Rastrový zobrazovací řetězec, jeho fixní a programovatelné bloky, programování pomocí shaderů. Typické transformace a jejich reprezentace. Osvětlovací model. Základní parametrické křivky.

B0B39PGR Webové stránky předmětu

• Rastrový zobrazovací řetězec, jeho fixní a programovatelné bloky – popis logických bloků v zobrazovacím řetězci a jejich funkce. Perspektivně správná interpolace. Vrstvy obrazové paměti a jejich účel (použití v bloku operací a testů). Textury – zobrazování (způsoby kombinace s osvětlením), filtrování, mip-mapping, mapa prostředí.
• Programování pomocí shaderů – základní datové typy v GLSL (skalár, vektor, matice, sampler). Rozdíl mezi proměnnými in a uniform. Jak se přiřazují hodnoty proměnných z OpenGL do GLSL.
• Typické transformace a jejich reprezentace – lineární a afinní transformace a jejich maticová reprezentace, homogenní souřadnice. Sestavení matice rotace podle jedné souřadné osy, škálování, nastavení kamery (lookAt) a záběru (viewport). Posloupnost souřadných systémů, kterými prochází vrchol, než získá souřadnice v rámci okna. Transformace vůči zadanému souřadnému systému. Matice rovnoběžného a perspektivního promítání. Gimbal lock. Interpolace translace a rotace (kvaterniony, lerp a slerp).
• Osvětlovací model – normálový vektor a jeho použití při výpočtu osvětlení v bodě. Výpočet normály trojúhelníka. Interpolace normály a ostatních vektorů a proč se používají normalizované vektory. Phongův osvětlovací model, vzorce jednotlivých složek. Proč stačí kanály RGB (metamerismus)? Základní typy světel a jejich simulace ve Phongově osvětlovacím modelu. Metody stínování.
• Základní parametrické křivky – interpolační (Ferguson, Catmull-Rom) a aproximační křivky (Bézier, B-spline, NURBS). Parametrická reprezentace. Spojitost při napojování segmentů. Adaptivní vykreslování Bézierovy křivky (algoritmus de Casteljau).

Rastrový zobrazovací řetězec (pipeline) je sekvence operací, která převádí 3D scénu na 2D obraz. Obsahuje programovatelné (*) i fixní bloky.

Pipeline kroky:

• Vertex data – vstupní data: pozice, normály, barvy, texturovací souřadnice.
• Vertex Shader (*) – operace nad každým vertexem: transformace vertexů do prostoru kamery, výpočet osvětlení (per-vertex) a texturovacích souřadnic
• Tesselation (*) – volitelně rozdělí geometrii na jemnější prvky (detailnější modely)
• Primitive Assembly – spojení vertexů do základních grafických útvarů (primitiv - trojúhelníky, quady)
• Clipping – odstraní části primitiv, které leží mimo pohledový objem (frustum)
• Back-face culling – odstraní plochy, které jsou odvráceny od kamery (zrychluje vykreslování)
• Perspective Divide – převod souřadnic do normalizovaného prostoru zařízení (NDC)
• Viewport Transform – převede NDC souřadnice do okna aplikace (obrazovky)
• Geometry Shader (*) – volitelně generuje nové vrcholy nebo primitiva z existujících
• Rasterizace – převede primitiva na fragmenty (kandidáty na pixely)
• Fragment Shader (*) – vypočítá barvu, texturu a efekty pro každý fragment
• Operace s fragmenty – rozhodují, zda a jak se fragment vykreslí:
  • Depth test – fragment se vykreslí jen pokud je blíže k kameře než předchozí fragment (řeší zakrývání objektů)
  • Stencil test – umožňuje omezit vykreslování na specifické oblasti nebo tvary (např. efekty, zrcadla)
  • Blending – kombinuje barvu nového fragmentu s barvou již existující (například pro průhlednost nebo světelné efekty)
  • Scissor test – kreslí se jen fragmenty uvnitř předem definovaného obdélníku (používá se například při optimalizaci výpočtů)

Poznámka: Fragment je soubor hodnot vytvořený rasterizací, který reprezentuje vzorek z oblasti jednoho pixelu vykreslovaného primitiva. Obsahuje například interpolovanou barvu, hloubku nebo pozici v okně.

Při rasterizaci musí být atributy (barvy, normály, texturovací souřadnice) interpolovány tak, aby respektovaly perspektivní zkreslení. Lineární interpolace v obrazovém prostoru by vedla ke zkreslení.

Postup: 1. Atributy vertexu se vynásobí hodnotou \( W_c \), kde: \[ W_c = -z_{\text{eye}} \] 2. Následuje lineární interpolace mezi vrcholy: \[ A_{\text{interpolated}} = (1 - t) A_1 W_{c1} + t A_2 W_{c2} \] 3. Výsledek se vydělí interpolovanou hodnotou \( W_c \): \[ A = \frac{A_{\text{interpolated}}}{W_{c,\text{interpolated}}} \]

Tím je dosaženo perspektivně správné interpolace.

Různé vrstvy obrazové paměti slouží k uchovávání informací o scéně během vykreslování.

