Rastrový zobrazovací řetězec, jeho fixní a programovatelné bloky, programování pomocí shaderů. Typické transformace a jejich reprezentace. Osvětlovací model. Základní parametrické křivky.

B0B39PGR Webové stránky předmětu

• Rastrový zobrazovací řetězec, jeho fixní a programovatelné bloky – popis logických bloků v zobrazovacím řetězci a jejich funkce. Perspektivně správná interpolace. Vrstvy obrazové paměti a jejich účel (použití v bloku operací a testů). Textury – zobrazování (způsoby kombinace s osvětlením), filtrování, mip-mapping, mapa prostředí.
• Programování pomocí shaderů – základní datové typy v GLSL (skalár, vektor, matice, sampler). Rozdíl mezi proměnnými in a uniform. Jak se přiřazují hodnoty proměnných z OpenGL do GLSL.
• Typické transformace a jejich reprezentace – lineární a afinní transformace a jejich maticová reprezentace, homogenní souřadnice. Sestavení matice rotace podle jedné souřadné osy, škálování, nastavení kamery (lookAt) a záběru (viewport). Posloupnost souřadných systémů, kterými prochází vrchol, než získá souřadnice v rámci okna. Transformace vůči zadanému souřadnému systému. Matice rovnoběžného a perspektivního promítání. Gimbal lock. Interpolace translace a rotace (kvaterniony, lerp a slerp).
• Osvětlovací model – normálový vektor a jeho použití při výpočtu osvětlení v bodě. Výpočet normály trojúhelníka. Interpolace normály a ostatních vektorů a proč se používají normalizované vektory. Phongův osvětlovací model, vzorce jednotlivých složek. Proč stačí kanály RGB (metamerismus)? Základní typy světel a jejich simulace ve Phongově osvětlovacím modelu. Metody stínování.
• Základní parametrické křivky – interpolační (Ferguson, Catmull-Rom) a aproximační křivky (Bézier, B-spline, NURBS). Parametrická reprezentace. Spojitost při napojování segmentů. Adaptivní vykreslování Bézierovy křivky (algoritmus de Casteljau).

Rastrový zobrazovací řetězec (pipeline) je sekvence operací, která převádí 3D scénu na 2D obraz. Obsahuje programovatelné (*) i fixní bloky.

Pipeline kroky:

• Vertex data – vstupní data: pozice, normály, barvy, texturovací souřadnice.
• Vertex Shader (*) – operace nad každým vertexem: transformace vertexů do prostoru kamery, výpočet osvětlení (per-vertex) a texturovacích souřadnic
• Tesselation (*) – volitelně rozdělí geometrii na jemnější prvky (detailnější modely)
• Primitive Assembly – spojení vertexů do základních grafických útvarů (primitiv - trojúhelníky, quady)
• Clipping – odstraní části primitiv, které leží mimo pohledový objem (frustum)
• Back-face culling – odstraní plochy, které jsou odvráceny od kamery (zrychluje vykreslování)
• Perspective Divide – převod souřadnic do normalizovaného prostoru zařízení (NDC)
• Viewport Transform – převede NDC souřadnice do okna aplikace (obrazovky)
• Geometry Shader (*) – volitelně generuje nové vrcholy nebo primitiva z existujících
• Rasterizace – převede primitiva na fragmenty (kandidáty na pixely)
• Fragment Shader (*) – vypočítá barvu, texturu a efekty pro každý fragment
• Operace s fragmenty – rozhodují, zda a jak se fragment vykreslí:
  • Depth test – fragment se vykreslí jen pokud je blíže k kameře než předchozí fragment (řeší zakrývání objektů)
  • Stencil test – umožňuje omezit vykreslování na specifické oblasti nebo tvary (např. efekty, zrcadla)
  • Blending – kombinuje barvu nového fragmentu s barvou již existující (například pro průhlednost nebo světelné efekty)
  • Scissor test – kreslí se jen fragmenty uvnitř předem definovaného obdélníku (používá se například při optimalizaci výpočtů)

Poznámka: Fragment je soubor hodnot vytvořený rasterizací, který reprezentuje vzorek z oblasti jednoho pixelu vykreslovaného primitiva. Obsahuje například interpolovanou barvu, hloubku nebo pozici v okně.

Při rasterizaci musí být atributy (barvy, normály, texturovací souřadnice) interpolovány tak, aby respektovaly perspektivní zkreslení. Lineární interpolace v obrazovém prostoru by vedla ke zkreslení.

Postup: 1. Atributy vertexu se vynásobí hodnotou \( W_c \), kde: \[ W_c = -z_{\text{eye}} \] 2. Následuje lineární interpolace mezi vrcholy: \[ A_{\text{interpolated}} = (1 - t) A_1 W_{c1} + t A_2 W_{c2} \] 3. Výsledek se vydělí interpolovanou hodnotou \( W_c \): \[ A = \frac{A_{\text{interpolated}}}{W_{c,\text{interpolated}}} \]

Tím je dosaženo perspektivně správné interpolace.

Různé vrstvy obrazové paměti slouží k uchovávání informací o scéně během vykreslování.

