The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:03] – [6. Neurčitý a určitý integrál – vztahy mezi nimi (Newtonova–Leibnizova formule, primitivní funkce jako určitý integrál s proměnnou horní mezí). Linearita, integrace per partes, substituce. Integrace mocnin, exp, sin, cos.] zapleka3statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:53] (current) – zapleka3
Line 1: Line 1:
-==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====+====== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ======
  
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]] [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]]
Line 606: Line 606:
 Integrály nám umožňují spočítat celkovou změnu veličiny (například plochu pod křivkou) nebo obnovit funkci na základě její derivace. Rozlišujeme **neurčitý** a **určitý** integrál, které spolu úzce souvisí. Integrály nám umožňují spočítat celkovou změnu veličiny (například plochu pod křivkou) nebo obnovit funkci na základě její derivace. Rozlišujeme **neurčitý** a **určitý** integrál, které spolu úzce souvisí.
  
-=== Neurčitý integrál ===+==== Neurčitý integrál ====
  
 Funkce $F$ se nazývá **primitivní funkce** k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F' = f$ pro každé $x \in I$. Funkce $F$ se nazývá **primitivní funkce** k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F' = f$ pro každé $x \in I$.
Line 631: Line 631:
 \end{align*} \end{align*}
  
-=== Určitý integrál ===+==== Určitý integrál ====
  
 Určitý integrál vyjadřuje například **plochu pod grafem funkce** mezi dvěma body $a$ a $b$, pro nezápornou funkci. Určitý integrál vyjadřuje například **plochu pod grafem funkce** mezi dvěma body $a$ a $b$, pro nezápornou funkci.
Line 654: Line 654:
   * **Určitý integrál** – konkrétní číslo vyjadřující např. plochu pod grafem na intervalu $\langle a, b \rangle$.   * **Určitý integrál** – konkrétní číslo vyjadřující např. plochu pod grafem na intervalu $\langle a, b \rangle$.
  
-=== Newtonova–Leibnizova formule ===+==== Newtonova–Leibnizova formule ====
 Tato formule propojuje **neurčitý** a **určitý** integrál: Tato formule propojuje **neurčitý** a **určitý** integrál:
  
Line 666: Line 666:
 F(x) = \int_a^x f(t) \, dt + C F(x) = \int_a^x f(t) \, dt + C
 $$ $$
 +==== Linearita ====
  
-=== Podmínky pro Riemannovskou integrovatelnost ===+Lineární vlastnost integrálu znamená, že lze integrovat jednotlivé části výrazu zvlášť a konstanty vytknout před integrál. Tato vlastnost se často používá k rozložení složitějších výrazů na jednodušší.
  
-  * Funkce je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $\langle a, b \rangle$, pokud: +Pro konstanty $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ a funkce $f, g$ platí:
-    * je **omezená** +
-    * má **konečně mnoho nespojitostí** +
- +
-  * Každá **spojitá** funkce je určitě integrovatelná na uzavřeném intervalu. +
- +
-=== Příklad neintegrovatelné funkce === +
- +
-  * Funkce $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{pro } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \text{pro } x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$ (tzv. Dirichletova funkce)   +
-    Tato funkce není Riemannovsky integrovatelná, protože má nekonečně mnoho nespojitostí. +
- +
-=== Aplikace určitého integrálu === +
- +
-  * Obsah plochy pod nebo mezi grafy funkcí +
-  * Výpočet dráhy z rychlosti (např. $s = \int v(t)\,dt$) +
-  * Fyzikální aplikace: práce, energie, hmotnost z hustoty +
-  * Pravděpodobnost – plocha pod hustotou pravděpodobnosti +
- +
-=== Grafická reprezentace určitého integrálu === +
- +
-  * Geometricky integrál $\int_a^b f(x)\,dx$ udává **orientovaný obsah** oblasti mezi křivkou a osou x. +
-    * Pokud $f(x) > 0$, je obsah kladný. +
-    * Pokud $f(x) < 0$, je obsah záporný. +
- +
-=== Dvě metody výpočtu určitého integrálu === +
- +
-  * **1. Přes primitivní funkci (Newton–Leibniz)**   +
-    $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ +
- +
-  * **2. Přes dolní a horní součty (Riemannova definice)**   +
-    Výpočet přes aproximaci plochy pod křivkou pomocí sum. +
- +
-=== Linearita === +
- +
-Integrál je lineární operace. Pro konstanty $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ a funkce $f, g$ platí:+
 $$ $$
 \int (\alpha f + \beta g) \, dx = \alpha \int f \, dx + \beta \int g \, dx \int (\alpha f + \beta g) \, dx = \alpha \int f \, dx + \beta \int g \, dx
 $$ $$
  
