Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b01num [2026/06/02 07:16] – [Problémy a kritéria volby metod] knedl1kstatnice:bakalar:b4b01num [2026/06/03 08:29] (current) – [Metoda polovičního kroku a odhad chyby] knedl1k
Line 350: Line 350:
 ==== Metody numerické integrace ==== ==== Metody numerické integrace ====
  
-  - **Metoda levých obdélníků** +1. **Metoda levých obdélníků** 
-    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu.\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu. 
- +    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$:
-    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$:\\+
 $$ $$
 I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h. I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h.
-$$\\ +$$
     * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce).     * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce).
-  - **Metoda středních obdélníků** +2. **Metoda středních obdélníků** 
-    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu.\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu. 
- +    * **Matematicky:**
-    * **Matematicky:**\\+
 $$ $$
 I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right). I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right).
-$$\\ +$$
     * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$).     * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$).
-  - **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)** +3. **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)** 
-    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku).\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku). 
- +    * **Matematicky:**
-    * **Matematicky:**\\+
 $$ $$
 I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right]. I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right].
-$$\\ +$$
     * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy).     * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy).
-  - **Simpsonova metoda** +4. **Simpsonova metoda** 
-    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů.\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů. 
- +    * **Matematicky (pro sudé $n$):**
-    * **Matematicky (pro sudé $n$):**\\+
 $$ $$
 I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right]. I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right].
-$$\\ +$$
     * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$).     * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$).
-  - **Gaussova kvadratura** +5. **Gaussova kvadratura** 
-    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$.\\ +    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$. 
- +    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů:
-    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů:\\+
 $$ $$
 I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right), I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right),
-$$\\ +$$ 
-kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy.\\ +kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy.
     * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$).     * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$).
- +=== Bonus: Newton-Cotesovy vzorce ===
-=== 4. Newton-Cotesovy vzorce ===+
  
 Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\ Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\
Line 414: Line 403:
   * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\   * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\
 $$ $$
-E_h \approx \frac{I_h - I_{h/2}}{2^p - 1}.+E_{1/2} \approx \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.
 $$\\ $$\\
  
   * **Vylepšení integrálu:**\\   * **Vylepšení integrálu:**\\
 $$ $$
-I_{\text{lepšené}} = I_{h/2} + \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.+I_{\text{vylepšené}} = I_{h/2} + E_{1/2}.
 $$\\ $$\\
  

Trace: • b4b36zui • b4b35psr • b4b01num • b4b33alg

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b01num (generated for current page)