Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- statnice:bakalar:b0b01ma2 [2025/06/02 15:25] – [4. Mocninná řada] zapleka3
+++ statnice:bakalar:b0b01ma2 [2026/06/13 10:38] (current) – [Geometrický význam gradientu] badinmic
@@ Line 158: / Line 158: @@
 === Geometrický význam gradientu ===
   * Gradient $f$ v bodě $x$ je kolmý na vrstevnici (hladinu konstantnosti) funkce $f$ v bodě $x$.
-  * Gradient $f$ v bodě $x$ ukazuje směr, ve kter0m funkce $f$ v bodě $x$ roste nejrychleji.
+  * Gradient $f$ v bodě $x$ ukazuje směr, ve kterém funkce $f$ v bodě $x$ roste nejrychleji.
   * Velikost gradientu určuje strmost růstu funkce v daném bodě.
   * Směrová derivace nabývá maximální hodnoty ve směru gradientu.
@@ Line 270: / Line 270: @@
 **Sylvesterovo kritérium:**
   * Všechny hlavní minory kladné → **pozitivně definitní** → **lokální minimum**
-  * Znaménka se střídají ($+ - +$...) → **negativně definitní** → **lokální maximum**
+  * Znaménka se střídají ($- + -$...) → **negativně definitní** → **lokální maximum**
   * Jinak → **indefinitní** → **sedlový bod**
@@ Line 437: / Line 437: @@
 $$
 kde $a_k$ jsou koeficienty, $x_0$ je střed řady a $x$ je proměnná.
+Jde o funkční řadu – tedy při daném $x$ se z této řady stane číselná řada. Pro různá $x$ může řada konvergovat nebo divergovat – proto nás zajímá její **obor konvergence**.
 ==== Poloměr (obor konvergence) ====
-Speciální vlastností mocninných řad je, že konvergují když $x$ je v určitém "poloměru" (také nazváno obor konvergence viz [[https://www.youtube.com/watch?v=rWiBYalFxks&list=PLD-MTmOzXT5NVUZ1LFerst62uiNYFi7p6&index=20|Isibalo]]) od svého středu (vím že je to sus a bylo by někdy zajímavé vidět důkaz ale berte to spíš jako fakt na zapamatování).
+Speciální vlastností mocninných řad je, že konvergují když $x$ je v určitém "poloměru" (také nazváno obor konvergence viz [[https://www.youtube.com/watch?v=rWiBYalFxks&list=PLD-MTmOzXT5NVUZ1LFerst62uiNYFi7p6&index=20|Isibalo]]) od svého středu.
+Mocninná řada obvykle **konverguje** pro hodnoty $x$ v určitém okolí bodu $x_0$, konkrétně v intervalu:
+$$
+(x_0 - R,\ x_0 + R),
+$$
+kde $R$ je tzv. **poloměr konvergence**. Tento interval nazýváme **obor konvergence** řady.
+V otevřeném intervalu $(x_0 - R,\ x_0 + R)$ řada vždy konverguje, na okrajích $x_0 \pm R$ může konvergovat i divergovat – je třeba to ověřit zvlášť.
 <WRAP center>
@@ Line 462: / Line 472: @@
 </tikzjax>
 </WRAP>
-Když $x$ je uvnitř tohoto poloměru řada konverguje mimo tento poloměr diverguje.
+  * **Uvnitř** intervalu $(x_0 - R,\ x_0 + R)$ řada konverguje vždy.
-Poloměr $R$ je dán podle formule:
+  * **Na okrajích** může konvergovat i divergovat – je nutné ověřit zvlášť.
-$$R = \frac{1}{\lim_{k\to\infty} |a_k|^\frac{1}{k} } = \lim_{k\to\infty} | \frac{a_n}{a_{n+1}} |$$.
+  * **Mimo** interval řada vždy diverguje.
-Pro každý okraj (takže $x_0 + R$ a $x_0 - R$) musíme zkontrolovat jestli do oboru konvergence patří.
+Konverguje-li mocninná řada v nějakém bodě $x \neq x_0$, pak konverguje absolutně pro všechna $x$ blíže ke středu $x_0$.
