B0B01PST Webové stránky předmětu Helisova stránky předmětu

• Definice pravděpodobnosti (Kolmogorovova) – nezávislost náhodných jevů, podmíněná pravděpodobnost, Bayesova věta. Pojem náhodné veličiny, popis jejího rozdělení pomocí distribuční funkce, hustoty, pravděpodobnostní funkce. Střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka, momenty náhodných veličin. Základní typy spojitých a diskrétních rozdělení.
• Náhodné vektory a jejich popis – nezávislost náhodných veličin, kovariance a korelace.
• Čebyševova nerovnost – centrální limitní věta.
• Základní pojmy statistiky – náhodný výběr, empirické rozdělení.
• Obecné vlastnosti odhadů parametrů – odhady střední hodnoty, rozptylu, směrodatné odchylky, momentů. Odhady parametrů metodou momentů a metodou maximální věrohodnosti. Intervalové odhady.
• Princip statistického testování hypotéz – testy střední hodnoty a rozptylu, porovnání dvou rozdělení, $\chi^2$-test dobré shody, test nezávislosti v kontingenční tabulce.
• Markovovy řetězce – základní pojmy a vlastnosti, popis přechodovým diagramem a maticí přechodu. Klasifikace stavů, periodicita, rozložitelnost. Asymptotické chování Markovových řetězců.

• Definice pravděpodobnosti (Kolmogorovova) – nezávislost náhodných jevů, podmíněná pravděpodobnost, Bayesova věta. Pojem náhodné veličiny, popis jejího rozdělení pomocí distribuční funkce, hustoty, pravděpodobnostní funkce. Střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka, momenty náhodných veličin. Základní typy spojitých a diskrétních rozdělení.

• Pravděpodobnost je funkce, která popisuje budoucí pravdivost neznámých jevů. Z teorie vyvozujeme realitu – udává, jak moc očekáváme, že nastane určitý jev.
• Náhodný pokus – proces, jehož výsledek není předem jednoznačně určen, ale lze popsat množinou možných výsledků. Např. hod kostkou.
• Elementární jev – konkrétní výsledek náhodného pokusu.
• Jev – množina elementárních jevů, které sdílí určitou vlastnost. Např. „padla sudá“.
• Jistý jev – nastává vždy, nemožný jev – nikdy. Opačný jev – doplněk vzhledem k celku.
• Jevové pole – množina všech pozorovatelných jevů (např. exp Ω).
• Úplný systém jevů – kolekce navzájem neslučitelných jevů, jejichž sjednocení tvoří jistý jev. Součet jejich pravděpodobností je 1.

• Kolmogorovova definice pravděpodobnosti je založená na třech axiomech:
  • Axiom nezápornosti: $\forall A \in \mathcal{A}: P(A) \geq 0$
  • Axiom normovanosti: $P(\Omega) = 1$
  • Axiom σ-aditivity: Pro neslučitelné jevy $A_1, A_2, \dots$, platí:

$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) = \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i)$

• Pravděpodobnostní prostor je trojice $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, kde:
  • $\Omega$ – neprázdná množina elementárních jevů
  • $\mathcal{A}$ – σ-algebra podmnožin $\Omega$
  • $P$ – pravděpodobnostní míra

• σ-algebra $\mathcal{A}$ splňuje:
  • $\emptyset \in \mathcal{A}$
  • $A \in \mathcal{A} \Rightarrow A^c \in \mathcal{A}$
  • $A_1, A_2, \dots \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \in \mathcal{A}$

• Borelova σ-algebra – nejmenší σ-algebra na $\mathbb{R}$ obsahující všechny otevřené intervaly. Obsahuje i uzavřené, polouzavřené a jejich spočetné sjednocení.

• Jevy $A$ a $B$ jsou nezávislé, pokud:
  • $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
  • To znamená, že výskyt jednoho jevu nijak neovlivňuje výskyt druhého.
  • Ekvivalentně: $P(A | B) = P(A)$ a $P(B | A) = P(B)$

• Důsledky:
  • Pro nezávislé jevy platí také: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$

• Nezávislost nelze zaměňovat se neslučitelností – neslučitelné jevy nemohou nastat současně: $P(A \cap B) = 0$.

• Dvojice jevů může být:
  • Neslučitelná a závislá – např. „padla 1“ a „padla 6“
  • Nezávislá a slučitelná – např. „padla sudá“ a „padla větší než 3“

• V praxi ověřujeme nezávislost pomocí výpočtu $P(A \cap B)$ a porovnáním s $P(A) \cdot P(B)$

• Náhodný pokus má $n$ různých stejně pravděpodobných výsledků.
• Pravděpodobnost jevu $A \subseteq \Omega$ je:

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

• Tento model je vhodný pouze pro konečné diskrétní prostory s rovnoměrnými rozděleními.
• Nevhodný pro spojité rozdělení nebo nekonečné množiny – zde se uplatňuje Kolmogorovův přístup.

• Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost jevu $A$ za předpokladu, že nastal jev $B$. Značí se $P(A|B)$ a definuje se jako:

$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{pouze pokud } P(B) > 0 $$

• Znamená to, že podmíněná pravděpodobnost výskytu $A$, pokud víme, že nastal $B$, je rovna pravděpodobnosti průniku obou jevů dělené pravděpodobností $B$.

• Tato definice odpovídá intuitivnímu chápání „pravděpodobnosti za předpokladu“. Upřesňuje, jak se mění pohled na pravděpodobnost, když víme, že se určitý jev již stal.

• Z podmíněné pravděpodobnosti vyplývá také užitečná identita (úplný zákon pravděpodobnosti):

$$ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|B^c) \cdot P(B^c) $$

• To znamená, že pravděpodobnost jevu $A$ lze rozdělit podle toho, zda nastal $B$ nebo jeho doplněk.

• Řetězové pravidlo (chain rule): Pravděpodobnost výskytu posloupnosti jevů lze zapsat jako součin podmíněných pravděpodobností:

$$ P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdot P(A_3|A_1 \cap A_2) \cdots P(A_n|A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}) $$

• Například pro posloupnost hodů kostkou můžeme psát:

$P(1,4,6,2) = P(1) \cdot P(4|1) \cdot P(6|1 \cap 4) \cdot P(2|1 \cap 4 \cap 6)$

• Nezávislost jevů a podmíněná pravděpodobnost:
  • Jevy $A$ a $B$ jsou nezávislé, právě když:

$$ P(A|B) = P(A) \quad \text{a} \quad P(B|A) = P(B) $$

• Z toho plyne i definice pro průnik: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

• Podmíněná nezávislost:
  • Jevy $A$ a $B$ jsou podmíněně nezávislé vzhledem k $C$, pokud:

$$ P(A \cap B | C) = P(A|C) \cdot P(B|C) $$

• To znamená, že pokud víme, že nastal jev $C$, pak $A$ a $B$ jsou vůči sobě nezávislé.

• Bayesova věta je základní vztah v teorii pravděpodobnosti, který umožňuje *obrátit* podmíněné pravděpodobnosti. Z vyjádření pravděpodobnosti $P(B|A)$ získáme $P(A|B)$:

$$ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} $$

• pouze pokud P(B) > 0
• Tento vzorec umožňuje odhadnout pravděpodobnost jevu $A$ za předpokladu, že nastal $B$, na základě znalosti pravděpodobnosti $B$ za podmínky $A$ (tzv. likelihood) a apriorní pravděpodobnosti $A$.

• Interpretace:
  • $P(A)$ – apriorní pravděpodobnost jevu $A$ (např. pravděpodobnost nemoci před testováním)
  • $P(B|A)$ – pravděpodobnost pozorování $B$ za předpokladu $A$ (např. pozitivní test pokud je nemoc)
  • $P(B)$ – celková pravděpodobnost jevu $B$ (např. celková pravděpodobnost pozitivního testu)
  • $P(A|B)$ – aposteriorní pravděpodobnost (pravděpodobnost, že má pacient nemoc, když test vyšel pozitivně)

• Rozšíření na více jevů – věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec:
  • Pokud máme úplný systém disjunktních jevů $A_1, A_2, ..., A_n$ (např. různé možné příčiny nějakého jevu), a známe pravděpodobnosti $P(A_i)$ a podmíněné pravděpodobnosti $P(B|A_i)$, pak:

$$ P(B) = \sum_{j=1}^{n} P(A_j) \cdot P(B|A_j) $$

• A Bayesova věta pro konkrétní $A_i$:

$$ P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j) \cdot P(B|A_j)} $$

• Praktický příklad – falešně pozitivní testy (FP), pravdivě pozitivní (TP), atd.:
  • Např. pravděpodobnost, že pacient má nemoc (A), když test (B) je pozitivní:
    • $P(A)$ – pravděpodobnost, že má nemoc
    • $P(B|A)$ – test odhalí nemoc (true positive rate)
    • $P(B|\neg A)$ – test je falešně pozitivní (false positive rate)
    • $P(\neg A)$ – nemá nemoc
    • Pak:

$$ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(\neg A) \cdot P(B|\neg A)} $$

• Význam v praxi:
  • Základní nástroj v medicíně (diagnostika), strojovém učení (naivní Bayesův klasifikátor), rozhodování s neúplnými informacemi.

