statnice:bakalar:b0b01ma1

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====

[[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]]

  * **Maximum, minimum, supremum a infimum** – množiny reálných čísel, jejich existence.
  * **Pojem funkce** – inverzní funkce a její existence, monotonie a (lokální) extrémy funkcí a jejich vyšetřování pomocí derivace. Vlastnosti (monotonie, limity) základních funkcí (mocniny, exponenciální, sinus, kosinus, tangens a k nim inverzní).
  * **Limita funkce** – její jednoznačnost, způsoby výpočtu (součet, rozdíl, součin, podíl, l’Hospitalovo pravidlo).
  * **Spojitost funkce** – spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu, složené funkce. Vlastnosti spojitých funkcí na intervalu: nabývání mezihodnot, existence primitivní funkce, nabývání maxima a minima na uzavřeném intervalu, existence určitého integrálu.
  * **Derivace funkce** – její geometrický význam, výpočet derivace pro součet, rozdíl, součin a podíl funkcí, složenou funkci. Souvislost derivace se spojitostí.
  * **Neurčitý a určitý integrál** – vztahy mezi nimi (Newtonova–Leibnizova formule, primitivní funkce jako určitý integrál s proměnnou horní mezí). Linearita, integrace per partes, substituce. Integrace mocnin, exp, sin, cos.
  * **Definice číselné řady** – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo).

===== 1. Maximum, minimum, supremum a infimum – množiny reálných čísel, jejich existence. =====

Při práci s množinami reálných čísel často hledáme největší nebo nejmenší prvek. Ne vždy však tyto prvky v množině skutečně existují – tehdy si pomáháme pojmy supremum a infimum.

  * **Maximum** (značíme max M) je **největší prvek množiny M** – tedy takový prvek $m \in M$, že pro všechna $x \in M$ platí $x \leq m$.
  * **Minimum** (min M) je **nejmenší prvek množiny M** – tedy takový prvek $m \in M$, že pro všechna $x \in M$ platí $x \geq m$.
  * **Supremum** (sup M) je **nejmenší horní mez množiny** – tedy nejmenší číslo, které je větší nebo rovno všem prvkům množiny.
  * **Infimum** (inf M) je **největší dolní mez množiny** – tedy největší číslo, které je menší nebo rovno všem prvkům množiny.

=== Horní a dolní závora ===

  * Číslo $H$ je **horní závora** množiny $M$, pokud pro všechna $x \in M$ platí $x \leq H$.
  * Číslo $D$ je **dolní závora** množiny $M$, pokud pro všechna $x \in M$ platí $x \geq D$.

Horní (dolní) závor může být víc – supremum (infimum) je nejmenší (největší) z nich.

**Příklad:** Mějme množinu $A = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 2\}$
  * Dolní závory: např. $-5,\ 0$  
  * Horní závory: např. $2,\ 10$  
  * inf $A$ = 0  
  * sup $A$ = 2  
  * max ani min neexistuje – okraje nejsou součástí množiny

=== Omezenost množiny ===

Množina reálných čísel je **omezená shora**, pokud existuje horní závora.  
Je **omezená zdola**, pokud existuje dolní závora.  
Je **omezená**, pokud je omezená shora i zdola.

*Příklady:*

  * $A = (0, 5)$ je omezená – horní závora je např. 5, dolní závora je 0.
  * $B = \mathbb{N}$ není omezená shora – není žádné číslo, které je větší než všechny přirozené.
  * $C = (-\infty, 3)$ je omezená shora, ale není omezená zdola.

Platí:  
  * Každá konečná množina je omezená.  
  * Pokud má množina supremum, je omezená shora. Pokud má infimum, je omezená zdola.

=== Příklady ===

Například pro otevřený interval $(0, 1)$:
  * max $(0, 1)$ **neexistuje**, protože 1 není součástí intervalu.
  * min $(0, 1)$ **neexistuje**, protože 0 také není součástí intervalu.
  * sup $(0, 1)$ = 1 – 1 je nejmenší číslo, které je větší než všechny prvky intervalu.
  * inf $(0, 1)$ = 0 – 0 je největší číslo, které je menší než všechny prvky intervalu.

Pro uzavřený interval $[0, 1]$:
  * max $[0, 1]$ = 1 – 1 je největší prvek množiny a zároveň její supremum.
  * min $[0, 1]$ = 0 – 0 je nejmenší prvek a zároveň infimum.
  * sup $[0, 1]$ = 1.
  * inf $[0, 1]$ = 0.

Platí také:
  * $\text{sup}\ \emptyset = -\infty$ – prázdná množina nemá horní mez.
  * $\text{inf}\ \emptyset = +\infty$ – nemá dolní mez.