• Depth buffer (Z-buffer) – ukládá hloubku každého pixelu vůči kameře. Zajišťuje, že blíže položené objekty překryjí vzdálenější.
• Stencil buffer – obsahuje masku pro určení, které části obrazu se mají vykreslit. Používá se např. pro odrazy nebo výřezy.
• Color buffer – obsahuje barevné hodnoty pixelů. Má dvě verze:
  • Front buffer – aktuálně zobrazovaný obraz.
  • Back buffer – obraz připravovaný v paměti před překreslením.
• Stereo buffer – obsahuje dva obrazy (pro levé a pravé oko) pro stereoskopické zobrazování.

Při vykreslování jsou fragmenty testovány, zda mají být zapsány do framebufferu.

• Pixel ownership test – testuje, zda pixel náleží aplikaci (například zda není překryt jiným oknem).
• Scissor test – povolí vykreslení pouze uvnitř definovaného obdélníku.
• Depth test – fragment je vykreslen jen pokud je blíže než již uložený pixel v depth bufferu.
• Stencil test – kontroluje, zda fragment splňuje podmínky masky nastavené ve stencil bufferu.

Po úspěšném průchodu testy mohou být fragmenty upraveny před zápisem do framebufferu.

• Blending – míchání barvy fragmentu a barvy pozadí, umožňuje např. průhledné objekty.
• Logické operace – provádí bitové operace mezi barvou fragmentu a barvou v bufferu (např. invertování nebo mazání).

Textura je 2D obrázek nebo vzorek, který se aplikuje na povrch objektu pro zajištění detailu, barvy, lesku nebo průhlednosti.

• Texture coordinates – dvojice [s, t] nebo [u, v], které definují pozici texelu na ploše objektu.
• Dopředné mapování – převod souřadnic textury na plochu modelu.
• Inverzní mapování – výpočet texturových souřadnic zpětně z pozice fragmentu na obrazovce.

Slouží ke zjemnění nebo zrychlení zobrazení textur při zvětšení nebo zmenšení.

• GL_NEAREST – zvolí nejbližší texel; rychlé, ale vzniká aliasing (kostrbaté hrany).
• GL_LINEAR – provádí vážený průměr několika texelů; hladší výsledek, vyšší náročnost.

Optimalizační technika, kdy jsou předpočítané menší verze textury (pyramida textur různých rozlišení)

• Při zmenšování objektu se použije odpovídající úroveň detailu → vyšší výkon a menší aliasing.

Určuje, jak se textura chová mimo rozsah souřadnic [0, 1].

• Clamp – opakuje poslední texel na okraji.
• Clamp to border – okolí je vyplněno zvolenou barvou (často černou).
• Repeat – textura se opakuje periodicky.
• Mirrored repeat – textura se periodicky opakuje s převrácením.

Při vykreslování se barva objektu určuje kombinací textury a světelného modelu:

\[ \text{Barva objektu} = \text{Textura} \times (\text{Ambient} + \text{Diffuse} + \text{Specular}) \]

Lze aplikovat více textur současně pomocí alpha blending (průhlednosti), což umožňuje například kombinovat základní texturu a detailní mapu.

Technika pro simulaci odlesků okolního prostředí na povrchu objektu.

• Sphere map – sférická mapa prostředí, jednoduchá, ale odrazy správné jen z jednoho pohledu.
• Cube map – šestiúhelníková textura tvořená 6 stranami krychle (±X, ±Y, ±Z); poskytuje realistické odlesky z různých směrů.

Cube mapping je dnes standard díky své univerzálnosti a podpoře dynamických odrazů v real-time grafice.

.

.

Shader je program běžící na GPU, který zpracovává grafická data během jednotlivých fází renderovací pipeline. Shadery umožňují velmi rychlé paralelní výpočty (SIMD).

GLSL (OpenGL Shading Language) je jazyk používaný k psaní shaderů.

Typy shaderů:

• Vertex shader – operace s vrcholy (pozice, normály, textury).
• Fragment shader – určuje barvu a vzhled každého fragmentu.
• Geometry shader (volitelný) – generování nebo modifikace geometrie.
• (další: tessellation shader, compute shader)

• Skaláry – `float`, `double`, `bool`, `int`, `uint`.
• Vektory – např. `vec2`, `vec3`, `vec4`, `ivec3` (kombinace typu a dimenze).
• Matice – `mat2`, `mat3`, `mat4` (čtvercové, obsahují `float`).
• Sampler – speciální typ pro práci s texturami (`sampler2D`, `samplerCube`).

• in – vstupní proměnná shaderu; data z předchozí fáze pipeline (např. `in vec3 normal` ve fragment shaderu).
• out – výstupní proměnná shaderu; předává data do další fáze pipeline.
• uniform – globální proměnná neměnná během vykreslení jednoho objektu; nastavuje se z CPU přes OpenGL (např. `uniform mat4 modelViewMatrix`).

