B0B01MA1 Webové stránky předmětu

• Maximum, minimum, supremum a infimum – množiny reálných čísel, jejich existence.
• Pojem funkce – inverzní funkce a její existence, monotonie a (lokální) extrémy funkcí a jejich vyšetřování pomocí derivace. Vlastnosti (monotonie, limity) základních funkcí (mocniny, exponenciální, sinus, kosinus, tangens a k nim inverzní).
• Limita funkce – její jednoznačnost, způsoby výpočtu (součet, rozdíl, součin, podíl, l’Hospitalovo pravidlo).
• Spojitost funkce – spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu, složené funkce. Vlastnosti spojitých funkcí na intervalu: nabývání mezihodnot, existence primitivní funkce, nabývání maxima a minima na uzavřeném intervalu, existence určitého integrálu.
• Derivace funkce – její geometrický význam, výpočet derivace pro součet, rozdíl, součin a podíl funkcí, složenou funkci. Souvislost derivace se spojitostí.
• Neurčitý a určitý integrál – vztahy mezi nimi (Newtonova–Leibnizova formule, primitivní funkce jako určitý integrál s proměnnou horní mezí). Linearita, integrace per partes, substituce. Integrace mocnin, exp, sin, cos.
• Definice číselné řady – její součet, konvergence, absolutní konvergence a jejich souvislost. Nutná podmínka konvergence. Kritéria konvergence (podílové, odmocninové, integrální, Leibnizovo).

Při práci s množinami reálných čísel často hledáme největší nebo nejmenší prvek. Ne vždy však tyto prvky v množině skutečně existují – tehdy si pomáháme pojmy supremum a infimum.

• Maximum (značíme max M) je největší prvek množiny M – tedy takový prvek $m \in M$, že pro všechna $x \in M$ platí $x \leq m$.
• Minimum (min M) je nejmenší prvek množiny M – tedy takový prvek $m \in M$, že pro všechna $x \in M$ platí $x \geq m$.
• Supremum (sup M) je nejmenší horní mez množiny – tedy nejmenší číslo, které je větší nebo rovno všem prvkům množiny.
• Infimum (inf M) je největší dolní mez množiny – tedy největší číslo, které je menší nebo rovno všem prvkům množiny.

• Číslo $H$ je horní závora množiny $M$, pokud pro všechna $x \in M$ platí $x \leq H$.
• Číslo $D$ je dolní závora množiny $M$, pokud pro všechna $x \in M$ platí $x \geq D$.

Horní (dolní) závor může být víc – supremum (infimum) je nejmenší (největší) z nich.

Příklad: Mějme množinu $A = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 2\}$

• Dolní závory: např. $-5,\ 0$
• Horní závory: např. $2,\ 10$
• inf $A$ = 0
• sup $A$ = 2
• max ani min neexistuje – okraje nejsou součástí množiny

Množina reálných čísel je omezená shora, pokud existuje horní závora. Je omezená zdola, pokud existuje dolní závora. Je omezená, pokud je omezená shora i zdola.

*Příklady:*

• $A = (0, 5)$ je omezená – horní závora je např. 5, dolní závora je 0.
• $B = \mathbb{N}$ není omezená shora – není žádné číslo, které je větší než všechny přirozené.
• $C = (-\infty, 3)$ je omezená shora, ale není omezená zdola.

Platí:

• Každá konečná množina je omezená.
• Pokud má množina supremum, je omezená shora. Pokud má infimum, je omezená zdola.

Například pro otevřený interval $(0, 1)$:

• max $(0, 1)$ neexistuje, protože 1 není součástí intervalu.
• min $(0, 1)$ neexistuje, protože 0 také není součástí intervalu.
• sup $(0, 1)$ = 1 – 1 je nejmenší číslo, které je větší než všechny prvky intervalu.
• inf $(0, 1)$ = 0 – 0 je největší číslo, které je menší než všechny prvky intervalu.

Pro uzavřený interval $[0, 1]$:

• max $[0, 1]$ = 1 – 1 je největší prvek množiny a zároveň její supremum.
• min $[0, 1]$ = 0 – 0 je nejmenší prvek a zároveň infimum.
• sup $[0, 1]$ = 1.
• inf $[0, 1]$ = 0.