==== Přehled základních množin čísel ====

Množina přirozených čísel (někdy začíná od 1, zde je včetně 0):
$$ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\} $$

Množina celých čísel:
$$ \mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \ldots\} $$

Množina racionálních čísel – všechna čísla, která lze zapsat jako zlomek dvou celých čísel (jmenovatel nesmí být 0):
$$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \right\} $$

Množina reálných čísel:
$$ \mathbb{R} $$

Reálná čísla zahrnují všechna čísla, která lze vyjádřit desetinným rozvojem (i nekonečným). Patří sem:
  * **Racionální** čísla – např. $\frac{1}{3}$
  * **Iracionální** čísla – např. $\sqrt{2}$, $\pi$

Reálná čísla lze dále dělit:
  * na **algebraická** (např. $\sqrt{2}$ – kořen nějakého mnohočlenu),
  * a **transcendentní** (např. $\pi$, $e$ – nejsou řešením žádné algebraické rovnice s celočíselnými koeficienty).

Množina komplexních čísel:
$$ \mathbb{C} = \{ a + bj : a, b \in \mathbb{R} \}, \quad j^2 = -1 $$

Komplexní čísla obecně nelze uspořádat (nemá smysl porovnávat „větší než“), ale zahrnují všechna reálná čísla jako speciální případ ($b = 0$).

===== 2. Pojem funkce – inverzní funkce a její existence, monotonie a (lokální) extrémy funkcí a jejich vyšetřování pomocí derivace. Vlastnosti (monotonie, limity) základních funkcí (mocniny, exponenciální, sinus, kosinus, tangens a k nim inverzní). =====

*Reálná* funkce *reálné proměnné* je zobrazení tvaru $f: A \rightarrow \mathbb{R}$, kde $A$ je podmnožina $\mathbb{R}$. Každému prvku $x \in A$ přiřadí právě jedno reálné číslo $f(x)$.

==== Pojmy a vlastnosti funkcí ====

U funkce $f: A \rightarrow B$ platí:
  * $A$ je **definiční obor** funkce, značíme $D(f)$ – všechna $x$, pro která je funkce definovaná.
  * **Obor hodnot** (značíme $R(f)$) je množina všech hodnot, kterých funkce může nabývat, tedy $f(x)$ pro $x \in A$.
  * **Obraz množiny** $M \subset A$ je množina všech hodnot, kterých funkce nabývá na množině $M$:  
    $$ f(M) = \{ f(x) \in \mathbb{R} \;|\; x \in M \} $$

Zobrazení $f: A \rightarrow B$ se nazývá:
  * **Prosté (injektivní)**: Každé dva různé prvky v definičním oboru mají různé obrazy. Tedy $\forall x_1 \neq x_2$ platí $f(x_1) \neq f(x_2)$.
  * **Na (surjektivní)**: Obor hodnot funkce je celá cílová množina $B$.
  * **Vzájemně jednoznačné (bijektivní)**: Funkce je zároveň prostá i na – existuje inverzní funkce.

*Příklad:* Funkce $f(x) = 2x + 1$ je bijekce z $\mathbb{R}$ do $\mathbb{R}$.

Graf funkce $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ je množina bodů  $\{[x,f(x)]: x \in A \}$ v rovině.

Graf inverzní funkce (pokud existuje) je symetrický podle přímky $y = x$ – tedy podle osy prvního a třetího kvadrantu.

==== Sudost a lichost funkce ====

Funkce se nazývá:

**sudá**, pokud platí $f(-x) = f(x)$ pro všechna $x \in D(f)$. Graf je osově souměrný podle osy $y$.

<WRAP centeralign>
<tikzjax>
\begin{document}
  \begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
    % axes (both range 5 units → 5cm)
    \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] {$x$};
    \draw[->] (0,-0.5) -- (0,4.5) node[above] {$y$};
    % even function y = x^2
    \draw[blue, thick, domain=-2:2, samples=100] plot (\x,{(\x)^2});
    \node[above right] at (1,1) {Sudá: $y = x^2$};
  \end{tikzpicture}
\end{document}
</tikzjax>
</WRAP>

**lichá**, pokud platí $f(-x) = -f(x)$ pro všechna $x \in D(f)$. Graf je středově souměrný podle počátku.

<WRAP centeralign>
<tikzjax>
\begin{document}
  \begin{tikzpicture}[x=1cm,y=0.294cm]
    % axes (–8.5…8.5 is 17 units → 5cm; –2.5…2.5 is 5 units → 5cm)
    \draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0) node[right] {$x$};
    \draw[->] (0,-8.5) -- (0,8.5) node[above] {$y$};
    % odd function y = x^3
    \draw[red, thick, domain=-2:2, samples=100] plot (\x,{(\x)^3});
    \node[below right] at (1,-1) {Lichá: $y = x^3$};
  \end{tikzpicture}
\end{document}
</tikzjax>
</WRAP>

==== Omezenost funkce ====

Funkce $f$ se nazývá **omezená na množině $A \subset D(f)$**, pokud je omezená množina $f(A)$, tedy všechny hodnoty, kterých funkce na $A$ nabývá.

  * **Shora omezená** – existuje $H \in \mathbb{R}$ takové, že $f(x) \leq H$ pro všechna $x \in A$
  * **Zdola omezená** – existuje $D \in \mathbb{R}$ takové, že $f(x) \geq D$ pro všechna $x \in A$
  * **Omezená** – pokud je zároveň shora i zdola omezená


==== Inverzní funkce ====

Funkce $f: A \rightarrow B$ má **inverzní funkci** $f^{-1}: R(f) \rightarrow A$ právě tehdy, když je **prostá (injektivní)**.

