Lineární prostor, báze a dimenze, řešení soustav lineárních rovnic, lineární zobrazení. Základy maticového počtu.

B0B01LAG Webové stránky předmětu

• Lineárnı́ prostor a podprostor – ilustrace na přı́kladech.
• Lineárnı́ obal – lineárnı́ závislost a nezávislost.
• Báze, dimense a souřadnice vektoru v bázi.
• Matice – sčı́tánı́ a násobenı́ matic.
• Lineárnı́ zobrazenı́ – matice lineárnı́ho zobrazenı́, transformace souřadnic v jedné bázi na souřadnice v jiné bázi.
• Soustavy lineárnı́ch rovnic – Frobeniova věta a geometrie množiny všech řešenı́ soustavy lineárnı́ch rovnic.
• Determinant čtvercové matice – výpočet determinantu (GEM a rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce).
• Vlastnı́ čı́sla a vlastnı́ vektory matice – diagonalisace matice.
• Skalárnı́ součin – výpočet souřadnic vzhledem k ortogonálnı́ bázi. Ortogonalisačnı́ proces (Gram-Schmidt).

Lineární prostor \( L \) nad tělesem \( F \) je množina s definovanými operacemi:

• sčítání vektorů: \( + : L \times L \to L \)
• násobení vektoru skalárem: \( \cdot : F \times L \to L \)

které splňují následující axiomy:

• Existence nulového vektoru: \( \exists\ \vec{0} \in L:\ \vec{x} + \vec{0} = \vec{x} \)
• Asociativita: \( (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) \)
• Komutativita: \( \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \)
• Existence opačného vektoru: \( \exists\ -\vec{x} \in L:\ \vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{0} \)

• Neutralita násobení jedničkou: \( 1 \cdot \vec{x} = \vec{x} \)
• Asociativita násobení skalárem: \( a \cdot (b \cdot \vec{x}) = (a \cdot b) \cdot \vec{x} \)

• Distributivita skalárů: \( (a + b) \cdot \vec{x} = a \cdot \vec{x} + b \cdot \vec{x} \)
• Distributivita vektorů: \( a \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = a \cdot \vec{x} + a \cdot \vec{y} \)

• \( \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^n \) – vektory v rovině, prostoru, n-rozměrném prostoru
• \( \mathbb{R}[x] \) – množina všech reálných polynomů
• \( \mathbb{C} \) – množina komplexních čísel
• množina všech funkcí \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)

• \( 0 \cdot \vec{x} = \vec{0} \)
• \( a \cdot \vec{0} = \vec{0} \)
• \( a \cdot \vec{x} = \vec{0} \iff a = 0\ \text{nebo}\ \vec{x} = \vec{0} \)

Vektorový prostor \( \mathbb{R}^2 \):

\[ \vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix},\ \vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} \]

Sčítání: \[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Násobení skalárem: \[ 2 \cdot \vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \]

Pro seznam vektorů \( (v_1, v_2, ..., v_n) \in L \) a skaláry \( (a_1, a_2, ..., a_n) \in F \) je lineární kombinace definována jako: \[ a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n \]

Pokud jsou všechny koeficienty \( a_1 = a_2 = ... = a_n = 0 \), mluvíme o triviální lineární kombinaci, jejímž výsledkem je nulový vektor.

Pokud existuje alespoň jeden koeficient nenulový, jde o netriviální lineární kombinaci.

Množina všech možných lineárních kombinací vektorů z dané množiny \( M \) se nazývá lineární obal této množiny a značí se jako \( \text{span}(M) \). Tvoří podprostor lineárního prostoru \( L \), který obsahuje všechny vektory dosažitelné z \( M \) lineárními kombinacemi.

.

Podmnožina \( W \subseteq L \) je lineární podprostor, pokud:

• Uzavřenost na sčítání: \( \forall\ \vec{u}, \vec{v} \in W:\ \vec{u} + \vec{v} \in W \)
• Uzavřenost na násobení: \( \forall\ a \in F,\ \forall\ \vec{v} \in W:\ a \cdot \vec{v} \in W \)

Podprostor obsahuje vždy \( \vec{0} \).

Mějme \( L = \mathbb{R}^3 \), množina: \[ W = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} : x,y \in \mathbb{R} \right\} \] (rovina XY v prostoru \( \mathbb{R}^3 \)).

