B4B17EAM Webové stránky předmětu Vypracované otázky

• Jednotky veličin: intenzita elektrického a magnetického pole, proudová hustota, měrná vodivost.
• K čemu slouží rotace, divergence, tok vektorové veličiny plochou.
• Použití Gaussovy věty pro zjištění elektrostatického pole nabité koule.
• Definice el. napětí z potenciálu a intenzity el. pole.
• Kapacita - definice, kapacitor.
• Ampérův zákon celkového proudu (klešťový ampérmetr).
• Magnetické pole v ideálním solenoidu (dlouhé cívce).
• Indukčnost - definice, induktor.
• Ideální napěťový a proudový zdroj, vnitřní odpor zdroje.
• K čemu slouží Kirchhoffovy zákony.
• Odporový dělič napětí a proudu - nakreslit.
• Střední a efektivní hodnota harmonického průběhu.
• Činný, jalový a zdánlivý výkon.
• Impedance prvků R, L, C.
• Nakreslit sériový či paralelní LC rezonanční obvod, k čemu slouží.
• Činitel jakosti.
• Definice decibelu, proč jej používáme.
• Bipolární tranzistor a tranzistor řízený polem - výhody, nevýhody, použití. Dioda.
• Elektromagnetická vlna, jak vypadají vektory E, H v takové vlně, co je to impedance prostředí.
• Činitel odrazu na vedení, return loss, poměr stojatých vln.
• Základní typy a parametry antén (dipól, Yagi, trychtýř, reflektor…), impedance, zisk.
• Vyzařovací charakteristika půlvlnného dipólu.

intenzita elektrického pole: \begin{align*} \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \quad [N \cdot C^{-1} = V \cdot m^{-1} = kg \cdot m \cdot A^{-1} \cdot s^{-3}] \end{align*}

kde $\vec{E}$ je intenzita el. pole, $\vec{F}$ je síla, $q$ je náboj

případně: \begin{align*} \vec{E} = -grad\varphi \quad [V \cdot m^{-1}] \end{align*} kde $\varphi$ je elektrický potenciál

intenzita magnetického pole:

ve stacionárním poli platí (Ampérův zákon): \begin{align*} \vec{I}_{vol} = \oint \vec{H} \cdot dl \end{align*} kde $\vec{I}_vol$ je volný elektrický proud a $\vec{H}$ je intenzita magnetického pole

odtud: \begin{align*} \vec{H} [A \cdot m^{-1}] \end{align*}

proudová hustota:

platí: \begin{align*} \vec{I} = \int_{S} \vec{J} \cdot dS \end{align*} kde $I$ je elektrický proud, $S$ je plocha a $\vec{J}$ je proudová hustota

pak v případě, že proud je rozdělen rovnoměrně platí: \begin{align*} \vec{J} = \frac{I}{S} \quad [A \cdot m^{-2}] \end{align*}

měrná vodivost: \begin{align*} \sigma = \frac{\mho}{l} = \frac{1}{R \cdot l} \quad [S \cdot m^{-1} = \Omega^{-1} \cdot m^{-1}] \end{align*} kde $\sigma$ je měrná vodivost, $\mho$ je elektrická vodivost, $R$ je elektrický odpor a $l$ je délka

případně pro výpočet s průřezem vodiče platí \begin{align*} \sigma = \frac{\mho}{l} = \frac{\mho \cdot l}{S} \quad [S \cdot m \cdot m^{-2}] \end{align*}

kde $S$ jako veličina je průřez vodiče, jako jednotka je $S$ Siemens – jednotka elektrické vodivosti

nejprve si zadefinujme gradient, jako směrnici největšího přírůstku, matematicky zapsáno:

\begin{align*} grad = \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x};\frac{\partial}{\partial y};\frac{\partial}{\partial z}\right) \end{align*}

divergence

divergenci následně definujeme jako skalární součin s gradientem: \begin{align*} \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} = div\vec{A} \end{align*}