Definice inverzní funkce:
  * $f^{-1}(f(x)) = x$ pro všechna $x \in A$
  * $f(f^{-1}(y)) = y$ pro všechna $y \in R(f)$

Inverzní funkce "vrací zpět" původní vstup.

Mějme zobrazení $f: A \rightarrow B$. Zobrazení $g: R(f) \rightarrow A$ nazýváme //inverzní// k zobrazení $f$, pokud 
$$(g \circ f)(x) = x \text{ pro každé } x \in A$$

Značíme $g = f^{-1}$.

Roustoucí (resp. klesající) funkce je prostá a má inverzní funkci, která je rovněž rostoucí (resp. klesající). 

==== Vyšetřování monotonie a extrémů pomocí derivace ====

Chování funkce z hlediska růstu nebo poklesu (monotonie) můžeme zkoumat buď na celém intervalu, nebo lokálně v konkrétním bodě. Nejčastěji k tomu využíváme první derivaci.

Monotonie funkce $f$ na intervalu $I$:
  * Funkce $f$ je **rostoucí** na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
  * Funkce $f$ je **klesající** na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
  * Funkce $f$ je **nerostoucí** na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$
  * Funkce $f$ je **neklesající** na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
  * Funkce $f$ je **konstantní** na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $f(x_1) = f(x_2)$

Monotonie funkce $f$ v bodě $x$ (pokud má v tomto bodě derivaci):
  * Funkce $f$ je **rostoucí** v bodě $x$, pokud $f'(x) > 0$
  * Funkce $f$ je **klesající** v bodě $x$, pokud $f'(x) < 0$
  * Funkce $f$ je **nerostoucí** v bodě $x$, pokud $f'(x) \leq 0$
  * Funkce $f$ je **neklesající** v bodě $x$, pokud $f'(x) \geq 0$
  * Funkce $f$ je **konstantní** v bodě $x$, pokud $f'(x) = 0$ (může jít o extrém nebo konstantní hodnotu)

=== Lokální extrémy ====

Extrémy jsou body, kde funkce dosahuje nějakého největšího nebo nejmenšího hodnotového „vrcholu“. Pomocí první a druhé derivace můžeme zjistit, o jaký typ bodu se jedná.

Pokud je funkce $f$ spojitá na intervalu $I$ a má v bodě $x_0 \in I$ derivaci, pak:

  * $f(x_0)$ je **lokální maximum**, pokud existuje okolí $U_{x_0}$ bodu $x_0$, pro které platí $f(x_0) \geq f(x)$ pro každé $x \in U_{x_0}$, nebo 2. derivace $f''(x_0) < 0$. ($f(x_0)$ je větší nebo rovno všem hodnotám v okolí bodu $x_0$)
  * $f(x_0)$ je **lokální minimum**, pokud existuje okolí $U_{x_0}$ bodu $x_0$, pro které platí $f(x_0) \leq f(x)$ pro každé $x \in U_{x_0}$, nebo 2. derivace $f''(x_0) > 0$. ($f(x_0)$ je menší nebo rovno všem hodnotám v okolí bodu $x_0$)
  * $f(x_0)$ je **inflexní bod**, pokud $f'(x_0) = 0$ a není ani maximum ani minimum, nebo $f'(x_0) = 0$ a $f''(x_0)$ mění znaménko (přechází na jedné straně z konkávní na konvexní nebo naopak).
  * $f(x_0)$ je **extrém**, pokud je buď lokální maximum nebo lokální minimum.
  * $f(x_0)$ je **globální maximum**, pokud pro každé $x \in I$ platí $f(x_0) \geq f(x)$.
  * $f(x_0)$ je **globální minimum**, pokud pro každé $x \in I$ platí $f(x_0) \leq f(x)$.

Pro nalezení globálního extrému funkce $f$ na intervalu $I$ je třeba:
  * zjistit, zda je funkce $f$ spojitá na intervalu $I$
  * zjistit, zda má funkce $f$ v bodě $x_0 \in I$ derivaci
  * zjistit, zda má funkce $f$ v bodě $x_0 \in I$ lokální extrém
  * zjistit hodnoty funkce $f$ na krajních bodech intervalu $I$
  * porovnat hodnoty funkce $f$ v krajních bodech intervalu a v lokálních extrémech a nespojitostech funkce $f$ na intervalu $I$ a určit, zda je některá z těchto hodnot globálním extrémem funkce $f$ na intervalu $I$.