• Depth buffer (Z-buffer) – ukládá hloubku každého pixelu vůči kameře. Zajišťuje, že blíže položené objekty překryjí vzdálenější.
• Stencil buffer – obsahuje masku pro určení, které části obrazu se mají vykreslit. Používá se např. pro odrazy nebo výřezy.
• Color buffer – obsahuje barevné hodnoty pixelů. Má dvě verze:
  • Front buffer – aktuálně zobrazovaný obraz.
  • Back buffer – obraz připravovaný v paměti před překreslením.
• Stereo buffer – obsahuje dva obrazy (pro levé a pravé oko) pro stereoskopické zobrazování.

Při vykreslování jsou fragmenty testovány, zda mají být zapsány do framebufferu.

• Pixel ownership test – testuje, zda pixel náleží aplikaci (například zda není překryt jiným oknem).
• Scissor test – povolí vykreslení pouze uvnitř definovaného obdélníku.
• Depth test – fragment je vykreslen jen pokud je blíže než již uložený pixel v depth bufferu.
• Stencil test – kontroluje, zda fragment splňuje podmínky masky nastavené ve stencil bufferu.

Po úspěšném průchodu testy mohou být fragmenty upraveny před zápisem do framebufferu.

• Blending – míchání barvy fragmentu a barvy pozadí, umožňuje např. průhledné objekty.
• Logické operace – provádí bitové operace mezi barvou fragmentu a barvou v bufferu (např. invertování nebo mazání).

Textura je 2D obrázek nebo vzorek, který se aplikuje na povrch objektu pro zajištění detailu, barvy, lesku nebo průhlednosti.

• Texture coordinates – dvojice [s, t] nebo [u, v], které definují pozici texelu na ploše objektu.
• Dopředné mapování – převod souřadnic textury na plochu modelu.
• Inverzní mapování – výpočet texturových souřadnic zpětně z pozice fragmentu na obrazovce.

Slouží ke zjemnění nebo zrychlení zobrazení textur při zvětšení nebo zmenšení.

• GL_NEAREST – zvolí nejbližší texel; rychlé, ale vzniká aliasing (kostrbaté hrany).
• GL_LINEAR – provádí vážený průměr několika texelů; hladší výsledek, vyšší náročnost.

Optimalizační technika, kdy jsou předpočítané menší verze textury (pyramida textur různých rozlišení)

• Při zmenšování objektu se použije odpovídající úroveň detailu → vyšší výkon a menší aliasing.

Určuje, jak se textura chová mimo rozsah souřadnic [0, 1].

• Clamp – opakuje poslední texel na okraji.
• Clamp to border – okolí je vyplněno zvolenou barvou (často černou).
• Repeat – textura se opakuje periodicky.
• Mirrored repeat – textura se periodicky opakuje s převrácením.

Při vykreslování se barva objektu určuje kombinací textury a světelného modelu:

\[ \text{Barva objektu} = \text{Textura} \times (\text{Ambient} + \text{Diffuse} + \text{Specular}) \]

Lze aplikovat více textur současně pomocí alpha blending (průhlednosti), což umožňuje například kombinovat základní texturu a detailní mapu.

Technika pro simulaci odlesků okolního prostředí na povrchu objektu.

• Sphere map – sférická mapa prostředí, jednoduchá, ale odrazy správné jen z jednoho pohledu.
• Cube map – šestiúhelníková textura tvořená 6 stranami krychle (±X, ±Y, ±Z); poskytuje realistické odlesky z různých směrů.

Cube mapping je dnes standard díky své univerzálnosti a podpoře dynamických odrazů v real-time grafice.

Shader je program běžící na GPU, který zpracovává grafická data během jednotlivých fází renderovací pipeline. Shadery umožňují velmi rychlé paralelní výpočty (SIMD).

GLSL (OpenGL Shading Language) je jazyk používaný k psaní shaderů.

Typy shaderů:

• Vertex shader – operace s vrcholy (pozice, normály, textury).
• Fragment shader – určuje barvu a vzhled každého fragmentu.
• Geometry shader (volitelný) – generování nebo modifikace geometrie.
• (další: tessellation shader, compute shader)

• Skaláry – `float`, `double`, `bool`, `int`, `uint`.
• Vektory – např. `vec2`, `vec3`, `vec4`, `ivec3` (kombinace typu a dimenze).
• Matice – `mat2`, `mat3`, `mat4` (čtvercové, obsahují `float`).
• Sampler – speciální typ pro práci s texturami (`sampler2D`, `samplerCube`).

• in – vstupní proměnná shaderu; data z předchozí fáze pipeline (např. `in vec3 normal` ve fragment shaderu).
• out – výstupní proměnná shaderu; předává data do další fáze pipeline.
• uniform – globální proměnná neměnná během vykreslení jednoho objektu; nastavuje se z CPU přes OpenGL (např. `uniform mat4 modelViewMatrix`).

