Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b01num [2025/06/07 13:36] – mistrjirkastatnice:bakalar:b4b01num [2026/06/03 08:29] (current) – [Metoda polovičního kroku a odhad chyby] knedl1k
Line 277: Line 277:
     * Nespojitosti, periodické funkce – vyžadují speciální algoritmy (např. kombinace s derivacemi)      * Nespojitosti, periodické funkce – vyžadují speciální algoritmy (např. kombinace s derivacemi) 
  
-==== Numerické řešení soustav lineárních rovnic ====+===== Numerické řešení soustav lineárních rovnic =====
  
 **Metody pro řešení soustav lineárních rovnic $A\vec{x} = \vec{b}$, jejich matematické formulace, problémy a kritéria volby mezi přímými a iteračními postupy.** **Metody pro řešení soustav lineárních rovnic $A\vec{x} = \vec{b}$, jejich matematické formulace, problémy a kritéria volby mezi přímými a iteračními postupy.**
- 
 === Přímé (finitní) metody === === Přímé (finitní) metody ===
  
-Poskytují teoreticky přesné řešení v konečném počtu kroků: 1. **Gaussova eliminace**:\\ +Poskytují teoreticky přesné řešení v konečném počtu kroků:  
-- Převádí matici $A$ na **horní trojúhelníkový tvar** pomocí ekvivalentních úprav.\\ + 
-- **Algoritmus**:\\ +1. **Gaussova eliminace**: 
-- Pro $k = 1$ až $n-1$:\\+    * Převádí matici $A$ na **horní trojúhelníkový tvar** pomocí ekvivalentních úprav.\\ 
 +    * **Algoritmus**:\\ 
 +    * Pro $k = 1$ až $n-1$:\\
 $a^{(k)}_{i,j} = a^{(k-1)}_{i,j} - \frac{a^{(k-1)}_{i,k}}{a^{(k-1)}_{k,k}} \cdot a^{(k-1)}_{k,j}$\\ $a^{(k)}_{i,j} = a^{(k-1)}_{i,j} - \frac{a^{(k-1)}_{i,k}}{a^{(k-1)}_{k,k}} \cdot a^{(k-1)}_{k,j}$\\
-- **Zpětná substituce**:\\+    * **Zpětná substituce**:\\
 $x_i = \frac{1}{a^{(i-1)}_{i,i}} \left( a^{(i-1)}_{i,n+1} - \sum_{j=i+1}^n a^{(i-1)}_{i,j}x_j \right)$ \\ $x_i = \frac{1}{a^{(i-1)}_{i,i}} \left( a^{(i-1)}_{i,n+1} - \sum_{j=i+1}^n a^{(i-1)}_{i,j}x_j \right)$ \\
-- Výběr hlavního prvku redukuje zaokrouhlovací chyby.+    * Výběr hlavního prvku redukuje zaokrouhlovací chyby.
  
-  - **LU rozklad**:+2. **LU rozklad**:
     * Rozklad $A = LU$ na **dolní ($L$)** a **horní ($U$) trojúhelníkovou matici**.\\     * Rozklad $A = LU$ na **dolní ($L$)** a **horní ($U$) trojúhelníkovou matici**.\\
  
     * Řeší se dvě soustavy:     * Řeší se dvě soustavy:
-      * $L\vec{y} = \vec{b}$ (dopředná substituce),\\ +      * $L\vec{y} = \vec{b}$ (dopředná substituce), 
- +      * $U\vec{x} = \vec{y}$ (zpětná substituce).
-      * $U\vec{x} = \vec{y}$ (zpětná substituce).\\+
  
     * Efektivní pro opakované výpočty s různými $\vec{b}$      * Efektivní pro opakované výpočty s různými $\vec{b}$ 
Line 304: Line 304:
 === Iterační metody === === Iterační metody ===
  
-Generují posloupnost aproximací $\vec{x}^{(k)} \to \vec{x}$: 1. **Jacobiho metoda (JIM)**:\\ +Generují posloupnost aproximací $\vec{x}^{(k)} \to \vec{x}$: 
-- Rozklad $A = D + L + U$ ($D$ diagonální, $L$ ostře dolní, $U$ ostře horní trojúhelníková).\\ +
-- **Iterační vzorec**:\\ +
-$\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \vec{b} - (L + U) \vec{x}^{(k)} \right)$ \\ +
-- Jednoduchá implementace, paralelizovatelná, ale pomalá konvergence +
  
-  - **Gaussova-Seidelova metoda (GSM)**: +1. **Jacobiho metoda (JIM)**: 
-    * Využívá již aktualizované hodnoty v aktuální iteraci:\\ +    - Rozklad $A = D + L + U$ ($D$ diagonální, $L$ ostře dolní, $U$ ostře horní trojúhelníková). 
-$\vec{x}^{(k+1)} = (D + L)^{-1} \left( \vec{b} - U \vec{x}^{(k)} \right)$ \\+    - **Iterační vzorec**: $\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \vec{b} - (L + U) \vec{x}^{(k)} \right)$ 
 +    - Jednoduchá implementace, paralelizovatelná, ale pomalá konvergence 
  