==== Vlastnosti základních funkcí ====
^ Funkce                                ^ Inverzní funkce       ^ Monotonie                  ^ Limity hlavní funkce                                     ^ Limity inverzní funkce                                  ^
| $x^n,\;n\in\mathbb{N}, n\text{ liché}$ | $x^{1/n},\;x\in\mathbb{R}$ | rostoucí na $\mathbb{R}$    | $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$; \\ $\lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty$      | $\lim_{x\to+\infty}x^{1/n}=+\infty$; \\ $\lim_{x\to-\infty}x^{1/n}=-\infty$ |
| $x^n,\;n\in\mathbb{N}, n\text{ sudé}$, \\ $x\ge0$ | $x^{1/n},\;x\ge0$      | rostoucí na $[0,\infty)$    | $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$                             | $\lim_{x\to+\infty}x^{1/n}=+\infty$; \\ $\lim_{x\to0^+}x^{1/n}=0$            |
| $e^x$                                 | $\ln x,\;x>0$          | rostoucí na $\mathbb{R}$     | $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$; \\ $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$             | $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$; \\ $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$         |
| $\ln x,\;x>0$                         | $e^x$                  | rostoucí na $(0,\infty)$     | $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$; \\ $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$       | $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$; \\ $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$                |
| $\sin x$                              | $\arcsin x,\;x\in[-1,1]$| rostoucí na $[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]$ | oscilační (není hranice)                          | $\lim_{x\to-1}\arcsin x=-\tfrac\pi2$; \\ $\lim_{x\to1}\arcsin x=\tfrac\pi2$    |
| $\arcsin x,\;x\in[-1,1]$              | $\sin x$               | rostoucí na $[-1,1]$         | $\lim_{x\to-1}\arcsin x=-\tfrac\pi2$; \\ $\lim_{x\to1}\arcsin x=\tfrac\pi2$ | osciluje mezi $-1$ a $1$ (není hranice)                              |
| $\cos x$                              | $\arccos x,\;x\in[-1,1]$| klesající na $[0,\pi]$       | oscilační (není hranice)                          | $\lim_{x\to-1}\arccos x=\pi$; \\ $\lim_{x\to1}\arccos x=0$                |
| $\arccos x,\;x\in[-1,1]$              | $\cos x$               | klesající na $[-1,1]$        | $\lim_{x\to-1}\arccos x=\pi$; \\ $\lim_{x\to1}\arccos x=0$                | oscilační mezi $-1$ a $1$ (není hranice)                              |
| $\tan x$                              | $\arctan x,\;x\in\mathbb{R}$ | rostoucí na $(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2)$ | $\lim_{x\to\frac\pi2^-}\tan x=+\infty$; \\ $\lim_{x\to-\frac\pi2^+}\tan x=-\infty$ | $\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\tfrac\pi2$; \\ $\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\tfrac\pi2$ |
| $\arctan x,\;x\in\mathbb{R}$          | $\tan x$ (na $(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2)$) | rostoucí na $\mathbb{R}$ | $\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\tfrac\pi2$; \\ $\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\tfrac\pi2$ | $\lim_{x\to\frac\pi2^-}\tan x=+\infty$; \\ $\lim_{x\to-\frac\pi2^+}\tan x=-\infty$ |

==== Příklad: Jak nakreslit graf funkce f(x) = x·eˣ ====

Při kreslení grafu funkce postupujeme v několika základních krocích. U funkce **f(x) = x·eˣ** bychom měli provést následující:

**1. Určíme definiční obor**
  * Funkce je součinem dvou funkcí: lineární $x$ a exponenciální $e^x$, které jsou definované pro všechna reálná čísla.
  * ⇒ **Definiční obor: D(f) = ℝ**

**2. Najdeme průsečíky s osami**
  * Osa y: dosadíme $x = 0$  
    ⇒ $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$ ⇒ průsečík [0, 0]
  * Osa x: rovnice $x·e^x = 0$ má řešení jen pro $x = 0$

**3. Zjistíme limitní chování**
  * Když $x \to -\infty$, funkce jde k nule: $$ \lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0 $$ 
  * protože $e^x$ jde rychle k nule.
  * Když $x \to +\infty$, funkce roste velmi rychle: $$ \lim_{x \to +\infty} x \cdot e^x = +\infty $$

**4. Spočítáme první derivaci a zjistíme monotonii**
  * Derivace:
    $$
    f'(x) = (x \cdot e^x)' = e^x + x \cdot e^x = e^x (1 + x)
    $$
  * Najdeme stacionární bod (kde $f'(x) = 0$):
    $$
    e^x (1 + x) = 0 \Rightarrow x = -1
    $$
  * Určíme, kde funkce roste/klesá:
    * $x < -1$: $f'(x) < 0$ ⇒ funkce **klesá**
    * $x > -1$: $f'(x) > 0$ ⇒ funkce **roste**

**5. Spočítáme druhou derivaci a určíme typ extrému**
  * Druhá derivace:
    $$
    f''(x) = (f'(x))' = \left( e^x (1 + x) \right)' = e^x (1 + x) + e^x = e^x (2 + x)
    $$
  * V bodě $x = -1$: $f''(-1) = e^{-1} (1) > 0$ ⇒ **lokální minimum**

**6. Uděláme si stručný obrázek chování funkce**
  * Minimum v bodě $x = -1$, hodnota funkce:
    $$
    f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e}
    $$
  * Průsečík s osami: [0, 0]
  * Funkce klesá na $(-\infty, -1)$, roste na $(-1, \infty)$
  * Pro $x \to -\infty$: $f(x) \to 0$
  * Pro $x \to \infty$: $f(x) \to \infty$

**Shrnutí:**
  * Funkce má jedno lokální minimum, roste i klesá, a je definovaná na celé ℝ. Vzhledově připomíná písmeno „N“ nakloněné doprava.


