Určete rozvoj periodického prodloužení funkce $f(t) = |t|$, $-1 \leq t \leq 1$, ve Fourierovu řadu.

Jaká je vzdálenost plochy $4x^2 + y^2 - z^2 = 1$ od bodu $(0, 0, 0)$?

Ověřte, že vektorové pole $\vec{F}(x, y, z) = (e^z + z^2 y, cos(y) + z^2 x, xe^z + 2xyz)$ je konzervativní a nalezněte jeho potenciál.

Vypočtěte $$\int_{0}^{1} \int_{2y}^{2} e^{x^2} dx\ dy$$

Pomocí Gaussovy věty zjistěte, jaký je tok pole $\vec{F}(x, y, z) = (z^2 - x, -2xy, \frac{3z}{1 + x^2})$ hranicí tělesa omezeného plochami $z = 4 - y^2$, $z = 0$, $x = 0$ a $x = 3$ s vnější orientací.

Rozviňte funkci $ f(x) = \frac{x}{1+2x^2} $ se středem v $ x_0 = 0 $ do mocninné řady. Určete největší otevřený interval, kde nastává rovnost funkce a řady.

Vyšetřete stacionární body funkce $ f(x) = 2x^2 - x^4 - 2y^2 + 4xy - 1. $

Ukažte, že práce síly $ \vec{F} = (2xz + \sin y, x \cos y + z, x^2 + y) $ podél křivky z $[0, 1, 0]$ do $[1, 0, 1]$ nezávisí na křivce a najděte její hodnotu.

Užitím Stokesovy věty spočítejte $\iint_{(M)} \operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \mathrm{d}\vec{S},$ kde $\vec{F}(x, y, z) = (xy^2, -x^2y, xyz)$ a $ M $ je část $ z(x, y) = 1 - x^2 - y^2 $ nad rovinou $ xy $ orientovaná nahoru.