Uniformy:

• Získání polohy proměnné:

\[ \text{location} = \text{glGetUniformLocation(program, "name")} \]

• Nastavení hodnoty:

\[ \text{glUniform*}(location, value) \]

V praxi to je např. glUniform1f, glUniform3fv

Atributy (Vertex Attributes):

• Vytvoření a naplnění bufferů (`VBO`, `VAO`).
• Přiřazení atributů k vertex shaderu:
  • Získání polohy:

\[ \text{location} = \text{glGetAttribLocation(program, "attributeName")} \]

• Aktivace atributu:

\[ \text{glEnableVertexAttribArray(location)} \]

• Nastavení formátu:

\[ \text{glVertexAttribPointer(location, size, type, normalized, stride, pointer)} \]

Poznámka: `stride` určuje vzdálenost mezi jednotlivými instancemi atributu, `pointer` určuje offset prvního prvku.

1. Vytvoření a kompilace shaderů (vertex, fragment) pomocí GLSL zdrojového kódu.
2. Připojení shaderů k programu (`glAttachShader`) pro vytvoření kompletního pipeline.
3. Aktivace programu (`glUseProgram`) před vykreslováním geometrie.
4. Naplnění bufferů daty (`VBO`, `EBO`) obsahujícími vrcholy a indexy objektů.
5. Přiřazení dat shaderům (nastavení vertex atributů a uniformních proměnných).
6. Vykreslení scény voláním (`glDrawArrays`, `glDrawElements`) podle dat v bufferech.
7. Update scénických dat / animace pro dynamické změny v průběhu vykreslování.
8. Vyčištění frame bufferu (`glClear`) pro přípravu na další snímek.

Transformace v grafice upravují pozice vertexů v prostoru a jsou reprezentovány maticemi (4×4). Rozlišujeme:

• Lineární transformace – zahrnují škálování (scale) a rotace, neobsahují translaci.
• Afinní transformace – rozšíření lineárních transformací o translaci.
• Homogenní souřadnice – umožňují reprezentaci všech typů transformací jednotnou maticovou operací.

• Předpokládáme, že bod je sloupcový vektor souřadnic a ho maticí zleva (v OpenGL), pokud by byl řádkový a matice by byla transponovaná, násobil by se vektor zprava (DirectX)

• Rotace kolem osy X:

\[ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Rotace kolem osy Y:

\[ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Rotace kolem osy Z:

\[ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• .
• .
• Škálování:

\[ S(s_x, s_y, s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Translace:

\[ T(t_x, t_y, t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Obecná afinní transformace se skládá z translace a lineární transformace:

\[ A = \begin{bmatrix} L & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• kde \( L \) je 3×3 matice obsahující rotaci a škálování.

• Rigidní transformace – zachovávají vzdálenosti mezi body objektu, a tím i jeho tvar.
• Pokud rigidní transformace zahrnuje zrcadlení, dochází ke změně orientace souřadného systému.
• Testy rigidity:
  • Ortogonalita – vektory jsou na sebe kolmé, což samo o sobě nestačí.
  • Ortonormalita – vektory jsou kolmé a jednotkové, determinant matice je 1.
  • Determinant = -1 – označuje přítomnost lichého počtu zrcadlení.
  • Determinant nelze použít jako spolehlivý test rigidity, pokud matice není ortogonální.

• V homogenních souřadnicích přidáváme čtvrtou souřadnici \( w \), což umožňuje jednotnou reprezentaci projekcí:

\[ (x, y, z) \to (xw, yw, zw, w) \]

• Interpretace souřadnice \( w \):
  • Pro body je \( w = 1 \), což umožňuje aplikaci translací (posunutí).
  • Pro vektory je \( w = 0 \), což znamená, že nejsou ovlivněny translací (zůstávají pouze jako směry).

Definuje pohled kamery na bod ve scéně, vstupy jsou:

• Eye – pozice kamery
• Center – bod, kam kamera míří
• Up – směr nahoru

• Výpočet os souřadného systému kamery:

\[ Z = \text{normalize}(E - C),\\ X = \text{normalize}(\text{up} \times Z),\\ Y = Z \times X \]

• Matice LookAt:

\[ E = \begin{bmatrix} X & Y & Z & e \end{bmatrix} \]

• Transformace souřadnic Normalized Device Coordinates (NDC) do okna aplikace:

\[ O_x = x \frac{w}{2} + \frac{w}{2}, \\ O_y = y \frac{h}{2} + \frac{h}{2} \]

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

• Proces, jakým prochází vertex od lokálního systému objektu až po vykreslení na obrazovce, lze popsat následovně:

• Objektový systém – lokální souřadnice, definují pozici vertexů relativně k objektu.

\[ v_{obj} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \\ w_0 \end{bmatrix} \]

• Světový systém – aplikací modelovací transformace se převádí vertex do globálního referenčního rámce:

\[ v_{world} = M \cdot v_{obj} \]

• Pohledový systém (kamera) – aplikací pohledové transformace (LookAt matice) přesuneme vertexy do souřadnic kamery (oka):

\[ v_{view} = V \cdot v_{world} \]

• Projekční systém a ořezávací souřadnice (clipping) – pomocí projekční matice (ortogonální nebo perspektivní) transformujeme souřadnice do tzv. ořezávacího prostoru (clipping space):

\[ v_{clip} = P \cdot v_{view} \]

• Následuje clipping, kdy se odstraní vertexy mimo pohled kamery.

