \cos \frac{\alpha}{2} + \mathbf{u} \sin \frac{\alpha}{2}
    \]

  * \( \mathbf{u} \) – jednotkový vektor osy rotace, \( \alpha \) – úhel rotace.

=== Interpolace kvaternionů v animaci ===
Interpolace mezi dvěma kvaterniony se používá k plynulé změně rotace v čase.

  * **LERP (Linear Interpolation)** – lineární interpolace mezi dvěma kvaterniony:
    \[
    LERP(q_1, q_2, t) = (1 - t) q_1 + t q_2
    \]
    * Zajišťuje konstantní rychlost interpolace, ale nemusí udržovat jednotkovou délku kvaternionu.
  
  * **nLERP (Normalized LERP)** – varianta LERP, která normalizuje výsledek:
    \[
    nLERP(q_1, q_2, t) = \text{normalize}((1 - t) q_1 + t q_2)
    \]
    * Udržuje jednotkovou délku, ale neinterpoluje s konstantní úhlovou rychlostí.
  
  * **SLERP (Spherical Linear Interpolation)** – interpolace po jednotkové sféře:
    \[
    SLERP(q_1, q_2, t) = \frac{\sin((1 - t) \theta)}{\sin \theta} q_1 + \frac{\sin(t \theta)}{\sin \theta} q_2
    \]
    * Zachovává konstantní úhlovou rychlost a je ideální pro plynulé rotace velkých úhlů.

  * Kvaterniony jsou v počítačové grafice široce používány pro **animaci kamer, objektů, pohybových trajektorií a fyzikálních simulací**.


===== 4. Osvětlovací model =====

==== 1. Normálový vektor a jeho použití při výpočtu osvětlení ====
  * **Normálový vektor** je vektor kolmý na povrch, který ovlivňuje výpočet osvětlení a směr odrazu světla.
  * Určuje, jak se světlo odráží od povrchu a jak intenzivní bude osvětlení v daném bodě.
  * Normála musí být **normalizována**, aby měla jednotkovou délku:
    \[
    \vec{n}_{normalized} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}
    \]
  * Každý vertex musí mít přiřazený normálový vektor.
  * **Normály nejsou automaticky počítány v OpenGL**, musí být definovány a uloženy v bufferu.
  * **U plochých povrchů** (flat surface) stačí jedna normála na celý povrch.
  * **U zakřivených povrchů** (curved surface) se normála mění v každém bodě.

==== 2. Výpočet normály trojúhelníka ====
  * Normála trojúhelníka se vypočítá jako **vektorový součin** dvou hran trojúhelníka:
    \[
    \vec{n} = \text{normalize}(\vec{CB} \times \vec{CA})
    \]
  * Výsledná normála musí být **normalizována**, aby měla jednotkovou délku.

==== 3. Interpolace normály a proč se musí normalizovat ====
  * Při interpolaci normál ve fragment shaderu dochází ke zkrácení jejich délky.
  * Interpolované normály musí být v fragment shaderu znovu normalizovány.
  * **Příčina zkrácení normál** – během interpolace mezi vertexy nejsou normály vždy udržovány s jednotkovou délkou.
  * **Rigidní transformace (rotace, translace)** nemění délku normál, zatímco nelineární transformace (škálování) mohou délku změnit.

=== Bonus: Transformace normálových vektorů ====
== Proč je nutné transformovat normály ==
  * **Pokud je aplikována nerigidní transformace**, například neuniformní škálování, normálový vektor ztratí kolmou orientaci k povrchu.
  * K opravě normály se používá **normálová matice**, která se vypočítá jako transponovaná inverzní matice modelu:
    \[
    N = (M^{-1})^T
    \]
  * U rigidních transformací platí zjednodušení: 
    \[
    M^{-1} = M^T \Rightarrow N = M_{3 \times 3}
    \]

== Škálování a normály ==
  * **Uniformní škálování** ovlivňuje délku normálového vektoru násobením škálovacím faktorem \( k \).
  * Zjednodušení výpočtu:
    \[
    \vec{n'} = \frac{\vec{n}}{k}
    \]
  * což ušetří výpočetní výkon při normalizaci.