Uniformy:

• Získání polohy proměnné:

\[ \text{location} = \text{glGetUniformLocation(program, "name")} \]

• Nastavení hodnoty:

\[ \text{glUniform*}(location, value) \]

V praxi to je např. glUniform1f, glUniform3fv

Atributy (Vertex Attributes):

• Vytvoření a naplnění bufferů (`VBO`, `VAO`).
• Přiřazení atributů k vertex shaderu:
  • Získání polohy:

\[ \text{location} = \text{glGetAttribLocation(program, "attributeName")} \]

• Aktivace atributu:

\[ \text{glEnableVertexAttribArray(location)} \]

• Nastavení formátu:

\[ \text{glVertexAttribPointer(location, size, type, normalized, stride, pointer)} \]

Poznámka: `stride` určuje vzdálenost mezi jednotlivými instancemi atributu, `pointer` určuje offset prvního prvku.

1. Vytvoření a kompilace shaderů (vertex, fragment) pomocí GLSL zdrojového kódu.
2. Připojení shaderů k programu (`glAttachShader`) pro vytvoření kompletního pipeline.
3. Aktivace programu (`glUseProgram`) před vykreslováním geometrie.
4. Naplnění bufferů daty (`VBO`, `EBO`) obsahujícími vrcholy a indexy objektů.
5. Přiřazení dat shaderům (nastavení vertex atributů a uniformních proměnných).
6. Vykreslení scény voláním (`glDrawArrays`, `glDrawElements`) podle dat v bufferech.
7. Update scénických dat / animace pro dynamické změny v průběhu vykreslování.
8. Vyčištění frame bufferu (`glClear`) pro přípravu na další snímek.

Transformace v grafice upravují pozice vertexů v prostoru a jsou reprezentovány maticemi (4×4). Rozlišujeme:

• Lineární transformace – zahrnují škálování (scale) a rotace, neobsahují translaci.
• Afinní transformace – rozšíření lineárních transformací o translaci.
• Homogenní souřadnice – umožňují reprezentaci všech typů transformací jednotnou maticovou operací.

• Předpokládáme, že bod je sloupcový vektor souřadnic a ho maticí zleva (v OpenGL), pokud by byl řádkový a matice by byla transponovaná, násobil by se vektor zprava (DirectX)

• Rotace kolem osy X:

\[ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Rotace kolem osy Y:

\[ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Rotace kolem osy Z:

\[ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Škálování:

\[ S(s_x, s_y, s_z) = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Translace:

\[ T(t_x, t_y, t_z) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Obecná afinní transformace se skládá z translace a lineární transformace:

\[ A = \begin{bmatrix} L & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• kde \( L \) je 3×3 matice obsahující rotaci a škálování.

• Rigidní transformace – zachovávají vzdálenosti mezi body objektu, a tím i jeho tvar.
• Pokud rigidní transformace zahrnuje zrcadlení, dochází ke změně orientace souřadného systému.
• Testy rigidity:
  • Ortogonalita – vektory jsou na sebe kolmé, což samo o sobě nestačí.
  • Ortonormalita – vektory jsou kolmé a jednotkové, determinant matice je 1.
  • Determinant = -1 – označuje přítomnost lichého počtu zrcadlení.
  • Determinant nelze použít jako spolehlivý test rigidity, pokud matice není ortogonální.

• V homogenních souřadnicích přidáváme čtvrtou souřadnici \( w \), což umožňuje jednotnou reprezentaci projekcí:

\[ (x, y, z) \to (xw, yw, zw, w) \]

• Interpretace souřadnice \( w \):
  • Pro body je \( w = 1 \), což umožňuje aplikaci translací (posunutí).
  • Pro vektory je \( w = 0 \), což znamená, že nejsou ovlivněny translací (zůstávají pouze jako směry).

Definuje pohled kamery na bod ve scéně, vstupy jsou:

• Eye – pozice kamery
• Center – bod, kam kamera míří
• Up – směr nahoru

• Výpočet os souřadného systému kamery:

\[ Z = \text{normalize}(E - C),\\ X = \text{normalize}(\text{up} \times Z),\\ Y = Z \times X \]

• Matice LookAt:

\[ E = \begin{bmatrix} X & Y & Z & e \end{bmatrix} \]

• Transformace souřadnic Normalized Device Coordinates (NDC) do okna aplikace:

\[ O_x = x \frac{w}{2} + \frac{w}{2}, \\ O_y = y \frac{h}{2} + \frac{h}{2} \]

• Proces, jakým prochází vertex od lokálního systému objektu až po vykreslení na obrazovce, lze popsat následovně:

• Objektový systém – lokální souřadnice, definují pozici vertexů relativně k objektu.

\[ v_{obj} = \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \\ w_0 \end{bmatrix} \]

• Světový systém – aplikací modelovací transformace se převádí vertex do globálního referenčního rámce:

\[ v_{world} = M \cdot v_{obj} \]

• Pohledový systém (kamera) – aplikací pohledové transformace (LookAt matice) přesuneme vertexy do souřadnic kamery (oka):

\[ v_{view} = V \cdot v_{world} \]

• Projekční systém a ořezávací souřadnice (clipping) – pomocí projekční matice (ortogonální nebo perspektivní) transformujeme souřadnice do tzv. ořezávacího prostoru (clipping space):

\[ v_{clip} = P \cdot v_{view} \]

• Následuje clipping, kdy se odstraní vertexy mimo pohled kamery.