+**Formálně:**
+Poloměr konvergence je supremum všech $r \geq 0$, pro které platí:
+$$
+\sum_{k = 0}^{\infty} |a_k| \cdot |x - x_0|^k < \infty.
+$$
+Tedy:
+$$
+R = \sup \left\{ r \geq 0\ :\ \sum_{k = 0}^{\infty} |a_k| r^k < \infty \right\}
+\in [0, +\infty].
+$$
+Typy konvergence:
+  * **Bodová konvergence:** řada $\sum f_n(x)$ konverguje bodově k $f(x)$, pokud $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$ pro každé $x$.
+   * Slabší forma – může konvergovat různě „rychle“ pro různá $x$.
+  * **Stejnoměrná konvergence:** posloupnost funkcí $f_n(x)$ konverguje stejnoměrně k $f(x)$, pokud pro každé $\varepsilon > 0$ existuje $N$, že pro všechna $n > N$ a **všechna** $x$ z intervalu platí $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$.
+   * Rychlost konvergence je nezávislá na $x$. Je to silnější typ konvergence.
+  * **Konvergence na množině:** mocninná řada konverguje na množině, pokud pro každé $x$ z dané množiny konverguje řada bodově.
+**Vzorce pro výpočet $R$:** Pomocí limity/ pokud existuje limita
+$$
+R = \frac{1}{\limsup_{k \to \infty} |a_k|^{1/k}} = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right|.
+$$
+==== Geometrická řada ====
+Geometrická řada je speciální případ mocninné řady, ve které se každý člen získá násobením předchozího členu konstantou $q$ (tzv. **kvocient**).
+Obecný tvar:
+$$
+\sum_{k=0}^{\infty} a \cdot q^k = a + aq + aq^2 + aq^3 + \dots
+$$
+kde:
+  * $a$ je počáteční člen (není nutně $1$),
+  * $q$ je kvocient, tedy konstanta, kterou se každý další člen násobí.
+**Konvergence geometrické řady závisí na hodnotě $|q|$:**
+  * Pokud $|q| < 1$, řada **konverguje** k hodnotě: $ \sum_{k=0}^{\infty} a \cdot q^k = \frac{a}{1 - q}.$
+  * Pokud $|q| \geq 1$, řada **diverguje**.
+**Speciální případy:**
+  * $q = 1$: $\sum a \cdot 1^k = a + a + a + \dots \rightarrow$ diverguje k nekonečnu.
+  * $q = -1$: $\sum a \cdot (-1)^k = a - a + a - a + \dots \rightarrow$ diverguje (neexistuje limita).
+  * $q = 0$: $\sum a \cdot 0^k = a + 0 + 0 + \dots \rightarrow$ konverguje k $a$.
+==== Součet geometrické řady ====
+Součet konvergentní geometrické řady je dán jednoduchým vzorcem:
+$$
+\sum_{k=0}^{\infty} a \cdot q^k = \frac{a}{1 - q}, \quad \text{pro } |q| < 1.
+$$
+**Příklad:**
+Spočítejme součet řady:
+$$
++ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots
+$$
+Zde $a = 1$, $q = \frac{1}{2}$. Protože $|q| < 1$, řada konverguje a její součet je:
+$$
+\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2.
+$$
+Geometrická řada se velmi často se používá při úpravách nebo přibližování obecnějších mocninných řad.
+=== Lineární vlastnosti součtů konvergentních řad ===
+Pro manipulaci s mocninnými řadami (např. při derivaci, integraci nebo algebraických úpravách) často používáme tyto základní vlastnosti konvergentních řad:
+**Násobení řady konstantou:** Nechť $\sum a_n$ konverguje a $k \in \mathbb{R}$ je konstanta. Potom:
+$$
+\sum k a_n = k \sum a_n
+$$
+**Součet dvou konvergentních řad:** Nechť $\sum a_n$ a $\sum b_n$ konvergují. Potom:
+$$
+\sum (a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n
+$$
+Tyto vztahy lze použít jen tehdy, když dané řady **konvergují**.