== Výpočet normál pro základní tvary ==
  * **Krychle** – Každá plocha má vlastní normálu, vertexy sdílejí normály sousedních ploch.
  * **Koule** – Normála v bodě \( P \) se vypočítá jako:
    \[
    \vec{n} = \text{normalize}(P - \text{origin})
    \]
  * **Trojúhelníky a síť (mesh)**:
    * Normála trojúhelníka: 
      \[
      \vec{n} = \text{normalize}(\text{crossProduct}(\text{edge}_1, \text{edge}_2))
      \]
    * **Pro síť (mesh)** se normála vertexu počítá jako **průměr normalizovaných normál sousedních polygonů**:
      \[
      \vec{N} = \text{normalize}(\sum_{i=0}^{pcount} \vec{N}_i)
      \]

==== 4. Phongův osvětlovací model ====
  * Lokální empirický model osvětlení používaný v počítačové grafice.
    {{:statnice:bakalar:pasted:20250312-135525.png?350}}
  * Počítá osvětlení na základě normálového vektoru a směru světla.
  * Neřeší globální světelné efekty jako odrazy nebo lomy světla.
  * **Osvětlení se počítá zvlášť pro kanály R, G, B** a výsledná barva je jejich součet.
  * Celková barva bodu:
    \[
    \text{color} = \text{emission} + \text{globalAmbient}_\text{reflected} + \sum \text{light}_i
    \]
  * Každý světelný příspěvek:
    \[
    \text{light}_i = \text{spotlightEffect} \times \text{attenuationFactor} \times (\text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected})
    \]

=== 4.1 Ambientní složka ===
  * **Ambientní složka (ambient reflection)** simuluje nepřímé osvětlení, které je rovnoměrně rozptýlené po scéně.
  * Nezávisí na směru světla ani pohledu kamery.
    \[
    \text{ambient}_\text{reflected} = \text{ambient}_\text{light} \cdot \text{ambient}_\text{material}
    \]
  * **Globální ambientní složka**:
    \[
    \text{globalAmbient}_\text{reflected} = \text{globalAmbient}_\text{environment} \cdot \text{ambient}_\text{material}
    \]
  * Bez ambientního světla jsou neosvětlené části úplně černé.

=== 4.2 Difuzní složka ===
  * **Difuzní složka (diffuse reflection)** závisí na úhlu dopadajícího světla. Používá Lambertův model:
    \[
    \text{diffuse}_\text{reflected} = \max(\cos\alpha, 0) \cdot \text{diffuse}_\text{light} \cdot \text{diffuse}_\text{material}
    \]
  * kde \( \cos\alpha = \vec{l} \cdot \vec{n} \)
  * Světlo je rozptýleno rovnoměrně všemi směry.

=== 4.3 Spekulární složka ===
  * **Spekulární složka (specular reflection)** modeluje odraz světla v konkrétním směru.
    \[
    \text{specular}_\text{reflected} = [\max(cos\,\beta,0)]^\text{shininess} \cdot \text{specular}_\text{light} \cdot \text{specular}_\text{material}
    \]
  * kde \( \cos\beta = \vec{c} \cdot \vec{r} \)
  * Odražený vektor:
    \[
    \vec{r} = -\vec{l} + 2(\vec{l} \cdot \vec{n})\vec{n}
    \]
  * **Shininess** určuje ostrost odlesku.

=== 4.4 Emisivní složka ===
  * **Emisivní světlo (emissive light)** simuluje objekty, které samy vydávají světlo.
  * Není ovlivněno žádnými jinými světelnými zdroji.
  * Používá se např. pro světelné objekty nebo obrazovky.

=== 4.5 Skládání složek ===
  * Celkové osvětlení je součet všech složek:
    \[
    \text{color} = \text{emission} + \text{globalAmbient}_\text{reflected} + \sum \text{light}_i
    \]
  * Každá složka se počítá zvlášť pro kanály RGB.
  * Výsledná hodnota je omezena na rozsah \( \langle 0,1 \rangle \).

=== Bonus: Illuminační modely ===
  * **Illuminační model** určuje, jak je světlo vypočítáno na povrchu objektu.
  * Barva bodu závisí na materiálu, světelných zdrojích a úhlu pohledu.

  * **Fyzikální modely** – přesné, berou v úvahu celý světelný tok (např. Lambert).
  * **Empirické modely** – přibližné, rychlé pro real-time (např. Phong).

  * **Lokální modely** – výpočet osvětlení pro každý bod zvlášť, neřeší odrazy.
  * **Globální modely** – berou v úvahu odrazy a stíny (např. ray tracing).