===== 3. Limita funkce – její jednoznačnost, způsoby výpočtu (součet, rozdíl, součin, podíl, l’Hospitalovo pravidlo). =====

Limita funkce popisuje, k jaké hodnotě se funkce blíží v okolí určitého bodu. Je to klíčový nástroj pro analýzu spojitosti, derivací a chování funkcí.

==== Definice Limity Funkce====

Formální definice říká: Funkce $\text{f}(\mathbf{x})$ má v bodě $\mathbf{a}$ limitu $\mathbf{b}$, pokud pro každé prstencové okolí $\mathbf{U_{b}}$ bodu $\mathbf{b}$ existuje prstencové okolí $\mathbf{U_{a}}$ bodu $\mathbf{a}$ takové, že $\text{f}(\mathbf{U_{a}}) \subset \mathbf{U_{b}}$.

Lidsky řečeno, limita existuje pouze tehdy, pokud se funkce v bodu $\mathbf{a}$ blíží stejné hodnotě zleva i zprava - má stejnou levou i pravou limitu.

==== Jednoznačnost ====

Limita funkce (pokud existuje) je vždy jednoznačná – v jednom bodě může mít **maximálně jednu** limitu.

$\text{f}(\mathbf{x})$ nemůže mít navíc limitu $\mathbf{c}$, protože existuje takové prstencové okolí $\mathbf{U_{b}}$ a $\mathbf{U_{c}}$, že $\mathbf{U_{b}} \cap \mathbf{U_{c}} = \emptyset$.

To vyplývá z definice: pokud by existovaly dvě různé limity $\mathbf{b}$ a $\mathbf{c}$, musela by být jejich okolí navzájem disjunktní (nepřekrývala by se), což by odporovalo vlastnosti limit.

==== Součet, Rozdíl, Součin a Podíl Limit ====

Při práci s limitami často používáme jednoduchá pravidla pro základní operace:

* Součet/diference funkcí:
$$
\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)
$$

* Součin funkcí:
$$
\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)
$$

* Podíl funkcí (pokud $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$):
$$
\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}
$$


Tato pravidla platí pouze tehdy, když limity jednotlivých funkcí existují.

==== Způsoby výpočtu ====

Existuje několik běžných technik pro výpočet limit – podle povahy výrazu použijeme nejvhodnější:

  * **Přímé dosazení**
    * Pokud funkce $f(x)$ je spojitá v bodě $x=a$, pak $$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$
  * **Vytýkání** 
    * Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$
  * **Racionalizace**  
    * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{2} $$
  * **Substituce**  
    * Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$

==== l’Hospitalovo Pravidlo ====

Další speciální způsob, který může pomoc s výpočtem určitých limit.

Pokud při výpočtu limit dostaneme neurčitý tvar $0/0$ nebo $\infty/\infty$, můžeme použít tzv. l’Hospitalovo pravidlo. Spočívá v podělení derivací čitatele a jmenovatele:

\[
\boxed{
  \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}
  \;=\;
  \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}
}
\qquad
\text{za předpokladu}
\quad
\begin{cases}
  f \text{ and } g \text{ jsou derivovatelná v prstencovém okolí } c,\\[2pt]
  \displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0
  \;\text{or}\;
  \displaystyle\lim_{x\to c}|f(x)|=\lim_{x\to c}|g(x)|=\infty,\\[6pt]
  \displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ existuje (konečná nebo } \pm\infty).
\end{cases}
\]

**Toto pravidlo platí jen za splnění těchto podmínek:**
  * Funkce $f$ a $g$ jsou derivovatelné v prstencovém okolí bodu $c$.
  * Musíme mít jeden z tvarů:
    * $f(x) \to 0$ a $g(x) \to 0$
    * nebo $f(x) \to \infty$ a $g(x) \to \infty$
  * Limita podílu derivací existuje (může být i $\pm\infty$).

==== Bonus: Limity v nekonečnu a limity jdoucí k nule ====

Kromě limit v konkrétním bodě můžeme zkoumat i chování funkce, když se $x$ blíží k nekonečnu nebo k nule. Tyto limity ukazují, jak se funkce "chová na krajích" svého definičního oboru.

=== Limity v nekonečnu ===

Značení:
$$
\lim_{x \to +\infty} f(x), \quad \lim_{x \to -\infty} f(x)
$$

Tato limita vyjadřuje, ke které hodnotě se funkce blíží, když $x$ roste do kladného nebo záporného nekonečna.