Nabízí nám například nástroj k hledání zdrojů/nor, k čemuž je využívána ve 4. Maxwellově rovnici k definování nonexistence magnetických monopólů.

rotace

rotaci následně definujeme jako vektorový součin s gradientem: \begin{align*} \nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{x_0} & -\vec{y_0} & \vec{z_0}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} = x_0 \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) - y_0 \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) + z_0 \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) = rot\vec{A} \end{align*}

Rotace slouží k hledání vírů v poli - resp. je to test vírovosti pole.

tok vektorové veličiny plochou (Gaussova věta)

Tok vektorové veličiny plochou nám definuje Gaussova věta. Tu lze zapsat například jako

$$ \phi = \oiint \vec{A} \cdot d\vec{S} $$

Obecně platí:

$$ \oiint \vec{D} d\vec{S} = Q \quad \dots \quad \oiint \vec{E} d\vec{S} = \frac{Q}{\epsilon} $$

a také:

$$ \vec{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{R^2}\vec{r} \quad \dots \quad \vec{E} = \frac{\vec{F}}{Q} \quad \dots \quad \vec{D} = \epsilon \cdot \vec{E}$$

de $\vec{D}$ je vektor elektrické indukce.

Dosazením získáváme:

$\vec{D}$ je na $d\vec{S}$ nezávislé, proto

$$ \vec{D} = konst. \quad \rightarrow \quad \vec{D} \oiint d\vec{S} = Q $$

kde pro kouli je

$$ \oiint d\vec{S} = 4\pi r^2 $$

tedy dosadíme-li, dostaneme

$$ \vec{D} \oiint d\vec{S} = \vec{D} 4\pi r^2 = Q $$

odkud můžeme vyjádřit $$ \vec{D} = \frac{Q}{4\pi r^2} \vec{r_0} $$

Pro získání intenzity elektrického pole dosadíme do $ \vec{D} = \epsilon \cdot \vec{E} $ a získáme

$$ \vec{E} = \frac{Q}{4\pi\epsilon r^2} \vec{r_0} $$

Dosazením pak můžeme získat poslední chtěný vztah pro elektrický potenciál

$$ \varphi = -\int\vec{E} d\vec{r} = -\int \frac{Q}{4\pi\epsilon r^2} d\vec{r} $$

a úpravou získáme

$$ -\int \frac{Q}{4\pi\epsilon r^2} d\vec{r} = \frac{-Q}{4\pi\epsilon} \int r^{-2} d\vec{r} = \frac{-Q}{4\pi\epsilon r} + c $$ $$ \varphi = \frac{-Q}{4\pi\epsilon r} + c $$

platí

$$ \vec{D} = \epsilon_0 \epsilon_r \vec{E} \quad a \quad \vec{E} = \frac{\vec{F_e}}{Q} $$

dále pratí

$$ W = \int \vec{F} d\vec{r} $$

kde $W$ je práce.

Odtud dosazením získáváme

$$ W = Q \cdot \int \vec{E} d\vec{r} $$

odkud úpravou dostáváme

$$ U = \int \vec{E} d\vec{r} = \frac{W}{Q} $$

(Definice el. napětí z intenzity el. pole)

případně lze definovatt el. napětí jako rozdíl potenciálů

$$ U = \int_A^B \vec{E} d\vec{r} = \varphi(A) - \varphi(B) $$

Pro kapacitu definujeme dvě definice - statickou a energetickou.

statická definice

Obecně pro vztah intenzity elektrického pole okolo nekonečně velké desky v prostoru je

$$ \vec{E} = \frac{\sigma}{2\epsilon} $$

Ovšem představíme-li si dvě takovéto paralelní desky, jednu nabitou kladně a druhou záporně, získáme kondenzátor, s elektrickým polem o intenzitě

$$ \vec{E} = \frac{\sigma}{\epsilon} $$

pouze v prostoru mezi nimi. (Zjednodušení pro představu - z prostoru se stal poloprostor, proto)

Obecně platí vztah

$$ \sigma = \frac{Q}{S} $$

tedy plošná hustota náboje je rovna celkovému náboji obsaženému v ploše vydělená její velikostí.