Platí také:

• $\text{sup}\ \emptyset = -\infty$ – prázdná množina nemá horní mez.
• $\text{inf}\ \emptyset = +\infty$ – nemá dolní mez.

Množina přirozených čísel (někdy začíná od 1, zde je včetně 0): $$ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\} $$

Množina celých čísel: $$ \mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \ldots\} $$

Množina racionálních čísel – všechna čísla, která lze zapsat jako zlomek dvou celých čísel (jmenovatel nesmí být 0): $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \right\} $$

Množina reálných čísel: $$ \mathbb{R} $$

Reálná čísla zahrnují všechna čísla, která lze vyjádřit desetinným rozvojem (i nekonečným). Patří sem:

• Racionální čísla – např. $\frac{1}{3}$
• Iracionální čísla – např. $\sqrt{2}$, $\pi$

Reálná čísla lze dále dělit:

• na algebraická (např. $\sqrt{2}$ – kořen nějakého mnohočlenu),
• a transcendentní (např. $\pi$, $e$ – nejsou řešením žádné algebraické rovnice s celočíselnými koeficienty).

Množina komplexních čísel: $$ \mathbb{C} = \{ a + bj : a, b \in \mathbb{R} \}, \quad j^2 = -1 $$

Komplexní čísla obecně nelze uspořádat (nemá smysl porovnávat „větší než“), ale zahrnují všechna reálná čísla jako speciální případ ($b = 0$).

*Reálná* funkce *reálné proměnné* je zobrazení tvaru $f: A \rightarrow \mathbb{R}$, kde $A$ je podmnožina $\mathbb{R}$. Každému prvku $x \in A$ přiřadí právě jedno reálné číslo $f(x)$.

U funkce $f: A \rightarrow B$ platí:

• $A$ je definiční obor funkce, značíme $D(f)$ – všechna $x$, pro která je funkce definovaná.
• Obor hodnot (značíme $R(f)$) je množina všech hodnot, kterých funkce může nabývat, tedy $f(x)$ pro $x \in A$.
• Obraz množiny $M \subset A$ je množina všech hodnot, kterých funkce nabývá na množině $M$:

$$ f(M) = \{ f(x) \in \mathbb{R} \;|\; x \in M \} $$

Zobrazení $f: A \rightarrow B$ se nazývá:

• Prosté (injektivní): Každé dva různé prvky v definičním oboru mají různé obrazy. Tedy $\forall x_1 \neq x_2$ platí $f(x_1) \neq f(x_2)$.
• Na (surjektivní): Obor hodnot funkce je celá cílová množina $B$.
• Vzájemně jednoznačné (bijektivní): Funkce je zároveň prostá i na – existuje inverzní funkce.

*Příklad:* Funkce $f(x) = 2x + 1$ je bijekce z $\mathbb{R}$ do $\mathbb{R}$.

Graf funkce $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ je množina bodů $\{[x,f(x)]: x \in A \}$ v rovině.

Graf inverzní funkce (pokud existuje) je symetrický podle přímky $y = x$ – tedy podle osy prvního a třetího kvadrantu.

Funkce se nazývá:

sudá, pokud platí $f(-x) = f(x)$ pro všechna $x \in D(f)$. Graf je osově souměrný podle osy $y$.

lichá, pokud platí $f(-x) = -f(x)$ pro všechna $x \in D(f)$. Graf je středově souměrný podle počátku.

Funkce $f$ se nazývá omezená na množině $A \subset D(f)$, pokud je omezená množina $f(A)$, tedy všechny hodnoty, kterých funkce na $A$ nabývá.

• Shora omezená – existuje $H \in \mathbb{R}$ takové, že $f(x) \leq H$ pro všechna $x \in A$
• Zdola omezená – existuje $D \in \mathbb{R}$ takové, že $f(x) \geq D$ pro všechna $x \in A$
• Omezená – pokud je zároveň shora i zdola omezená

Funkce $f: A \rightarrow B$ má inverzní funkci $f^{-1}: R(f) \rightarrow A$ právě tehdy, když je prostá (injektivní).