**Příklady:**
  * $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
  * $$ \lim_{x \to -\infty} x^2 = \infty $$
  * $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x + 3} = 2 $$

Poznámka: Často se používají při zjišťování **asymptot** funkce (např. vodorovné nebo šikmé).

=== Limity jdoucí k nule ===

Limity, kde se $x$ blíží k nule, jsou zvlášť zajímavé v případě:
  * z pravé strany $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) $$ 
  * z levé strany $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) $$ 

Slouží např. k posouzení spojitosti nebo k vyšetření vlastností funkcí s nespojitostí v 0.

**Příklady:**
  * $$ \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty $$
  * $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty $$
  * $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

=== Výpočet ===

Při výpočtu limit v nekonečnu nebo v nule se často používá:

  * dělení nejvyšším mocnitelem (u racionálních funkcí),
  * l’Hospitalovo pravidlo (při neurčitých tvarech),
  * substituce, která převede nekonečno nebo nulu na vhodný výraz (např. $x = 1/t$ pro $x \to \infty$ ⇒ $t \to 0^+$).

**Příklad výpočtu pomocí l’Hospitalova pravidla:**
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0
$$



===== 4. Spojitost funkce – spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu, složené funkce. Vlastnosti spojitých funkcí na intervalu: nabývání mezihodnot, existence primitivní funkce, nabývání maxima a minima na uzavřeném intervalu, existence určitého integrálu. =====

Spojitost funkce je klíčová vlastnost, která nám říká, že „graf se dá nakreslit jedním tahem“. Matematicky to znamená, že se hodnota funkce v bodě neruší ani neodchyluje od toho, kam směřuje její limita.

Funkce **f** je **spojitá v bodě** $x_0$, pokud existuje limita funkce $f$ v bodě $x_0$ a je rovna hodnotě funkce v tomto bodě:
$$
\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
$$

Funkce je spojitá na intervalu $I$, pokud je spojitá v každém bodě intervalu $I$.
Funkce je spojitá na intervalu $I$, pokud pro každé $x_0 \in I$ platí:
  - $f(x_0)$ je definována
  - $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existuje
  - $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Složená funkce $f \circ g$ je spojitá v bodě $x_0$, pokud $g$ je spojitá v bodě $x_0$ a $f$ je spojitá v bodě $g(x_0)$.

==== Spojitost složené a základní operace funkce ====

U složené funkce $f \circ g$ (tedy $f(g(x))$) platí, že je **spojitá v bodě** $x_0$, pokud:
  * funkce $g$ je spojitá v bodě $x_0$  
  * funkce $f$ je spojitá v bodě $g(x_0)$  

Základní operace zachovávají spojitost (pokud jsou jednotlivé funkce spojité):

  * **Součet**: $f(x) + g(x)$ je spojitá v $x_0$  
  * **Rozdíl**: $f(x) - g(x)$ je spojitá v $x_0$  
  * **Součin**: $f(x) \cdot g(x)$ je spojitý v $x_0$  
  * **Podíl**: $\frac{f(x)}{g(x)}$ je spojitý v $x_0$, pokud $g(x_0) \neq 0$

==== Vlastnosti spojitých funkcí ====

Spojité funkce mají několik důležitých vlastností, které zaručují, že se „chovají slušně“ na daném intervalu:

Je-li funkce **f** spojitá na intervalu **I** a nabývá hodnot **m** a **M**, kde $m < M$, pak nabývá všech hodnot mezi nimi – tedy **každou hodnotu z intervalu** $\langle m, M \rangle$. Tuto vlastnost nazýváme **věta o mezihodnotě**.

=== Existence primitivní funkce ===
Funkce $F$ se nazývá **primitivní funkce** k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F'$ = $f$ pro každé $x \in I$.

Pro každou spojitou funkci $f$ na intervalu $I$ existuje alespoň jedna primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na intervalu $I$. Funkce $F$ je spojitá na intervalu $I$.

=== Nabývání maxima a minima na uzavřeném intervalu ===

Pro nalezení globálního extrému spojité funkce $f$ na intervalu $I$ je třeba:
  - zjistit, zda má funkce $f$ v bodě $x_0 \in I$ derivaci
  - zjistit, zda má funkce $f$ v bodě $x_0 \in I$ lokální extrém
  - zjistit hodnoty funkce $f$ na krajních bodech intervalu $I$
  - porovnat hodnoty funkce $f$ v krajních bodech intervalu a v lokálních extrémech $f$ na intervalu $I$ a určit, zda je některá z těchto hodnot globálním extrémem funkce $f$ na intervalu $I$.

=== Existence určitého integrálu ===

  * Pokud má funkce **f** na intervalu **I** jen **konečně mnoho nespojitostí**, pak je **Riemannovsky integrovatelná**.  
  * To znamená, že **existuje určitý integrál** funkce **f** na intervalu **I**.

$$
\int_a^b f(x) \, dx \quad \text{existuje}
$$

Spojitá funkce je tedy nejen dobře definovaná a předvídatelná, ale má i všechny potřebné vlastnosti pro další analýzu – derivování, integrování i hledání extrémů.