+**Příklad:**
+Spočítejme součet dvou řad: $ \sum_{n=0}^{\infty} ( \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} ) $
+Obě jsou geometrické řady s $|q| < 1$, takže konvergují:
+První řada: $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 $
+Druhá řada: $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} $
+Použijeme součtové pravidlo:
+$$
+\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} \right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^n}
+= 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}
+$$
+Tedy výsledný součet je: $ \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} \right) = \frac{7}{2} $
+Tyto vlastnosti jsou užitečné i při rozkládání a úpravách složitějších řad, derivacích a integracích po členu.
 ==== Derivace a integrace po členu ====
+Jednou z výhod mocninných řad je, že s nimi lze v rámci intervalu konvergence zacházet „jako s běžnými funkcemi“. To znamená, že můžeme **derivovat a integrovat člen po členu**, a výsledná řada bude stále konvergovat ve stejném intervalu.
 **Obecné vzorce pro derivování a integrování člen po členu**
 Pro mocninnou řadu $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x - x_0)^k$ s poloměrem konvergence $R$ platí:
-- **Derivace**:
+**Derivace**:
 $$ f'(x) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot a_k (x - x_0)^{k-1},$$
   přičemž **poloměr konvergence zůstává $R$**.
-- **Integrace**:
+**Integrace**:
 $$ \int f(x) \, dx = C + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k}{k+1} (x - x_0)^{k+1},$$
   kde $C$ je integrační konstanta a **poloměr konvergence zůstává $R$**.
 === Příklad 1 ===
@@ Line 524: / Line 637: @@
 $$
-==== Geometrická řada ====
-Geometrická řada je číselná řada tvaru
+==== Rozvoj exponenciální funkce do mocninné řady ====
+Exponenciální funkce $e^x$ patří mezi klasické příklady funkcí, které lze rozvinout do mocninné řady. Tento rozvoj se získá pomocí **Taylorovy řady** (konkrétně Maclaurinovy řady, tj. Taylorovy řady se středem $x_0 = 0$).
 $$
-\sum_{k=0}^{\infty} a \cdot q^k = a + aq + aq^2 + aq^3 + \dots
+e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots
 $$
-kde $a$ je počáteční člen a $q$ je kvocient (konstanta).
-Pokud $|q| < 1$ pak tato řada konverguje k hodnotě
+**Konvergence**: Tato řada má **nekonečný poloměr konvergence** ($R = \infty$), což znamená, že **konverguje pro všechna reálná čísla $x$**.
+**Odvození**: Řada vychází z Taylorova rozvoje funkce $f(x) = e^x$, protože všechny derivace funkce $e^x$ jsou opět $e^x$. Pro $x = 0$ je tedy:
+$$
+f^{(k)}(0) = 1 \quad \Rightarrow \quad a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \frac{1}{k!}
 $$
-\sum_{k=0}^{\infty} a \cdot q^k = \frac{a}{1-q}$$
-Pokud $|q| \geq 1$ pak tato řada diverguje.
-Pokud $q = 1$ pak tato řada diverguje k nekonečnu.
-Pokud $q = -1$ pak tato řada diverguje k nule.
-Pokud $q = 0$ pak tato řada konverguje k $a$.
-=== Součet geometrické řady ===
+=== Taylorovy řady ===
+Taylorova řada je způsob, jak vyjádřit funkci jako nekonečnou mocninnou řadu. Pokud má funkce $f(x)$ dostatečně hladký průběh (je nekonečně diferencovatelná v okolí bodu $x_0$), lze ji v okolí tohoto bodu zapsat jako:
-==== Rozvoj exponenciální funkce do mocninné řady ====
-Exponenciální funkce $e^x$ se rozvíjí do **Taylorovy řady** se středem v $0$ (Maclaurinova řada):
 $$
-e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots
+f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k
 $$
-- **Konvergence**: Tato řada má **nekonečný poloměr konvergence** ($R = \infty$), tedy konverguje pro všechna reálná $x$.
-- **Odvození**: Vyplývá z Taylorova rozvoje, kde $n$-tá derivace $e^x$ je stále $e^x$, a tedy koeficienty jsou $a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \frac{1}{k!}$.
