Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revisionPrevious revisionNext revision | Previous revision | ||
| statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:42] – [Limitní tvar podílového kritéria konvergence] zapleka3 | statnice:bakalar:b0b01ma1 [2026/06/12 13:14] (current) – [Příklady] badinmic | ||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| - | ==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ==== | + | ====== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====== |
| [[https:// | [[https:// | ||
| Line 334: | Line 334: | ||
| * Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$ | * Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$ | ||
| * **Racionalizace** | * **Racionalizace** | ||
| - | * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{2} $$ | + | * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{2} $$ |
| * **Substituce** | * **Substituce** | ||
| * Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$ | * Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$ | ||
| Line 744: | Line 744: | ||
| $\int x^2 \sin(4x)\, | $\int x^2 \sin(4x)\, | ||
| - | * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{2}x \sin(4x) + \frac{1}{8} \cos(4x) + C$ | + | * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{8}x \sin(4x) + \frac{1}{32} \cos(4x) + C$ |
| $\int 4x \sin(x^2)\, | $\int 4x \sin(x^2)\, | ||
| Line 828: | Line 828: | ||
| === Limitní tvar podílového kritéria konvergence === | === Limitní tvar podílového kritéria konvergence === | ||
| - | - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). | + | Pokud |
| - | | + | $$ |
| + | \lim_{n \to \infty} | ||
| + | $$ | ||
| + | řada konverguje (absolutně). | ||
| + | |||
| + | | ||
| + | * Pokud limita je $= 1$, kritérium **nerozhoduje**. | ||
| ==== Odmocninové kritérium konvergence ==== | ==== Odmocninové kritérium konvergence ==== | ||
| - | - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. | + | Založeno na limitě |
| - | - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje. | + | |
| - | ==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ==== | + | Pokud existuje $q < 1$ a pro každé |
| - | | + | $$ |
| - | - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje. | + | \sqrt[n]{|a_n|} \leq q, |
| + | $$ | ||
| + | pak řada konverguje (absolutně). | ||
| + | |||
| + | Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje. | ||
| + | |||
| + | === Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence === | ||
| + | Pokud | ||
| + | $$ | ||
| + | \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1, | ||
| + | $$ | ||
| + | řada konverguje. | ||
| + | |||
| + | * Pokud limita $> 1$, řada diverguje. | ||
| + | * Pokud $= 1$, nelze rozhodnout. | ||
| + | | ||
| ==== Integrální kritérium konvergence ==== | ==== Integrální kritérium konvergence ==== | ||
| - | Nechť $f$ je nezáporná | + | Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro **kladné, klesající** posloupnosti. |
| + | |||
| + | Nechť $f$ je nezáporná, klesající | ||
| + | |||
| + | Pak: | ||
| + | |||
| + | Řada $\sum_{n=1}^{\infty} | ||
| + | $$ | ||
| + | \int_1^{\infty} f(x) \, dx | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | **Příklad: | ||
| + | Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$. | ||
| ==== Leibnizovo kritérium konvergence ==== | ==== Leibnizovo kritérium konvergence ==== | ||
| + | |||
| + | Používá se pro **alternující řady** – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy. | ||
| + | |||
| Uvažujme řadu tvaru: | Uvažujme řadu tvaru: | ||
| - | $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$ | + | $$ |
| - | pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule. | + | \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n |
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. | ||
| + | |||
| + | Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule. | ||
| ==== Harmonická řada (nepovinné) ==== | ==== Harmonická řada (nepovinné) ==== | ||