• Uzavřenost na sčítání: součet dvou bodů z roviny XY je opět v XY.
• Uzavřenost na násobení: násobení libovolným skalárem zůstane v XY.

Tedy \( W \) je lineární podprostor \( \mathbb{R}^3 \).

Nechť \( M \subseteq L \) je podmnožina lineárního prostoru \( L \). Lineární obal množiny \( M \), značený jako \( \text{span}(M) \), je množina všech lineárních kombinací vektorů z \( M \):

\[ \text{span}(M) = \left\{ \vec{x} \, \middle| \, \vec{x} = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \vec{x}_i, \ a_i \in F, \ \vec{x}_i \in M, \ n \geq 0 \right\} \]

• Pokud \( M = \emptyset \), platí \( \text{span}(M) = \{ \vec{0} \} \).
• Lineární obal je nejmenší lineární podprostor obsahující množinu \( M \).

• Pokud \( M \subseteq N \), pak \( \text{span}(M) \subseteq \text{span}(N) \).
• \( M \subseteq \text{span}(M) \).
• \( \text{span}(\text{span}(M)) = \text{span}(M) \).

Mějme množinu \( M = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \subset \mathbb{R}^2 \).

Pak: \[ \text{span}(M) = \mathbb{R}^2 \]

Každý vektor v \( \mathbb{R}^2 \) lze totiž vyjádřit jako: \[ a \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \]

Seznam \( (\vec{x}_1, \vec{x}_2, ..., \vec{x}_n) \) vektorů je lineárně závislý, pokud existují skaláry \( a_1, a_2, ..., a_n \) ne všechna rovna nule, taková, že: \[ a_1 \cdot \vec{x}_1 + a_2 \cdot \vec{x}_2 + \ldots + a_n \cdot \vec{x}_n = \vec{0} \]

Pokud jediným řešením této rovnice je \( a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0 \), seznam je lineárně nezávislý.

• Prázdný seznam: vždy lineárně nezávislý.
• Seznam obsahující nulový vektor: vždy lineárně závislý.
• Seznam obsahující stejný vektor vícekrát: lineárně závislý.
• Pokud soustava rovnic \( \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \vec{x}_i = \vec{0} \) má jen triviální řešení (všechna \( a_i = 0 \)), seznam je lineárně nezávislý.

• Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny je opět lineárně nezávislá.
• Každá nadmnožina lineárně závislé množiny je opět lineárně závislá.

Báze lineárního prostoru \( L \) je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární obal je celý prostor \( L \). Pokud je báze konečná, nazývá se uspořádaná báze.

Definice: Množina \( B \subseteq L \) je bází prostoru \( L \), pokud:

• je lineárně nezávislá,
• \( \text{span}(B) = L \).

Poznámky:

• Prostor může mít více různých bází.
• Všechny báze prostoru mají stejný počet prvků.

Příklady:

• Prázdná báze generuje triviální prostor \( \{ \vec{0} \} \).
• Vektory \( (1,0), (0,1) \) tvoří bázi \( \mathbb{R}^2 \).
• Kanonická báze \( \mathbb{R}^3 \) je \( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \).
• Množina \( (1, x, x^2, x^3, \dots) \) tvoří bázi prostoru všech reálných polynomů \( \mathbb{R}[x] \) (nekonečně dimenzionální).

Definice: Dimenze prostoru \( L \), značená jako \( \dim(L) \), je počet prvků libovolné báze prostoru \( L \).

Poznámky:

• Pokud \( L = \{ \vec{0} \} \), pak \( \dim(L) = 0 \).
• Pokud \( \dim(L) = n \), každá báze \( L \) má právě \( n \) prvků.
• Ne každý prostor má konečnou dimenzi (například \( \mathbb{R}[x] \) má nekonečnou dimenzi).

Příklady:

• \( \dim(\mathbb{R}^n) = n \).
• \( \dim(\mathbb{C}) = 1 \) nad \( \mathbb{C} \), ale \( \dim(\mathbb{C}) = 2 \) nad \( \mathbb{R} \).
• \( \dim(\mathbb{R}) = 1 \) nad \( \mathbb{R} \), ale nekonečno nad \( \mathbb{Q} \).

Je-li \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) uspořádaná báze prostoru \( L \), pak pro každý vektor \( \vec{x} \in L \) existuje jediná kombinace:

\[ \vec{x} = a_1 \cdot \vec{b}_1 + a_2 \cdot \vec{b}_2 + \ldots + a_n \cdot \vec{b}_n \]

kde \( a_1, \ldots, a_n \in F \) jsou tzv. souřadnice vektoru \( \vec{x} \) vzhledem k bázi \( B \).