== Vstupní parametry ==
  * **\( \vec{n} \)** – normálový vektor.
  * **\( \vec{l} \)** – směr ke světlu.
  * **\( \vec{r} \)** – odražený vektor.
  * **\( \vec{v} \)** – směr kamery.
  * **Materiálové vlastnosti** – barva, lesklost, emisivita.


==== 5. Metamerismus ====
  * Vjem, kdy se dvě různé barvy jeví stejně, i když mají odlišné spektrální složení.
  * RGB je dostačující díky třem typům čípků v lidském oku, což umožňuje efektivní reprezentaci barev v digitálních obrazech.
  * **Chromatická adaptace** – mozek kompenzuje barevné změny okolního osvětlení (např. white balance u kamer).  
  * **Purkyňův jev** – při slabém světle je oko citlivější na modré tóny, červené barvy se jeví tmavší.  

=== Bonus: Vnímání barev a spektrální odrazivost ===  
  * Barva objektu závisí na **spektrofotometrické odrazivosti** povrchu:  
    \[
    L_{\text{reflected}}(\lambda) = L_{\text{incoming}}(\lambda) \cdot \rho(\lambda)
    \]
  * Různé materiály odrážejí světlo různě podle vlnové délky, což ovlivňuje jejich vnímanou barvu.  

==== 6. Typy světelných zdrojů ve Phongově modelu ====
  * Světelné zdroje jsou **neviditelné**, pouze osvětlují objekty ve scéně.
  * Každý vertex je ovlivněn všemi zapnutými světly.
  * Stíny nejsou ve Phongově modelu řešeny – je nutný speciální algoritmus.

=== 6.1 Směrové světlo (Directional Light) ===
{{:statnice:bakalar:pasted:20250312-142740.png?200}}
  * Má pouze **směr**, ne polohu.
  * Neztrácí intenzitu s rostoucí vzdáleností (žádná atenuace).
  * Výpočet světla:
    \[
    \text{light}_i = \text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected}
    \]
  * Vektor světla \( \vec{l} \) je normalizovaný směr ke světelnému zdroji.

=== 6.2 Bodové světlo (Point Light) ===
{{:statnice:bakalar:pasted:20250312-143033.png?200}}
  * Má konkrétní **pozici** ve scéně.
  * Intenzita klesá se vzdáleností (atenuace).
  * Směr světla:
    \[
    \vec{l} = \text{normalize}(\text{pozice}_\text{světla} - \text{bod})
    \]
  * Atenuace:
    \[
    \text{attenuationFactor} = \frac{1.0}{k_C + k_L \cdot d + k_Q \cdot d^2}
    \]
  * Výpočet světla:
    \[
    \text{light}_i = \text{attenuationFactor} \times (\text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected})
    \]

=== 6.3 Reflektor (Spotlight) ===
{{:statnice:bakalar:pasted:20250312-143714.png?200}}
  * Bodové světlo s **kuželovým vyzařováním**.
  * Bere v úvahu **směr reflektoru** a **úhel kužele**.
  * Výpočet intenzity v kuželu:
    \[
    \text{spotlightEffect} = (\vec{\text{spot}} \cdot \vec{l})^\text{SPOT\_EXPONENT}
    \]
  * Výpočet světla:
    \[
    \text{light}_i = \text{spotlightEffect} \times \text{attenuationFactor} \times (\text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected})
    \]

=== Bonus: Materiály ===  
  * **Materiál ovlivňuje interakci povrchu se světlem** – určuje, jaká část světla se pohltí, odrazí nebo rozptýlí.  
  * **Hlavní vlastnosti materiálu:**  
    * **Ambientní barva** – základní barva materiálu při nepřímém osvětlení.  
    * **Difuzní barva** – rozptýlené světlo, závisí na úhlu dopadu.  
    * **Spekulární barva** – barva odlesků, závisí na směru pohledu.  
    * **Emisivní barva** – světlo vyzařované materiálem.  
    * **Shininess** – určuje ostrost odlesků (vyšší hodnota = ostřejší odlesky).  
  * **Isotropní materiály** – odrážejí světlo rovnoměrně všemi směry (plast, matné kovy).  
  * **Anizotropní materiály** – odrážejí světlo směrově (leštěný kov, vlasy).  

== Způsoby zadávání materiálů v shaderech ==  
  * **Hardcoded** – pevně definované v kódu shaderu.  
  * **Uniform proměnná** – stejný materiál pro celý objekt.  
  * **Textury** – různé mapy (diffuse, specular, normal) umožňují detailní variace.

