Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:14] – [6. Neurčitý a určitý integrál – vztahy mezi nimi (Newtonova–Leibnizova formule, primitivní funkce jako určitý integrál s proměnnou horní mezí). Linearita, integrace per partes, substituce. Integrace mocnin, exp, sin, cos.] zapleka3statnice:bakalar:b0b01ma1 [2026/06/12 13:14] (current) – [Příklady] badinmic
Line 1: Line 1:
-==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====+====== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ======
  
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]] [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]]
Line 334: Line 334:
     * Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$     * Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$
   * **Racionalizace**     * **Racionalizace**  
-    * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{2} $$+    * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{2} $$
   * **Substituce**     * **Substituce**  
     * Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$     * Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$
Line 606: Line 606:
 Integrály nám umožňují spočítat celkovou změnu veličiny (například plochu pod křivkou) nebo obnovit funkci na základě její derivace. Rozlišujeme **neurčitý** a **určitý** integrál, které spolu úzce souvisí. Integrály nám umožňují spočítat celkovou změnu veličiny (například plochu pod křivkou) nebo obnovit funkci na základě její derivace. Rozlišujeme **neurčitý** a **určitý** integrál, které spolu úzce souvisí.
  
-=== Neurčitý integrál ===+==== Neurčitý integrál ====
  
 Funkce $F$ se nazývá **primitivní funkce** k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F' = f$ pro každé $x \in I$. Funkce $F$ se nazývá **primitivní funkce** k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F' = f$ pro každé $x \in I$.
Line 631: Line 631:
 \end{align*} \end{align*}
  
-=== Určitý integrál ===+==== Určitý integrál ====
  
 Určitý integrál vyjadřuje například **plochu pod grafem funkce** mezi dvěma body $a$ a $b$, pro nezápornou funkci. Určitý integrál vyjadřuje například **plochu pod grafem funkce** mezi dvěma body $a$ a $b$, pro nezápornou funkci.
Line 654: Line 654:
   * **Určitý integrál** – konkrétní číslo vyjadřující např. plochu pod grafem na intervalu $\langle a, b \rangle$.   * **Určitý integrál** – konkrétní číslo vyjadřující např. plochu pod grafem na intervalu $\langle a, b \rangle$.
  
-=== Newtonova–Leibnizova formule ===+==== Newtonova–Leibnizova formule ====
 Tato formule propojuje **neurčitý** a **určitý** integrál: Tato formule propojuje **neurčitý** a **určitý** integrál:
  
Line 666: Line 666:
 F(x) = \int_a^x f(t) \, dt + C F(x) = \int_a^x f(t) \, dt + C
 $$ $$
- +==== Linearita ====
-=== Podmínky pro Riemannovskou integrovatelnost === +
- +
-  * Funkce je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $\langle a, b \rangle$, pokud: +
-    * je **omezená** +
-    * má **konečně mnoho nespojitostí** +
- +
-  * Každá **spojitá** funkce je určitě integrovatelná na uzavřeném intervalu. +
- +
-=== Aplikace určitého integrálu === +
- +
-  * Obsah plochy pod nebo mezi grafy funkcí +
-  * Výpočet dráhy z rychlosti (např. $s = \int v(t)\,dt$) +
-  * Fyzikální aplikace: práce, energie, hmotnost z hustoty +
-  * Pravděpodobnost – plocha pod hustotou pravděpodobnosti +
- +
-=== Grafická reprezentace určitého integrálu === +
- +
-  * Geometricky integrál $\int_a^b f(x)\,dx$ udává **orientovaný obsah** oblasti mezi křivkou a osou x. +
-    * Pokud $f(x) > 0$, je obsah kladný. +
-    * Pokud $f(x) < 0$, je obsah záporný. +
- +
-=== Dvě metody výpočtu určitého integrálu === +
- +
-  * **1. Přes primitivní funkci (Newton–Leibniz)**   +
-    $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ +
- +
-  * **2. Přes dolní a horní součty (Riemannova definice)**   +
-    Výpočet přes aproximaci plochy pod křivkou pomocí sum. +
- +
-=== Linearita ===+
  