Odtud můžeme dosazením získat vztah

$$ \vec{E} = \frac{Q}{\epsilon S} $$

což při dalším dosazení do známého vtahu pro napětí

$$ U = \int_0^d \vec{E} dx = \int_0^d \frac{Q}{\epsilon_0 \epsilon_r S} dx = \frac{Q}{\epsilon_0 \epsilon_r S} \int_0^d dx = \frac{Qd}{\epsilon_0 \epsilon_r S} $$

Čímž po dosazení do vztahu

$$ Q = C \cdot U $$

získáváme úpravou

$$ C = \frac{Q}{\frac{Qd}{\epsilon_0 \epsilon_r S}} $$

a následně další úpravou pak

$$ C = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r S}{d} $$

energetická definice

nejprve je třeba si zadefinovat tzv. hustotu energie v poli

$$ w_e = \frac{1}{2}\vec{D}\vec{E} = \frac{1}{2}\epsilon|\vec{E}|^2 $$

odtud – budeme-li počítat celkovou energii uloženou na deskách kondenzátoru, dostaneme vztah

$$ W_e = \iiint_V w_e dV = \frac{1}{2} \iiint_V \epsilon|\vec{E(x,y,z)}|^2 dxdydz $$

což lze další úpravou převést na

$$ = \iint_S \varphi \cdot \sigma dS $$

což lze aprosimovat jako součet energií na jednotlivých deskách

$$ \frac{1}{2} \sum_i Q_i \varphi_i = \frac{1}{2} (Q_1 \varphi_1 - Q_2 \varphi_2) = \frac{1}{2} QU = \frac{1}{2} CU^2 $$

čímž se úpravou dostaneme k finálnímu vztahu

$$ C = \frac{2W_e}{U^2} $$

differenciální tvar $$ rot \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$

tj. rotace vektoru intenzity magnetického pole je rovna součtu proudu volného a posuvného.

(Pozn. posuvný proud je pro DC nulový)

integrální tvar $$ \oint \vec{H} dl = \sum I $$

Obecně lze vycházet z Ampérova zákona celkového. Ten v Integrálním tvaru vypadá

$$ \oint \vec{H} dl = \sum I $$

Pro integraci po vyznačené křivce platí

$$ H \cdot h = N \cdot I $$

odtud

$$ H = \frac{N \cdot I}{h} $$

Pro získání velikosti dílčí části pole uvnitř solenoidu lze použít následujících vztahů

Indukčnost $L [H]$lze definovat dvěma vztahy

1. Statická definice

$$ \phi = L \cdot I \quad \rightarrow \quad L = \frac{\phi}{I} $$

kde $\phi$ je magnetický indukční tok $\phi = \iint_S \vec{B} d\vec{S} $ viz (Gaussova věta)

2. Energetická definice

vychází ze vzorce pro hustotu energie v magnetickém poli

$$ w_m = \frac{1}{2} \vec{B} \vec{H} = \frac{1}{2} \mu_0 \mu_r H^2 $$

Pro celkovou energii v magnetickém poli pak platí

$$ W_m = \iiint_V w_m dV = \frac{\mu}{8\pi} \iiint \frac{\vec{J}(\vec{r}) \cdot \vec{J}(\vec{r'})}{|\vec{r} - \vec{r'}} dVdV' = \frac{1}{2} L I^2 $$

odkud lze úpravou získat

$$ L = \frac{2W_m}{I^2} $$

Ideální napěťový zdroj poskytuje konstantní napětí na svorkách, nezávisle na hodnotě odebíraného proudu. Pro ideální napěťový zdroj je nepřípustný nulový zatěžovací odpor. Jeho vnitřní odpor je nulový.

Ideální proudový zdroj poskytuje konstantní proud, nezávisle na napětí na jeho svorkách. Pro ideální proudový zdroj je nepřípustný nekonečný zatěžovací odpor. Jeho vnitřní odpor je nekonečný.

