Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b01num [2025/06/07 13:02] – [3. Metoda sečen] mistrjirkastatnice:bakalar:b4b01num [2026/06/03 08:29] (current) – [Metoda polovičního kroku a odhad chyby] knedl1k
Line 279: Line 279:
 ===== Numerické řešení soustav lineárních rovnic ===== ===== Numerické řešení soustav lineárních rovnic =====
  
-**Numerické řešení soustav lineárních rovnic, možné problémy, argumenty pro použití finitních nebo iteračních metod.**+**Metody pro řešení soustav lineárních rovnic $A\vec{x} = \vec{b}$, jejich matematické formulace, problémy a kritéria volby mezi přímými a iteračními postupy.** 
 +=== Přímé (finitní) metody ===
  
 +Poskytují teoreticky přesné řešení v konečném počtu kroků: 
  
 +1. **Gaussova eliminace**:
 +    * Převádí matici $A$ na **horní trojúhelníkový tvar** pomocí ekvivalentních úprav.\\
 +    * **Algoritmus**:\\
 +    * Pro $k = 1$ až $n-1$:\\
 +$a^{(k)}_{i,j} = a^{(k-1)}_{i,j} - \frac{a^{(k-1)}_{i,k}}{a^{(k-1)}_{k,k}} \cdot a^{(k-1)}_{k,j}$\\
 +    * **Zpětná substituce**:\\
 +$x_i = \frac{1}{a^{(i-1)}_{i,i}} \left( a^{(i-1)}_{i,n+1} - \sum_{j=i+1}^n a^{(i-1)}_{i,j}x_j \right)$ \\
 +    * Výběr hlavního prvku redukuje zaokrouhlovací chyby.
  
-===== Numerická integrace =====+2. **LU rozklad**: 
 +    * Rozklad $A = LU$ na **dolní ($L$)** a **horní ($U$) trojúhelníkovou matici**.\\
  
-**Numerická integrace - princip, možné problémy, volba metody, problematika odhadu chyb.**+    * Řeší se dvě soustavy: 
 +      * $L\vec{y} = \vec{b}$ (dopředná substituce), 
 +      * $U\vec{x} = \vec{y}$ (zpětná substituce).
  
-==== Princip numerické integrace ====+    * Efektivní pro opakované výpočty s různými $\vec{b}$ 
  
-Numerická integrace je postup přibližného výpočtu **definitního integrálu**\\ +=== Iterační metody ===
-$$ +
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx +
-$$\\ +
-pro případy, kdy analytická řešení (primitivní funkce) nelze získat nebo je výpočet složitý. Základní přístup spočívá v **discretizaci** intervalu $[a, b]$ a aproximaci integrálu pomocí **polynomů**, **geometrických útvarů** nebo **kvadraturních vzorců**.+
  
-==== Hlavní metody numerické integrace ====+Generují posloupnost aproximací $\vec{x}^{(k)} \to \vec{x}$: 
  
-=== 1. Obdélníková metoda (Rectangle Rule) ===+1. **Jacobiho metoda (JIM)**: 
 +    - Rozklad $A = D + L + U$ ($D$ diagonální, $L$ ostře dolní, $U$ ostře horní trojúhelníková). 
 +    - **Iterační vzorec**: $\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \vec{b} - (L + U) \vec{x}^{(k)} \right)$ 
 +    - Jednoduchá implementace, paralelizovatelná, ale pomalá konvergence 
  
-  * **Princip**: Rozdělí interval $[a, b]$ na $n$ podintervalů, v každém z nich integrand nahradí **konstantou** (hodnotou v levém, pravém nebo středním bodě).\\+2. **Gaussova-Seidelova metoda (GSM)**: 
 +    * Využívá již aktualizované hodnoty v aktuální iteraci: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + L)^{-1} \left( \vec{b} - U \vec{x}^{(k)} \right)$ 
 +    * Rychlejší konvergence než JIM, ale sekvenční výpočet  
 +3. **Superrelaxační metoda (SOR)**: 
 +    * Zavádí relaxační parametr $\omega$ pro urychlení konvergence: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + \omega L)^{-1} \left[ (1-\omega)D \vec{x}^{(k)} - \omega U \vec{x}^{(k)} \right] + \omega (D + \omega L)^{-1} \vec{b}$ 
 +    * Pro $\omega = 1$ přechází na GSM. Optimální $\omega$ zrychluje konvergenci, ale špatná volba způsobí divergenci 
  