Značení: \[ \text{coord}_B(\vec{x}) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \]

Příklady:

• V kanonické bázi \( \mathbb{R}^n \) jsou souřadnice vektoru \( (x_1, ..., x_n) \) přímo \( (x_1, ..., x_n) \).
• V různých bázích bude mít tentýž vektor jiné souřadnice.

Vlastnosti:

• Výpočet souřadnic je lineární:
• \( \text{coord}_B(\vec{x} + \vec{y}) = \text{coord}_B(\vec{x}) + \text{coord}_B(\vec{y}) \)
• \( \text{coord}_B(a \cdot \vec{x}) = a \cdot \text{coord}_B(\vec{x}) \)
• Souřadnice základních vektorů báze tvoří kanonické jednotkové vektory.

Matice nad tělesem \( F \) rozměrů \( r \times s \) je tabulka prvků uspořádaných do řádků a sloupců. Ztotožňujeme ji se zobrazením \( A : F^s \to F^r \).

Příklad: Projekce na osy v \( \mathbb{R}^2 \):

\[ X = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad Y = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Definice: Pro dvě matice \( A, B : F^s \to F^r \) stejného rozměru je součet definován po složkách:

\[ A + B = \left( a_{ij} + b_{ij} \right) \]

Podmínky:

• Sčítáme pouze matice stejného rozměru.
• Sčítání je komutativní a asociativní.
• Pro každou matici \( A \) existuje opačná matice \( -A \), pro kterou platí \( A + (-A) = 0 \).

Příklad:

\[ \begin{bmatrix} 5 & 3 & 6 \\ -1 & 0 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 4 \\ 0 & 4 & 10 \end{bmatrix} \]

Definice: Pro matici \( A : F^s \to F^r \) a skalár \( a \in F \):

\[ a \cdot A = \left( a \cdot a_{ij} \right) \]

Vlastnosti:

• Platí: \( 1 \cdot A = A \)
• Distributivita: \( a \cdot (A + B) = a \cdot A + a \cdot B \)
• Asociativita: \( a \cdot (b \cdot A) = (a \cdot b) \cdot A \)

Příklad:

\[ (-2) \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & -4 \\ -4 & -12 & -8 \end{bmatrix} \]

Nulový prvek v prostoru matic \( Lin(F^s, F^r) \) je nulová matice \( O_{r,s} \), kde všechny prvky jsou nulové.

Příklad:

\[ O_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Definice: Pokud má matice \( A \) rozměry \( p \times s \), matice \( B \) rozměry \( r \times p \), je součin \( B \cdot A \) definován jako:

\[ B \cdot A = (B \cdot a_1, B \cdot a_2, ..., B \cdot a_s) \]

kde \( a_j \) je j-tý sloupec matice \( A \).

Položkový zápis: \[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} b_{ik} \cdot a_{kj} \]

Podmínka: Počet sloupců první matice = počet řádků druhé matice.

• Asociativita: \( C \cdot (B \cdot A) = (C \cdot B) \cdot A \)
• Obecně neplatí komutativita: \( B \cdot A \neq A \cdot B \)
• Jednotková matice \( E_n = (e_1, ..., e_n) \), kde \( e_i \) je kanonický vektor:

\[ E_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \] Platí: \[ E_r \cdot A = A = A \cdot E_s \]

Projekce na osu x v \( \mathbb{R}^2 \): \[ P_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]

Rotace o úhel \( \alpha \): \[ R_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \]

Složení: \[ P_x \cdot R_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \] \[ R_\alpha \cdot P_x = \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} \]

Reflexe podle osy svírající úhel \( \alpha \) s osou x: \[ R_\alpha \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot R_{-\alpha} = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{bmatrix} \]

Matice základních lineárních transformací lze definovat i v \( \mathbb{R}^n \) pro \( n \geq 3 \). Aplikace: matematika, fyzika, počítačová grafika.

Není-li čtvercová matice \( A \) regulární, obecně neexistují matice \( X, Y \) takové, aby platilo: \[ A \cdot X = E_n \quad \text{nebo} \quad Y \cdot A = E_n \]

Řešení maticových rovnic \( A \cdot X = B \), \( Y \cdot A = C \) je důležitou oblastí teorie lineárních rovnic.