• Normalizované souřadnice zařízení (NDC) – provede se perspektivní dělení, normalizace podle homogenní složky \( w \):

\[ v_{NDC} = \frac{v_{clip}}{w} \]

• Souřadnice okna (viewport transformace) – nakonec se NDC transformují do okna aplikace (viewport):

\[ v_{window} = V_p \cdot v_{NDC} \]

• Rovnoběžná (ortogonální) projekce – nezohledňuje perspektivu, všechny body jsou promítány rovnoběžně na projekční rovinu. Používá se například pro technické výkresy.
• Perspektivní projekce – zohledňuje vzdálenost, blízké objekty jsou větší než vzdálené. Používají se homogenní souřadnice.

• Perspektivní projekční matice – reprezentuje převod ze světového prostoru do projekčního prostoru:

\[ \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]

• Ortogonální projekční matice – slouží pro ortogonální zobrazení, kde nejsou objekty zkresleny perspektivou:

\[ \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{f-n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Perspektivní matice – tato matice odpovídá za převod hloubky do homogenních souřadnic:

\[ \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & fn \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]

• Vztah mezi projekčními maticemi – Perspektivní projekční matice je výsledkem násobení ortogonální projekční matice a perspektivní matice:

\[ P_{perspective} = P_{orthographic} \cdot P_{perspective\_depth} \]

• Rotace kolem dvou os může vést ke ztrátě osy volnosti. Možné řešení:
  • Použití kvaternionů místo Eulerových úhlů.

.

.

.

.

.

.

.

Kvaterniony poskytují stabilní a efektivní způsob reprezentace a interpolace rotací v počítačové grafice. Oproti maticové reprezentaci nevedou k problémům jako je Gimbal Lock a umožňují plynulejší interpolaci.

• Kvaterniony jsou čtyřrozměrné vektory (skalární část \( q_0 \) a trojrozměrná imaginární část \( \mathbf{q} \)), které rozšiřují komplexní čísla pro reprezentaci rotací:

\[ q = q_0 + \mathbf{q} = q_0 + q_1 i + q_2 j + q_3 k \]

• Ryzí kvaternion – nemá skalární část: \( q_0 = 0 \).
• Jednotkový kvaternion – má normu \( |q| = 1 \) a představuje rotaci.
• Sdružený kvaternion – kvaternion s opačnou imaginární částí:

\[ q^* = q_0 - \mathbf{q} \]

• Inverzní kvaternion – vypočítá se jako:

\[ q^{-1} = \frac{q^*}{|q|^2} \]

• Násobení kvaternionů:
  • Ryzí kvaterniony:

\[ pq = -\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} + \mathbf{p} \times \mathbf{q} \]

• Obecné kvaterniony:

\[ p q = p_0 q_0 - \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} + p_0 \mathbf{q} + q_0 \mathbf{p} + \mathbf{p} \times \mathbf{q} \]

• Kvaterniony lze získat z rotace maticí nebo ze dvou vektorů pomocí úhlu a normalizovaného vektorového součinu.

• Kvaterniony umožňují reprezentaci rotace kolem osy \( \mathbf{u} \) o úhel \( \alpha \):

\[ q = \cos \frac{\alpha}{2} + \mathbf{u} \sin \frac{\alpha}{2} \]

• \( \mathbf{u} \) – jednotkový vektor osy rotace, \( \alpha \) – úhel rotace.

Interpolace mezi dvěma kvaterniony se používá k plynulé změně rotace v čase.

• LERP (Linear Interpolation) – lineární interpolace mezi dvěma kvaterniony:

\[ LERP(q_1, q_2, t) = (1 - t) q_1 + t q_2 \]

• Zajišťuje konstantní rychlost interpolace, ale nemusí udržovat jednotkovou délku kvaternionu.

• nLERP (Normalized LERP) – varianta LERP, která normalizuje výsledek:

\[ nLERP(q_1, q_2, t) = \text{normalize}((1 - t) q_1 + t q_2) \]

• Udržuje jednotkovou délku, ale neinterpoluje s konstantní úhlovou rychlostí.

• SLERP (Spherical Linear Interpolation) – interpolace po jednotkové sféře:

\[ SLERP(q_1, q_2, t) = \frac{\sin((1 - t) \theta)}{\sin \theta} q_1 + \frac{\sin(t \theta)}{\sin \theta} q_2 \]

• Zachovává konstantní úhlovou rychlost a je ideální pro plynulé rotace velkých úhlů.

• Kvaterniony jsou v počítačové grafice široce používány pro animaci kamer, objektů, pohybových trajektorií a fyzikálních simulací.

• Normálový vektor je vektor kolmý na povrch, který ovlivňuje výpočet osvětlení a směr odrazu světla.
• Určuje, jak se světlo odráží od povrchu a jak intenzivní bude osvětlení v daném bodě.
• Normála musí být normalizována, aby měla jednotkovou délku:

\[ \vec{n}_{normalized} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \]

• Každý vertex musí mít přiřazený normálový vektor.
• Normály nejsou automaticky počítány v OpenGL, musí být definovány a uloženy v bufferu.
• U plochých povrchů (flat surface) stačí jedna normála na celý povrch.
• U zakřivených povrchů (curved surface) se normála mění v každém bodě.