• Normalizované souřadnice zařízení (NDC) – provede se perspektivní dělení, normalizace podle homogenní složky \( w \):

\[ v_{NDC} = \frac{v_{clip}}{w} \]

• Souřadnice okna (viewport transformace) – nakonec se NDC transformují do okna aplikace (viewport):

\[ v_{window} = V_p \cdot v_{NDC} \]

• Rovnoběžná (ortogonální) projekce – nezohledňuje perspektivu, všechny body jsou promítány rovnoběžně na projekční rovinu. Používá se například pro technické výkresy.
• Perspektivní projekce – zohledňuje vzdálenost, blízké objekty jsou větší než vzdálené. Používají se homogenní souřadnice.

• Perspektivní projekční matice – reprezentuje převod ze světového prostoru do projekčního prostoru:

\[ \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{r-l} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{t-b} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{f+n}{f-n} & -\frac{2fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]

• Ortogonální projekční matice – slouží pro ortogonální zobrazení, kde nejsou objekty zkresleny perspektivou:

\[ \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{2}{f-n} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

• Perspektivní matice – tato matice odpovídá za převod hloubky do homogenních souřadnic:

\[ \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & fn \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]

• Vztah mezi projekčními maticemi – Perspektivní projekční matice je výsledkem násobení ortogonální projekční matice a perspektivní matice:

\[ P_{perspective} = P_{orthographic} \cdot P_{perspective\_depth} \]

• Rotace kolem dvou os může vést ke ztrátě osy volnosti. Možné řešení:
  • Použití kvaternionů místo Eulerových úhlů.

Kvaterniony poskytují stabilní a efektivní způsob reprezentace a interpolace rotací v počítačové grafice. Oproti maticové reprezentaci nevedou k problémům jako je Gimbal Lock a umožňují plynulejší interpolaci.

• Kvaterniony jsou čtyřrozměrné vektory (skalární část \( q_0 \) a trojrozměrná imaginární část \( \mathbf{q} \)), které rozšiřují komplexní čísla pro reprezentaci rotací:

\[ q = q_0 + \mathbf{q} = q_0 + q_1 i + q_2 j + q_3 k \]

• Ryzí kvaternion – nemá skalární část: \( q_0 = 0 \).
• Jednotkový kvaternion – má normu \( |q| = 1 \) a představuje rotaci.
• Sdružený kvaternion – kvaternion s opačnou imaginární částí:

\[ q^* = q_0 - \mathbf{q} \]

• Inverzní kvaternion – vypočítá se jako:

\[ q^{-1} = \frac{q^*}{|q|^2} \]

• Násobení kvaternionů:
  • Ryzí kvaterniony:

\[ pq = -\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} + \mathbf{p} \times \mathbf{q} \]

• Obecné kvaterniony:

\[ p q = p_0 q_0 - \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} + p_0 \mathbf{q} + q_0 \mathbf{p} + \mathbf{p} \times \mathbf{q} \]

• Kvaterniony lze získat z rotace maticí nebo ze dvou vektorů pomocí úhlu a normalizovaného vektorového součinu.

• Kvaterniony umožňují reprezentaci rotace kolem osy \( \mathbf{u} \) o úhel \( \alpha \):

\[ q = \cos \frac{\alpha}{2} + \mathbf{u} \sin \frac{\alpha}{2} \]

• \( \mathbf{u} \) – jednotkový vektor osy rotace, \( \alpha \) – úhel rotace.

Interpolace mezi dvěma kvaterniony se používá k plynulé změně rotace v čase.

• LERP (Linear Interpolation) – lineární interpolace mezi dvěma kvaterniony:

\[ LERP(q_1, q_2, t) = (1 - t) q_1 + t q_2 \]

• Zajišťuje konstantní rychlost interpolace, ale nemusí udržovat jednotkovou délku kvaternionu.

• nLERP (Normalized LERP) – varianta LERP, která normalizuje výsledek:

\[ nLERP(q_1, q_2, t) = \text{normalize}((1 - t) q_1 + t q_2) \]

• Udržuje jednotkovou délku, ale neinterpoluje s konstantní úhlovou rychlostí.

• SLERP (Spherical Linear Interpolation) – interpolace po jednotkové sféře:

\[ SLERP(q_1, q_2, t) = \frac{\sin((1 - t) \theta)}{\sin \theta} q_1 + \frac{\sin(t \theta)}{\sin \theta} q_2 \]

• Zachovává konstantní úhlovou rychlost a je ideální pro plynulé rotace velkých úhlů.

• Kvaterniony jsou v počítačové grafice široce používány pro animaci kamer, objektů, pohybových trajektorií a fyzikálních simulací.