Nechť \( L_1, L_2 \) jsou lineární prostory nad tělesem \( F \). Zobrazení \( f : L_1 \to L_2 \) je lineární zobrazení, pokud platí:

• \( f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \)
• \( f(a \cdot \vec{x}) = a \cdot f(\vec{x}) \)

pro všechna \( \vec{x}, \vec{y} \in L_1 \) a všechna \( a \in F \).

Princip superpozice říká, že lineární zobrazení zachovává lineární kombinace – výsledek zobrazení lineární kombinace je stejná lineární kombinace obrazů.

\[ f\left(\sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \vec{x}_i \right) = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot f(\vec{x}_i) \]

• Zobrazení \( \text{coord}_B : L \to F^n \) je lineární (souřadnice vektoru v bázi).
• Projekce, rotace, reflexe, změna měřítka.

• Složení lineárních zobrazení je lineární.
• Identita je lineární zobrazení.
• Množina všech lineárních zobrazení tvoří lineární prostor \( \text{Lin}(L_1, L_2) \).

Zobrazení \( f : L_1 \to L_2 \) je určeno hodnotami na bázi prostoru \( L_1 \).

\[ f(e_j) = a_j, \quad j = 1, \ldots, s \] kde \( e_j \) jsou vektory báze prostoru \( F^s \), \( a_j \) jsou sloupce matice zobrazení.

Matice \( A \) nad \( F \) s \( r \) řádky a \( s \) sloupci odpovídá zobrazení: \[ A : F^s \to F^r, \quad e_j \mapsto a_j \]

Příklad základních zobrazení v \( \mathbb{R}^2 \):

• Projekce na osu x:

\[ P_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \]

• Rotace o úhel \( \alpha \):

\[ R_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \]

• Reflexe:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \]

• Zkosení (shear):

\[ S_{a,b} = \begin{bmatrix} 1 & b \\ a & 1 \end{bmatrix} \]

Nechť \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) a \( C = (\vec{c}_1, \ldots, \vec{c}_n) \) jsou uspořádané báze stejného lineárního prostoru \( L \).

Matice \( T_{B \to C} \) je regulární čtvercová matice, která převádí souřadnice vektorů z báze \( B \) na souřadnice v bázi \( C \). Platí: \[ T_{B \to C} \cdot \text{coord}_B(\vec{x}) = \text{coord}_C(\vec{x}) \] j-tý sloupec matice \( T_{B \to C} \) je souřadnicový vektor \( \vec{b}_j \) vyjádřený v bázi \( C \): \[ T_{B \to C} = \left[ \text{coord}_C(\vec{b}_1)\ |\ \cdots\ |\ \text{coord}_C(\vec{b}_n) \right] \]

• Matice \( T_{B \to C} \) je vždy regulární (má inverzi).
• Inverzní matice převádí zpět: \( T_{C \to B} = (T_{B \to C})^{-1} \).
• Transformace je skladatelná: \( T_{B \to D} = T_{C \to D} \cdot T_{B \to C} \).

Nechť \( f : L_1 \to L_2 \) je lineární zobrazení, a:

• \( B, B' \) jsou báze prostoru \( L_1 \)
• \( C, C' \) jsou báze prostoru \( L_2 \)
• \( A_f \) je matice zobrazení \( f \) vzhledem k bázím \( B \) a \( C \)

Pak matice zobrazení vzhledem k novým bázím \( B', C' \) je: \[ A_f' = T_{C \to C'} \cdot A_f \cdot T_{B' \to B} \]

Pokud \( B = C \) a \( B' = C' \), pak: \[ A' = T^{-1} \cdot A \cdot T \] Dvě matice \( A \), \( B \) jsou si podobné, pokud existuje regulární matice \( T \), pro kterou platí: \[ B = T^{-1} \cdot A \cdot T \] Podobné matice popisují totéž lineární zobrazení v různých bázích.

• Jakoukoli regulární čtvercovou matici lze chápat jako matici transformace souřadnic z báze \( B \) do kanonické báze \( K_n \), pokud jsou vektory báze \( B \) sloupci této matice.
• Pokud je \( A_f \) matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím \( B, C \), pak pro jiné báze \( B', C' \) má matice tvar:

\[ A_f' = S \cdot A_f \cdot T \] kde \( S, T \) jsou matice transformace souřadnic.