 +2. **Gaussova-Seidelova metoda (GSM)**:
 +    * Využívá již aktualizované hodnoty v aktuální iteraci: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + L)^{-1} \left( \vec{b} - U \vec{x}^{(k)} \right)$
     * Rychlejší konvergence než JIM, ale sekvenční výpočet      * Rychlejší konvergence než JIM, ale sekvenční výpočet 
-  - **Superrelaxační metoda (SOR)**: +3. **Superrelaxační metoda (SOR)**: 
-    * Zavádí relaxační parametr $\omega$ pro urychlení konvergence:\\ +    * Zavádí relaxační parametr $\omega$ pro urychlení konvergence: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + \omega L)^{-1} \left[ (1-\omega)D \vec{x}^{(k)} - \omega U \vec{x}^{(k)} \right] + \omega (D + \omega L)^{-1} \vec{b}$
-$\vec{x}^{(k+1)} = (D + \omega L)^{-1} \left[ (1-\omega)D \vec{x}^{(k)} - \omega U \vec{x}^{(k)} \right] + \omega (D + \omega L)^{-1} \vec{b}$ \\ +
     * Pro $\omega = 1$ přechází na GSM. Optimální $\omega$ zrychluje konvergenci, ale špatná volba způsobí divergenci      * Pro $\omega = 1$ přechází na GSM. Optimální $\omega$ zrychluje konvergenci, ale špatná volba způsobí divergenci 
  
Line 324: Line 321:
  
   * **Problémy**:   * **Problémy**:
-    * **Špatná podmíněnost**: Malé změny v $A$ nebo $\vec{b}$ vedou k velkým změnám řešení (kritérium: velké $\|A^{-1}\|$) \\ +    * **Špatná podmíněnost**: Malé změny v $A$ nebo $\vec{b}$ vedou k velkým změnám řešení (kritérium: velké $\|A^{-1}\|$) 
- +    * **Zaokrouhlovací chyby**: Akumulují se v přímých metodách, zejména bez výběru hlavního prvku 
-    * **Zaokrouhlovací chyby**: Akumulují se v přímých metodách, zejména bez výběru hlavního prvku \\ +    * **Konvergence iterací**: Zajištěna pouze pokud $\rho(B) < 1$ (spektrální poloměr iterační matice)
- +
-    * **Konvergence iterací**: Zajištěna pouze pokud $\rho(B) < 1$ (spektrální poloměr iterační matice) \\ +
     * **Řídké matice**: Přímé metody ztrácejí na efektivitě kvůli “zaplnění” (fill-in), iterační metody ji zachovávají      * **Řídké matice**: Přímé metody ztrácejí na efektivitě kvůli “zaplnění” (fill-in), iterační metody ji zachovávají 
   * **Volba metody**:   * **Volba metody**:
Line 349: Line 343:
     * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké      * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké 
  
-===== Numerická integrace ===== 
  
-**Numerická integrace - princip, možné problémy, volba metody, problematika odhadu chyb.** 
 ===== Numerická integrace ===== ===== Numerická integrace =====
  
Line 358: Line 350:
 ==== Metody numerické integrace ==== ==== Metody numerické integrace ====
  
-  - **Metoda levých obdélníků** +1. **Metoda levých obdélníků** 
-    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu.\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu. 
- +    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$:
-    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$:\\+
 $$ $$
 I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h. I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h.
-$$\\ +$$
     * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce).     * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce).
-  - **Metoda středních obdélníků** +2. **Metoda středních obdélníků** 
-    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu.\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu. 
- +    * **Matematicky:**
-    * **Matematicky:**\\+
 $$ $$
 I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right). I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right).
-$$\\ +$$
     * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$).     * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$).
-  - **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)** +3. **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)** 
-    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku).\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku). 
- +    * **Matematicky:**
-    * **Matematicky:**\\+
 $$ $$
 I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right]. I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right].
-$$\\ +$$
     * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy).     * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy).
-  - **Simpsonova metoda** +4. **Simpsonova metoda** 
-    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů.\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů. 
- +    * **Matematicky (pro sudé $n$):**
-    * **Matematicky (pro sudé $n$):**\\+
 $$ $$
 I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right]. I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right].
-$$\\ +$$
     * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$).     * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$).
-  - **Gaussova kvadratura** +5. **Gaussova kvadratura** 
-    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$.\\ +    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$. 
- +    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů:
-    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů:\\+
 $$ $$
 I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right), I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right),
-$$\\ +$$ 
-kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy.\\ +kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy.
     * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$).     * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$).
- +=== Bonus: Newton-Cotesovy vzorce ===
-=== 4. Newton-Cotesovy vzorce ===+
  
 Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\ Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\
Line 422: Line 403:
   * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\   * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\
 $$ $$
-E_h \approx \frac{I_h - I_{h/2}}{2^p - 1}.+E_{1/2} \approx \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.
 $$\\ $$\\
  
   * **Vylepšení integrálu:**\\   * **Vylepšení integrálu:**\\
 $$ $$
-I_{\text{lepšené}} = I_{h/2} + \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.+I_{\text{vylepšené}} = I_{h/2} + E_{1/2}.
 $$\\ $$\\
  

Trace: • prednasky

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b01num (generated for current page)