-  * **Formule**:\\ +=== Problémy a kritéria volby metod ===
-$$ +
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) +
-$$\\ +
-kde $x_i$ je bod v $i$-tém podintervalu (např. střed = **střední metoda**).\\+
  
-  * **Řád metody**: pro levé a pravé obdelníky: 1 (chyba je $O(h)$, kde $h = \frac{b-a}{n}$)., pro střední je řád 2 (chyba je $O(h^2)$)+  * **Problémy**: 
 +    * **Špatná podmíněnost**: Malé změny v $A$ nebo $\vec{b}$ vedou k velkým změnám řešení (kritérium: velké $\|A^{-1}\|$) 
 +    * **Zaokrouhlovací chyby**: Akumulují se v přímých metodách, zejména bez výběru hlavního prvku 
 +    * **Konvergence iterací**: Zajištěna pouze pokud $\rho(B) < 1$ (spektrální poloměr iterační matice) 
 +    * **Řídké matice**: Přímé metody ztrácejí na efektivitě kvůli “zaplnění” (fill-in), iterační metody ji zachovávají  
 +  * **Volba metody**:
  
-  * **Výhody**: Jednoduchost, malá početní náročnost.\\+^**Parametr**             ^**Přímé metody**               ^**Iterační metody**                       ^ 
 +|**Velikost matice**      |Malé až střední systémy        |Velké systémy ($n > 10^3$)                | 
 +|**Struktura matice**     |Plné nebo řídké                |Řídké (např. diskretizace PDE)            | 
 +|**Přesnost**             |Vysoká (teoreticky přesné)     |Přibližná (kontrola rezidua $\|\vec{r}\|$)| 
 +|**Vícenásobná $\vec{b}$**|Efektivní (jednorázový rozklad)|Výhodné s dobrým počátečním odhadem       | 
 +|**Paměťová náročnost**   |Vyšší (např. LU: $O(n^2)$)     |Nižší (např. JIM: $O(n)$)                 |
  
-  * **Nevýhody**: Malá přesnost, nevhodné pro funkcí s rychlým zrychlením.+=== Odhady chyb a optimalizace ===
  
-=== 2. Lichoběžníková metoda (Trapezoidal Rule) ===+  * **Reziduální odhad**: $\vec{r} = \vec{b} - A\vec{x}_c$ umožňuje zpřesnění řešení \\
  
-  * **Princip**: Interval rozdělí na $n$ podintervalů, které aproximuje **lichoběžníky** (lineární interpolace).\\+  * **Složitost**: 
 +    * Přímé metody: $O(n^3)$ pro GEM, $O(n^2)$ pro zpětný chod.\\
  
-  * **Formule**:\\ +    * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké 
-$$ +
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right], \quad h = \frac{b - a}{n} +
-$$\\+
  
-  * **Řád metody**: 2 (chyba $O(h^2)$).\\ 
  
-  * **Výhody**: Lépe přesná než obdélníková, stabilní pro hladké funkce.\\ +===== Numerická integrace =====
- +
-  * **Nevýhody**: Chyba se zvětšuje pro funkce s velkými druhými derivacemi.+
  
-=== 3. Simpsonova metoda (Simpson’s Rule) ===+**Numerická integrace slouží k přibližnému výpočtu určitého integrálu, když analytické řešení není možné. Zahrnuje diskretizaci intervalu, výpočet ploch pod křivkou pomocí jednoduchých geometrických tvarů a řízení chyb.**
  
-  * **Princip**: Užívá **parabolické interpolace** (kvadratické polynomy) na párových podintervalech.\\+==== Metody numerické integrace ====
  