+Pokud $x_0 = 0$, nazýváme tento rozvoj **Maclaurinova řada**. Koeficienty řady odpovídají hodnotám derivací funkce v bodě $x_0$.
+**Příklad – exponenciální funkce:**
+$$
+e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \quad (\text{Maclaurinova řada})
+$$
+**Další známé Taylorovy řady:**
+  * $\sin x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1}$
+  * $\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}$
+  * $\ln(1 + x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} x^k, \quad |x| < 1$
+**Poznámka**: Taylorova řada nemusí vždy vyjadřovat původní funkci na celém definičním oboru. Aby skutečně platilo $f(x) = \sum \dots$, je třeba, aby řada nejen konvergovala, ale i **konvergovala k funkci** $f(x)$ (tj. funkce musí být tzv. **analytická** v daném bodě).
+== Příklad: Taylorův polynom řádu 3 pro funkci $\ln(1 + x)$ ==
+Chceme najít Taylorův polynom třetího řádu funkce $f(x) = \ln(1 + x)$ kolem bodu $x_0 = 0$.
+Nejprve spočítáme derivace v bodě $x_0 = 0$:
+  * $f(x) = \ln(1 + x)$
+  * $f'(x) = \frac{1}{1 + x} \quad \Rightarrow \quad f'(0) = 1$
+  * $f''(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2} \quad \Rightarrow \quad f''(0) = -1$
+  * $f'''(x) = \frac{2}{(1 + x)^3} \quad \Rightarrow \quad f'''(0) = 2$
+Dosaďme do vzorce pro Taylorův polynom řádu 3: $ T_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 $
+Dosazením získáme: $ T_3(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2} x^2 + \frac{2}{6} x^3 = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$
+**Shrnutí:** Taylorův polynom řádu 3 funkce $\ln(1 + x)$ kolem $x = 0$ je: $ T_3(x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 $
+**Všimněte si:** Taylorův polynom je přiblížení funkce pomocí polynomu – čím vyšší řád, tím přesnější přiblížení v okolí $x_0$. Vzdálenějším bodům už polynom odpovídat nemusí.
 ===== 5. Polární, válcové a sférické souřadnice =====
 **Polární, válcové a sférické souřadnice** – jejich využití na výpočet integrálů.
+Při výpočtech obsahů, objemů nebo složitějších integrálů se někdy nevyplatí zůstávat v kartézských souřadnicích.
+  * V případech, kdy má oblast nebo těleso kruhovou nebo kulovou symetrii, je výhodné přejít na **polární, válcové nebo sférické souřadnice**.
+  * Tyto souřadnicové systémy umožňují jednodušší popis oblastí a zjednodušení výpočtů, zejména při integrování.
+  * Pro správné přepočty musíme také upravit integrační element pomocí tzv. **Jakobiánu**.
+    * Určuje, jak se „zkreslí“ plocha nebo objem při přechodu mezi souřadnými systémy.
 ==== Změna souřadnic a role Jakobiánu ====
 Pokud provádíme změnu souřadnic, musíme vzít v úvahu, že se mění i objemový element.
 Nechť
 $$\Phi:(u,v)\mapsto (x(u,v),\,y(u,v))$$
 je hladké na $D'\subset\mathbb R^{2}$ a nechť $D=\Phi(D')$.
 Potom platí vzorec pro substituci v dvojitém integrálu
 $$
 \int_{D} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{D'} f(x(u,v),y(u,v)) \, J(u,v) \, du \, dv,$$
-kde $D'$ je obraz množiny $D$ v nových souřadnicích a $J(u,v)$ je Jacobian, který je dán vztahem
+kde $D'$ je obraz množiny $D$ v nových souřadnicích a $J(u,v)$ je **Jakobián přechodu**, který je dán vztahem
 $$
 J(u,v) = \left| \begin{array}{cc}
@@ Line 567: / Line 718: @@
 \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
 \end{array} \right|.$$
 ==== Polární souřadnice ====
-Jakobián pro polární souřadnice je roven $r$.