Pro výpočet vnitřního odporu reálného zdroje platí –

$$ -U_0 + R_i \cdot I_z + R_z \cdot I_z = 0 $$

(tj. 1. Kirchhofův zákon)

kde poslední člen $ R_z \cdot I_z $ značíme jako napětí zátěže $U_z$, tedy platí

$$ R_i = \frac{U_0 - U_z}{I_z} $$

Kirchhoffovy zákony jsou dva zákony popisující principy zachování naáboje a energie v obvodech.

Jejich znění je –

1.

$$ \oint \vec{E} dl = 0 $$

Součet napětí po uzavřené křivce je roven nule.

2.

$$ \oiint \vec{j} dS = 0 $$

Součet proudů v uzlu je roven nule.

Dělič napětí

Dělič proudu

Střední hodnota harmonického průběhu

$$ y_{stř}(t) = \frac{1}{T} \int_{t-T}^{t} y(t) dt \quad (= 0) $$

Efektivní hodnota harmonického průběhu (Root Mean Square)

tj. stejný efekt jako by mělo DC

$$ y_{rms}(t) = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{t-T}^{t} [y(t)]^2 dt} $$

například pro sinusový průběh platí

$$ y_{rms-sin} = \frac{y_m}{\sqrt{2}}$$

Zdánlivý výkon je roven součtu výkonu činného a jalového.

Zdánlivý výkon značíme $ \widehat{S} $ s jednotkami $ [{V\!A}] $. Činný výkon značníme $ P $ s jednotkami $ [W] $. Jalový (tj. relativní) výkon značíme $ Q $ s jednotkami $[{V\!Ar}]$.

Tedy platí

$$ \widehat{S} = P + jQ $$

kde $j$ je imaginární jednotka.

Jinak zapsáno

$$ \widehat{S} = \widehat{U} \cdot \widehat{I}^* = U \cdot e^{j^{\varphi_{U}}} \cdot (I \cdot e^{j^{\varphi_{I}}})^* = UI e^{j^{\varphi_{U}}} \cdot e^{j^{\varphi_{I}}} = UI e^{j^{\varphi_{U} - \varphi_{I}}} = UI e^{j^{\varphi}} $$

(hvězdička značí komplexně sdružené číslo)

odtud se mážeme dále získat

$$ P = Re\{\widehat{S}\} = UI \cdot cos\varphi $$ $$ Q = Im\{\widehat{S}\} = UI \cdot sin\varphi $$

Pro činný výkon též platí

$$ p(t) = u(t)\cdot i(t) = U_m sin(\omega t + \varphi_u) \cdot I_m sin(\omega t + \varphi_I) = U_m I_m \frac{1}{2} \Big[cos(\varphi_U - \varphi_I) - cos(2\omega t + \varphi_U + \varphi_I \Big] $$

kde pro harmonicky ustálený stav

$$ P_{stř} = 0 \quad \rightarrow \quad cos(2\omega t + \varphi_U + \varphi_I = 0$$

(střední hodnota)

a

$$ cos(\varphi_U - \varphi_I) = konst.$$

proto lze činný výkon psát též jako

$$ P_{stř} = \frac{1}{T} \int p(t) dt = \frac{U_m I_m}{2} cos(\varphi_U - \varphi_I) $$

kde $ cos(\varphi_U - \varphi_I) = cos \varphi $ nazýváme účinník.

Impedance je komplexní fyzikální veličina. Značíme ji $Z$ a platí pro ni následující vztah

$$ Z = R + jX $$

kde $R$ je resistence, $j$ je imaginární jednotka a $X$ je reaktance (tj. jalový odpor).