• Speciální případ: pokud \( L_1 = L_2 \), \( B = C \) a \( B' = C' \), pak platí podobnost:

\[ A' = T^{-1} \cdot A \cdot T \]

Pro lineární zobrazení \( f : L_1 \to L_2 \):

• Jádro: \( \text{ker}(f) = \{ \vec{x} \in L_1 \ | \ f(\vec{x}) = \vec{0} \} \)
• Obraz: \( \text{im}(f) = \{ f(\vec{x}) \ | \ \vec{x} \in L_1 \} \)

Platí:

• \( \text{ker}(f) \) je podprostor \( L_1 \).
• \( \text{im}(f) \) je podprostor \( L_2 \).

\[ \text{def}(f) = \dim(\text{ker}(f)) \]

. \[ \quad \text{rank}(f) = \dim(\text{im}(f)) \]

. \[ \dim(L_1) = \text{def}(f) + \text{rank}(f) \]

• Monomorfismus: injektivní zobrazení (prosté), \( \text{def}(f) = 0 \).
• Epimorfismus: surjektivní zobrazení (na), \( \text{im}(f) = L_2 \).
• Isomorfismus: bijektivní zobrazení, \( \text{def}(f) = 0, \ \dim(L_1) = \dim(L_2) \).

Je-li \( f : L_1 \to L_2 \), \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_s) \), \( C = (\vec{c}_1, \ldots, \vec{c}_r) \):

• Matice \( A_f \) má \( r \) řádků, \( s \) sloupců.
• j-tý sloupec \( A_f \) je \( \text{coord}_C(f(\vec{b}_j)) \).

Pokud \( f : L_1 \to L_2 \) je isomorfismus s maticí \( A_f \): \[ A_f^{-1} \cdot A_f = E_n = A_f \cdot A_f^{-1} \]

• Souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi \( B \) lze chápat jako lineární zobrazení \( \text{coord}_B : L \to F^n \), které je isomorfismus.
• Každý konečně dimenzionální prostor nad \( F \) je izomorfní s prostorem \( F^n \).
• Matice transformace souřadnic: pokud \( Af \) je matice zobrazení vzhledem k bázím \( B, C \), pak vzhledem k jiným bázím \( B', C' \) platí:

\[ A' = S \cdot Af \cdot T \] kde \( S, T \) jsou regulární matice transformace mezi bázemi.

• Regulární matice: Inverzní čtvercová matice. Existuje \( A^{-1} \), takže \( A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E_n \).

• Singulární matice: Čtvercová matice, která není invertibilní (neexistuje její inverze). Například pokud má nulový determinant nebo závislé řádky.

• Nulová matice: Všechny prvky jsou nulové.

\[ O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

• Jednotková matice: Čtvercová matice s jedničkami na diagonále, jinak nuly.

\[ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

• Diagonální matice: Jen diagonála může obsahovat nenulové hodnoty.

\[ D = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end{bmatrix} \]

• Horní trojúhelníková matice: Všechny prvky pod diagonálou jsou nulové.

\[ U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix} \]

• Dolní trojúhelníková matice: Všechny prvky nad diagonálou jsou nulové.

\[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 8 & 9 & 3 \\ \end{bmatrix} \]

• Symetrická matice: \( A = A^T \). Matice je zrcadlově stejná podle diagonály.

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix} \]

• Antisymetrická matice: \( A^T = -A \), na diagonále jsou jen nuly.

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

• Ortogonální matice: Čtvercová matice, kde \( A^T = A^{-1} \). Sloupce tvoří ortonormální bázi.

\[ A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix} \]

• Ortonormální matice: Matice, jejíž sloupce jsou ortonormální vektory – tedy jsou navzájem kolmé (ortogonální) a všechny mají jednotkovou délku. Zároveň platí \( A^T \cdot A = I \), což znamená, že je také ortogonální.

\[ A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix} \]

• Kontrola ortonormálnosti:
  1. Označme sloupce jako \( \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \), \( \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \)
  2. \( \|\vec{v}_1\| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 \)
  3. \( \|\vec{v}_2\| = 1 \)
  4. \( \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \)
  5. Sloupce jsou jednotkové a navzájem kolmé ⇒ matice je ortonormální.

• Řídká matice: Obsahuje převážně nuly. Např. ve velkých systémech rovnic.

\[ S = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

• Hustá matice: Většina prvků je nenulová. Opak řídké matice.