 Lineární vlastnost integrálu znamená, že lze integrovat jednotlivé části výrazu zvlášť a konstanty vytknout před integrál. Tato vlastnost se často používá k rozložení složitějších výrazů na jednodušší. Lineární vlastnost integrálu znamená, že lze integrovat jednotlivé části výrazu zvlášť a konstanty vytknout před integrál. Tato vlastnost se často používá k rozložení složitějších výrazů na jednodušší.
Line 705: Line 675:
 $$ $$
  
-=== Integrace per partes ===+==== Integrace per partes ====
  
 Metoda per partes se používá, pokud máme součin dvou funkcí – jednu snadno derivujeme, druhou integrujeme. Umožňuje převést integrál do jednoduššího tvaru. Metoda per partes se používá, pokud máme součin dvou funkcí – jednu snadno derivujeme, druhou integrujeme. Umožňuje převést integrál do jednoduššího tvaru.
Line 729: Line 699:
 $$ $$
  
-=== Substituce ===+==== Substituce ====
 Používá se, pokud lze vhodně nahradit výraz novou proměnnou $u = g(x)$.   Používá se, pokud lze vhodně nahradit výraz novou proměnnou $u = g(x)$.  
 U **určitého integrálu** nezapomeň přepočítat **meze**. U **určitého integrálu** nezapomeň přepočítat **meze**.
Line 741: Line 711:
 = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C
 $$ $$
 +
 +=== Podmínky pro Riemannovskou integrovatelnost ===
 +
 +  * Funkce je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $\langle a, b \rangle$, pokud:
 +    * je **omezená**
 +    * má **konečně mnoho nespojitostí**
 +
 +  * Každá **spojitá** funkce je určitě integrovatelná na uzavřeném intervalu.
 +
 +=== Aplikace určitého integrálu ===
 +
 +  * Obsah plochy pod nebo mezi grafy funkcí
 +  * Výpočet dráhy z rychlosti (např. $s = \int v(t)\,dt$)
 +  * Fyzikální aplikace: práce, energie, hmotnost z hustoty
 +  * Pravděpodobnost – plocha pod hustotou pravděpodobnosti
 +
 +=== Grafická reprezentace určitého integrálu ===
 +
 +  * Geometricky integrál $\int_a^b f(x)\,dx$ udává **orientovaný obsah** oblasti mezi křivkou a osou x.
 +    * Pokud $f(x) > 0$, je obsah kladný.
 +    * Pokud $f(x) < 0$, je obsah záporný.
 +
 +=== Dvě metody výpočtu určitého integrálu ===
 +
 +  * **1. Přes primitivní funkci (Newton–Leibniz)**  
 +    $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
 +
 +  * **2. Přes dolní a horní součty (Riemannova definice)**  
 +    Výpočet přes aproximaci plochy pod křivkou pomocí sum.
  
 === Příklady === === Příklady ===
  
 $\int x^2 \sin(4x)\,dx$   $\int x^2 \sin(4x)\,dx$  
-  * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{2}x \sin(4x) + \frac{1}{8} \cos(4x) + C$+  * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{8}x \sin(4x) + \frac{1}{32} \cos(4x) + C$
  
 $\int 4x \sin(x^2)\,dx$   $\int 4x \sin(x^2)\,dx$  
Line 755: Line 754:
 ===== 7. Definice číselné řady – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo). ===== ===== 7. Definice číselné řady – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo). =====
  
-Číselná řada je nekonečná suma čísel $a_1, a_2, \ldots$ (členy řady) a značí se:+Číselná řada je nekonečný součet členů posloupnosti $a_1, a_2, a_3, \ldots$. Značí se:
  
 $$ $$
Line 761: Line 760:
 $$ $$
  
-Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady, $ \sum_{n=1}^{n} a_n $ je $n$-tý částečný součet řady ($s_n$).+Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady.   
 +$n$-tý **částečný součet** (označujeme $s_n$) je součet prvních $n$ členů: 
 +$$ 
 +s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k 
 +$$
  
 Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá //součet// řady.  Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá //součet// řady. 
  
-Řekneme že řada konverguje, má-li konečný součet, má-li nekonečný součet, řada diverguje,nemá-li součet osciluje.+Řekneme, že řada **konverguje**, pokud limita posloupnosti částečných součtů $\lim_{n \to \infty} s_n$ existuje a je konečná.  
  
 +Pokud neexistuje nebo je nekonečná, řada **diverguje**.  
  
-Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ se nazývá absolutně konvergentní, pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$. Absolutní konvergence implikuje konvergenci řady, ale ne naopak.  +Pokud se součty neustálým přičítáním kmitají (např. u některých alternujících řad), řada **osciluje**.
-Příkladem řady která konverguje, ale není absolutně konvergentní je např. alternující řada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{(n+1)}}{n}$.+
  
 +=== Absolutní konvergence ===
  
 +Řada $\sum a_n$ je **absolutně konvergentní**, pokud konverguje řada $\sum |a_n|$.
 +
 +  * Absolutní konvergence vždy znamená i běžnou konvergenci.
 +  * Opačně to ale **neplatí** – existují řady, které konvergují, ale nejsou absolutně konvergentní.
 +
 +**Příklad:**
 +
 +Alternující harmonická řada:
 +$$
 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
 +$$
 +konverguje, ale $\sum \frac{1}{n}$ diverguje ⇒ **není absolutně konvergentní**.
 ==== Geometrické řady ==== ==== Geometrické řady ====
-Geometrická řada s kvocientem q je řada tvaru:+ 
 +Geometrická řada je řada tvaru:
 $$ $$
-\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + a_0 q^3 + \ldots+\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \ldots
 $$ $$
-kde $a_0$ je první člen řady a $q$ je kvocient řady.+kde $a_0$ je první člen a $q$ je kvocient řady. 
 Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven: Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven:
 $$ $$
Line 787: Line 805:
  
 ==== Nutná podmínka konvergence ==== ==== Nutná podmínka konvergence ====
-Nutná podmínka znamená že může platit i když řada diverguje, ale musí platit pro každou konvergující řadu. 
  
-Pokud $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje, pak $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.+Nutná podmínka říká, že pokud má řada $\sum a_n$ konvergovat, pak: 
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} a_n = 0 
 +$$ 
 + 
 +**Pozor:**   
 +  * Tato podmínka je **nutná**, ale **nestačí**. 
 +  * Například harmonická řada splňuje $\lim a_n = 0$, ale **diverguje**.
  
 ==== Podílové kritérium konvergence ==== ==== Podílové kritérium konvergence ====
-Nechť $a_k \neq 0$ pro každé $k \in \mathbb{N}$ 
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. 
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.   
  
-==== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ==== +Zkoumá poměr po sobě jdoucích členů. Hodí se pro řady, kde se členy násobí, nebo obsahují faktoriály. 
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). + 
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: 
 +$$ 
 +\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q, 
 +$$ 
 +pak řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje. 
 + 
 +=== Limitní tvar podílového kritéria konvergence === 
 +Pokud  
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +  * Pokud limita je $> 1$, řada diverguje.   
 +  * Pokud limita je $= 1$, kritérium **nerozhoduje**.
  
 ==== Odmocninové kritérium konvergence ==== ==== Odmocninové kritérium konvergence ====
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. +Založeno na limitě $k$-té odmocniny z členů. Hodí se pro řady, které obsahují exponenty.
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.+
  
-==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ==== +Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: 
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). +$$ 
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+\sqrt[n]{|a_n|} \leq q, 
 +$$ 
 +pak řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje. 
 + 
 +=== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence === 
 +Pokud 
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje. 
 + 
 +  * Pokud limita $> 1$, řada diverguje.   
 +  * Pokud $= 1$, nelze rozhodnout. 
 +    
  
 ==== Integrální kritérium konvergence ==== ==== Integrální kritérium konvergence ====
-Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.+Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro **kladné, klesající** posloupnosti. 
 + 
 +Nechť $f$ je nezáporná, klesající funkce definovaná na $[1, \infty)$ a $f(n) = a_n$. 
 + 
 +Pak: 
 + 
 +Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje **právě tehdy**, když konverguje nevlastní integrál: 
 +$$ 
 +\int_1^{\infty} f(x) \, dx 
 +$$ 
 + 
 +**Příklad:** 
 +Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$.
  
 ==== Leibnizovo kritérium konvergence ==== ==== Leibnizovo kritérium konvergence ====
 +
 +Používá se pro **alternující řady** – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy.
 +
 Uvažujme řadu tvaru:  Uvažujme řadu tvaru: 
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$ +$$ 
-pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n 
 +$$ 
 + 
 +pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost.  
 + 
 +Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
  
 ==== Harmonická řada (nepovinné) ==== ==== Harmonická řada (nepovinné) ====

Trace:

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b0b01ma1 (generated for current page)