• Normála trojúhelníka se vypočítá jako vektorový součin dvou hran trojúhelníka:

\[ \vec{n} = \text{normalize}(\vec{CB} \times \vec{CA}) \]

• Výsledná normála musí být normalizována, aby měla jednotkovou délku.

• Při interpolaci normál ve fragment shaderu dochází ke zkrácení jejich délky.
• Interpolované normály musí být v fragment shaderu znovu normalizovány.
• Příčina zkrácení normál – během interpolace mezi vertexy nejsou normály vždy udržovány s jednotkovou délkou.
• Rigidní transformace (rotace, translace) nemění délku normál, zatímco nelineární transformace (škálování) mohou délku změnit.

• Pokud je aplikována nerigidní transformace, například neuniformní škálování, normálový vektor ztratí kolmou orientaci k povrchu.
• K opravě normály se používá normálová matice, která se vypočítá jako transponovaná inverzní matice modelu:

\[ N = (M^{-1})^T \]

• U rigidních transformací platí zjednodušení:

\[ M^{-1} = M^T \Rightarrow N = M_{3 \times 3} \]

• Uniformní škálování ovlivňuje délku normálového vektoru násobením škálovacím faktorem \( k \).
• Zjednodušení výpočtu:

\[ \vec{n'} = \frac{\vec{n}}{k} \]

• což ušetří výpočetní výkon při normalizaci.

• Krychle – Každá plocha má vlastní normálu, vertexy sdílejí normály sousedních ploch.
• Koule – Normála v bodě \( P \) se vypočítá jako:

\[ \vec{n} = \text{normalize}(P - \text{origin}) \]

• Trojúhelníky a síť (mesh):
  • Normála trojúhelníka:

\[ \vec{n} = \text{normalize}(\text{crossProduct}(\text{edge}_1, \text{edge}_2)) \]

• Pro síť (mesh) se normála vertexu počítá jako průměr normalizovaných normál sousedních polygonů:

\[ \vec{N} = \text{normalize}(\sum_{i=0}^{pcount} \vec{N}_i) \]

• Lokální empirický model osvětlení používaný v počítačové grafice.

• Počítá osvětlení na základě normálového vektoru a směru světla.
• Neřeší globální světelné efekty jako odrazy nebo lomy světla.
• Osvětlení se počítá zvlášť pro kanály R, G, B a výsledná barva je jejich součet.
• Celková barva bodu:

\[ \text{color} = \text{emission} + \text{globalAmbient}_\text{reflected} + \sum \text{light}_i \]

• Každý světelný příspěvek:

\[ \text{light}_i = \text{spotlightEffect} \times \text{attenuationFactor} \times (\text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected}) \]

• Ambientní složka (ambient reflection) simuluje nepřímé osvětlení, které je rovnoměrně rozptýlené po scéně.
• Nezávisí na směru světla ani pohledu kamery.

\[ \text{ambient}_\text{reflected} = \text{ambient}_\text{light} \cdot \text{ambient}_\text{material} \]

• Globální ambientní složka:

\[ \text{globalAmbient}_\text{reflected} = \text{globalAmbient}_\text{environment} \cdot \text{ambient}_\text{material} \]

• Bez ambientního světla jsou neosvětlené části úplně černé.

• Difuzní složka (diffuse reflection) závisí na úhlu dopadajícího světla. Používá Lambertův model:

\[ \text{diffuse}_\text{reflected} = \max(\cos\alpha, 0) \cdot \text{diffuse}_\text{light} \cdot \text{diffuse}_\text{material} \]

• kde \( \cos\alpha = \vec{l} \cdot \vec{n} \)
• Světlo je rozptýleno rovnoměrně všemi směry.

• Spekulární složka (specular reflection) modeluje odraz světla v konkrétním směru.

\[ \text{specular}_\text{reflected} = [\max(cos\,\beta,0)]^\text{shininess} \cdot \text{specular}_\text{light} \cdot \text{specular}_\text{material} \]

• kde \( \cos\beta = \vec{c} \cdot \vec{r} \)
• Odražený vektor:

\[ \vec{r} = -\vec{l} + 2(\vec{l} \cdot \vec{n})\vec{n} \]

• Shininess určuje ostrost odlesku.

• Emisivní světlo (emissive light) simuluje objekty, které samy vydávají světlo.
• Není ovlivněno žádnými jinými světelnými zdroji.
• Používá se např. pro světelné objekty nebo obrazovky.

• Celkové osvětlení je součet všech složek:

\[ \text{color} = \text{emission} + \text{globalAmbient}_\text{reflected} + \sum \text{light}_i \]

• Každá složka se počítá zvlášť pro kanály RGB.
• Výsledná hodnota je omezena na rozsah \( \langle 0,1 \rangle \).

• Illuminační model určuje, jak je světlo vypočítáno na povrchu objektu.
• Barva bodu závisí na materiálu, světelných zdrojích a úhlu pohledu.

• Fyzikální modely – přesné, berou v úvahu celý světelný tok (např. Lambert).
• Empirické modely – přibližné, rychlé pro real-time (např. Phong).

• Lokální modely – výpočet osvětlení pro každý bod zvlášť, neřeší odrazy.
• Globální modely – berou v úvahu odrazy a stíny (např. ray tracing).