+Polární souřadnice se používají zejména tehdy, když se oblast nebo funkce vztahuje k nějakému bodu (typicky počátku) – například při výpočtu obsahu kruhu, výseče, nebo obecně oblastí s kruhovou symetrií.
-Polární souřadnice v rovině $(x,y)$ jsou dány vztahem
-$$
+Namísto pravoúhlých souřadnic $(x, y)$ popisujeme bod pomocí jeho vzdálenosti od počátku $r \geq 0$ a úhlu $\varphi \in \langle 0,\ 2\pi \rangle$, který svírá s osou $x$.
-x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi,$$
-kde $r \geq 0$ je vzdálenost bodu od počátku a $\varphi$ je úhel, který svírá.
+Převod mezi souřadnicemi:
+**Polární substituce**: $ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi $
+**Zpětný převod**: $ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \arctan\left( \frac{y}{x} \right) $
-Opačný převod je dán vztahem
-$$
-r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right).$$
 <WRAP centeralign>
 {{statnice:bakalar:polar_cartesian_quadrant_v3.svg?300x300}}
 </WRAP>
-=== Využití v integrálech ===
+=== Jakobián a změna objemového elementu ===
-Při přechodu na polární souřadnice se mění objemový element podle vzorce
-$$
-dx \, dy = r \, dr \, d\varphi.$$
-Příklad na výpočet obsahu kruhu:
+Při změně souřadnic v integrálu se mění také objemový (plošný) element $dx\,dy$. Abychom integrál spočítali správně, musíme jej **vynásobit tzv. Jakobiánem** – ten vyjadřuje „roztažení nebo zúžení“ prostoru při změně souřadnic.
+Pro přechod z $(x, y)$ na $(r, \varphi)$ je Jakobián roven:
 $$
-S = \int_{D} 1 dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r \, dr \, d\varphi
+J = \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \varphi)} \right| = r
 $$
-==== Válcové souřadnice ====
-Válcové souřadnice $(r,\varphi,z)$ jsou dány vztahem
+Z toho plyne, že plošný element se mění podle vzorce:
 $$
-x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad z = z.$$
+dx \, dy = r \, dr \, d\varphi
-Opačný převod je dán vztahem
 $$
-r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad z = z.$$
+**Poznámka:** Jakobián je determinant **Jakobiho matice** – matice všech parciálních derivací substitučních funkcí. Jeho hodnota se vždy násobí k integrálu.
+=== Příklad – výpočet obsahu kruhu pomocí polárních souřadnic ===
+Mějme vypočítat obsah kruhu se středem v počátku a poloměrem $R$.
+V kartézských souřadnicích bychom oblast $D$ museli popisovat pomocí rovnice $x^2 + y^2 \leq R^2$ a integrace přes takovou oblast není vždy přímá. Proto je výhodné přejít na **polární souřadnice**, kde má oblast $D$ přirozený tvar:
+  * $r$ od $0$ do $R$ (vzdálenost od středu)
+  * $\varphi$ od $0$ do $2\pi$ (úhel opíše celý kruh)
+Přechod na polární souřadnice zahrnuje následující kroky:
+  - **Vyjádříme oblast $D$ v polárních souřadnicích:** $ D = \left\{ (r, \varphi) \in [0, R] \times [0, 2\pi] \right\} $
+  - **Změníme objemový element pomocí Jakobiánu:**
+    * V polárních souřadnicích platí: $ dx\,dy = r \, dr\, d\varphi $
+  - **Sestavíme integrál pro obsah kruhu:** $ S = \iint_D 1 \, dx\,dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} 1 \cdot r \, dr \, d\varphi $
+  - **Spočítáme vnitřní integrál podle $r$:** $ \int_{0}^{R} r \, dr = \left[ \frac{1}{2} r^2 \right]_{0}^{R} = \frac{1}{2} R^2 $
+  - **Dosadíme do vnějšího integrálu podle $\varphi$:** $ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} R^2 \, d\varphi = \frac{1}{2} R^2 \cdot \left[ \varphi \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} R^2 \cdot 2\pi = \pi R^2 $
+**Závěr:** Obsah kruhu o poloměru $R$ je $S = \pi R^2$, což jsme pomocí polárních souřadnic spočítali velmi přirozeným způsobem.
