Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 22:44] – [Definice číselné řady – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo).] zapleka3
+++ statnice:bakalar:b0b01ma1 [2026/06/12 13:14] (current) – [Příklady] badinmic
@@ Line 1: / Line 1: @@
-==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====
+====== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ======
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]]
@@ Line 334: / Line 334: @@
     * Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$
   * **Racionalizace**
-    * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{2} $$
+    * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{2} $$
   * **Substituce**
     * Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$
@@ Line 604: / Line 604: @@
 ===== 6. Neurčitý a určitý integrál – vztahy mezi nimi (Newtonova–Leibnizova formule, primitivní funkce jako určitý integrál s proměnnou horní mezí). Linearita, integrace per partes, substituce. Integrace mocnin, exp, sin, cos. ====
-=== Neurčitý integrál ===
+Integrály nám umožňují spočítat celkovou změnu veličiny (například plochu pod křivkou) nebo obnovit funkci na základě její derivace. Rozlišujeme **neurčitý** a **určitý** integrál, které spolu úzce souvisí.
-Funkce $F$ se nazývá primitivní funkce k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F' = f$ pro každé $x \in I$.
-Pokud existuje alespoň jedna primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na intervalu $I$, nazýváme množinu všech primitivních funkcí k funkci $f$ //neurčitým integrálem// funkce $f$ na $I$ a značíme ji:
+==== Neurčitý integrál ====
-$$\int f(x) dx$$
+Funkce $F$ se nazývá **primitivní funkce** k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F' = f$ pro každé $x \in I$.
+Pokud existuje alespoň jedna primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na intervalu $I$, nazýváme množinu všech primitivních funkcí k funkci $f$ **neurčitým integrálem** funkce $f$ na $I$ a značíme ji:
+$$
+\int f(x) \, dx
+$$
 Z charakteristiky množiny primitivních funkcí pak můžeme psát:
-$$ \int f(x) dx = \{ F(x) + C: C \in \mathbb{R} \}$$
+$$
+\int f(x) \, dx = \{ F(x) + C: C \in \mathbb{R} \}
+$$
 Základní tabulkové integrály:
@@ Line 624: / Line 631: @@
 \end{align*}
-=== Určitý integrál ===
+==== Určitý integrál ====
-Pro nezápornou funkci je obsahem plochy pod křivkou.
+Určitý integrál vyjadřuje například **plochu pod grafem funkce** mezi dvěma body $a$ a $b$, pro nezápornou funkci.
 $\langle a, b \rangle$ je konečná množina $D \subset \langle a, b \rangle$ obsahující body $a, b$. \\
 Značíme ji $D = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$, kde $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$.
-Nechť $f$ je omezená funkce na intervalu $\langle a, b \rangle$, $D = \{x_0, \ldots, x_n\}$ je dělení intervalu $\langle a, b \rangle$. //Dolní// a //horní// integrální součet funkce $f$ pro dělení $D$ jsou:
-\[
-\underline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf f\big(\langle x_{i-1}, x_i \rangle\big) \cdot (x_i - x_{i-1}),
-\]
-\[
-\overline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup f\big(\langle x_{i-1}, x_i \rangle\big) \cdot (x_i - x_{i-1}).
-\]
-=== Newtonova–Leibnizova formule ===
+Nechť $f$ je omezená funkce na intervalu $\langle a, b \rangle$ a $D = \{x_0, \ldots, x_n\}$ je dělení intervalu $\langle a, b \rangle$. **Dolní** a **horní integrální součet** funkce $f$ pro dělení $D$ jsou:
-Je-li $f$ spojitá funkce na intervalu $\langle a, b \rangle$ a $F$ je její primitivní funkce na $\langle a, b \rangle$, pak:
-\[
-\int\limits_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b = F(b) - F(a)
-\]
-\[
+$$
-F(x) = \int_{a}^x f(t) \, \mathrm{d}t + C
+\underline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf f(\langle x_{i-1}, x_i \rangle) \cdot (x_i - x_{i-1})
-\]
+$$
-=== Linearita ===
+$$
+\overline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup f(\langle x_{i-1}, x_i \rangle) \cdot (x_i - x_{i-1})
+$$
-Pro konstanty $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ a funkce $f, g$ na definovaném intervalu $I$ platí:
+=== Rozdíl mezi neurčitým a určitým integrálem ===
+  * **Neurčitý integrál** – množina všech primitivních funkcí dané funkce, bez mezí, výsledek s konstantou $C$.