• Normálový vektor je vektor kolmý na povrch, který ovlivňuje výpočet osvětlení a směr odrazu světla.
• Určuje, jak se světlo odráží od povrchu a jak intenzivní bude osvětlení v daném bodě.
• Normála musí být normalizována, aby měla jednotkovou délku:

\[ \vec{n}_{normalized} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \]

• Každý vertex musí mít přiřazený normálový vektor.
• Normály nejsou automaticky počítány v OpenGL, musí být definovány a uloženy v bufferu.
• U plochých povrchů (flat surface) stačí jedna normála na celý povrch.
• U zakřivených povrchů (curved surface) se normála mění v každém bodě.

• Normála trojúhelníka se vypočítá jako vektorový součin dvou hran trojúhelníka:

\[ \vec{n} = \text{normalize}(\vec{CB} \times \vec{CA}) \]

• Výsledná normála musí být normalizována, aby měla jednotkovou délku.

• Při interpolaci normál ve fragment shaderu dochází ke zkrácení jejich délky.
• Interpolované normály musí být v fragment shaderu znovu normalizovány.
• Příčina zkrácení normál – během interpolace mezi vertexy nejsou normály vždy udržovány s jednotkovou délkou.
• Rigidní transformace (rotace, translace) nemění délku normál, zatímco nelineární transformace (škálování) mohou délku změnit.

• Pokud je aplikována nerigidní transformace, například neuniformní škálování, normálový vektor ztratí kolmou orientaci k povrchu.
• K opravě normály se používá normálová matice, která se vypočítá jako transponovaná inverzní matice modelu:

\[ N = (M^{-1})^T \]

• U rigidních transformací platí zjednodušení:

\[ M^{-1} = M^T \Rightarrow N = M_{3 \times 3} \]

• Uniformní škálování ovlivňuje délku normálového vektoru násobením škálovacím faktorem \( k \).
• Zjednodušení výpočtu:

\[ \vec{n'} = \frac{\vec{n}}{k} \]

• což ušetří výpočetní výkon při normalizaci.

• Krychle – Každá plocha má vlastní normálu, vertexy sdílejí normály sousedních ploch.
• Koule – Normála v bodě \( P \) se vypočítá jako:

\[ \vec{n} = \text{normalize}(P - \text{origin}) \]

• Trojúhelníky a síť (mesh):
  • Normála trojúhelníka:

\[ \vec{n} = \text{normalize}(\text{crossProduct}(\text{edge}_1, \text{edge}_2)) \]

• Pro síť (mesh) se normála vertexu počítá jako průměr normalizovaných normál sousedních polygonů:

\[ \vec{N} = \text{normalize}(\sum_{i=0}^{pcount} \vec{N}_i) \]

• Lokální empirický model osvětlení používaný v počítačové grafice.

• Počítá osvětlení na základě normálového vektoru a směru světla.
• Neřeší globální světelné efekty jako odrazy nebo lomy světla.
• Osvětlení se počítá zvlášť pro kanály R, G, B a výsledná barva je jejich součet.
• Celková barva bodu:

\[ \text{color} = \text{emission} + \text{globalAmbient}_\text{reflected} + \sum \text{light}_i \]

• Každý světelný příspěvek:

\[ \text{light}_i = \text{spotlightEffect} \times \text{attenuationFactor} \times (\text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected}) \]

• Ambientní složka (ambient reflection) simuluje nepřímé osvětlení, které je rovnoměrně rozptýlené po scéně.
• Nezávisí na směru světla ani pohledu kamery.

\[ \text{ambient}_\text{reflected} = \text{ambient}_\text{light} \cdot \text{ambient}_\text{material} \]

• Globální ambientní složka:

\[ \text{globalAmbient}_\text{reflected} = \text{globalAmbient}_\text{environment} \cdot \text{ambient}_\text{material} \]

• Bez ambientního světla jsou neosvětlené části úplně černé.

• Difuzní složka (diffuse reflection) závisí na úhlu dopadajícího světla. Používá Lambertův model:

\[ \text{diffuse}_\text{reflected} = \max(\cos\alpha, 0) \cdot \text{diffuse}_\text{light} \cdot \text{diffuse}_\text{material} \]

• kde \( \cos\alpha = \vec{l} \cdot \vec{n} \)
• Světlo je rozptýleno rovnoměrně všemi směry.

• Spekulární složka (specular reflection) modeluje odraz světla v konkrétním směru.

\[ \text{specular}_\text{reflected} = [\max(cos\,\beta,0)]^\text{shininess} \cdot \text{specular}_\text{light} \cdot \text{specular}_\text{material} \]

• kde \( \cos\beta = \vec{c} \cdot \vec{r} \)
• Odražený vektor:

\[ \vec{r} = -\vec{l} + 2(\vec{l} \cdot \vec{n})\vec{n} \]

• Shininess určuje ostrost odlesku.

• Emisivní světlo (emissive light) simuluje objekty, které samy vydávají světlo.
• Není ovlivněno žádnými jinými světelnými zdroji.
• Používá se např. pro světelné objekty nebo obrazovky.

• Celkové osvětlení je součet všech složek:

\[ \text{color} = \text{emission} + \text{globalAmbient}_\text{reflected} + \sum \text{light}_i \]

• Každá složka se počítá zvlášť pro kanály RGB.
• Výsledná hodnota je omezena na rozsah \( \langle 0,1 \rangle \).