+==== Válcové souřadnice ====
+Válcové souřadnice jsou rozšířením polárních souřadnic do třírozměrného prostoru – přidávají výšku $z$ nad rovinou. Jsou vhodné zejména při výpočtech objemů a integrálů těles se symetrií kolem osy $z$ (např. válec, kužel, rotační tělesa apod.).
+Namísto pravoúhlých souřadnic $(x, y, z)$ popisujeme bod pomocí:
+  * $r \geq 0$ – vzdálenost od osy $z$
+  * $\varphi \in \langle 0, 2\pi \rangle$ – úhel v rovině $xy$
+  * $z$ – výška (zůstává nezměněná)
+**Převod mezi souřadnicemi:** $ x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi, \quad z = z $
+**Zpětný převod:** $ r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \varphi = \arctan\left( \frac{y}{x} \right), \quad z = z $
 <WRAP centeralign>
-{{statnice:bakalar:valcova_soustava_souradnic.svg}}
+{{statnice:bakalar:valcova_soustava_souradnic.svg?200}}
 </WRAP>
-=== Využití v integrálech ===
-Při přechodu na válcové souřadnice se mění objemový element podle vzorce
-$$
-dV = dx \, dy \, dz = r \, dr \, d\varphi \, dz.$$
-Jakobián je roven $r$.
-Pokud integrujeme přes válcové souřadnice, musíme přidat Jacobian, který je roven $r$.
-Příklad na výpočtu objemu válce:
+=== Jakobián a objemový element ===
+Při přechodu na válcové souřadnice se objemový element $dx\,dy\,dz$ mění na:
 $$
-V = \int_{D} 1 \, dx \, dy \, dz
+dV = r \, dr \, d\varphi \, dz
-= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \int_{-h/2}^{h/2} r \, dz \, dr \, d\varphi
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{R} r \, dr \int_{-h/2}^{h/2} dz
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{R} r \, dr \cdot h
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot \frac{R^2}{2} \cdot h
-= \frac{2\pi}{2} \cdot R^2 \cdot h
-= \pi R^2 h.
 $$
+Jakobián substituce je tedy roven $r$, protože přechod v rovině $xy$ je stejný jako u polárních souřadnic.
+=== Příklad – výpočet objemu válce pomocí válcových souřadnic ===
+Chceme vypočítat objem válce o poloměru $R$ a výšce $h$, který je souměrně umístěn podél osy $z$ od $-h/2$ do $h/2$.
+Kroky výpočtu:
+  - **Oblast $D$ popíšeme ve válcových souřadnicích:** $ D = \left\{ (r, \varphi, z) \in [0, R] \times [0, 2\pi] \times \left[-\frac{h}{2}, \frac{h}{2} \right] \right\} $
+  - **Objemový element změníme podle Jakobiánu:** $ dx\,dy\,dz = r \, dr \, d\varphi \, dz $
+  - **Sestavíme trojitý integrál:** $ V = \iiint_D 1 \, dx \, dy \, dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \int_{-h/2}^{h/2} r \, dz \, dr \, d\varphi $
+  - **Spočítáme vnitřní integrál podle $z$:** $ \int_{-h/2}^{h/2} r \, dz = r \cdot \left[ z \right]_{-h/2}^{h/2} = r \cdot h $
+  - **Dosadíme do prostředního integrálu podle $r$:** $ \int_{0}^{R} r \cdot h \, dr = h \cdot \left[ \frac{1}{2} r^2 \right]_{0}^{R} = h \cdot \frac{1}{2} R^2 $
+  - **Dosadíme do vnějšího integrálu podle $\varphi$:** $ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} R^2 h \, d\varphi = \frac{1}{2} R^2 h \cdot \left[ \varphi \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} R^2 h \cdot 2\pi = \pi R^2 h $
+**Závěr:** Objem válce o poloměru $R$ a výšce $h$ je $V = \pi R^2 h$.
