Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:16] – [6. Neurčitý a určitý integrál – vztahy mezi nimi (Newtonova–Leibnizova formule, primitivní funkce jako určitý integrál s proměnnou horní mezí). Linearita, integrace per partes, substituce. Integrace mocnin, exp, sin, cos.] zapleka3
+++ statnice:bakalar:b0b01ma1 [2026/06/12 13:14] (current) – [Příklady] badinmic
@@ Line 1: / Line 1: @@
-==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====
+====== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ======
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]]
@@ Line 334: / Line 334: @@
     * Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$
   * **Racionalizace**
-    * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{2} $$
+    * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{2} $$
   * **Substituce**
     * Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$
@@ Line 744: / Line 744: @@
 $\int x^2 \sin(4x)\,dx$
-  * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{2}x \sin(4x) + \frac{1}{8} \cos(4x) + C$
+  * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{8}x \sin(4x) + \frac{1}{32} \cos(4x) + C$
 $\int 4x \sin(x^2)\,dx$
@@ Line 754: / Line 754: @@
 ===== 7. Definice číselné řady – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo). =====
-Číselná řada je nekonečná suma čísel $a_1, a_2, \ldots$ (členy řady) a značí se:
+Číselná řada je nekonečný součet členů posloupnosti $a_1, a_2, a_3, \ldots$. Značí se:
 $$
@@ Line 760: / Line 760: @@
 $$
-Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady, $ \sum_{n=1}^{n} a_n $ je $n$-tý částečný součet řady ($s_n$).
+Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady.
+$n$-tý **částečný součet** (označujeme $s_n$) je součet prvních $n$ členů:
+$$
+s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
+$$
 Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá //součet// řady.
-Řekneme že řada konverguje, má-li konečný součet, má-li nekonečný součet, řada diverguje,nemá-li součet osciluje.
+Řekneme, že řada **konverguje**, pokud limita posloupnosti částečných součtů $\lim_{n \to \infty} s_n$ existuje a je konečná.
+Pokud neexistuje nebo je nekonečná, řada **diverguje**.
-Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ se nazývá absolutně konvergentní, pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$. Absolutní konvergence implikuje konvergenci řady, ale ne naopak.
+Pokud se součty neustálým přičítáním kmitají (např. u některých alternujících řad), řada **osciluje**.
-Příkladem řady která konverguje, ale není absolutně konvergentní je např. alternující řada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{(n+1)}}{n}$.
+=== Absolutní konvergence ===
+Řada $\sum a_n$ je **absolutně konvergentní**, pokud konverguje řada $\sum |a_n|$.
+  * Absolutní konvergence vždy znamená i běžnou konvergenci.
+  * Opačně to ale **neplatí** – existují řady, které konvergují, ale nejsou absolutně konvergentní.
+**Příklad:**
+Alternující harmonická řada:
+$$
+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
+$$
+konverguje, ale $\sum \frac{1}{n}$ diverguje ⇒ **není absolutně konvergentní**.
 ==== Geometrické řady ====
-Geometrická řada s kvocientem q je řada tvaru:
+Geometrická řada je řada tvaru:
 $$
-\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + a_0 q^3 + \ldots
+\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \ldots
 $$
-kde $a_0$ je první člen řady a $q$ je kvocient řady.
+kde $a_0$ je první člen a $q$ je kvocient řady.
 Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven:
 $$
@@ Line 786: / Line 805: @@
 ==== Nutná podmínka konvergence ====
-Nutná podmínka znamená že může platit i když řada diverguje, ale musí platit pro každou konvergující řadu.
-Pokud $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje, pak $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.
+Nutná podmínka říká, že pokud má řada $\sum a_n$ konvergovat, pak:
+$$
+\lim_{n \to \infty} a_n = 0
+$$
+**Pozor:**
+  * Tato podmínka je **nutná**, ale **nestačí**.
+  * Například harmonická řada splňuje $\lim a_n = 0$, ale **diverguje**.
 ==== Podílové kritérium konvergence ====
-Nechť $a_k \neq 0$ pro každé $k \in \mathbb{N}$
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.
-==== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ====
+Zkoumá poměr po sobě jdoucích členů. Hodí se pro řady, kde se členy násobí, nebo obsahují faktoriály.
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně).
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.
+Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí:
+$$
+\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q,
+$$
+pak řada konverguje (absolutně).
+Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje.
+=== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ===
+Pokud
+$$
+\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1,
+$$
+řada konverguje (absolutně).
+  * Pokud limita je $> 1$, řada diverguje.
+  * Pokud limita je $= 1$, kritérium **nerozhoduje**.
 ==== Odmocninové kritérium konvergence ====
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
+Založeno na limitě $k$-té odmocniny z členů. Hodí se pro řady, které obsahují exponenty.
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.
+Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí:
+$$
+\sqrt[n]{|a_n|} \leq q,
+$$
+pak řada konverguje (absolutně).
+Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje.
+=== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ===
+Pokud
+$$
+\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1,
+$$
+řada konverguje.
-==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ====
+  * Pokud limita $> 1$, řada diverguje.
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně).
+  * Pokud $= 1$, nelze rozhodnout.
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.
 ==== Integrální kritérium konvergence ====
-Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.
+Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro **kladné, klesající** posloupnosti.
+Nechť $f$ je nezáporná, klesající funkce definovaná na $[1, \infty)$ a $f(n) = a_n$.
+Pak:
+Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje **právě tehdy**, když konverguje nevlastní integrál:
+$$
+\int_1^{\infty} f(x) \, dx
+$$
+**Příklad:**
+Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$.
 ==== Leibnizovo kritérium konvergence ====
+Používá se pro **alternující řady** – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy.
 Uvažujme řadu tvaru:
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$
+$$
-pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n
+$$
+pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost.
+Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
 ==== Harmonická řada (nepovinné) ====

Trace:

Differences

Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code