• Illuminační model určuje, jak je světlo vypočítáno na povrchu objektu.
• Barva bodu závisí na materiálu, světelných zdrojích a úhlu pohledu.

• Fyzikální modely – přesné, berou v úvahu celý světelný tok (např. Lambert).
• Empirické modely – přibližné, rychlé pro real-time (např. Phong).

• Lokální modely – výpočet osvětlení pro každý bod zvlášť, neřeší odrazy.
• Globální modely – berou v úvahu odrazy a stíny (např. ray tracing).

• \( \vec{n} \) – normálový vektor.
• \( \vec{l} \) – směr ke světlu.
• \( \vec{r} \) – odražený vektor.
• \( \vec{v} \) – směr kamery.
• Materiálové vlastnosti – barva, lesklost, emisivita.

• Vjem, kdy se dvě různé barvy jeví stejně, i když mají odlišné spektrální složení.
• RGB je dostačující díky třem typům čípků v lidském oku, což umožňuje efektivní reprezentaci barev v digitálních obrazech.
• Chromatická adaptace – mozek kompenzuje barevné změny okolního osvětlení (např. white balance u kamer).
• Purkyňův jev – při slabém světle je oko citlivější na modré tóny, červené barvy se jeví tmavší.

• Barva objektu závisí na spektrofotometrické odrazivosti povrchu:

\[ L_{\text{reflected}}(\lambda) = L_{\text{incoming}}(\lambda) \cdot \rho(\lambda) \]

• Různé materiály odrážejí světlo různě podle vlnové délky, což ovlivňuje jejich vnímanou barvu.

• Světelné zdroje jsou neviditelné, pouze osvětlují objekty ve scéně.
• Každý vertex je ovlivněn všemi zapnutými světly.
• Stíny nejsou ve Phongově modelu řešeny – je nutný speciální algoritmus.

• Má pouze směr, ne polohu.
• Neztrácí intenzitu s rostoucí vzdáleností (žádná atenuace).
• Výpočet světla:

\[ \text{light}_i = \text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected} \]

• Vektor světla \( \vec{l} \) je normalizovaný směr ke světelnému zdroji.

• Má konkrétní pozici ve scéně.
• Intenzita klesá se vzdáleností (atenuace).
• Směr světla:

\[ \vec{l} = \text{normalize}(\text{pozice}_\text{světla} - \text{bod}) \]

• Atenuace:

\[ \text{attenuationFactor} = \frac{1.0}{k_C + k_L \cdot d + k_Q \cdot d^2} \]

• Výpočet světla:

\[ \text{light}_i = \text{attenuationFactor} \times (\text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected}) \]

• Bodové světlo s kuželovým vyzařováním.
• Bere v úvahu směr reflektoru a úhel kužele.
• Výpočet intenzity v kuželu:

\[ \text{spotlightEffect} = (\vec{\text{spot}} \cdot \vec{l})^\text{SPOT\_EXPONENT} \]

• Výpočet světla:

\[ \text{light}_i = \text{spotlightEffect} \times \text{attenuationFactor} \times (\text{ambient}_\text{reflected} + \text{diffuse}_\text{reflected} + \text{specular}_\text{reflected}) \]

• Materiál ovlivňuje interakci povrchu se světlem – určuje, jaká část světla se pohltí, odrazí nebo rozptýlí.
• Hlavní vlastnosti materiálu:
  • Ambientní barva – základní barva materiálu při nepřímém osvětlení.
  • Difuzní barva – rozptýlené světlo, závisí na úhlu dopadu.
  • Spekulární barva – barva odlesků, závisí na směru pohledu.
  • Emisivní barva – světlo vyzařované materiálem.
  • Shininess – určuje ostrost odlesků (vyšší hodnota = ostřejší odlesky).
• Isotropní materiály – odrážejí světlo rovnoměrně všemi směry (plast, matné kovy).
• Anizotropní materiály – odrážejí světlo směrově (leštěný kov, vlasy).

• Hardcoded – pevně definované v kódu shaderu.
• Uniform proměnná – stejný materiál pro celý objekt.
• Textury – různé mapy (diffuse, specular, normal) umožňují detailní variace.

• Metody stínování určují, jak se provádí výpočet osvětlení povrchů objektů:
  • Flat Shading – každý polygon má konstantní barvu, určenou normálou středu polygonu nebo jednoho z vertexů.
    • Výhoda – rychlé výpočty.
    • Nevýhoda – viditelné hrany mezi polygony, nereálný vzhled.
  • Gouraud Shading – výpočet osvětlení ve vrcholech a interpolace barvy uvnitř polygonů.
    • Výhoda – hladší přechody než Flat Shading.
    • Nevýhoda – odlesky mohou být nepřesné nebo se ztratit.
  • Phong Shading – interpolace normál mezi vertexy a výpočet osvětlení pro každý pixel.
    • Výhoda – nejrealističtější výsledek, přesné odlesky a hladké přechody.
    • Nevýhoda – vyšší výpočetní náročnost.

