Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b0b01ma2 [2025/06/02 17:36] – [Válcové souřadnice] zapleka3statnice:bakalar:b0b01ma2 [2026/06/13 10:38] (current) – [Geometrický význam gradientu] badinmic
Line 158: Line 158:
 === Geometrický význam gradientu === === Geometrický význam gradientu ===
   * Gradient $f$ v bodě $x$ je kolmý na vrstevnici (hladinu konstantnosti) funkce $f$ v bodě $x$.   * Gradient $f$ v bodě $x$ je kolmý na vrstevnici (hladinu konstantnosti) funkce $f$ v bodě $x$.
-  * Gradient $f$ v bodě $x$ ukazuje směr, ve kter0m funkce $f$ v bodě $x$ roste nejrychleji.+  * Gradient $f$ v bodě $x$ ukazuje směr, ve kterém funkce $f$ v bodě $x$ roste nejrychleji.
   * Velikost gradientu určuje strmost růstu funkce v daném bodě.   * Velikost gradientu určuje strmost růstu funkce v daném bodě.
   * Směrová derivace nabývá maximální hodnoty ve směru gradientu.   * Směrová derivace nabývá maximální hodnoty ve směru gradientu.
Line 270: Line 270:
 **Sylvesterovo kritérium:** **Sylvesterovo kritérium:**
   * Všechny hlavní minory kladné → **pozitivně definitní** → **lokální minimum**   * Všechny hlavní minory kladné → **pozitivně definitní** → **lokální minimum**
-  * Znaménka se střídají ($+ - +$...) → **negativně definitní** → **lokální maximum**+  * Znaménka se střídají ($- + -$...) → **negativně definitní** → **lokální maximum**
   * Jinak → **indefinitní** → **sedlový bod**   * Jinak → **indefinitní** → **sedlový bod**
  
Line 815: Line 815:
  
 ==== Sférické souřadnice ==== ==== Sférické souřadnice ====
-Sférické souřadnice $(r,\varphi,\theta)$ jsou dány vztahem + 
-$$ +Sférické souřadnice $(r,\varphi,\theta)$ se používají při popisu objektů s kulovou symetrií (např. koule, sféry, nebo oblastí okolo bodu).   
-x = r \sin \theta \cos \varphi, \quad y = r \sin \theta \sin \varphi, \quad z = r \cos \theta.$$ +Popisují bod v prostoru pomocí: 
-Opačný převod je dán vztahem +  * $r \geq 0$ – vzdálenost od počátku, 
-$$ +  * $\theta \in \langle 0,\ \pi \rangle$ – úhel od osy $z$ („zenitový“ úhel), 
-r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right).$$+  * $\varphi \in \langle 0,\ 2\pi \rangle$ – úhel v rovině $xy$ („azimutální“). 
 + 
 +**Převod do kartézských souřadnic:** $ x = r \sin \theta \cos \varphi, \quad y = r \sin \theta \sin \varphi, \quad z = r \cos \theta. $ 
 + 
 +**Zpětný převod:** $ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right). $ 
 <WRAP centeralign> <WRAP centeralign>
 {{statnice:bakalar:spherical_with_grid.svg?380x384}} {{statnice:bakalar:spherical_with_grid.svg?380x384}}
 </WRAP> </WRAP>
  
-=== Využití v integrálech ===+=== Jakobián a změna objemového elementu ===
  
-Při přechodu na sférické souřadnice se mění objemový element podle vzorce +Při přechodu ze souřadnic $(x, y, z)$ na sférické souřadnice $(r, \varphi, \theta)$ musíme změnit i objemový element:
-$$ +
-dV = dx \, dy \, dz = r^2 \sin \theta \, dr \, d\varphi \, d\theta.$$ +
-Jakobián je roven $r^2 \sin \theta$.+
  
-Příklad na výpočtu objemu koule: 
 $$ $$
-V = \int_{D} 1 \, dx \, dy \, dz +dx \, dy \, dz = r^2 \sin \theta \, dr \, d\varphi \, d\theta.
-= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi +
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta \int_{0}^{R} r^2 \, dr +
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot \left[-\cos \theta\right]_{0}^{\pi} \cdot \left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^{R} +
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} +
-= 2\pi \cdot \frac{R^3}{3} +
-= \frac{4\pi}{3} R^3.+
 $$ $$
  
 +Jakobián této změny je: $ J = r^2 \sin \theta $
 +
 +=== Příklad – výpočet objemu koule pomocí sférických souřadnic ==
 +
 +Chceme spočítat objem koule se středem v počátku a poloměrem $R$.
  
 +Přechod na sférické souřadnice zahrnuje:
 +  - **Oblast $D$ popíšeme v sférických souřadnicích:** $ D = \left\{ (r,\varphi,\theta) \in [0,R] \times [0,2\pi] \times [0,\pi] \right\} $
 +  - **Objemový element změníme podle Jakobiánu:** $ dx\,dy\,dz = r^2 \sin \theta \, dr\,d\varphi\,d\theta $
 +  - **Sestavíme trojitý integrál:** $ V = \iiint_D 1 \, dx\,dy\,dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi $
 +  - **Spočítáme vnitřní integrál podle $r$:** $ \int_{0}^{R} r^2 \, dr = \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_{0}^{R} = \frac{1}{3} R^3 $
 +  - **Dosadíme do středního integrálu podle $\theta$:** $ \int_{0}^{\pi} \sin \theta \cdot \frac{1}{3} R^3 \, d\theta = \frac{1}{3} R^3 \cdot \left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{3} R^3 \cdot 2 = \frac{2}{3} R^3 $
 +  - **Dosadíme do vnějšího integrálu podle $\varphi$:** $ \int_{0}^{2\pi} \frac{2}{3} R^3 \, d\varphi = \frac{2}{3} R^3 \cdot \left[ \varphi \right]_{0}^{2\pi} = \frac{2}{3} R^3 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3} R^3 $
  
 +**Závěr:** Objem koule o poloměru $R$ je $V = \frac{4\pi}{3} R^3$.

Trace: • b0b36dbs • b0b33opt • b4b01dma

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b0b01ma2 (generated for current page)