• Stochastická matice: Matice pravděpodobnostního přechodu. Každý sloupec (nebo řádek) má součet 1, prvky jsou nezáporné.

\[ P = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.6 \\ 0.7 & 0.4 \\ \end{bmatrix} \]

• Permutační matice: Jednotková matice s přeházenými řádky nebo sloupci.

\[ P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

Soustava \( m \) lineárních rovnic o \( n \) neznámých se zapisuje ve tvaru:

\[ A \cdot \vec{x} = \vec{b} \]

kde:

• \( A \in F^{m \times n} \) je matice soustavy,
• \( \vec{x} \in F^n \) je vektor neznámých,
• \( \vec{b} \in F^m \) je vektor pravých stran.

Rozšířená matice soustavy:

\[ (A \mid \vec{b}) = \left[ \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_m \\ \end{array} \right] \]

• Řešení soustavy odpovídá průsečíku několika hyperrovin.
• Nebo jinak: hledáme takové koeficienty lineární kombinace sloupců matice \( A \), které dají vektor \( \vec{b} \).

Pomocí elementárních řádkových úprav převádíme matici na horní blokový tvar (HBT):

• Prohození dvou řádků.
• Násobení řádku nenulovým skalárem.
• Přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku.

Definice (horní blokový tvar):

1. Nenulové řádky jsou nad nulovými. 2. Každý pivot (první nenulový prvek v řádku) je dále vpravo než pivot řádku nad ním.

Získáme:

• rank: počet pivotů = počet nenulových řádků.
• defekt: \( \text{def}(A) = n - \text{rank}(A) \)

Soustava \( A \cdot \vec{x} = \vec{b} \) má řešení právě tehdy, když:

\[ \text{rank}(A) = \text{rank}(A \mid \vec{b}) \]

Pokud řešení existuje, všechna řešení mají tvar:

\[ \vec{x} = \vec{p} + \vec{x}_h, \quad \text{kde } \vec{x}_h \in \ker(A) \]

kde \( \vec{p} \) je jedno (libovolné) partikulární řešení.

Soustava tvaru \( A \cdot \vec{x} = \vec{0} \) je homogenní.

• Množina řešení tvoří lineární podprostor: \( \ker(A) \subseteq F^n \)
• Báze tohoto prostoru se nazývá fundamentální systém.
• Má právě \( \text{def}(A) \) prvků.
• Každé řešení je lineární kombinací těchto vektorů.

\[ \vec{x} = \vec{p} + \sum_{i=1}^{d} \alpha_i \cdot \vec{v}_i, \quad \vec{v}_i \in \ker(A) \]

• \( \vec{p} \) je partikulární řešení
• \( \vec{v}_i \) tvoří bázi jádra
• \( d = \text{def}(A) \)

• Řešení soustavy tvoří afinní podprostor \( \vec{p} + \ker(A) \).
• Homogenní soustava definuje rovinu/přímku/… procházející počátkem.
• Inhomogenní soustava posouvá tento prostor do bodu \( \vec{p} \).

• Permutace je libovolná bijekce množiny {1, 2, …, n}.
• Symetrická grupa permutací (značení \( S_n \)) je množina všech permutací této množiny s operací skládání.
• Znaménko permutace (signum):
  • sudý počet inverzí → \( \text{sign}(\pi) = +1 \)
  • lichý počet inverzí → \( \text{sign}(\pi) = -1 \)
  • Platí: \( \text{sign}(\pi \cdot \sigma) = \text{sign}(\pi) \cdot \text{sign}(\sigma) \)

• Nechť \( A \) je čtvercová matice řádu \( n \) nad tělesem \( F \). Potom:

\[ \det(A) = \sum_{\pi \in S_n} \text{sign}(\pi) \cdot a_{\pi(1),1} \cdot a_{\pi(2),2} \cdots a_{\pi(n),n} \]

• Interpretace: Každý člen součtu odpovídá jedné permutaci a vybírá prvek z každého sloupce a různého řádku.

• \( \det(A) \) vyjadřuje orientovaný objem rovnoběžnostěnu daného řádky/sloupci matice.
• Například pro \( 2 \times 2 \) matici je absolutní hodnota determinantu plocha rovnoběžníku.