==== 7. Metody stínování ====
  * Metody stínování určují, jak se provádí výpočet osvětlení povrchů objektů:
    * **Flat Shading** – každý polygon má konstantní barvu, určenou normálou středu polygonu nebo jednoho z vertexů.
      * **Výhoda** – rychlé výpočty.
      * **Nevýhoda** – viditelné hrany mezi polygony, nereálný vzhled.
    * **Gouraud Shading** – výpočet osvětlení ve vrcholech a interpolace barvy uvnitř polygonů.
      * **Výhoda** – hladší přechody než Flat Shading.
      * **Nevýhoda** – odlesky mohou být nepřesné nebo se ztratit.
    * **Phong Shading** – interpolace normál mezi vertexy a výpočet osvětlení pro každý pixel.
      * **Výhoda** – nejrealističtější výsledek, přesné odlesky a hladké přechody.
      * **Nevýhoda** – vyšší výpočetní náročnost.

===== 5. Základní parametrické křivky =====
{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-120704.png?300}}

==== 1. Parametrická reprezentace křivek ====

Křivky můžeme popsat třemi hlavními způsoby:

  * **Explicitní reprezentace** – křivka je vyjádřena jako funkce \( y = f(x) \). Lze použít jen pro jednoduché křivky, nelze ji snadno použít v 3D nebo při rotacích.
  
  * **Implicitní reprezentace** – křivka je definována rovnicí \( F(x, y) = 0 \). Vhodná pro testování, zda bod leží na křivce, ale obtížná pro 3D.
  
  * **Parametrická reprezentace** – souřadnice bodu jsou funkcemi parametru \( t \):
\[
x = x(t),\ y = y(t),\ z = z(t)
\]
Výhody:
  * Lze snadno určit libovolný bod na křivce.
  * Funguje i v 3D, na rozdíl od explicitní (např. \( y = f(x) \)) nebo implicitní (\( F(x,y) = 0 \)) reprezentace.
  * Parametrizace není jednoznačná: stejná křivka může být popsána různými funkcemi.

==== 2. Spojitost křivek ====
{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-121934.png?300}}

Křivky používané v počítačové grafice bývají složené z více segmentů – dílčích úseků, které dohromady tvoří celou křivku \( Q(t) \). Každý segment (např. \( Q_0(t), Q_1(t), \ldots \)) je typicky popsán polynomiálně a má zajištěnou plynulost uvnitř sebe.

Aby však celá složená křivka působila plynule, je potřeba řešit **spojitost v místech napojení segmentů** – tzv. **uzlech (join points, knot points)**. Uzel je bod, kde končí jeden segment a začíná další, např. \( Q_0(1) = Q_1(0) \).

V praxi vyžadujeme, aby jednotlivé segmenty na sebe navazovaly nejen v poloze, ale i ve směru nebo rychlosti – podle toho rozlišujeme různé **typy spojitosti**:

  * **Spojitost křivky uvnitř segmentu** je zajištěna přímo její parametrickou definicí (např. polynomem).
  * **Spojitost mezi segmenty** je klíčová pro zachování vizuálně plynulého tvaru celé křivky.

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122115.png?200}}
{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122139.png?130}}

=== Parametrická spojitost (C) ===

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122227.png?200}}

Zohledňuje **směr i velikost** derivací (rychlost, zrychlení). Pokud je parametrická spojitost splněna, je zaručena i geometrická spojitost.
  * **C0** – křivky končí a začínají ve stejném bodě.
  * **C1** – křivky mají v místě napojení stejný směr a velikost první derivace (rychlosti).
  * **C2** – shoda i druhé derivace (zrychlení).

=== Geometrická spojitost (G) ===
Zohledňuje pouze **směr** derivací bez ohledu na velikost. Poskytuje vizuálně hladké přechody, ale bez zajištění konzistentní rychlosti.
  * **G0** – stejný bod (jako C0).
  * **G1** – stejné směry tečen, ale mohou mít různou velikost (plynulý přechod).
  * **G2** – stejné směry a akcelerace, velikosti se mohou lišit.

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122338.png?350}}

==== 3. Interpolační křivky ====

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122441.png?300}}

Interpolační křivky vždy **procházejí všemi zadanými kontrolními body**. Jsou vhodné například pro animace trajektorií, protože přesně sledují zadané pozice. Změna polohy jednoho bodu ovlivní i sousední segmenty.

