Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- statnice:bakalar:b0b01ma2 [2025/06/02 16:41] – [5. Polární, válcové a sférické souřadnice] zapleka3
+++ statnice:bakalar:b0b01ma2 [2026/06/13 10:38] (current) – [Geometrický význam gradientu] badinmic
@@ Line 158: / Line 158: @@
 === Geometrický význam gradientu ===
   * Gradient $f$ v bodě $x$ je kolmý na vrstevnici (hladinu konstantnosti) funkce $f$ v bodě $x$.
-  * Gradient $f$ v bodě $x$ ukazuje směr, ve kter0m funkce $f$ v bodě $x$ roste nejrychleji.
+  * Gradient $f$ v bodě $x$ ukazuje směr, ve kterém funkce $f$ v bodě $x$ roste nejrychleji.
   * Velikost gradientu určuje strmost růstu funkce v daném bodě.
   * Směrová derivace nabývá maximální hodnoty ve směru gradientu.
@@ Line 270: / Line 270: @@
 **Sylvesterovo kritérium:**
   * Všechny hlavní minory kladné → **pozitivně definitní** → **lokální minimum**
-  * Znaménka se střídají ($+ - +$...) → **negativně definitní** → **lokální maximum**
+  * Znaménka se střídají ($- + -$...) → **negativně definitní** → **lokální maximum**
   * Jinak → **indefinitní** → **sedlový bod**
@@ Line 702: / Line 702: @@
 ==== Změna souřadnic a role Jakobiánu ====
 Pokud provádíme změnu souřadnic, musíme vzít v úvahu, že se mění i objemový element.
 Nechť
 $$\Phi:(u,v)\mapsto (x(u,v),\,y(u,v))$$
 je hladké na $D'\subset\mathbb R^{2}$ a nechť $D=\Phi(D')$.
 Potom platí vzorec pro substituci v dvojitém integrálu
 $$
 \int_{D} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) \, J(u,v) \, du \, dv,$$
-kde $D'$ je obraz množiny $D$ v nových souřadnicích a $J(u,v)$ je Jacobian, který je dán vztahem
+kde $D'$ je obraz množiny $D$ v nových souřadnicích a $J(u,v)$ je **Jakobián přechodu**, který je dán vztahem
 $$
 J(u,v) = \left| \begin{array}{cc}
@@ Line 715: / Line 718: @@
 \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
 \end{array} \right|.$$
 ==== Polární souřadnice ====
-Jakobián pro polární souřadnice je roven $r$.
+Polární souřadnice se používají zejména tehdy, když se oblast nebo funkce vztahuje k nějakému bodu (typicky počátku) – například při výpočtu obsahu kruhu, výseče, nebo obecně oblastí s kruhovou symetrií.
-Polární souřadnice v rovině $(x,y)$ jsou dány vztahem
-$$
+Namísto pravoúhlých souřadnic $(x, y)$ popisujeme bod pomocí jeho vzdálenosti od počátku $r \geq 0$ a úhlu $\varphi \in \langle 0,\ 2\pi \rangle$, který svírá s osou $x$.
-x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi,$$
-kde $r \geq 0$ je vzdálenost bodu od počátku a $\varphi$ je úhel, který svírá.
+Převod mezi souřadnicemi:
+**Polární substituce**: $ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi $
+**Zpětný převod**: $ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \arctan\left( \frac{y}{x} \right) $
-Opačný převod je dán vztahem
-$$
-r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right).$$
 <WRAP centeralign>
 {{statnice:bakalar:polar_cartesian_quadrant_v3.svg?300x300}}
 </WRAP>
-=== Využití v integrálech ===
+=== Jakobián a změna objemového elementu ===
-Při přechodu na polární souřadnice se mění objemový element podle vzorce
-$$
+Při změně souřadnic v integrálu se mění také objemový (plošný) element $dx\,dy$. Abychom integrál spočítali správně, musíme jej **vynásobit tzv. Jakobiánem** – ten vyjadřuje „roztažení nebo zúžení“ prostoru při změně souřadnic.
-dx \, dy = r \, dr \, d\varphi.$$
-Příklad na výpočet obsahu kruhu:
+Pro přechod z $(x, y)$ na $(r, \varphi)$ je Jakobián roven:
 $$
-S = \int_{D} 1 dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r \, dr \, d\varphi
+J = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \varphi)} \right| = r
 $$
-==== Válcové souřadnice ====
+Z toho plyne, že plošný element se mění podle vzorce:
-Válcové souřadnice $(r,\varphi,z)$ jsou dány vztahem
 $$
-x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad z = z.$$
+dx \, dy = r \, dr \, d\varphi
-Opačný převod je dán vztahem
 $$
-r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad z = z.$$
+**Poznámka:** Jakobián je determinant **Jakobiho matice** – matice všech parciálních derivací substitučních funkcí. Jeho hodnota se vždy násobí k integrálu.