-  * **Formule**:\\+1. **Metoda levých obdélníků** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu. 
 +    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$:
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{(n/2)-1} f(x_{2i}) + f(b) \right] +I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h. 
-$$\\ +$$ 
-(vyžaduje sudé $n$).\\ +    * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce). 
- +2. **Metoda středních obdélníků** 
-  * **Řád metody**: 4 (chyba $O(h^4)$).\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu. 
- +    * **Matematicky:** 
-  * **Výhody**: Vysoká přesnost pro hladké funkce.\\ +$$ 
- +I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right). 
-  * **Nevýhody**: Závislost na počtu podintervalů, složitější výpočet -> velmi pomalé. +$$ 
- +    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$). 
-=== 4. Newton-Cotesovy vzorce ===+3. **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku). 
 +    * **Matematicky:** 
 +$$ 
 +I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right]. 
 +$$ 
 +    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy). 
 +4. **Simpsonova metoda** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů. 
 +    * **Matematicky (pro sudé $n$):** 
 +$$ 
 +I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right]. 
 +$$ 
 +    * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$). 
 +5. **Gaussova kvadratura** 
 +    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$. 
 +    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů: 
 +$$ 
 +I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right), 
 +$$ 
 +kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy. 
 +    * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$). 
 +=== Bonus: Newton-Cotesovy vzorce ===
  
 Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\ Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\
Line 355: Line 397:
  
 ==== Problémy a optimalizace ==== ==== Problémy a optimalizace ====
 +  * **Problémy:** Numerické chyby (zaokrouhlovací, metody), singularity, oscilace funkce.\\
  
-=== 1. Odhad chyby a kompozitní metody ===+=== Metoda polovičního kroku a odhad chyby ===
  
-  * **Kompozice**: Rozdělení $[a, b]$ na $n$ podintervalů a aplikace metody na každý.\\ +  * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\
- +
-  * **Chyba trapezoidální metody**:\\+
 $$ $$
-E \approx -\frac{(b - a)^3}{12n^2} f''(\xi), \quad \xi \in [a,b]+E_{1/2} \approx \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.
 $$\\ $$\\
  
-  * **Chyba Simpsonovy metody**:\\ +  * **Vylepšení integrálu:**\\
-$$ +
-E \approx -\frac{(b - a)^5}{180n^4} f^{(4)}(\xi)+
 $$ $$
 +I_{\text{vylepšené}} = I_{h/2} + E_{1/2}.
 +$$\\
  
-=== 2. Richardsonova extrapolace ===+  * **Souvislost s Richardsonovou extrapolací:** Tento postup je jejím speciálním případem. Kombinací výsledků pro různé $h$ eliminuje vedoucí člen chyby 
  
-Sloučení dvou odhadů s různými kroky $h$ a $h/2$ pro odstranění vedení v chybě.\\ +=== Řád metody ===
-- **Příklad**: U trapezoidální metody:\\ +
-$$ +
-  I(h/2) = I(h) + \frac{E(h)}{4} \Rightarrow \text{vyšší řád} O(h^4) +
-  $$+
  
-=== 3. Adaptivní kvadratura ===+  * **Význam:** Udává, do jakého stupně polynomu metoda počítá integrál přesně. Např. metoda řádu 2 přesně integruje polynomy stupně $\leq 1$ (tj. $x^{1}$ a nižší).\\ 
 + 
 +  * **Chyba metody:** Pro krok $h$ a řád $p$ je globální chyba $O(h^p)$. 
 + 
 + 
 +==== Řád chyby ==== 
 + 
 +  * **Definice:** Řád chyby $p$ znamená, že chyba metody klesá jako $h^p$ při zmenšování kroku $h$. 
 +  * **Příklad:** Pro metodu s řádem 2, zmenšení kroku $h$ na polovinu sníží chybu 4krát, protože $E \propto h^2$. 
 + 
 +=== Adaptivní kvadratura ===
  
 Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami). Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami).
Line 404: Line 451:
 ==== Kritéria volby metody ==== ==== Kritéria volby metody ====
  
-  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova).\\ +  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova). 
- +  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.
-  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.\\ +
   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.
  

Trace: • b4b33alg • prednasky

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b01num (generated for current page)