Křivky můžeme popsat třemi hlavními způsoby:

• Explicitní reprezentace – křivka je vyjádřena jako funkce \( y = f(x) \). Lze použít jen pro jednoduché křivky, nelze ji snadno použít v 3D nebo při rotacích.

• Implicitní reprezentace – křivka je definována rovnicí \( F(x, y) = 0 \). Vhodná pro testování, zda bod leží na křivce, ale obtížná pro 3D.

• Parametrická reprezentace – souřadnice bodu jsou funkcemi parametru \( t \):

\[ x = x(t),\ y = y(t),\ z = z(t) \] Výhody:

• Lze snadno určit libovolný bod na křivce.
• Funguje i v 3D, na rozdíl od explicitní (např. \( y = f(x) \)) nebo implicitní (\( F(x,y) = 0 \)) reprezentace.
• Parametrizace není jednoznačná: stejná křivka může být popsána různými funkcemi.

Křivky používané v počítačové grafice bývají složené z více segmentů – dílčích úseků, které dohromady tvoří celou křivku \( Q(t) \). Každý segment (např. \( Q_0(t), Q_1(t), \ldots \)) je typicky popsán polynomiálně a má zajištěnou plynulost uvnitř sebe.

Aby však celá složená křivka působila plynule, je potřeba řešit spojitost v místech napojení segmentů – tzv. uzlech (join points, knot points). Uzel je bod, kde končí jeden segment a začíná další, např. \( Q_0(1) = Q_1(0) \).

V praxi vyžadujeme, aby jednotlivé segmenty na sebe navazovaly nejen v poloze, ale i ve směru nebo rychlosti – podle toho rozlišujeme různé typy spojitosti:

• Spojitost křivky uvnitř segmentu je zajištěna přímo její parametrickou definicí (např. polynomem).
• Spojitost mezi segmenty je klíčová pro zachování vizuálně plynulého tvaru celé křivky.

Zohledňuje směr i velikost derivací (rychlost, zrychlení). Pokud je parametrická spojitost splněna, je zaručena i geometrická spojitost.

• C0 – křivky končí a začínají ve stejném bodě.
• C1 – křivky mají v místě napojení stejný směr a velikost první derivace (rychlosti).
• C2 – shoda i druhé derivace (zrychlení).

Zohledňuje pouze směr derivací bez ohledu na velikost. Poskytuje vizuálně hladké přechody, ale bez zajištění konzistentní rychlosti.

• G0 – stejný bod (jako C0).
• G1 – stejné směry tečen, ale mohou mít různou velikost (plynulý přechod).
• G2 – stejné směry a akcelerace, velikosti se mohou lišit.

Interpolační křivky vždy procházejí všemi zadanými kontrolními body. Jsou vhodné například pro animace trajektorií, protože přesně sledují zadané pozice. Změna polohy jednoho bodu ovlivní i sousední segmenty.

Parametrická kubická křivka definovaná dvěma body a jejich tečnami (směry v daných bodech). Používá 4 bázové funkce, které kombinují pozice a tečny: \[ P(t) = h_1(t)P_0 + h_2(t)P_1 + h_3(t)T_0 + h_4(t)T_1 \]

• Zajišťuje spojitost C1 (plynulé napojení polohy a rychlosti).
• Vhodná pro definování pohybových drah nebo animace kostí v počítačové grafice.
• Výhodou je možnost přesně ovlivnit směr a rychlost pohybu v klíčových bodech.

Speciální typ kubické Hermitovy křivky, která automaticky generuje tečny z okolních bodů. Tečna ve středu mezi dvěma body se určuje jako: \[ T_i = \frac{P_{i+1} - P_{i-1}}{2} \]

• Výrazně usnadňuje použití, protože nejsou potřeba ručně definované tečny.
• Zajišťuje hladké přechody mezi body s parametrickou spojitostí C1.
• Velmi často se používá při animacích pohybu kamery, objektů nebo částic podél cesty definované body.

Aproximační křivky neprocházejí přímo kontrolními body, ale jejich poloha a váha určují tvar křivky. Používají se tam, kde je důležitá hladkost a flexibilita křivky. Výhodou je i lokální vliv změn – posun kontrolního bodu ovlivní jen část křivky.

Křivka definovaná pomocí Bernsteinových polynomů: \[ B(t) = \sum_{i=0}^{n} b_i B_{i,n}(t) \] kde: \[ B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{n - i} t^i \]

• C0 spojitost – poslední bod první křivky je shodný s prvním bodem druhé.
• C1 spojitost – dosažitelná vhodným symetrickým umístěním ovládacích bodů.
• Nejčastější je kubická Bézierova křivka (4 body, stupeň 3).
• Používá se v počítačové grafice, typografii (fonty), vektorové grafice a animacích.
• Jednoduchá implementace, ale globální vliv – změna bodu ovlivní celou křivku.

Bernsteinovy polynomy tvoří základní bázové funkce Bézierových křivek. Pro stupeň \( n \) a index \( i \) jsou definovány jako: \[ B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{n - i} t^i \] kde \( t \in [0,1] \). Mají tyto vlastnosti:

• Všechny hodnoty jsou nezáporné.
• Mají maximum v jediném bodě.
• Součet všech polynomů daného stupně je vždy 1:

\[ \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t) = 1 \] Tím zajišťují stabilitu a plynulou interpolaci mezi kontrolními body.