Definice inverzní funkce:

• $f^{-1}(f(x)) = x$ pro všechna $x \in A$
• $f(f^{-1}(y)) = y$ pro všechna $y \in R(f)$

Inverzní funkce “vrací zpět” původní vstup.

Mějme zobrazení $f: A \rightarrow B$. Zobrazení $g: R(f) \rightarrow A$ nazýváme inverzní k zobrazení $f$, pokud $$(g \circ f)(x) = x \text{ pro každé } x \in A$$

Značíme $g = f^{-1}$.

Roustoucí (resp. klesající) funkce je prostá a má inverzní funkci, která je rovněž rostoucí (resp. klesající).

Chování funkce z hlediska růstu nebo poklesu (monotonie) můžeme zkoumat buď na celém intervalu, nebo lokálně v konkrétním bodě. Nejčastěji k tomu využíváme první derivaci.

Monotonie funkce $f$ na intervalu $I$:

• Funkce $f$ je rostoucí na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
• Funkce $f$ je klesající na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
• Funkce $f$ je nerostoucí na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$
• Funkce $f$ je neklesající na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
• Funkce $f$ je konstantní na intervalu $I$, pokud pro každé $x_1, x_2 \in I$ platí $f(x_1) = f(x_2)$

Monotonie funkce $f$ v bodě $x$ (pokud má v tomto bodě derivaci):

• Funkce $f$ je rostoucí v bodě $x$, pokud $f'(x) > 0$
• Funkce $f$ je klesající v bodě $x$, pokud $f'(x) < 0$
• Funkce $f$ je nerostoucí v bodě $x$, pokud $f'(x) \leq 0$
• Funkce $f$ je neklesající v bodě $x$, pokud $f'(x) \geq 0$
• Funkce $f$ je konstantní v bodě $x$, pokud $f'(x) = 0$ (může jít o extrém nebo konstantní hodnotu)

Extrémy jsou body, kde funkce dosahuje nějakého největšího nebo nejmenšího hodnotového „vrcholu“. Pomocí první a druhé derivace můžeme zjistit, o jaký typ bodu se jedná.

Pokud je funkce $f$ spojitá na intervalu $I$ a má v bodě $x_0 \in I$ derivaci, pak:

• $f(x_0)$ je lokální maximum, pokud existuje okolí $U_{x_0}$ bodu $x_0$, pro které platí $f(x_0) \geq f(x)$ pro každé $x \in U_{x_0}$, nebo 2. derivace $f''(x_0) < 0$. ($f(x_0)$ je větší nebo rovno všem hodnotám v okolí bodu $x_0$)
• $f(x_0)$ je lokální minimum, pokud existuje okolí $U_{x_0}$ bodu $x_0$, pro které platí $f(x_0) \leq f(x)$ pro každé $x \in U_{x_0}$, nebo 2. derivace $f''(x_0) > 0$. ($f(x_0)$ je menší nebo rovno všem hodnotám v okolí bodu $x_0$)
• $f(x_0)$ je inflexní bod, pokud $f'(x_0) = 0$ a není ani maximum ani minimum, nebo $f'(x_0) = 0$ a $f''(x_0)$ mění znaménko (přechází na jedné straně z konkávní na konvexní nebo naopak).
• $f(x_0)$ je extrém, pokud je buď lokální maximum nebo lokální minimum.
• $f(x_0)$ je globální maximum, pokud pro každé $x \in I$ platí $f(x_0) \geq f(x)$.
• $f(x_0)$ je globální minimum, pokud pro každé $x \in I$ platí $f(x_0) \leq f(x)$.

Pro nalezení globálního extrému funkce $f$ na intervalu $I$ je třeba:

• zjistit, zda je funkce $f$ spojitá na intervalu $I$
• zjistit, zda má funkce $f$ v bodě $x_0 \in I$ derivaci
• zjistit, zda má funkce $f$ v bodě $x_0 \in I$ lokální extrém
• zjistit hodnoty funkce $f$ na krajních bodech intervalu $I$
• porovnat hodnoty funkce $f$ v krajních bodech intervalu a v lokálních extrémech a nespojitostech funkce $f$ na intervalu $I$ a určit, zda je některá z těchto hodnot globálním extrémem funkce $f$ na intervalu $I$.