• \( \vec{n} \) – normálový vektor.
• \( \vec{l} \) – směr ke světlu.
• \( \vec{r} \) – odražený vektor.
• \( \vec{v} \) – směr kamery.
• Materiálové vlastnosti – barva, lesklost, emisivita.

• Vjem, kdy se dvě různé barvy jeví stejně, i když mají odlišné spektrální složení.
• RGB je dostačující díky třem typům čípků v lidském oku, což umožňuje efektivní reprezentaci barev v digitálních obrazech.
• Chromatická adaptace – mozek kompenzuje barevné změny okolního osvětlení (např. white balance u kamer).
• Purkyňův jev – při slabém světle je oko citlivější na modré tóny, červené barvy se jeví tmavší.

• Barva objektu závisí na spektrofotometrické odrazivosti povrchu:

\[ L_{\text{reflected}}(\lambda) = L_{\text{incoming}}(\lambda) \cdot \rho(\lambda) \]

• Různé materiály odrážejí světlo různě podle vlnové délky, což ovlivňuje jejich vnímanou barvu.

• Světelné zdroje jsou neviditelné, pouze osvětlují objekty ve scéně.
• Každý vertex je ovlivněn všemi zapnutými světly.
• Stíny nejsou ve Phongově modelu řešeny – je nutný speciální algoritmus.

• Má pouze směr, ne polohu.
• Neztrácí intenzitu s rostoucí vzdáleností (žádná atenuace).
• Výpočet světla:

\[ \text{light}_i = \text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected} \]

• Vektor světla \( \vec{l} \) je normalizovaný směr ke světelnému zdroji.

.

.

.

.

.

.

.

• Má konkrétní pozici ve scéně.
• Intenzita klesá se vzdáleností (atenuace).
• Směr světla:

\[ \vec{l} = \text{normalize}(\text{pozice}_\text{světla} - \text{bod}) \]

• Atenuace:

\[ \text{attenuationFactor} = \frac{1.0}{k_C + k_L \cdot d + k_Q \cdot d^2} \]

• Výpočet světla:

\[ \text{light}_i = \text{attenuationFactor} \times (\text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected}) \]

• Bodové světlo s kuželovým vyzařováním.
• Bere v úvahu směr reflektoru a úhel kužele.
• Výpočet intenzity v kuželu:

\[ \text{spotlightEffect} = (\vec{\text{spot}} \cdot \vec{l})^\text{SPOT\_EXPONENT} \]

• Výpočet světla:

\[ \text{light}_i = \text{spotlightEffect} \times \text{attenuationFactor} \times (\text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected}) \]

• Materiál ovlivňuje interakci povrchu se světlem – určuje, jaká část světla se pohltí, odrazí nebo rozptýlí.
• Hlavní vlastnosti materiálu:
  • Ambientní barva – základní barva materiálu při nepřímém osvětlení.
  • Difuzní barva – rozptýlené světlo, závisí na úhlu dopadu.
  • Spekulární barva – barva odlesků, závisí na směru pohledu.
  • Emisivní barva – světlo vyzařované materiálem.
  • Shininess – určuje ostrost odlesků (vyšší hodnota = ostřejší odlesky).
• Isotropní materiály – odrážejí světlo rovnoměrně všemi směry (plast, matné kovy).
• Anizotropní materiály – odrážejí světlo směrově (leštěný kov, vlasy).

• Hardcoded – pevně definované v kódu shaderu.
• Uniform proměnná – stejný materiál pro celý objekt.
• Textury – různé mapy (diffuse, specular, normal) umožňují detailní variace.

• Metody stínování určují, jak se provádí výpočet osvětlení povrchů objektů:
  • Flat Shading – každý polygon má konstantní barvu, určenou normálou středu polygonu nebo jednoho z vertexů.
    • Výhoda – rychlé výpočty.
    • Nevýhoda – viditelné hrany mezi polygony, nereálný vzhled.
  • Gouraud Shading – výpočet osvětlení ve vrcholech a interpolace barvy uvnitř polygonů.
    • Výhoda – hladší přechody než Flat Shading.
    • Nevýhoda – odlesky mohou být nepřesné nebo se ztratit.
  • Phong Shading – interpolace normál mezi vertexy a výpočet osvětlení pro každý pixel.
    • Výhoda – nejrealističtější výsledek, přesné odlesky a hladké přechody.
    • Nevýhoda – vyšší výpočetní náročnost.

Křivky můžeme popsat třemi hlavními způsoby:

• Explicitní reprezentace – křivka je vyjádřena jako funkce \( y = f(x) \). Lze použít jen pro jednoduché křivky, nelze ji snadno použít v 3D nebo při rotacích.

• Implicitní reprezentace – křivka je definována rovnicí \( F(x, y) = 0 \). Vhodná pro testování, zda bod leží na křivce, ale obtížná pro 3D.

• Parametrická reprezentace – souřadnice bodu jsou funkcemi parametru \( t \):

\[ x = x(t),\ y = y(t),\ z = z(t) \] Výhody:

• Lze snadno určit libovolný bod na křivce.
• Funguje i v 3D, na rozdíl od explicitní (např. \( y = f(x) \)) nebo implicitní (\( F(x,y) = 0 \)) reprezentace.
• Parametrizace není jednoznačná: stejná křivka může být popsána různými funkcemi.