+=== Příklad – výpočet obsahu kruhu pomocí polárních souřadnic ===
+Mějme vypočítat obsah kruhu se středem v počátku a poloměrem $R$.
+V kartézských souřadnicích bychom oblast $D$ museli popisovat pomocí rovnice $x^2 + y^2 \leq R^2$ a integrace přes takovou oblast není vždy přímá. Proto je výhodné přejít na **polární souřadnice**, kde má oblast $D$ přirozený tvar:
+  * $r$ od $0$ do $R$ (vzdálenost od středu)
+  * $\varphi$ od $0$ do $2\pi$ (úhel opíše celý kruh)
+Přechod na polární souřadnice zahrnuje následující kroky:
+  - **Vyjádříme oblast $D$ v polárních souřadnicích:** $ D = \left\{ (r, \varphi) \in [0, R] \times [0, 2\pi] \right\} $
+  - **Změníme objemový element pomocí Jakobiánu:**
+    * V polárních souřadnicích platí: $ dx\,dy = r \, dr\, d\varphi $
+  - **Sestavíme integrál pro obsah kruhu:** $ S = \iint_D 1 \, dx\,dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} 1 \cdot r \, dr \, d\varphi $
+  - **Spočítáme vnitřní integrál podle $r$:** $ \int_{0}^{R} r \, dr = \left[ \frac{1}{2} r^2 \right]_{0}^{R} = \frac{1}{2} R^2 $
+  - **Dosadíme do vnějšího integrálu podle $\varphi$:** $ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} R^2 \, d\varphi = \frac{1}{2} R^2 \cdot \left[ \varphi \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} R^2 \cdot 2\pi = \pi R^2 $
+**Závěr:** Obsah kruhu o poloměru $R$ je $S = \pi R^2$, což jsme pomocí polárních souřadnic spočítali velmi přirozeným způsobem.
+==== Válcové souřadnice ====
+Válcové souřadnice jsou rozšířením polárních souřadnic do třírozměrného prostoru – přidávají výšku $z$ nad rovinou. Jsou vhodné zejména při výpočtech objemů a integrálů těles se symetrií kolem osy $z$ (např. válec, kužel, rotační tělesa apod.).
+Namísto pravoúhlých souřadnic $(x, y, z)$ popisujeme bod pomocí:
+  * $r \geq 0$ – vzdálenost od osy $z$
+  * $\varphi \in \langle 0, 2\pi \rangle$ – úhel v rovině $xy$
+  * $z$ – výška (zůstává nezměněná)
+**Převod mezi souřadnicemi:** $ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad z = z $
+**Zpětný převod:** $ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \arctan\left( \frac{y}{x} \right), \quad z = z $
 <WRAP centeralign>
-{{statnice:bakalar:valcova_soustava_souradnic.svg}}
+{{statnice:bakalar:valcova_soustava_souradnic.svg?200}}
 </WRAP>
-=== Využití v integrálech ===
+=== Jakobián a objemový element ===
-Při přechodu na válcové souřadnice se mění objemový element podle vzorce
-$$
-dV = dx \, dy \, dz = r \, dr \, d\varphi \, dz.$$
-Jakobián je roven $r$.
-Pokud integrujeme přes válcové souřadnice, musíme přidat Jacobian, který je roven $r$.
-Příklad na výpočtu objemu válce:
+Při přechodu na válcové souřadnice se objemový element $dx\,dy\,dz$ mění na:
 $$
-V = \int_{D} 1 \, dx \, dy \, dz
+dV = r \, dr \, d\varphi \, dz
-= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \int_{-h/2}^{h/2} r \, dz \, dr \, d\varphi
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{R} r \, dr \int_{-h/2}^{h/2} dz
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{R} r \, dr \cdot h
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot \frac{R^2}{2} \cdot h
-= \frac{2\pi}{2} \cdot R^2 \cdot h
-= \pi R^2 h.
 $$
+Jakobián substituce je tedy roven $r$, protože přechod v rovině $xy$ je stejný jako u polárních souřadnic.
+=== Příklad – výpočet objemu válce pomocí válcových souřadnic ===
+Chceme vypočítat objem válce o poloměru $R$ a výšce $h$, který je souměrně umístěn podél osy $z$ od $-h/2$ do $h/2$.