Náhodná veličina je měřitelná funkce $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$, která každému elementárnímu jevu $\omega \in \Omega$ přiřadí reálné číslo. Je definována na pravděpodobnostním prostoru $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. Měřitelnost znamená, že pro každý interval $I \subseteq \mathbb{R}$ je množina $\{\omega \in \Omega : X(\omega) \in I\} \in \mathcal{A}$, tj. lze jí přiřadit pravděpodobnost.

• Distribuční funkce náhodné veličiny $X$ je funkce:

$$ F_X(t) = P(X \leq t) $$

• Je to neklesající, zprava spojitá funkce, začínající v 0 a konvergující k 1. Popisuje pravděpodobnost, že náhodná veličina $X$ nabude hodnoty menší nebo rovné $t$.

• Hustota pravděpodobnosti (pokud existuje) je derivací distribuční funkce:

$$ f_X(t) = \frac{dF_X(t)}{dt}, \quad f_X(t) \geq 0 $$

• Pravděpodobnost intervalu:

$$ P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a) = \int_a^b f_X(t) \, dt $$

• Základní vlastnosti hustoty:
  • $f_X(x) \ge 0$
  • $\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1$

• Pravděpodobnostní funkce (pro diskrétní náhodné veličiny - pravděpodobnost, že náhodná veličina $X$ nabude konkrétní hodnoty $t$):

$$ p_X(t) = P(X = t) $$

• Pravděpodobnostní míra $P_X$ určuje pravděpodobnost jevů náhodné veličiny $X$ a splňuje:
  • $P_X(\mathbb{R}) = 1$
  • $P_X(\emptyset) = 0$
  • Pokud jsou množiny $B_i$ disjunktní, pak $P_X\left(\bigcup_i B_i\right) = \sum_i P_X(B_i)$

Nabývá konečný nebo spočetný počet hodnot. Distribuční funkce je schodová, pravděpodobnost konkrétní hodnoty je dána pravděpodobnostní funkcí: $$ p(t) = P(X = t) = \sum_i p_i \delta(t - t_i) $$

• kde $\delta$ je Diracova funkce.
  • Platí $\sum_i p_i = 1$
  • Pro libovolný interval: $P(a < X \le b) = \sum_{i: a < t_i \le b} p_i$

Nabývá nekonečně mnoho hodnot. Distribuční funkce je spojitá, ale pravděpodobnost, že veličina nabude konkrétní hodnoty, je vždy nulová: $$ P(X = t) = 0 \quad \text{pro všechna } t \in \mathbb{R} $$

• Hustota pravděpodobnosti je definována jako (ale pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude konkrétní hodnoty, je vždy 0.):

$$ f_X(t) = \frac{dF_X(t)}{dt} $$

• A platí:

$$ F_X(t) = \int_{-\infty}^{t} f_X(u) \, du $$

Nabývá jak diskrétních, tak spojitých hodnot. Distribuční funkce obsahuje diskrétní schody i spojité části. Hustota:

$$ f(t) = \sum_i p_i \delta(t - t_i) + f_c(t) $$

kde $p_i$ jsou pravděpodobnosti diskrétních hodnot $t_i$ a $f_c(t)$ je hustota spojité části.

Střední hodnota (očekávaná hodnota) náhodné veličiny $X$ je definována jako „vážený průměr“ hodnot, které může $X$ nabývat, kde váhou je pravděpodobnost výskytu těchto hodnot.

• Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti $f(t)$ platí:

$$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) \, dt $$

• Pro diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá hodnot $t_i$ s pravděpodobností $p_i$, je očekávaná hodnota dána součtem:

$$ E(X) = \sum_{i} t_i p_i $$

Střední hodnota tedy představuje „průměrnou“ hodnotu, kterou bychom očekávali při velkém počtu opakování náhodného pokusu.

Poznámka: Lze ji také zapsat pomocí distribuční funkce: $$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, dF(x) $$ pokud integrál existuje. V diskrétním případě lze výpočet provést přes konvergentní řadu: $$ E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i \cdot p_i $$

Rozptyl (variance) náhodné veličiny $X$ popisuje, jak moc se hodnoty náhodné veličiny „rozptylují“ kolem její střední hodnoty. Je to očekávaná hodnota druhé mocniny odchylky od střední hodnoty:

$$ Var(X) = E((X - E(X))^2) $$

Tuto definici lze přepsat pomocí tzv. Steinerovy věty do ekvivalentního tvaru: $$ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $$ kde $E(X^2)$ je očekávaná hodnota druhé mocniny veličiny $X$.

Rozptyl měří míru „rozptýlení“ hodnot kolem průměru. Čím vyšší rozptyl, tím větší je variabilita dat.