+  * **Určitý integrál** – konkrétní číslo vyjadřující např. plochu pod grafem na intervalu $\langle a, b \rangle$.
+==== Newtonova–Leibnizova formule ====
+Tato formule propojuje **neurčitý** a **určitý** integrál:
+Pokud $f$ je spojitá na $\langle a, b \rangle$ a $F$ je její primitivní funkce, pak:
 $$
-\int (\alpha f + \beta g) \, dx = \alpha \int f \, dx + \beta \int g \, dx
+\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
 $$
-=== Integrace per partes ===
+Navíc:
-$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$
+$$
+F(x) = \int_a^x f(t) \, dt + C
+$$
+==== Linearita ====
+Lineární vlastnost integrálu znamená, že lze integrovat jednotlivé části výrazu zvlášť a konstanty vytknout před integrál. Tato vlastnost se často používá k rozložení složitějších výrazů na jednodušší.
+Pro konstanty $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ a funkce $f, g$ platí:
+$$
+\int (\alpha f + \beta g) \, dx = \alpha \int f \, dx + \beta \int g \, dx
+$$
+==== Integrace per partes ====
+Metoda per partes se používá, pokud máme součin dvou funkcí – jednu snadno derivujeme, druhou integrujeme. Umožňuje převést integrál do jednoduššího tvaru.
+$$
+\int u \, dv = uv - \int v \, du
+$$
 Například:
@@ Line 672: / Line 699: @@
 $$
-=== Substituce ===
+==== Substituce ====
-místo funkce dosadíme novou proměnnou, u určitého integrálu musíme přepočítat meze integrace
+Používá se, pokud lze vhodně nahradit výraz novou proměnnou $u = g(x)$.
+U **určitého integrálu** nezapomeň přepočítat **meze**.
+Příklad:
 $$
-\int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^{u} \, du \quad \bigg|_{u = x^2,\, du = 2x\,dx} = e^{u} + C = \boxed{e^{x^2} + C}
+\int 2x e^{x^2} \, dx \quad \text{zvolíme } u = x^2, \; du = 2x \, dx
 $$
+$$
+= \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C
+$$
+=== Podmínky pro Riemannovskou integrovatelnost ===
+  * Funkce je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $\langle a, b \rangle$, pokud:
+    * je **omezená**
+    * má **konečně mnoho nespojitostí**
+  * Každá **spojitá** funkce je určitě integrovatelná na uzavřeném intervalu.
+=== Aplikace určitého integrálu ===
+  * Obsah plochy pod nebo mezi grafy funkcí
+  * Výpočet dráhy z rychlosti (např. $s = \int v(t)\,dt$)
+  * Fyzikální aplikace: práce, energie, hmotnost z hustoty
+  * Pravděpodobnost – plocha pod hustotou pravděpodobnosti
+=== Grafická reprezentace určitého integrálu ===
+  * Geometricky integrál $\int_a^b f(x)\,dx$ udává **orientovaný obsah** oblasti mezi křivkou a osou x.
+    * Pokud $f(x) > 0$, je obsah kladný.
+    * Pokud $f(x) < 0$, je obsah záporný.
+=== Dvě metody výpočtu určitého integrálu ===
+  * **1. Přes primitivní funkci (Newton–Leibniz)**
+    $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
+  * **2. Přes dolní a horní součty (Riemannova definice)**
+    Výpočet přes aproximaci plochy pod křivkou pomocí sum.
+=== Příklady ===
+$\int x^2 \sin(4x)\,dx$
+  * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{8}x \sin(4x) + \frac{1}{32} \cos(4x) + C$
+$\int 4x \sin(x^2)\,dx$
+  * Substituce $u = x^2$: $= 2 \int \sin(u)\,du = -2 \cos(x^2) + C$
+$\int \frac{2x + 1}{x^2 + 1}\,dx$
+  * Rozdělení na dva integrály: $= \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + \int \frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + \arctan(x) + C$
 ===== 7. Definice číselné řady – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo). =====
-Číselná řada je nekonečná suma čísel $a_1, a_2, \ldots$ (členy řady) a značí se:
+Číselná řada je nekonečný součet členů posloupnosti $a_1, a_2, a_3, \ldots$. Značí se:
 $$
@@ Line 687: / Line 760: @@
 $$
-Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady, $ \sum_{n=1}^{n} a_n $ je $n$-tý částečný součet řady ($s_n$).
+Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady.
+$n$-tý **částečný součet** (označujeme $s_n$) je součet prvních $n$ členů:
+$$
+s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k
+$$
 Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá //součet// řady.
-Řekneme že řada konverguje, má-li konečný součet, má-li nekonečný součet, řada diverguje,nemá-li součet osciluje.
+Řekneme, že řada **konverguje**, pokud limita posloupnosti částečných součtů $\lim_{n \to \infty} s_n$ existuje a je konečná.
+Pokud neexistuje nebo je nekonečná, řada **diverguje**.
-Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ se nazývá absolutně konvergentní, pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$. Absolutní konvergence implikuje konvergenci řady, ale ne naopak.
+Pokud se součty neustálým přičítáním kmitají (např. u některých alternujících řad), řada **osciluje**.
-Příkladem řady která konverguje, ale není absolutně konvergentní je např. alternující řada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{(n+1)}}{n}$.
+=== Absolutní konvergence ===
+Řada $\sum a_n$ je **absolutně konvergentní**, pokud konverguje řada $\sum |a_n|$.
+  * Absolutní konvergence vždy znamená i běžnou konvergenci.
+  * Opačně to ale **neplatí** – existují řady, které konvergují, ale nejsou absolutně konvergentní.
+**Příklad:**
+Alternující harmonická řada:
+$$
+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
+$$
+konverguje, ale $\sum \frac{1}{n}$ diverguje ⇒ **není absolutně konvergentní**.
 ==== Geometrické řady ====
-Geometrická řada s kvocientem q je řada tvaru:
+Geometrická řada je řada tvaru:
 $$
-\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + a_0 q^3 + \ldots
+\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \ldots
 $$
-kde $a_0$ je první člen řady a $q$ je kvocient řady.
+kde $a_0$ je první člen a $q$ je kvocient řady.
 Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven:
 $$
@@ Line 713: / Line 805: @@
 ==== Nutná podmínka konvergence ====
-Nutná podmínka znamená že může platit i když řada diverguje, ale musí platit pro každou konvergující řadu.
-Pokud $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje, pak $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.
+Nutná podmínka říká, že pokud má řada $\sum a_n$ konvergovat, pak:
+$$
+\lim_{n \to \infty} a_n = 0
+$$
+**Pozor:**
+  * Tato podmínka je **nutná**, ale **nestačí**.
+  * Například harmonická řada splňuje $\lim a_n = 0$, ale **diverguje**.
 ==== Podílové kritérium konvergence ====
-Nechť $a_k \neq 0$ pro každé $k \in \mathbb{N}$
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.
-==== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ====
+Zkoumá poměr po sobě jdoucích členů. Hodí se pro řady, kde se členy násobí, nebo obsahují faktoriály.
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně).
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.
+Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí:
+$$
+\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q,
+$$
+pak řada konverguje (absolutně).
+Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje.
+=== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ===
+Pokud
+$$
+\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1,
+$$
+řada konverguje (absolutně).
+  * Pokud limita je $> 1$, řada diverguje.
+  * Pokud limita je $= 1$, kritérium **nerozhoduje**.
 ==== Odmocninové kritérium konvergence ====
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
+Založeno na limitě $k$-té odmocniny z členů. Hodí se pro řady, které obsahují exponenty.
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.
-==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ====
+Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí:
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně).
+$$
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.
+\sqrt[n]{|a_n|} \leq q,
+$$
+pak řada konverguje (absolutně).
+Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje.
+=== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ===
+Pokud
+$$
+\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1,
+$$
+řada konverguje.
+  * Pokud limita $> 1$, řada diverguje.
+  * Pokud $= 1$, nelze rozhodnout.
 ==== Integrální kritérium konvergence ====
-Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.
+Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro **kladné, klesající** posloupnosti.
+Nechť $f$ je nezáporná, klesající funkce definovaná na $[1, \infty)$ a $f(n) = a_n$.
+Pak:
+Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje **právě tehdy**, když konverguje nevlastní integrál:
+$$
+\int_1^{\infty} f(x) \, dx
+$$
+**Příklad:**
+Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$.
 ==== Leibnizovo kritérium konvergence ====
+Používá se pro **alternující řady** – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy.
 Uvažujme řadu tvaru:
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$
+$$
-pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n
+$$
+pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost.
+Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
 ==== Harmonická řada (nepovinné) ====

Trace: • b0b01ma1 • dokuwiki • b4m33pal • bakalar

Differences

Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code