Křivky používané v počítačové grafice bývají složené z více segmentů – dílčích úseků, které dohromady tvoří celou křivku \( Q(t) \). Každý segment (např. \( Q_0(t), Q_1(t), \ldots \)) je typicky popsán polynomiálně a má zajištěnou plynulost uvnitř sebe.

Aby však celá složená křivka působila plynule, je potřeba řešit spojitost v místech napojení segmentů – tzv. uzlech (join points, knot points). Uzel je bod, kde končí jeden segment a začíná další, např. \( Q_0(1) = Q_1(0) \).

V praxi vyžadujeme, aby jednotlivé segmenty na sebe navazovaly nejen v poloze, ale i ve směru nebo rychlosti – podle toho rozlišujeme různé typy spojitosti:

• Spojitost křivky uvnitř segmentu je zajištěna přímo její parametrickou definicí (např. polynomem).
• Spojitost mezi segmenty je klíčová pro zachování vizuálně plynulého tvaru celé křivky.

Zohledňuje směr i velikost derivací (rychlost, zrychlení). Pokud je parametrická spojitost splněna, je zaručena i geometrická spojitost.

• C0 – křivky končí a začínají ve stejném bodě.
• C1 – křivky mají v místě napojení stejný směr a velikost první derivace (rychlosti).
• C2 – shoda i druhé derivace (zrychlení).

Zohledňuje pouze směr derivací bez ohledu na velikost. Poskytuje vizuálně hladké přechody, ale bez zajištění konzistentní rychlosti.

• G0 – stejný bod (jako C0).
• G1 – stejné směry tečen, ale mohou mít různou velikost (plynulý přechod).
• G2 – stejné směry a akcelerace, velikosti se mohou lišit.

Interpolační křivky vždy procházejí všemi zadanými kontrolními body. Jsou vhodné například pro animace trajektorií, protože přesně sledují zadané pozice. Změna polohy jednoho bodu ovlivní i sousední segmenty.

Parametrická kubická křivka definovaná dvěma body a jejich tečnami (směry v daných bodech). Používá 4 bázové funkce, které kombinují pozice a tečny: \[ P(t) = h_1(t)P_0 + h_2(t)P_1 + h_3(t)T_0 + h_4(t)T_1 \]

• Zajišťuje spojitost C1 (plynulé napojení polohy a rychlosti).
• Vhodná pro definování pohybových drah nebo animace kostí v počítačové grafice.
• Výhodou je možnost přesně ovlivnit směr a rychlost pohybu v klíčových bodech.

Speciální typ kubické Hermitovy křivky, která automaticky generuje tečny z okolních bodů. Tečna ve středu mezi dvěma body se určuje jako: \[ T_i = \frac{P_{i+1} - P_{i-1}}{2} \]

• Výrazně usnadňuje použití, protože nejsou potřeba ručně definované tečny.
• Zajišťuje hladké přechody mezi body s parametrickou spojitostí C1.
• Velmi často se používá při animacích pohybu kamery, objektů nebo částic podél cesty definované body.

Aproximační křivky neprocházejí přímo kontrolními body, ale jejich poloha a váha určují tvar křivky. Používají se tam, kde je důležitá hladkost a flexibilita křivky. Výhodou je i lokální vliv změn – posun kontrolního bodu ovlivní jen část křivky.

Křivka definovaná pomocí Bernsteinových polynomů: \[ B(t) = \sum_{i=0}^{n} b_i B_{i,n}(t) \] kde: \[ B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{n - i} t^i \]

• C0 spojitost – poslední bod první křivky je shodný s prvním bodem druhé.
• C1 spojitost – dosažitelná vhodným symetrickým umístěním ovládacích bodů.
• Nejčastější je kubická Bézierova křivka (4 body, stupeň 3).
• Používá se v počítačové grafice, typografii (fonty), vektorové grafice a animacích.
• Jednoduchá implementace, ale globální vliv – změna bodu ovlivní celou křivku.

Bernsteinovy polynomy tvoří základní bázové funkce Bézierových křivek. Pro stupeň \( n \) a index \( i \) jsou definovány jako: \[ B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{n - i} t^i \] kde \( t \in [0,1] \). Mají tyto vlastnosti:

• Všechny hodnoty jsou nezáporné.
• Mají maximum v jediném bodě.
• Součet všech polynomů daného stupně je vždy 1:

\[ \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) = 1 \] Tím zajišťují stabilitu a plynulou interpolaci mezi kontrolními body.

Stabilní numerická metoda pro výpočet bodu na Bézierově křivce:

• Funguje na principu opakované lineární interpolace mezi body:

\[ P_{i}^{r}(t) = (1 - t) P_{i}^{r-1} + t P_{i+1}^{r-1} \] kde \( P_{i}^{0} = P_i \) jsou původní kontrolní body.

• Opakuje se, dokud nezůstane jediný bod \( P_{0}^{n}(t) \), což je bod na křivce.
• Umožňuje rozdělit křivku na dvě menší v libovolném parametru \( t \).
• Používá se při adaptivním vykreslování a vektorových editorech.
• 

Rozdíl: de Casteljau algoritmus přímo počítá body Bézierovy křivky a umožňuje její stabilní dělení.