-=== Integrace per partes ===+==== Integrace per partes ====
  
-Používáme pro součin dvou funkcí:+Metoda per partes se používá, pokud máme součin dvou funkcí – jednu snadno derivujeme, druhou integrujeme. Umožňuje převést integrál do jednoduššího tvaru.
  
 $$ $$
Line 732: Line 699:
 $$ $$
  
-=== Substituce === +==== Substituce ====
 Používá se, pokud lze vhodně nahradit výraz novou proměnnou $u = g(x)$.   Používá se, pokud lze vhodně nahradit výraz novou proměnnou $u = g(x)$.  
 U **určitého integrálu** nezapomeň přepočítat **meze**. U **určitého integrálu** nezapomeň přepočítat **meze**.
Line 745: Line 711:
 = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C
 $$ $$
 +
 +=== Podmínky pro Riemannovskou integrovatelnost ===
 +
 +  * Funkce je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $\langle a, b \rangle$, pokud:
 +    * je **omezená**
 +    * má **konečně mnoho nespojitostí**
 +
 +  * Každá **spojitá** funkce je určitě integrovatelná na uzavřeném intervalu.
 +
 +=== Aplikace určitého integrálu ===
 +
 +  * Obsah plochy pod nebo mezi grafy funkcí
 +  * Výpočet dráhy z rychlosti (např. $s = \int v(t)\,dt$)
 +  * Fyzikální aplikace: práce, energie, hmotnost z hustoty
 +  * Pravděpodobnost – plocha pod hustotou pravděpodobnosti
 +
 +=== Grafická reprezentace určitého integrálu ===
 +
 +  * Geometricky integrál $\int_a^b f(x)\,dx$ udává **orientovaný obsah** oblasti mezi křivkou a osou x.
 +    * Pokud $f(x) > 0$, je obsah kladný.
 +    * Pokud $f(x) < 0$, je obsah záporný.
 +
 +=== Dvě metody výpočtu určitého integrálu ===
 +
 +  * **1. Přes primitivní funkci (Newton–Leibniz)**  
 +    $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
 +
 +  * **2. Přes dolní a horní součty (Riemannova definice)**  
 +    Výpočet přes aproximaci plochy pod křivkou pomocí sum.
  
 === Příklady === === Příklady ===
  
-  * $\int x^2 \sin(4x)\,dx$   +$\int x^2 \sin(4x)\,dx$   
-    Per partes:   +  * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{2}x \sin(4x) + \frac{1}{8} \cos(4x) + C$
-    $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{2}x \sin(4x) + \frac{1}{8} \cos(4x) + C$+
  
-  * $\int 4x \sin(x^2)\,dx$   +$\int 4x \sin(x^2)\,dx$   
-    Substituce $u = x^2$:   +  * Substituce $u = x^2$: $= 2 \int \sin(u)\,du = -2 \cos(x^2) + C$
-    $= 2 \int \sin(u)\,du = -2 \cos(x^2) + C$+
  
-  * $\int \frac{2x + 1}{x^2 + 1}\,dx$   +$\int \frac{2x + 1}{x^2 + 1}\,dx$   
-    Rozdělení na dva integrály:   +  * Rozdělení na dva integrály: $= \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + \int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + \arctan(x) + C$
-    $= \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + \int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + \arctan(x) + C$+
  
 ===== 7. Definice číselné řady – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo). ===== ===== 7. Definice číselné řady – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo). =====
  
-Číselná řada je nekonečná suma čísel $a_1, a_2, \ldots$ (členy řady) a značí se:+Číselná řada je nekonečný součet členů posloupnosti $a_1, a_2, a_3, \ldots$. Značí se:
  
 $$ $$
Line 768: Line 760:
 $$ $$
  
-Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady, $ \sum_{n=1}^{n} a_n $ je $n$-tý částečný součet řady ($s_n$).+Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady.   
 +$n$-tý **částečný součet** (označujeme $s_n$) je součet prvních $n$ členů: 
 +$$ 
 +s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k 
 +$$
  
 Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá //součet// řady.  Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá //součet// řady. 
  
-Řekneme že řada konverguje, má-li konečný součet, má-li nekonečný součet, řada diverguje,nemá-li součet osciluje.+Řekneme, že řada **konverguje**, pokud limita posloupnosti částečných součtů $\lim_{n \to \infty} s_n$ existuje a je konečná.  
  
