Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b0b33opt [2025/06/04 18:15] – zapleka3statnice:bakalar:b0b33opt [2025/06/12 10:33] (current) – [Podmínky konvexity podle derivací] el_dusto
Line 1: Line 1:
-==== Použití lineární algebry v optimalizaci. Iterační algoritmy na volné lokální extrémy. Lineární programování. Konvexní množiny a funkce, konvexní úlohy. Dualita. ====+====== Použití lineární algebry v optimalizaci. Iterační algoritmy na volné lokální extrémy. Lineární programování. Konvexní množiny a funkce, konvexní úlohy. Dualita. ======
  
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/74/p4674306.html|B0B33OPT]] [[https://cw.fel.cvut.cz/wiki/courses/B0B33OPT|Webové stránky předmětu]] [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/74/p4674306.html|B0B33OPT]] [[https://cw.fel.cvut.cz/wiki/courses/B0B33OPT|Webové stránky předmětu]]
Line 718: Line 718:
 == L₁-norm (taxicab-norma) == == L₁-norm (taxicab-norma) ==
   * Chceme minimalizovat součet absolutních odchylek: %%<mjax>\min_{x\in\mathbb{R}^{n}} \,\bigl\|A\,x - b\bigr\|_{1}\;=\;\min_{x}\;\sum_{i=1}^{m} \bigl|\,a_{i}^{T}x - b_{i}\bigr|.</mjax>%%   * Chceme minimalizovat součet absolutních odchylek: %%<mjax>\min_{x\in\mathbb{R}^{n}} \,\bigl\|A\,x - b\bigr\|_{1}\;=\;\min_{x}\;\sum_{i=1}^{m} \bigl|\,a_{i}^{T}x - b_{i}\bigr|.</mjax>%%
-  * Formulujeme ekvivalentně:%%<mjax>\min_{x,\;\{u_{i}\}}\;\sum_{i=1}^{m}u_{i}\quad\text{za podmínek}\quad-\,u_{i} \;\le\; a_{i}^{T}x - b_{i}\;\le\; u_{i},\quadu_{i}\;\ge\; 0,\;i=1,\dots,m.</mjax>%% +  * Formulujeme ekvivalentně:%%<mjax>\min_{x,\;\{u_{i}\}}\;\sum_{i=1}^{m}u_{i}\quad\text{za podmínek}\quad-\,u_{i} \;\le\; a_{i}^{T}x - b_{i}\;\le\; u_{i},\quad u_{i}\;\ge\; 0,\;i=1,\dots,m.</mjax>%% 
   * Nalezené \(\{u_{i}^{*}\}\) jsou pak absolutní odchylky a \(\sum_i u_i^*\) je minimální součet.   * Nalezené \(\{u_{i}^{*}\}\) jsou pak absolutní odchylky a \(\sum_i u_i^*\) je minimální součet.
  
Line 912: Line 912:
   * **Komplementární podmínky:**   * **Komplementární podmínky:**
     * Jsou splněny právě tehdy, když jsou obě řešení optimální:     * Jsou splněny právě tehdy, když jsou obě řešení optimální:
-      * Pro každé \(i\):   +      * Pro každé \(i\): %%<mjax>x_i > 0 \;\Rightarrow\; (A^T y)_i = c_i</mjax>%% 
-        %%<mjax>x_i > 0 \;\Rightarrow\; (A^T y)_i = c_i</mjax>%% +      * Pro každé \(j\): %%<mjax>y_j > 0 \;\Rightarrow\; (A x)_j = b_j</mjax>%%   
-      * Pro každé \(j\):   +      * Obecně: %%<mjax>(c_i - (A^T y)_i) \cdot x_i = 0,\quad ((A x)_j - b_j) \cdot y_j = 0</mjax>%%<abbr title="Každý člen buď aktivně omezuje, nebo má nulový dopad.">❓</abbr>
-        %%<mjax>y_j > 0 \;\Rightarrow\; (A x)_j = b_j</mjax>%%   +
-      * Obecně:   +
-        %%<mjax>(c_i - (A^T y)_i) \cdot x_i = 0,\quad ((A x)_j - b_j) \cdot y_j = 0</mjax>%%<abbr title="Každý člen buď aktivně omezuje, nebo má nulový dopad.">❓</abbr>+
  
   * Jinými slovy: **každá podmínka buď svazuje řešení (aktivní), nebo má nulový stínový dopad**.   * Jinými slovy: **každá podmínka buď svazuje řešení (aktivní), nebo má nulový stínový dopad**.
Line 952: Line 949:
 Pokud je \(f\) diferencovatelná: Pokud je \(f\) diferencovatelná:
  
-  * **1. derivace – gradientová podmínka:**   +  * **1. derivace – gradientová podmínka:** Funkce \(f\) je konvexní ⇔ platí: %%<mjax>f(y) \ge f(x) + \nabla f(x)^T (y - x)</mjax>%% <abbr title="Dotyková rovina funkci nepodsekává – funkce leží vždy nad tečnou.">❓</abbr>
-    Funkce \(f\) je konvexní ⇔ platí: %%<mjax>f(y) \ge f(x) + \nabla f(x)^T (y - x)</mjax>%% <abbr title="Dotyková rovina funkci nepodsekává – funkce leží vždy nad tečnou.">❓</abbr>+
  
 Pokud je \(f\) dvakrát diferencovatelná: Pokud je \(f\) dvakrát diferencovatelná:
  
-  * **2. derivace – Hessova podmínka:**   +  * **2. derivace – Hessova podmínka:** Funkce \(f\) je konvexní ⇔ její Hessova matice je pozitivně semidefinitní: %%<mjax>\nabla^2 f(x) \succeq 0\quad \text{(pro všechna } x)</mjax>%% <abbr title="Funkce je konvexní, pokud její křivost (druhé derivace) nejsou záporné.">❓</abbr>
-    Funkce \(f\) je konvexní ⇔ její Hessova matice je semidefinitní: %%<mjax>\nabla^2 f(x) \succeq 0\quad \text{(pro všechna } x)</mjax>%% <abbr title="Funkce je konvexní, pokud její křivost (druhé derivace) nejsou záporné.">❓</abbr>+
  
 ==== Úloha konvexní optimalizace ==== ==== Úloha konvexní optimalizace ====

Trace:

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b0b33opt (generated for current page)