Segmentovaná polynomiální křivka s možností řízení tvaru přes tzv. uzlový vektor:

• Uniform B-Spline – uzly jsou rozloženy pravidelně (rovnoměrné segmenty).
• Non-Uniform B-Spline (NUBS) – uzly lze rozmístit libovolně, což dává větší kontrolu nad tvarem.
• Zajišťuje C2 spojitost – plynulé spojení segmentů (pozice, tečna i křivost).
• Lokální vliv – změna jednoho kontrolního bodu ovlivní jen příslušný úsek křivky.
• Využití: animace, CAD modelování, počítačová grafika.

Speciální případ uniformního kubického B-Spline:

• Definována čtyřmi kontrolními body.
• Pozice bodu na křivce je dána lineární kombinací těchto bodů pomocí bázových funkcí:

\[ P(t) = \sum_{i=0}^{3} B_i(t) P_i \] kde \( B_i(t) \) jsou uniformní kubické B-Spline funkce.

• Kontrolní body neleží přímo na křivce, ale určují její průběh.
• Tangenty v krajních bodech jsou rovnoběžné s úsečkami ke krajním bodům.
• Při sdílení dvou sousedních bodů lze dosáhnout C2 spojitosti.
• Křivka prochází antitěžištěm svých čtyř kontrolních bodů – tedy bodem, který je aritmetickým průměrem jejich souřadnic. Tento bod ovlivňuje celkový tvar křivky a přispívá k její symetrii.

Rozdíl: Coonsova křivka je aproximační (křivka neprochází kontrolními body), zatímco de Casteljau je interpolační pro Bézierovy křivky.

Při práci s křivkami v grafice je důležitá i efektivita výpočtu a vhodnost použití pro různé účely.

• Bézierovy křivky:
  • Výpočet bodu na křivce: pomocí de Casteljau algoritmu (rekurzivní interpolace), náročnost roste s počtem bodů.
  • Nevýhoda: změna jednoho kontrolního bodu ovlivní celou křivku (globální vliv).
  • Výhoda: jednoduché na implementaci, vhodné pro krátké segmenty nebo přesně řízené tvary.

• B-Spline:
  • Výpočet bodu pomocí rekurze Cox–de Boor – bod se určuje postupným váženým zprůměrováním sousedních bodů podle uzlového vektoru.
  • Výhoda: lokální vliv – změna bodu ovlivní jen část křivky.
  • Lepší škálování při animacích a komplexních modelech (např. CAD, modelování povrchů).

Obecně platí:

• Bézier – rychlejší pro malé množství bodů, intuitivnější řízení.
• B-Spline – výhodnější pro složitější, dlouhé nebo dynamicky měněné křivky.

NURBS (neuniformní racionální B-Spline) jsou nejobecnější formou křivek používaných v počítačové grafice a modelování. Umožňují velmi přesně řídit tvar pomocí vážených kontrolních bodů a nepravidelného rozložení uzlů.

\[ P(t) = \frac{\sum N_{i,p}(t) w_i P_i}{\sum N_{i,p}(t) w_i} \]

Kde:

• \( P_i \) jsou kontrolní body
• \( w_i \) jsou jejich váhy – čím větší váha, tím více křivka přiléhá k danému bodu
• \( N_{i,p}(t) \) jsou B-Spline bázové funkce stupně \( p \)
• Výraz je racionální zlomek – jmenovatel zajišťuje správnou normalizaci váženého průměru

Důležité vlastnosti a pojmy:

• Afinní i perspektivní invariantnost – NURBS zachovávají tvar i při projekcích (např. kamera).
• Homogenní souřadnice \((xw, yw, zw, w)\) umožňují efektivní práci s váhami a transformacemi.
• Dokážou přesně reprezentovat klasické tvary jako kružnice, elipsy, kužely, válce nebo složité CAD objekty.
• Uzlový vektor nemusí být rovnoměrný – neuniformní rozložení umožňuje větší flexibilitu tvaru.
• Umožňují libovolnou spojitost až po C2, závisle na stupni a opakování uzlů.

NURBS jsou dnes standardem v CAD systémech, 3D grafice a průmyslovém návrhu, protože spojují přesnost, flexibilitu a efektivní výpočet.

Další možnosti řízení tvaru NURBS křivky:

• Opakování kontrolních bodů
  • Pokud některý kontrolní bod opakujeme vícekrát za sebou, křivka se k němu více přiblíží – v extrému jím může i procházet. Toto chování se podobá uniformním B-Spline, kde opakované body fixují směr nebo tvar.
  • Vhodné např. pro ostré zlomy nebo přechody mezi částmi modelu.

• Opakování hodnot v uzlovém vektoru
  • Opakované uzlové hodnoty (např. stejné číslo vícekrát za sebou) snižují hladkost křivky v daném místě.
  • Pokud uzel opakujeme \( p \)-krát (kde \( p \) je stupeň křivky), dochází ke snížení spojitosti až na C0 a křivka může v tomto bodě přesně projít kontrolním bodem.