=== Fergusonova (Hermitova) křivka ===

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122725.png?300}}

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122755.png?250}}

Parametrická kubická křivka definovaná dvěma body a jejich tečnami (směry v daných bodech).  
Používá 4 bázové funkce, které kombinují pozice a tečny:
\[
P(t) = h_1(t)P_0 + h_2(t)P_1 + h_3(t)T_0 + h_4(t)T_1
\]
  * Zajišťuje spojitost **C1** (plynulé napojení polohy a rychlosti).
  * Vhodná pro definování pohybových drah nebo animace kostí v počítačové grafice.
  * Výhodou je možnost přesně ovlivnit směr a rychlost pohybu v klíčových bodech.

=== Catmull-Rom spline ===

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-123528.png?200}}

Speciální typ kubické Hermitovy křivky, která **automaticky generuje tečny** z okolních bodů.  
Tečna ve středu mezi dvěma body se určuje jako:
\[
T_i = \frac{P_{i+1} - P_{i-1}}{2}
\]
  * Výrazně usnadňuje použití, protože nejsou potřeba ručně definované tečny.
  * Zajišťuje hladké přechody mezi body s parametrickou spojitostí **C1**.
  * Velmi často se používá při animacích pohybu kamery, objektů nebo částic podél cesty definované body.

==== 4. Aproximační křivky ====

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122843.png?300}}

Aproximační křivky **neprocházejí přímo kontrolními body**, ale jejich poloha a váha určují tvar křivky. Používají se tam, kde je důležitá hladkost a flexibilita křivky. Výhodou je i **lokální vliv změn** – posun kontrolního bodu ovlivní jen část křivky.

=== Bézierova křivka ===

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122908.png?200}}

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122951.png?150}}

Křivka definovaná pomocí Bernsteinových polynomů:
\[
B(t) = \sum_{i=0}^{n} b_i B_{i,n}(t)
\]
kde:
\[
B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{n - i} t^i
\]
  * **C0 spojitost** – poslední bod první křivky je shodný s prvním bodem druhé.
  * **C1 spojitost** – dosažitelná vhodným symetrickým umístěním ovládacích bodů.
  * Nejčastější je **kubická Bézierova křivka** (4 body, stupeň 3).
  * Používá se v počítačové grafice, typografii (fonty), vektorové grafice a animacích.
  * Jednoduchá implementace, ale globální vliv – změna bodu ovlivní celou křivku.

=== Bonus: Bernsteinovy polynomy ===
Bernsteinovy polynomy tvoří základní bázové funkce Bézierových křivek.  
Pro stupeň \( n \) a index \( i \) jsou definovány jako:
\[
B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{n - i} t^i
\]
kde \( t \in [0,1] \).  
Mají tyto vlastnosti:
  * Všechny hodnoty jsou nezáporné.
  * Mají maximum v jediném bodě.
  * Součet všech polynomů daného stupně je vždy 1:
\[
\sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) = 1
\]
Tím zajišťují stabilitu a plynulou interpolaci mezi kontrolními body.

=== Algoritmus de Casteljau ===

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-123058.png?300}}

Stabilní numerická metoda pro výpočet bodu na Bézierově křivce:
  * Funguje na principu opakované lineární interpolace mezi body:
\[
P_{i}^{r}(t) = (1 - t) P_{i}^{r-1} + t P_{i+1}^{r-1}
\]
kde \( P_{i}^{0} = P_i \) jsou původní kontrolní body.  
  * Opakuje se, dokud nezůstane jediný bod \( P_{0}^{n}(t) \), což je bod na křivce.  
  * Umožňuje rozdělit křivku na dvě menší v libovolném parametru \( t \).  
  * Používá se při adaptivním vykreslování a vektorových editorech.  

**Rozdíl:** de Casteljau algoritmus přímo počítá body Bézierovy křivky a umožňuje její stabilní dělení.

=== B-Spline ===
Segmentovaná polynomiální křivka s možností řízení tvaru přes tzv. **uzlový vektor**:
  * **Uniform B-Spline** – uzly jsou rozloženy pravidelně (rovnoměrné segmenty).
  * **Non-Uniform B-Spline (NUBS)** – uzly lze rozmístit libovolně, což dává větší kontrolu nad tvarem.
  * Zajišťuje **C2 spojitost** – plynulé spojení segmentů (pozice, tečna i křivost).
  * **Lokální vliv** – změna jednoho kontrolního bodu ovlivní jen příslušný úsek křivky.
  * Využití: animace, CAD modelování, počítačová grafika.