===== 5. Derivace funkce – její geometrický význam, výpočet derivace pro součet, rozdíl, součin a podíl funkcí, složenou funkci. Souvislost derivace se spojitostí. =====

Derivace nám říká, **jak rychle se funkce mění** – odpovídá tedy směrnici tečny ke grafu funkce. Základní představa vychází z průměrné změny, která se pomocí limity přechodu k bodu $a$ mění na okamžitou změnu.

Mějme funkci **f** definovanou na okolí bodu **a**. Změna proměnné o hodnotu **h** vede ke změně funkční hodnoty o $f(a + h) − f(a)$, což dává průměrnou rychlost změny (směrnici sečny):

$$
\frac{f(a + h) - f(a)}{h}
$$

Okamžitou rychlost změny získáme jako limitu, kde $h \to 0$, tedy jako **derivaci**:

$$
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}
$$

Geometricky je derivace **směrnice tečny** ke grafu funkce v bodě $a$.

==== Základní pravidla pro derivování ====

  * $f'(x^n) = n \cdot x^{n-1}$  
  * $f'(e^x) = e^x$  
  * $f'(a^x) = a^x \cdot \ln(a)$  
  * $f'(\ln x) = \frac{1}{x}$  
  * $f'(\sin x) = \cos x$  
  * $f'(\cos x) = -\sin x$  

==== Derivace kombinací funkcí ====

**Součet a rozdíl funkcí**:
$$
(f \pm g)' = f' \pm g'
$$

**Součin funkcí** (tzv. Leibnizovo pravidlo):
$$
(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'
$$

**Podíl funkcí**:
$$
\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}
$$

**Složená funkce (řetězové pravidlo)**:
$$
(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

==== Souvislost s pojmem spojitosti ====

  * Pokud má funkce **f** derivaci v bodě **a**, pak je v tomto bodě také **spojitá**.
  * Obráceně to neplatí: **spojitost neznamená nutně existenci derivace**.
  * Pokud existují jednostranné limity pro derivaci, pak mluvíme o **jednostranné derivaci** v bodě.

==== Obecný tvar tečny ke grafu funkce v bodě ====

Tečna ke grafu funkce $f(x)$ v bodě $x = a$ je přímka, která se "dotýká" grafu funkce v tomto bodě a má směrnici rovnou hodnotě derivace $f'(a)$. Hledáme její rovnici ve tvaru:

$$
y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)
$$

Postup:
  * Spočítáme $f(a)$ – hodnotu funkce v bodě.
  * Spočítáme $f'(a)$ – hodnotu derivace v bodě (směrnice tečny).
  * Dosadíme do rovnice $y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)$

Tento tvar vychází z bodového tvaru přímky procházející bodem $[a, f(a)]$ se směrnicí $f'(a)$.

==== Aplikace derivace funkce jedné proměnné ====

Derivace se používá k analýze chování funkcí:

  * **Určení monotónnosti** (zda funkce roste nebo klesá).
  * **Hledání extrémů** – lokální maxima a minima pomocí $f'(x) = 0$.
  * **Určení inflexních bodů** – změna zakřivení funkce (přes $f''(x)$).
  * **Návrh průběhu funkce** – pomocí znamének první a druhé derivace.
  * **Výpočet tečny** – najdeme směrnici a rovnici přímky dotýkající se grafu.
  * **Optimalizace** – hledání nejlepších (maximálních/minimálních) hodnot.

==== Příklad: Co nám říká derivace o funkci $f(x) = x^4 - 8x^2 + 8$ ====

Nejprve spočítáme derivaci:
$$
f'(x) = 4x^3 - 16x
$$

*Spočítáme stacionární body (kde $f'(x) = 0$):*
$$
4x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0,\; x = \pm2
$$

To jsou kandidáti na extrémy (minima / maxima).

*Druhá derivace:*
$$
f''(x) = 12x^2 - 16
$$

**Zkouška druhou derivací:**
  * $f''(0) = -16$ ⇒ lokální **maximum**
  * $f''(2) = 32$ ⇒ lokální **minimum**
  * $f''(-2) = 32$ ⇒ lokální **minimum**

=== Tečny v bodech $x = 0$ a $x = -1$ ===

**V bodě x = 0:**
  * $f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 8 = 8$
  * $f'(0) = 0$

Tečna je vodorovná:  
$$
y = 8
$$

**V bodě x = -1:**
  * $f(-1) = 1 - 8 + 8 = 1$
  * $f'(-1) = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12$

Rovnice tečny:
$$
y = 12(x + 1) + 1 = 12x + 13
$$

===== 6. Neurčitý a určitý integrál – vztahy mezi nimi (Newtonova–Leibnizova formule, primitivní funkce jako určitý integrál s proměnnou horní mezí). Linearita, integrace per partes, substituce. Integrace mocnin, exp, sin, cos. ====

=== Neurčitý integrál ===
Funkce $F$ se nazývá primitivní funkce k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F' = f$ pro každé $x \in I$.