Při kreslení grafu funkce postupujeme v několika základních krocích. U funkce f(x) = x·eˣ bychom měli provést následující:

1. Určíme definiční obor

• Funkce je součinem dvou funkcí: lineární $x$ a exponenciální $e^x$, které jsou definované pro všechna reálná čísla.
• ⇒ Definiční obor: D(f) = ℝ

2. Najdeme průsečíky s osami

• Osa y: dosadíme $x = 0$

⇒ $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$ ⇒ průsečík [0, 0]

• Osa x: rovnice $x·e^x = 0$ má řešení jen pro $x = 0$

3. Zjistíme limitní chování

• Když $x \to -\infty$, funkce jde k nule: $$ \lim_{x \to -\infty} x \cdot e^x = 0 $$
• protože $e^x$ jde rychle k nule.
• Když $x \to +\infty$, funkce roste velmi rychle: $$ \lim_{x \to +\infty} x \cdot e^x = +\infty $$

4. Spočítáme první derivaci a zjistíme monotonii

• Derivace:

$$ f'(x) = (x \cdot e^x)' = e^x + x \cdot e^x = e^x (1 + x) $$

• Najdeme stacionární bod (kde $f'(x) = 0$):

$$ e^x (1 + x) = 0 \Rightarrow x = -1 $$

• Určíme, kde funkce roste/klesá:
  • $x < -1$: $f'(x) < 0$ ⇒ funkce klesá
  • $x > -1$: $f'(x) > 0$ ⇒ funkce roste

5. Spočítáme druhou derivaci a určíme typ extrému

• Druhá derivace:

$$ f''(x) = (f'(x))' = \left( e^x (1 + x) \right)' = e^x (1 + x) + e^x = e^x (2 + x) $$

• V bodě $x = -1$: $f''(-1) = e^{-1} (1) > 0$ ⇒ lokální minimum

6. Uděláme si stručný obrázek chování funkce

• Minimum v bodě $x = -1$, hodnota funkce:

$$ f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e} $$

• Průsečík s osami: [0, 0]
• Funkce klesá na $(-\infty, -1)$, roste na $(-1, \infty)$
• Pro $x \to -\infty$: $f(x) \to 0$
• Pro $x \to \infty$: $f(x) \to \infty$

Shrnutí:

• Funkce má jedno lokální minimum, roste i klesá, a je definovaná na celé ℝ. Vzhledově připomíná písmeno „N“ nakloněné doprava.

Limita funkce popisuje, k jaké hodnotě se funkce blíží v okolí určitého bodu. Je to klíčový nástroj pro analýzu spojitosti, derivací a chování funkcí.

Formální definice říká: Funkce $\text{f}(\mathbf{x})$ má v bodě $\mathbf{a}$ limitu $\mathbf{b}$, pokud pro každé prstencové okolí $\mathbf{U_{b}}$ bodu $\mathbf{b}$ existuje prstencové okolí $\mathbf{U_{a}}$ bodu $\mathbf{a}$ takové, že $\text{f}(\mathbf{U_{a}}) \subset \mathbf{U_{b}}$.

Lidsky řečeno, limita existuje pouze tehdy, pokud se funkce v bodu $\mathbf{a}$ blíží stejné hodnotě zleva i zprava - má stejnou levou i pravou limitu.

Limita funkce (pokud existuje) je vždy jednoznačná – v jednom bodě může mít maximálně jednu limitu.

$\text{f}(\mathbf{x})$ nemůže mít navíc limitu $\mathbf{c}$, protože existuje takové prstencové okolí $\mathbf{U_{b}}$ a $\mathbf{U_{c}}$, že $\mathbf{U_{b}} \cap \mathbf{U_{c}} = \emptyset$.

To vyplývá z definice: pokud by existovaly dvě různé limity $\mathbf{b}$ a $\mathbf{c}$, musela by být jejich okolí navzájem disjunktní (nepřekrývala by se), což by odporovalo vlastnosti limit.