=== Coonsova křivka ===

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-122925.png?200}}

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-123148.png?150}}

Speciální případ uniformního kubického B-Spline:
  * Definována čtyřmi kontrolními body.  
  * Pozice bodu na křivce je dána lineární kombinací těchto bodů pomocí bázových funkcí:  
\[
P(t) = \sum_{i=0}^{3} B_i(t) P_i
\]
kde \( B_i(t) \) jsou uniformní kubické B-Spline funkce.  
  * Kontrolní body neleží přímo na křivce, ale určují její průběh.  
  * Tangenty v krajních bodech jsou rovnoběžné s úsečkami ke krajním bodům.  
  * Při sdílení dvou sousedních bodů lze dosáhnout **C2 spojitosti**.  
  * Křivka **prochází antitěžištěm** svých čtyř kontrolních bodů – tedy bodem, který je aritmetickým průměrem jejich souřadnic. Tento bod ovlivňuje celkový tvar křivky a přispívá k její symetrii.

{{:statnice:bakalar:pasted:20250527-123218.png?200}}

**Rozdíl:** Coonsova křivka je aproximační (křivka neprochází kontrolními body), zatímco de Casteljau je interpolační pro Bézierovy křivky.

=== Bonus: Výpočetní náročnost křivek ===

Při práci s křivkami v grafice je důležitá i **efektivita výpočtu** a **vhodnost použití** pro různé účely.

  * **Bézierovy křivky**:
    * Výpočet bodu na křivce: pomocí **de Casteljau algoritmu** (rekurzivní interpolace), náročnost roste s počtem bodů.
    * **Nevýhoda**: změna jednoho kontrolního bodu ovlivní celou křivku (globální vliv).
    * **Výhoda**: jednoduché na implementaci, vhodné pro krátké segmenty nebo přesně řízené tvary.

  * **B-Spline**:
    * Výpočet bodu pomocí **rekurze Cox–de Boor** – bod se určuje postupným váženým zprůměrováním sousedních bodů podle uzlového vektoru.
    * **Výhoda**: **lokální vliv** – změna bodu ovlivní jen část křivky.
    * **Lepší škálování** při animacích a komplexních modelech (např. CAD, modelování povrchů).

Obecně platí:
  * **Bézier** – rychlejší pro malé množství bodů, intuitivnější řízení.
  * **B-Spline** – výhodnější pro složitější, dlouhé nebo dynamicky měněné křivky.

=== NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline) ===

NURBS (neuniformní racionální B-Spline) jsou **nejobecnější formou křivek používaných v počítačové grafice a modelování**. Umožňují velmi přesně řídit tvar pomocí **vážených kontrolních bodů** a **nepravidelného rozložení uzlů**.

\[
P(t) = \frac{\sum N_{i,p}(t) w_i P_i}{\sum N_{i,p}(t) w_i}
\]

  * \( P_i \) jsou **kontrolní body**
  * \( w_i \) jsou jejich **váhy** – čím větší váha, tím více křivka přiléhá k danému bodu
  * \( N_{i,p}(t) \) jsou **B-Spline bázové funkce** stupně \( p \)
  * Výraz je **racionální zlomek** – jmenovatel zajišťuje správnou normalizaci váženého průměru

**Důležité vlastnosti a pojmy:**
  * **Afinní i perspektivní invariantnost** – NURBS zachovávají tvar i při projekcích (např. kamera).
  * **Homogenní souřadnice** \((xw, yw, zw, w)\) umožňují efektivní práci s váhami a transformacemi.
  * Dokážou přesně reprezentovat klasické tvary jako **kružnice, elipsy, kužely, válce** nebo složité CAD objekty.
  * **Uzlový vektor** nemusí být rovnoměrný – neuniformní rozložení umožňuje větší flexibilitu tvaru.
  * Umožňují **libovolnou spojitost** až po **C2**, závisle na stupni a opakování uzlů.

NURBS jsou dnes **standardem v CAD systémech, 3D grafice a průmyslovém návrhu**, protože spojují přesnost, flexibilitu a efektivní výpočet.
Trace: • b6b36ts1 • b4m36zks • b4b38psia • b0b36pjv • b4b32pks • b4b01jag • b4b39hry • exams • kdo_si_co_vytahl • b4m39nur
Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code