+Kroky výpočtu:
+  - **Oblast $D$ popíšeme ve válcových souřadnicích:** $ D = \left\{ (r, \varphi, z) \in [0, R] \times [0, 2\pi] \times \left[-\frac{h}{2}, \frac{h}{2} \right] \right\} $
+  - **Objemový element změníme podle Jakobiánu:** $ dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\varphi \, dz $
+  - **Sestavíme trojitý integrál:** $ V = \iiint_D 1 \, dx \, dy \, dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \int_{-h/2}^{h/2} r \, dz \, dr \, d\varphi $
+  - **Spočítáme vnitřní integrál podle $z$:** $ \int_{-h/2}^{h/2} r \, dz = r \cdot \left[ z \right]_{-h/2}^{h/2} = r \cdot h $
+  - **Dosadíme do prostředního integrálu podle $r$:** $ \int_{0}^{R} r \cdot h \, dr = h \cdot \left[ \frac{1}{2} r^2 \right]_{0}^{R} = h \cdot \frac{1}{2} R^2 $
+  - **Dosadíme do vnějšího integrálu podle $\varphi$:** $ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} R^2 h \, d\varphi = \frac{1}{2} R^2 h \cdot \left[ \varphi \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} R^2 h \cdot 2\pi = \pi R^2 h $
+**Závěr:** Objem válce o poloměru $R$ a výšce $h$ je $V = \pi R^2 h$.
 ==== Sférické souřadnice ====
-Sférické souřadnice $(r,\varphi,\theta)$ jsou dány vztahem
-$$
+Sférické souřadnice $(r,\varphi,\theta)$ se používají při popisu objektů s kulovou symetrií (např. koule, sféry, nebo oblastí okolo bodu).
-x = r \sin \theta \cos \varphi, \quad y = r \sin \theta \sin \varphi, \quad z = r \cos \theta.$$
+Popisují bod v prostoru pomocí:
-Opačný převod je dán vztahem
+  * $r \geq 0$ – vzdálenost od počátku,
-$$
+  * $\theta \in \langle 0,\ \pi \rangle$ – úhel od osy $z$ („zenitový“ úhel),
-r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right).$$
+  * $\varphi \in \langle 0,\ 2\pi \rangle$ – úhel v rovině $xy$ („azimutální“).
+**Převod do kartézských souřadnic:** $ x = r \sin \theta \cos \varphi, \quad y = r \sin \theta \sin \varphi, \quad z = r \cos \theta. $
+**Zpětný převod:** $ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right). $
 <WRAP centeralign>
 {{statnice:bakalar:spherical_with_grid.svg?380x384}}
 </WRAP>
-=== Využití v integrálech ===
+=== Jakobián a změna objemového elementu ===
-Při přechodu na sférické souřadnice se mění objemový element podle vzorce
+Při přechodu ze souřadnic $(x, y, z)$ na sférické souřadnice $(r, \varphi, \theta)$ musíme změnit i objemový element:
-$$
-dV = dx \, dy \, dz = r^2 \sin \theta \, dr \, d\varphi \, d\theta.$$
-Jakobián je roven $r^2 \sin \theta$.
-Příklad na výpočtu objemu koule:
 $$
-V = \int_{D} 1 \, dx \, dy \, dz
+dx \, dy \, dz = r^2 \sin \theta \, dr \, d\varphi \, d\theta.
-= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta \int_{0}^{R} r^2 \, dr
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot \left[-\cos \theta\right]_{0}^{\pi} \cdot \left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^{R}
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3}
-= 2\pi \cdot \frac{R^3}{3}
-= \frac{4\pi}{3} R^3.
 $$
+Jakobián této změny je: $ J = r^2 \sin \theta $
+=== Příklad – výpočet objemu koule pomocí sférických souřadnic ==
+Chceme spočítat objem koule se středem v počátku a poloměrem $R$.
+Přechod na sférické souřadnice zahrnuje:
+  - **Oblast $D$ popíšeme v sférických souřadnicích:** $ D = \left\{ (r,\varphi,\theta) \in [0,R] \times [0,2\pi] \times [0,\pi] \right\} $
+  - **Objemový element změníme podle Jakobiánu:** $ dx\,dy\,dz = r^2 \sin \theta \, dr\,d\varphi\,d\theta $
+  - **Sestavíme trojitý integrál:** $ V = \iiint_D 1 \, dx\,dy\,dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi $
+  - **Spočítáme vnitřní integrál podle $r$:** $ \int_{0}^{R} r^2 \, dr = \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_{0}^{R} = \frac{1}{3} R^3 $
+  - **Dosadíme do středního integrálu podle $\theta$:** $ \int_{0}^{\pi} \sin \theta \cdot \frac{1}{3} R^3 \, d\theta = \frac{1}{3} R^3 \cdot \left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{3} R^3 \cdot 2 = \frac{2}{3} R^3 $
+  - **Dosadíme do vnějšího integrálu podle $\varphi$:** $ \int_{0}^{2\pi} \frac{2}{3} R^3 \, d\varphi = \frac{2}{3} R^3 \cdot \left[ \varphi \right]_{0}^{2\pi} = \frac{2}{3} R^3 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3} R^3 $
+**Závěr:** Objem koule o poloměru $R$ je $V = \frac{4\pi}{3} R^3$.

Trace: • b0b36dbs • b0b33opt • b4b01dma • b0b01ma2 • b4b01num

Differences

Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code