• \( \det(A^T) = \det(A) \)
• \( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \)
• \( \det(\alpha A) = \alpha^n \cdot \det(A) \) pro skalár \( \alpha \)
• Prohození dvou řádků mění znaménko.
• Přičtení násobku jednoho řádku k jinému nemění determinant.
• Vynásobení řádku skalárem \( a \) změní determinant \( a \)-násobně.
• Determinant trojúhelníkové matice je součin prvků na diagonále.

• Převeď matici na horní trojúhelníkový tvar.
• Výsledek je součin diagonálních prvků, upravený podle operací:
  • Změna znaménka při výměně řádků.
  • Dělení při násobení řádku.

• Pro pevný řádek nebo sloupec:

\[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}) \]

• kde \( A_{ij} \) je matice vzniklá vynecháním \( i \)-tého řádku a \( j \)-tého sloupce.
• Pomalý výpočetně (složitost \( n! \)), ale vhodný pro řídké matice.

• \( \text{adj}(A) \) je transpozice matice všech algebraických doplňků \( A_{ij} \).
• Platí:

\[ A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n \]

• Pokud \( A \) je regulární, potom:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \]

Pro soustavu \( A \cdot x = b \), kde \( A \) je regulární \( n \times n \) matice:

\[ x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)} \]

kde \( A_j \) je matice vzniklá nahrazením \( j \)-tého sloupce v \( A \) vektorem \( b \).

• Determinant měří objem a orientaci vektorů tvořících matici.
• Nulový determinant znamená, že matice je singulární (neinvertibilní).
• Výpočet pomocí GEM je nejrychlejší, ale pozor na změny během úprav.
• Laplaceův rozvoj je přehledný, ale výpočetně náročný.

• Vlastní číslo (eigenvalue) \( \lambda \in F \) lineárního zobrazení \( f : L \rightarrow L \) je takové číslo, pro které existuje nenulový vektor \( \vec{x} \in L \) splňující \( f(\vec{x}) = \lambda \cdot \vec{x} \).
• Takovému vektoru \( \vec{x} \) říkáme vlastní vektor (eigenvector) příslušný k vlastní hodnotě \( \lambda \).
• Vlastní vektory tvoří podprostor \( \text{eigen}(\lambda, f) = \{ \vec{x} \mid f(\vec{x}) = \lambda \vec{x} \} \).
• \( \lambda \) je vlastní číslo právě tehdy, když \( \text{eigen}(\lambda, f) \neq \{ \vec{0} \} \).

• Definice: \( \text{char}_A(x) = \det(A - x E_n) \), kde \( A \) je čtvercová matice řádu \( n \).
• Je to polynom stupně \( n \); v tělese \( F \) může mít maximálně \( n \) kořenů (včetně násobnosti).
• Podobné matice mají stejný charakteristický polynom: pokud \( A \approx B \), pak \( \text{char}_A(x) = \text{char}_B(x) \).

• Matice \( A \) je diagonalisovatelná, pokud existuje regulární matice \( T \), taková že:

\[ T^{-1} A T = D \]

• \( D \) je diagonální matice s vlastními čísly \( \lambda_1, ..., \lambda_n \) na diagonále
• Sloupce matice \( T \) tvoří bázi složenou z vlastních vektorů matice \( A \)
• Podmínky diagonalizace:
  • Charakteristický polynom rozložitelný na lineární faktory
  • Algebraická násobnost \( \lambda \) = geometrická násobnost \( \lambda \)
  • Tzn. \( \dim(\text{eigen}(\lambda, A)) = \text{násobnost } \lambda \)

• Najdeme kořeny charakteristického polynomu \( \det(A - \lambda E) = 0 \)
• Pro každé \( \lambda \) řešíme soustavu:

\[ (A - \lambda E) \cdot \vec{x} = \vec{0} \]

• Výsledkem jsou vlastní vektory — báze podprostoru \( \ker(A - \lambda E) \)

• Pokud \( A = T^{-1} D T \), potom:

\[ A^k = T^{-1} D^k T \]

• Diagonální matici \( D \) lze snadno umocnit: mocníme diagonální prvky

• Pro matici, kterou nelze diagonalizovat, lze často najít tzv. Jordanův tvar
• Skládá se z bloků \( J_i \), kde každý blok má tvar:

\[ J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_i & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_i \end{pmatrix} \]

• Jordanova buňka je nilpotentní (mocniny vedou k nulové matici)

• Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \( \det(A - \lambda E_n) = 0 \)
• Vlastní vektory odpovídají řešením homogenní soustavy \( (A - \lambda E)x = 0 \)
• Matice je diagonalisovatelná, pokud existuje báze tvořená vlastními vektory
• Výpočty usnadňuje přechod do báze, kde je matice diagonální
• Pokud nelze diagonalizovat, lze často použít Jordanův tvar

• Skalární součin vektorů \( \vec{u}, \vec{v} \) v \( \mathbb{R}^n \):

\[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \sum_{i=1}^n u_i v_i = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\alpha) \]

• Vlastnosti:
  • \( \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle \geq 0 \)
  • \( \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle \)
  • Lineární ve druhé složce: \( \langle \vec{x}, \vec{y} + \vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle + \langle \vec{x}, \vec{z} \rangle \)
  • Cauchy-Schwarzova nerovnost: \( |\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle| \leq \|\vec{x}\| \cdot \|\vec{y}\| \)

• Norma vektoru:

\[ \|\vec{x}\| = \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle} \]

• Nechť \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) je ortonormální báze prostoru se skalárním součinem.
• Souřadnice vektoru \( \vec{x} \) vzhledem k této bázi se spočítají jako:

\[ \text{coord}_B(\vec{x}) = \begin{pmatrix} \langle \vec{b}_1, \vec{x} \rangle \\ \vdots \\ \langle \vec{b}_n, \vec{x} \rangle \end{pmatrix} \]

• Pokud báze není normalizovaná, používáme ortogonální projekce:

\[ \text{coord}_{\vec{b}_i}(\vec{x}) = \frac{\langle \vec{b}_i, \vec{x} \rangle}{\langle \vec{b}_i, \vec{b}_i \rangle} \]

Z libovolné báze \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) vytvoříme ortogonální bázi \( C = (\vec{c}_1, \ldots, \vec{c}_n) \):

• \( \vec{c}_1 = \vec{b}_1 \)
• \( \vec{c}_2 = \vec{b}_2 - \frac{\langle \vec{b}_2, \vec{c}_1 \rangle}{\langle \vec{c}_1, \vec{c}_1 \rangle} \cdot \vec{c}_1 \)
• \( \vec{c}_3 = \vec{b}_3 - \frac{\langle \vec{b}_3, \vec{c}_1 \rangle}{\langle \vec{c}_1, \vec{c}_1 \rangle} \cdot \vec{c}_1 - \frac{\langle \vec{b}_3, \vec{c}_2 \rangle}{\langle \vec{c}_2, \vec{c}_2 \rangle} \cdot \vec{c}_2 \)
• Obecně:

\[ \vec{c}_k = \vec{b}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \vec{b}_k, \vec{c}_i \rangle}{\langle \vec{c}_i, \vec{c}_i \rangle} \cdot \vec{c}_i \]

• Gram-Schmidtův proces postupně upravuje vektory báze tak, aby každý nový vektor byl kolmý na předchozí, čímž vzniká ortogonální báze se stejným roztahem jako původní.

• Vektory \( \vec{c}_i \) se normalizují na jednotkovou délku:

\[ \vec{u}_i = \frac{\vec{c}_i}{\|\vec{c}_i\|} \]

• Výsledná báze \( (\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_n) \) je ortonormální.

• Obecný tvar: \( \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \vec{x}^T G \vec{y} \), kde \( G \) je pozitivně definitní symetrická matice (tzv. metrický tensor)
• Takový skalární součin indukuje normu i metriku:
  • \( \|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x}^T G \vec{x}} \)
  • \( d(\vec{x}, \vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\| \)

• Pokud \( A \vec{x} = \vec{b} \) nemá řešení, hledáme řešení minimalizující \( \|\vec{b} - A \vec{x}\|^2 \)
• Řešení: \( \vec{x} = (A^T A)^{-1} A^T \vec{b} \)
• Interpretace: ortogonální projekce vektoru \( \vec{b} \) na \( \text{im}(A) \)

• Skalární součin definuje normu, která určuje vzdálenost.
• V ortonormální bázi lze souřadnice spočítat přímo pomocí skalárního součinu.
• Gram-Schmidtův proces převádí libovolnou bázi na ortogonální.
• Ortonormalizací získáme výhodnou bázi pro výpočty, souřadnice a projekce mají jednoduché vzorce.
• Obecný skalární součin je definován pomocí pozitivně definitní matice \( G \).
• Metoda nejmenších čtverců je založena na ortogonální projekci.