 ==== Sférické souřadnice ====
-Sférické souřadnice $(r,\varphi,\theta)$ jsou dány vztahem
-$$
+Sférické souřadnice $(r,\varphi,\theta)$ se používají při popisu objektů s kulovou symetrií (např. koule, sféry, nebo oblastí okolo bodu).
-x = r \sin \theta \cos \varphi, \quad y = r \sin \theta \sin \varphi, \quad z = r \cos \theta.$$
+Popisují bod v prostoru pomocí:
-Opačný převod je dán vztahem
+  * $r \geq 0$ – vzdálenost od počátku,
-$$
+  * $\theta \in \langle 0,\ \pi \rangle$ – úhel od osy $z$ („zenitový“ úhel),
-r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right).$$
+  * $\varphi \in \langle 0,\ 2\pi \rangle$ – úhel v rovině $xy$ („azimutální“).
+**Převod do kartézských souřadnic:** $ x = r \sin \theta \cos \varphi, \quad y = r \sin \theta \sin \varphi, \quad z = r \cos \theta. $
+**Zpětný převod:** $ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \varphi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right), \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right). $
 <WRAP centeralign>
 {{statnice:bakalar:spherical_with_grid.svg?380x384}}
 </WRAP>
-=== Využití v integrálech ===
+=== Jakobián a změna objemového elementu ===
-Při přechodu na sférické souřadnice se mění objemový element podle vzorce
+Při přechodu ze souřadnic $(x, y, z)$ na sférické souřadnice $(r, \varphi, \theta)$ musíme změnit i objemový element:
-$$
-dV = dx \, dy \, dz = r^2 \sin \theta \, dr \, d\varphi \, d\theta.$$
-Jakobián je roven $r^2 \sin \theta$.
-Příklad na výpočtu objemu koule:
 $$
-V = \int_{D} 1 \, dx \, dy \, dz
+dx \, dy \, dz = r^2 \sin \theta \, dr \, d\varphi \, d\theta.
-= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta \int_{0}^{R} r^2 \, dr
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot \left[-\cos \theta\right]_{0}^{\pi} \cdot \left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^{R}
-= \int_{0}^{2\pi} d\varphi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3}
-= 2\pi \cdot \frac{R^3}{3}
-= \frac{4\pi}{3} R^3.
 $$
+Jakobián této změny je: $ J = r^2 \sin \theta $
+=== Příklad – výpočet objemu koule pomocí sférických souřadnic ==
+Chceme spočítat objem koule se středem v počátku a poloměrem $R$.
+Přechod na sférické souřadnice zahrnuje:
+  - **Oblast $D$ popíšeme v sférických souřadnicích:** $ D = \left\{ (r,\varphi,\theta) \in [0,R] \times [0,2\pi] \times [0,\pi] \right\} $
+  - **Objemový element změníme podle Jakobiánu:** $ dx\,dy\,dz = r^2 \sin \theta \, dr\,d\varphi\,d\theta $
+  - **Sestavíme trojitý integrál:** $ V = \iiint_D 1 \, dx\,dy\,dz = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\varphi $
+  - **Spočítáme vnitřní integrál podle $r$:** $ \int_{0}^{R} r^2 \, dr = \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_{0}^{R} = \frac{1}{3} R^3 $
+  - **Dosadíme do středního integrálu podle $\theta$:** $ \int_{0}^{\pi} \sin \theta \cdot \frac{1}{3} R^3 \, d\theta = \frac{1}{3} R^3 \cdot \left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{3} R^3 \cdot 2 = \frac{2}{3} R^3 $
+  - **Dosadíme do vnějšího integrálu podle $\varphi$:** $ \int_{0}^{2\pi} \frac{2}{3} R^3 \, d\varphi = \frac{2}{3} R^3 \cdot \left[ \varphi \right]_{0}^{2\pi} = \frac{2}{3} R^3 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3} R^3 $
+**Závěr:** Objem koule o poloměru $R$ je $V = \frac{4\pi}{3} R^3$.

Trace: • b4b01num

Differences

Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code