Při práci s limitami často používáme jednoduchá pravidla pro základní operace:

* Součet/diference funkcí: $$ \lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) $$

* Součin funkcí: $$ \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) $$

* Podíl funkcí (pokud $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$): $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} $$

Tato pravidla platí pouze tehdy, když limity jednotlivých funkcí existují.

Existuje několik běžných technik pro výpočet limit – podle povahy výrazu použijeme nejvhodnější:

• Přímé dosazení
  • Pokud funkce $f(x)$ je spojitá v bodě $x=a$, pak $$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$
• Vytýkání
  • Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$
• Racionalizace
  • Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{2} $$
• Substituce
  • Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$

Další speciální způsob, který může pomoc s výpočtem určitých limit.

Pokud při výpočtu limit dostaneme neurčitý tvar $0/0$ nebo $\infty/\infty$, můžeme použít tzv. l’Hospitalovo pravidlo. Spočívá v podělení derivací čitatele a jmenovatele:

\[ \boxed{ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} \;=\; \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} } \qquad \text{za předpokladu} \quad \begin{cases} f \text{ and } g \text{ jsou derivovatelná v prstencovém okolí } c,\\[2pt] \displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0 \;\text{or}\; \displaystyle\lim_{x\to c}|f(x)|=\lim_{x\to c}|g(x)|=\infty,\\[6pt] \displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ existuje (konečná nebo } \pm\infty). \end{cases} \]

Toto pravidlo platí jen za splnění těchto podmínek:

• Funkce $f$ a $g$ jsou derivovatelné v prstencovém okolí bodu $c$.
• Musíme mít jeden z tvarů:
  • $f(x) \to 0$ a $g(x) \to 0$
  • nebo $f(x) \to \infty$ a $g(x) \to \infty$
• Limita podílu derivací existuje (může být i $\pm\infty$).

Kromě limit v konkrétním bodě můžeme zkoumat i chování funkce, když se $x$ blíží k nekonečnu nebo k nule. Tyto limity ukazují, jak se funkce “chová na krajích” svého definičního oboru.

Značení: $$ \lim_{x \to +\infty} f(x), \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) $$

Tato limita vyjadřuje, ke které hodnotě se funkce blíží, když $x$ roste do kladného nebo záporného nekonečna.

Příklady:

• $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$
• $$ \lim_{x \to -\infty} x^2 = \infty $$
• $$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x + 3} = 2 $$

Poznámka: Často se používají při zjišťování asymptot funkce (např. vodorovné nebo šikmé).

Limity, kde se $x$ blíží k nule, jsou zvlášť zajímavé v případě:

• z pravé strany $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) $$
• z levé strany $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) $$

Slouží např. k posouzení spojitosti nebo k vyšetření vlastností funkcí s nespojitostí v 0.

Příklady:

• $$ \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty $$
• $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty $$
• $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

Při výpočtu limit v nekonečnu nebo v nule se často používá:

• dělení nejvyšším mocnitelem (u racionálních funkcí),
• l’Hospitalovo pravidlo (při neurčitých tvarech),
• substituce, která převede nekonečno nebo nulu na vhodný výraz (např. $x = 1/t$ pro $x \to \infty$ ⇒ $t \to 0^+$).

Příklad výpočtu pomocí l’Hospitalova pravidla: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0 $$

Spojitost funkce je klíčová vlastnost, která nám říká, že „graf se dá nakreslit jedním tahem“. Matematicky to znamená, že se hodnota funkce v bodě neruší ani neodchyluje od toho, kam směřuje její limita.

Funkce f je spojitá v bodě $x_0$, pokud existuje limita funkce $f$ v bodě $x_0$ a je rovna hodnotě funkce v tomto bodě: $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $$

Funkce je spojitá na intervalu $I$, pokud je spojitá v každém bodě intervalu $I$. Funkce je spojitá na intervalu $I$, pokud pro každé $x_0 \in I$ platí:

1. $f(x_0)$ je definována
2. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ existuje
3. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Složená funkce $f \circ g$ je spojitá v bodě $x_0$, pokud $g$ je spojitá v bodě $x_0$ a $f$ je spojitá v bodě $g(x_0)$.