 +Pokud neexistuje nebo je nekonečná, řada **diverguje**.  
  
-Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ se nazývá absolutně konvergentní, pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$. Absolutní konvergence implikuje konvergenci řady, ale ne naopak.  +Pokud se součty neustálým přičítáním kmitají (např. u některých alternujících řad), řada **osciluje**.
-Příkladem řady která konverguje, ale není absolutně konvergentní je např. alternující řada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{(n+1)}}{n}$.+
  
 +=== Absolutní konvergence ===
  
 +Řada $\sum a_n$ je **absolutně konvergentní**, pokud konverguje řada $\sum |a_n|$.
 +
 +  * Absolutní konvergence vždy znamená i běžnou konvergenci.
 +  * Opačně to ale **neplatí** – existují řady, které konvergují, ale nejsou absolutně konvergentní.
 +
 +**Příklad:**
 +
 +Alternující harmonická řada:
 +$$
 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
 +$$
 +konverguje, ale $\sum \frac{1}{n}$ diverguje ⇒ **není absolutně konvergentní**.
 ==== Geometrické řady ==== ==== Geometrické řady ====
-Geometrická řada s kvocientem q je řada tvaru:+ 
 +Geometrická řada je řada tvaru:
 $$ $$
-\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + a_0 q^3 + \ldots+\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \ldots
 $$ $$
-kde $a_0$ je první člen řady a $q$ je kvocient řady.+kde $a_0$ je první člen a $q$ je kvocient řady. 
 Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven: Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven:
 $$ $$
Line 794: Line 805:
  
 ==== Nutná podmínka konvergence ==== ==== Nutná podmínka konvergence ====
-Nutná podmínka znamená že může platit i když řada diverguje, ale musí platit pro každou konvergující řadu. 
  
-Pokud $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje, pak $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.+Nutná podmínka říká, že pokud má řada $\sum a_n$ konvergovat, pak: 
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} a_n = 0 
 +$$ 
 + 
 +**Pozor:**   
 +  * Tato podmínka je **nutná**, ale **nestačí**. 
 +  * Například harmonická řada splňuje $\lim a_n = 0$, ale **diverguje**.
  
 ==== Podílové kritérium konvergence ==== ==== Podílové kritérium konvergence ====
-Nechť $a_k \neq 0$ pro každé $k \in \mathbb{N}$ 
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. 
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.   
  
-==== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ==== +Zkoumá poměr po sobě jdoucích členů. Hodí se pro řady, kde se členy násobí, nebo obsahují faktoriály. 
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). + 
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: 
 +$$ 
 +\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q, 
 +$$ 
 +pak řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje. 
 + 
 +=== Limitní tvar podílového kritéria konvergence === 
 +Pokud  
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +  * Pokud limita je $> 1$, řada diverguje.   
 +  * Pokud limita je $= 1$, kritérium **nerozhoduje**.
  
 ==== Odmocninové kritérium konvergence ==== ==== Odmocninové kritérium konvergence ====
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. +Založeno na limitě $k$-té odmocniny z členů. Hodí se pro řady, které obsahují exponenty.
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.+
  
-==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ==== +Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: 
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). +$$ 
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+\sqrt[n]{|a_n|} \leq q, 
 +$$ 
 +pak řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje. 
 + 
 +=== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence === 
 +Pokud 
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje. 
 + 
 +  * Pokud limita $> 1$, řada diverguje.   
 +  * Pokud $= 1$, nelze rozhodnout. 
 +    
  
 ==== Integrální kritérium konvergence ==== ==== Integrální kritérium konvergence ====
-Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.+Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro **kladné, klesající** posloupnosti. 
 + 
 +Nechť $f$ je nezáporná, klesající funkce definovaná na $[1, \infty)$ a $f(n) = a_n$. 
 + 
 +Pak: 
 + 
 +Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje **právě tehdy**, když konverguje nevlastní integrál: 
 +$$ 
 +\int_1^{\infty} f(x) \, dx 
 +$$ 
 + 
 +**Příklad:** 
 +Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$.
  
 ==== Leibnizovo kritérium konvergence ==== ==== Leibnizovo kritérium konvergence ====
 +
 +Používá se pro **alternující řady** – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy.
 +
 Uvažujme řadu tvaru:  Uvažujme řadu tvaru: 
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$ +$$ 
-pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n 
 +$$ 
 + 
 +pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost.  
 + 
 +Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
  
 ==== Harmonická řada (nepovinné) ==== ==== Harmonická řada (nepovinné) ====

Trace: • b0b36dbs

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b0b01ma1 (generated for current page)