Stabilní numerická metoda pro výpočet bodu na Bézierově křivce:

• Funguje na principu opakované lineární interpolace mezi body:

\[ P_{i}^{r}(t) = (1 - t) P_{i}^{r-1} + t P_{i+1}^{r-1} \] kde \( P_{i}^{0} = P_i \) jsou původní kontrolní body.

• Opakuje se, dokud nezůstane jediný bod \( P_{0}^{n}(t) \), což je bod na křivce.
• Umožňuje rozdělit křivku na dvě menší v libovolném parametru \( t \).
• Používá se při adaptivním vykreslování a vektorových editorech.

Rozdíl: de Casteljau algoritmus přímo počítá body Bézierovy křivky a umožňuje její stabilní dělení.

Segmentovaná polynomiální křivka s možností řízení tvaru přes tzv. uzlový vektor:

• Uniform B-Spline – uzly jsou rozloženy pravidelně (rovnoměrné segmenty).
• Non-Uniform B-Spline (NUBS) – uzly lze rozmístit libovolně, což dává větší kontrolu nad tvarem.
• Zajišťuje C2 spojitost – plynulé spojení segmentů (pozice, tečna i křivost).
• Lokální vliv – změna jednoho kontrolního bodu ovlivní jen příslušný úsek křivky.
• Využití: animace, CAD modelování, počítačová grafika.

Speciální případ uniformního kubického B-Spline:

• Definována čtyřmi kontrolními body.
• Pozice bodu na křivce je dána lineární kombinací těchto bodů pomocí bázových funkcí:

\[ P(t) = \sum_{i=0}^{3} B_i(t) P_i \] kde \( B_i(t) \) jsou uniformní kubické B-Spline funkce.

• Kontrolní body neleží přímo na křivce, ale určují její průběh.
• Tangenty v krajních bodech jsou rovnoběžné s úsečkami ke krajním bodům.
• Při sdílení dvou sousedních bodů lze dosáhnout C2 spojitosti.
• Křivka prochází antitěžištěm svých čtyř kontrolních bodů – tedy bodem, který je aritmetickým průměrem jejich souřadnic. Tento bod ovlivňuje celkový tvar křivky a přispívá k její symetrii.

Rozdíl: Coonsova křivka je aproximační (křivka neprochází kontrolními body), zatímco de Casteljau je interpolační pro Bézierovy křivky.

Při práci s křivkami v grafice je důležitá i efektivita výpočtu a vhodnost použití pro různé účely.

• Bézierovy křivky:
  • Výpočet bodu na křivce: pomocí de Casteljau algoritmu (rekurzivní interpolace), náročnost roste s počtem bodů.
  • Nevýhoda: změna jednoho kontrolního bodu ovlivní celou křivku (globální vliv).
  • Výhoda: jednoduché na implementaci, vhodné pro krátké segmenty nebo přesně řízené tvary.

• B-Spline:
  • Výpočet bodu pomocí rekurze Cox–de Boor – bod se určuje postupným váženým zprůměrováním sousedních bodů podle uzlového vektoru.
  • Výhoda: lokální vliv – změna bodu ovlivní jen část křivky.
  • Lepší škálování při animacích a komplexních modelech (např. CAD, modelování povrchů).

Obecně platí:

• Bézier – rychlejší pro malé množství bodů, intuitivnější řízení.
• B-Spline – výhodnější pro složitější, dlouhé nebo dynamicky měněné křivky.

NURBS (neuniformní racionální B-Spline) jsou nejobecnější formou křivek používaných v počítačové grafice a modelování. Umožňují velmi přesně řídit tvar pomocí vážených kontrolních bodů a nepravidelného rozložení uzlů.

\[ P(t) = \frac{\sum N_{i,p}(t) w_i P_i}{\sum N_{i,p}(t) w_i} \]

• \( P_i \) jsou kontrolní body
• \( w_i \) jsou jejich váhy – čím větší váha, tím více křivka přiléhá k danému bodu
• \( N_{i,p}(t) \) jsou B-Spline bázové funkce stupně \( p \)
• Výraz je racionální zlomek – jmenovatel zajišťuje správnou normalizaci váženého průměru

Důležité vlastnosti a pojmy:

• Afinní i perspektivní invariantnost – NURBS zachovávají tvar i při projekcích (např. kamera).
• Homogenní souřadnice \((xw, yw, zw, w)\) umožňují efektivní práci s váhami a transformacemi.
• Dokážou přesně reprezentovat klasické tvary jako kružnice, elipsy, kužely, válce nebo složité CAD objekty.
• Uzlový vektor nemusí být rovnoměrný – neuniformní rozložení umožňuje větší flexibilitu tvaru.
• Umožňují libovolnou spojitost až po C2, závisle na stupni a opakování uzlů.

NURBS jsou dnes standardem v CAD systémech, 3D grafice a průmyslovém návrhu, protože spojují přesnost, flexibilitu a efektivní výpočet.