U složené funkce $f \circ g$ (tedy $f(g(x))$) platí, že je spojitá v bodě $x_0$, pokud:

• funkce $g$ je spojitá v bodě $x_0$
• funkce $f$ je spojitá v bodě $g(x_0)$

Základní operace zachovávají spojitost (pokud jsou jednotlivé funkce spojité):

• Součet: $f(x) + g(x)$ je spojitá v $x_0$
• Rozdíl: $f(x) - g(x)$ je spojitá v $x_0$
• Součin: $f(x) \cdot g(x)$ je spojitý v $x_0$
• Podíl: $\frac{f(x)}{g(x)}$ je spojitý v $x_0$, pokud $g(x_0) \neq 0$

Spojité funkce mají několik důležitých vlastností, které zaručují, že se „chovají slušně“ na daném intervalu:

Je-li funkce f spojitá na intervalu I a nabývá hodnot m a M, kde $m < M$, pak nabývá všech hodnot mezi nimi – tedy každou hodnotu z intervalu $\langle m, M \rangle$. Tuto vlastnost nazýváme věta o mezihodnotě.

Funkce $F$ se nazývá primitivní funkce k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F'$ = $f$ pro každé $x \in I$.

Pro každou spojitou funkci $f$ na intervalu $I$ existuje alespoň jedna primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na intervalu $I$. Funkce $F$ je spojitá na intervalu $I$.

Pro nalezení globálního extrému spojité funkce $f$ na intervalu $I$ je třeba:

1. zjistit, zda má funkce $f$ v bodě $x_0 \in I$ derivaci
2. zjistit, zda má funkce $f$ v bodě $x_0 \in I$ lokální extrém
3. zjistit hodnoty funkce $f$ na krajních bodech intervalu $I$
4. porovnat hodnoty funkce $f$ v krajních bodech intervalu a v lokálních extrémech $f$ na intervalu $I$ a určit, zda je některá z těchto hodnot globálním extrémem funkce $f$ na intervalu $I$.

• Pokud má funkce f na intervalu I jen konečně mnoho nespojitostí, pak je Riemannovsky integrovatelná.
• To znamená, že existuje určitý integrál funkce f na intervalu I.

$$ \int_a^b f(x) \, dx \quad \text{existuje} $$

Spojitá funkce je tedy nejen dobře definovaná a předvídatelná, ale má i všechny potřebné vlastnosti pro další analýzu – derivování, integrování i hledání extrémů.

Mějme funkci $f$ definovanou na okolí bodu $a$. Jestliže změníme proměnnou o nějakou hodnotu h, změní se funkční hodnota o $f(a + h) − f(a)$, průměrná změna funkční hodnoty (geometricky směrnice sečny grafu funkce vedené body $[a, f(a)]$ a $[a + h, f(a + h)]$) je pak: $$ \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$ Okamžitou změnu tohoto směru poté dostaneme jako limitu, kde $h \to 0$ (pokud existuje):

$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$

Geometrickým výrazem derivace je směrnice tečny k grafu funkce v bodě $a$.

Pravidla pro derivování:

1. $f'(x^n) = n \cdot x^{n-1}$
2. $f'(e^x) = e^x$
3. $f'(a^x) = a^x \cdot \ln(a)$
4. $f'(ln(x)) = \frac{1}{x}$
5. $f'(\sin x) = \cos x$
6. $f'(\cos x) = -\sin x$

Derivace součtu a rozdílu: $$ (f \pm g)' = f' \pm g' $$

Derivace součinu: $$ (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' $$

Derivace podílu: $$ (\frac{f}{g})' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$

Derivace složené funkce (řetězové pravidlo): $$ (f \circ g)' = f' \cdot g' $$

Funkce $f$ má derivaci v bodě $a$ $\implies$ je funkce $f$ v bodě $a$ spojitá. Pokud má funkce v bodě $a$ pouze jednostranné limity, pak má funkce v bodě $a$ jednostrannou derivaci.

Funkce $F$ se nazývá primitivní funkce k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F' = f$ pro každé $x \in I$.