Pokud existuje alespoň jedna primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na intervalu $I$, nazýváme množinu všech primitivních funkcí k funkci $f$ //neurčitým integrálem// funkce $f$ na $I$ a značíme ji:
$$\int f(x) dx$$

Z charakteristiky množiny primitivních funkcí pak můžeme psát:
$$ \int f(x) dx = \{ F(x) + C: C \in \mathbb{R} \}$$

Základní tabulkové integrály:
\begin{align*}
\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq - 1 \\
\int \frac{1}{x} \, dx &= \ln |x| + C \\
\int e^x \, dx &= e^x + C \\
\int a^x \, dx &= \frac{a^x}{\ln(a)} + C \\
\int \sin(x) \, dx &= -\cos(x) + C \\
\int \cos(x) \, dx &= \sin(x) + C \\
\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx &= \arctan(x) + C
\end{align*}

=== Určitý integrál ===
Pro nezápornou funkci je obsahem plochy pod křivkou.
$\langle a, b \rangle$ je konečná množina $D \subset \langle a, b \rangle$ obsahující body $a, b$. \\
Značíme ji $D = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$, kde $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$.
Nechť $f$ je omezená funkce na intervalu $\langle a, b \rangle$, $D = \{x_0, \ldots, x_n\}$ je dělení intervalu $\langle a, b \rangle$. //Dolní// a //horní// integrální součet funkce $f$ pro dělení $D$ jsou:
\[
\underline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf f\big(\langle x_{i-1}, x_i \rangle\big) \cdot (x_i - x_{i-1}),
\]
\[
\overline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup f\big(\langle x_{i-1}, x_i \rangle\big) \cdot (x_i - x_{i-1}).
\]

=== Newtonova–Leibnizova formule ===
Je-li $f$ spojitá funkce na intervalu $\langle a, b \rangle$ a $F$ je její primitivní funkce na $\langle a, b \rangle$, pak:
\[
\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b = F(b) - F(a)
\]

\[
F(x) = \int_{a}^x f(t) \, \mathrm{d}t + C
\]

=== Linearita ===

Pro konstanty $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ a funkce $f, g$ na definovaném intervalu $I$ platí:
$$
\int (\alpha f + \beta g) \, dx = \alpha \int f \, dx + \beta \int g \, dx 
$$

=== Integrace per partes ===
$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$

Například:
$$
\newcommand\diff{\mathop{}\!d}
\int x \log x \diff x =
\left[
  \begin{alignedat}{2}
  u       &= \log x             \quad & \diff v &= x\diff x \\
  \diff u &= \frac{1}{x}\diff x \quad & v &= \frac{x^2}{2}
  \end{alignedat}\,
\right]
=
\frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x}\diff x
=
\frac{x^2}{2}\log x - \frac{1}{4}x^2 + C
$$

=== Substituce ===
místo funkce dosadíme novou proměnnou, u určitého integrálu musíme přepočítat meze integrace

$$
\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^{u} \, du \quad \bigg|_{u = x^2,\, du = 2x\,dx} = e^{u} + C = \boxed{e^{x^2} + C}
$$

===== 7. Definice číselné řady – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo). =====

Číselná řada je nekonečná suma čísel $a_1, a_2, \ldots$ (členy řady) a značí se:

$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots
$$

Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady, $ \sum_{n=1}^{n} a_n $ je $n$-tý částečný součet řady ($s_n$).

Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá //součet// řady. 

Řekneme že řada konverguje, má-li konečný součet, má-li nekonečný součet, řada diverguje,nemá-li součet osciluje.


Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ se nazývá absolutně konvergentní, pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$. Absolutní konvergence implikuje konvergenci řady, ale ne naopak. 
Příkladem řady která konverguje, ale není absolutně konvergentní je např. alternující řada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{(n+1)}}{n}$.


==== Geometrické řady ====
Geometrická řada s kvocientem q je řada tvaru:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + a_0 q^3 + \ldots
$$
kde $a_0$ je první člen řady a $q$ je kvocient řady.
Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven:
$$
S = \frac{a_0}{1 - q}
$$
Pokud $|q| \geq 1$, řada diverguje.

Příklad: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

==== Nutná podmínka konvergence ====
Nutná podmínka znamená že může platit i když řada diverguje, ale musí platit pro každou konvergující řadu.

Pokud $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje, pak $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

==== Podílové kritérium konvergence ====
Nechť $a_k \neq 0$ pro každé $k \in \mathbb{N}$
  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.  

==== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ====
  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně).
  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.

==== Odmocninové kritérium konvergence ====
 - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
 - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.

==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ====
 - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně).
 - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.

==== Integrální kritérium konvergence ====
Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.

==== Leibnizovo kritérium konvergence ====
Uvažujme řadu tvaru: 
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$
pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.

==== Harmonická řada (nepovinné) ====
Harmonická řada je řada tvaru: 
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots
$$
Harmonická řada diverguje.

Harmonická řada se nazývá Harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.
Trace: • be4b39vgo • b4b36zui • b4b35osy • b4b01jag • b0b01pst • b4b35psr • b4b39hry • b0b01ma1 • b0b35apo • b4b38psia
Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code