Rezistenci způsobjí v obvodu prvky s odporem. Odpor samotný má však vliv pouze na reálnou část impedance, nepodílí se na fázovém posuvu.

$$ R: u = R \cdot i \quad \rightarrow \quad R = \frac{u}{i} \quad \rightarrow X_R = 0$$

Reaktance má dvě složky - induktanci a kapacitanci. Pro ně platí

$$ L: u = L \frac{d i}{d t} \quad \rightarrow \mathrm{(pro\ harmonicky\ ustálený\ stav)} \quad \widehat{U} = j \omega L \widehat{I} \quad \rightarrow \quad \frac{\widehat{U}}{\widehat{I}} = j \omega L = X_L $$

$$ C: i = C \frac{d u}{d t} \quad \rightarrow \mathrm{(pro\ harmonicky\ ustálený\ stav)} \quad \widehat{I} = j \omega C \widehat{U} \quad \rightarrow \quad \frac{\widehat{U}}{\widehat{I}} = \frac{1}{j \omega C} = \frac{-j}{\omega C} = X_C $$

Rezonanční o obvody slouží zvláště jako pásmové propusti a zádrže (filtry).

Sériový rezonanční obvod

(Pro LC obvod stačí odmazat rezistor a odpovídající člen v následující rovnici)

Pro impedanci sériového rezonančního obvodu platí vztah

$$ \widehat{Z} = R + j \omega L - \frac{j}{\omega C} $$

odkud úpravou získáme

$$ \widehat{Z} = R + j \Big(\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} \Big) $$

kde člen $ \Big(\omega L - \frac{1}{\omega C} \Big) $ nazýváme reaktance a značíme $ X $. Úhlovou rychlost $\omega$ lze převést na $\omega = 2 \pi f$.

Zajímavé stav, který nazýváme rezonance, nastává pokud je reaktance $X = 0$, tedy $Im\{\widehat{Z}\} = 0$ tedy

$$ \Big(\omega L - \frac{1}{\omega C} \Big) = 0$$

následnou úpravou získáme

$$ \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC}} $$

a dosazením převodu

$$ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$

tento vztah nazýváme jako Thomsonův vztah a vyjadřuje nám resonanční frekvenci oscilátoru.

Paralelní rezonanční obvod

pro admitanci $\Big(\widehat{Y} = \frac{1}{\widehat{Z}} \Big)$ paralelního rezonančního obvodu platí

$$ \widehat{Y} = \frac{1}{R} + \frac{1}{j\omega L} + j \omega C = \frac{1}{R} + j \Big(\omega C - \frac{1}{\omega L} \Big)$$

Obecně definujeme činitel jakosti prvku jako poměr

$$ Q = 2\pi \frac{E}{E_T} $$

kde $ E $ je maximální akumulovaná energie na prvku a $ E_T $ je energie přeměněná na prvku za jednu periodu.

Pro samostatný seriový RC a RL článek platí, že enerie disipovaná za periodu je (při sinusovém průběhu) dána součinem průměrného výkonu na rezistoru a periody $T = \frac{1}{f}$ tedy $$ E_t = E_r = \frac{I_m^2 R}{2f} $$

odtud po dosazení tohoto vztahu a vztahu pro maximální energii na prvku dostáváme vyjádření činitele jakosti pro RC a RL článek jako

$$ \mathrm{RL:} \quad E = \frac{1}{2} L I_m^2 \quad \mathrm{tedy} \quad Q = \frac{\frac{1}{2} L_m I^2}{\frac{I_m^2 R}{2f}} = \frac{\omega L}{R}$$ $$ \mathrm{RC:} \quad E = \frac{1}{2} C U_m^2 = \frac{1}{2}\frac{I_m^2}{\omega^2 C} \quad \mathrm{tedy} \quad Q = \frac{\frac{1}{2}\frac{I_m^2}{\omega^2 C}}{\frac{I_m^2 R}{2f}} = \frac{1}{\omega RC}$$

Pro seriový RLC obvod je v rezonanci naakumulováno konstantní množství energie. Platí, že když je napětí na kondenzátoru maximální, proud cívkou je nulový a platí

$$ \frac{1}{2} C U_m^2 = \frac{1}{2} L I_m^2 $$

odtud lze vyvodit vztah

$$ Q_0 = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 R C} $$

Jak je vidět z přiloženého obrázku, proud je závislý na frekvenci, tedy i výkon $ P = I^2 R $ lze vyjádřit v závislosti na frekvenci. Při proudu $ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} $ je výkon roven polovině, tedy došlo k útlumu o 3 dB. To lze vyjádřit v závislosti na frekvenci jako body $f_-$ a $f_+$.