Pokud existuje alespoň jedna primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na intervalu $I$, nazýváme množinu všech primitivních funkcí k funkci $f$ neurčitým integrálem funkce $f$ na $I$ a značíme ji: $$\int f(x) dx$$

Z charakteristiky množiny primitivních funkcí pak můžeme psát: $$ \int f(x) dx = \{ F(x) + C: C \in \mathbb{R} \}$$

Základní tabulkové integrály: \begin{align*} \int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq - 1 \\ \int \frac{1}{x} \, dx &= \ln |x| + C \\ \int e^x \, dx &= e^x + C \\ \int a^x \, dx &= \frac{a^x}{\ln(a)} + C \\ \int \sin(x) \, dx &= -\cos(x) + C \\ \int \cos(x) \, dx &= \sin(x) + C \\ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx &= \arctan(x) + C \end{align*}

Pro nezápornou funkci je obsahem plochy pod křivkou. $\langle a, b \rangle$ je konečná množina $D \subset \langle a, b \rangle$ obsahující body $a, b$.
Značíme ji $D = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$, kde $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$. Nechť $f$ je omezená funkce na intervalu $\langle a, b \rangle$, $D = \{x_0, \ldots, x_n\}$ je dělení intervalu $\langle a, b \rangle$. Dolní a horní integrální součet funkce $f$ pro dělení $D$ jsou: \[ \underline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf f\big(\langle x_{i-1}, x_i \rangle\big) \cdot (x_i - x_{i-1}), \] \[ \overline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup f\big(\langle x_{i-1}, x_i \rangle\big) \cdot (x_i - x_{i-1}). \]

Je-li $f$ spojitá funkce na intervalu $\langle a, b \rangle$ a $F$ je její primitivní funkce na $\langle a, b \rangle$, pak: \[ \int\limits_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[ F(x) \Big]_a^b = F(b) - F(a) \]

\[ F(x) = \int_{a}^x f(t) \, \mathrm{d}t + C \]

Pro konstanty $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ a funkce $f, g$ na definovaném intervalu $I$ platí: $$ \int (\alpha f + \beta g) \, dx = \alpha \int f \, dx + \beta \int g \, dx $$

$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$

Například: $$ \newcommand\diff{\mathop{}\!d} \int x \log x \diff x = \left[ \begin{alignedat}{2} u &= \log x \quad & \diff v &= x\diff x \\ \diff u &= \frac{1}{x}\diff x \quad & v &= \frac{x^2}{2} \end{alignedat}\, \right] = \frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x}\diff x = \frac{x^2}{2}\log x - \frac{1}{4}x^2 + C $$

místo funkce dosadíme novou proměnnou, u určitého integrálu musíme přepočítat meze integrace

$$ \int 2x e^{x^2} \, dx = \int e^{u} \, du \quad \bigg|_{u = x^2,\, du = 2x\,dx} = e^{u} + C = \boxed{e^{x^2} + C} $$

Číselná řada je nekonečná suma čísel $a_1, a_2, \ldots$ (členy řady) a značí se:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots $$

Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady, $ \sum_{n=1}^{n} a_n $ je $n$-tý částečný součet řady ($s_n$).

Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá součet řady.

Řekneme že řada konverguje, má-li konečný součet, má-li nekonečný součet, řada diverguje,nemá-li součet osciluje.

Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ se nazývá absolutně konvergentní, pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$. Absolutní konvergence implikuje konvergenci řady, ale ne naopak. Příkladem řady která konverguje, ale není absolutně konvergentní je např. alternující řada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{(n+1)}}{n}$.

Geometrická řada s kvocientem q je řada tvaru: $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + a_0 q^3 + \ldots $$ kde $a_0$ je první člen řady a $q$ je kvocient řady. Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven: $$ S = \frac{a_0}{1 - q} $$ Pokud $|q| \geq 1$, řada diverguje.

Příklad: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

Nutná podmínka znamená že může platit i když řada diverguje, ale musí platit pro každou konvergující řadu.

Pokud $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje, pak $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

Nechť $a_k \neq 0$ pro každé $k \in \mathbb{N}$

1. Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
2. Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.

1. Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně).
2. Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.

- Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.

- Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.

Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.

Uvažujme řadu tvaru: $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$ pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.

Harmonická řada je řada tvaru: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots $$ Harmonická řada diverguje.

Harmonická řada se nazývá Harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.