Rozdíl $f_+ - f_-$ budeme dále nazývat šířkou pásma ${B\!W}$.

Činitel jakosti tedy můžeme zapsat jako

$$ Q_0 = \frac{\omega_0}{\omega_+ - \omega_-} = \frac{f_0}{f_+ - f_-} = \frac{f_0}{{B\!W}} $$

dále platí, že resonanční frekvence $f_0$ je geometrickým průměrem $f_0 = \sqrt{f_+ f_-}$

Pro paralelní RLC obvod se třemi větvemi platí analogicky, že je-li proud cívkou maximální je napětí na kondenzátoru nulové a $ \frac{1}{2} C U_m^2 = \frac{1}{2} L I_m^2 $. Tedy –

$$ Q_0 = \frac{R}{\omega_0 L} = \omega_0 RC $$

obecně definujeme decibel jako

$$ dB = 10 log\frac{P}{P_0} $$

kde $P$ je sledovaná veličina a $P_0$ je referenční hodnota. Například pro $dBm$ je $P_0 = 1\ mW$

Decibely užíváme u jednotek, u nichž vyžadujeme použití ve velkém dynamickém rozsahu. Například přijatý výkon anténou může být standardně v rozmezí $-30\ \mathrm{až}\ -90\ dBm$ (například pro Lora až $-120\ dBm$) což odpovídá rozsahu $10^{-6}\ \mathrm{až}\ 10^{-12}\ W$

Dioda

Jeden PN přechod…

Bipolární tranzistor

Dva PN přechody…

Tranzistor řízený polem (FET)

Použití tranzistorů - spínač / zesilovač

Vektory $\vec{E}$ a $\vec{H}$ jsou na sebe kolmé.

Impedance prostředí

$$ Z = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j \omega\epsilon}} $$

pro $\sigma = 0$

$$ Z = \sqrt{\frac{\mu_0\mu_r}{\epsilon_0\epsilon_r}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{Z_0}{\sqrt{\epsilon_r}} $$

Činitel odrazu na vedení

$$ R = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_1 + Z_2} $$

Return loss

$$ {R\!L} = 20 log |R| $$

Poměr stojatých vln

$$ {P\!S\!V} = \frac{1+|R|}{1-|R|} $$

Antény pro RF komunikaci mají standardizovanou impedanci na 50 Ohm (proč tl:dr je to kompromis mezi maximálním přenositelným výhonem, nejvyšším napětím a nejnižší ztrátou na koax kabelu)

• dipól - zisk 2,15 dBi (tj. 0 dBd)
• yagi - zisk 6 až 14 dBi
• trychtýř - zisk 20 až 23 dB
• reflektor - zisk závislý na průměru talíře a použité frekvenci.

• Divergence https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence#/media/File:Divergence_(captions).svg
• Gaussova věta https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem#/media/File:Divergence_theorem_1_-_split_volume.png
• Dioda https://www.electronics-tutorials.ws/wp-content/uploads/2013/08/diode7.gif
• BJT1 https://www.allaboutelectronics.org/wp-content/uploads/2020/04/BJT_WB_1.png
• BJT2 https://i.pcmag.com/imagery/encyclopedia-terms/bipolar-transistor-bipolar.fit_lim.size_512x.gif
• FET https://cdn1.byjus.com/wp-content/uploads/2020/09/The-FET-Transistor-2.png
• vlna https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/40/EM-Wave_noGIF.svg/1200px-EM-Wave_noGIF.svg.png
• Dipol https://physics.stackexchange.com/questions/788829/wave-propagation-dipole-antenna
• zbytek vlastní