Směrodatná odchylka (standard deviation) je druhá odmocnina rozptylu: $$ \sigma(X) = \sqrt{Var(X)} $$

Jedná se o často používanou míru variability, protože má stejné jednotky jako původní veličina (na rozdíl od rozptylu, který má jednotky druhé mocniny).

Moment náhodné veličiny $X$ je obecné rozšíření střední hodnoty a definuje se jako očekávaná hodnota $k$-té mocniny náhodné veličiny:

• Pro spojitou náhodnou veličinu:

$$ M_k(X) = E(X^k) = \int_{-\infty}^{\infty} t^k f(t) \, dt $$

• Pro diskrétní náhodnou veličinu:

$$ M_k(X) = \sum_{i} t_i^k p_i $$

Momenty slouží k popisu tvaru rozdělení (např. šikmost, špičatost), přičemž:

• $M_1(X)$ je střední hodnota,
• $M_2(X) - (M_1(X))^2$ je rozptyl,
• vyšší momenty popisují například „šikmost“ nebo „špičatost“ rozdělení.

Existují i tzv. centrální momenty, které mají tvar: $$ \mu_k = E((X - E(X))^k) $$ Například druhý centrální moment je právě rozptyl.

Binomické rozdělení – popisuje počet úspěchů v $n$ nezávislých Bernoulliho pokusech, kde každý pokus má pravděpodobnost úspěchu $p$. Distribuční funkce je dána jako: $$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$ Střední hodnota $EX = np$, rozptyl $varX = np(1-p)$.

Poissonovo rozdělení – popisuje počet událostí v pevném intervalu při konstantní intenzitě $\lambda$. Distribuční funkce je: $$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$ Střední hodnota i rozptyl $EX = varX = \lambda$.

Geometrické rozdělení – popisuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v sérii nezávislých Bernoulliho pokusů s pravděpodobností úspěchu $p$. Distribuční funkce je: $$ P(X = k) = p(1 - p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$ Střední hodnota $EX = \frac{1-p}{p}$, rozptyl $varX = \frac{1-p}{p^2}$. *(Pozn.: V některých definicích se udává počet pokusů do prvního úspěchu $(k=1,2,\ldots)$, materiály však explicitně uvádějí $k=0$).*

Alternativní (Bernoulliho) rozdělení - popisuje jediný pokus s pravděpodobností úspěchu $p$. Nabývá hodnot:

• $X=1$ (úspěch) s $P(X=1)=p$
• $X=0$ (neúspěch) s $P(X=0)=1-p$
• Střední hodnota $EX=p$, rozptyl $varX=p(1-p)$.
• (Pozn.: Popis “počet pokusů do prvního úspěchu s různými $p_i$” neodpovídá Alt(p) v materiálech).*

Rovnoměrné rozdělení – popisuje náhodnou veličinu nabývající hodnot $a, a+1, \ldots, b$ s rovnoměrnou pravděpodobností: $$ P(X = k) = \frac{1}{b - a + 1}, \quad k = a, a + 1, \ldots, b$$

Hypergeometrické rozdělení

• popisuje počet úspěchů při $n$ náhodných výběrech bez vracení z populace $N$ s $K$ úspěšnými položkami:

$$ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = \max(0, n - (N - K)), \ldots, \min(K, n)$$ Střední hodnota $E(X) = n \frac{K}{N}$.

Rovnoměrné rozdělení – popisuje náhodnou veličinu na intervalu $[a, b]$ s konstantní hustotou: $$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a}, & a < x < b \\ 0, & \text{jinak} \end{cases}$$ Distribuční funkce: $$ F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\ \frac{x - a}{b - a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \geq b \end{cases} $$ $E[X] = \frac{b-a}{2}$ $\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ Normální rozdělení – symetrické rozdělení se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem $\sigma^2$. Hustota: $$ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ Distribuční funkce $\Phi(x)$ nemá uzavřený tvar. Speciální případ: N(0,1) s hustotou $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Exponenciální rozdělení – popisuje dobu mezi událostmi v Poissonově procesu s intenzitou $\lambda$: Hustota: $$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$ Distribuční funkce: $$ F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$

Náhodné vektory a jejich popis – nezávislost náhodných veličin, kovariance a korelace.

Náhodný vektor je $n$-rozměrný vektor $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$, kde každá složka $X_i$ je náhodná veličina – měřitelná funkce definovaná na stejném pravděpodobnostním prostoru $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, která každému elementárnímu jevu přiřadí reálnou hodnotu.

• Náhodný vektor můžeme chápat buď jako množinu náhodných veličin zkoumaných současně, nebo jako jednu náhodnou veličinu zkoumanou na několika objektech.
• Jedná se o zobrazení z $\Omega$ do $\mathbb{R}^n$.

Společná distribuční funkce (distribuční funkce náhodného vektoru) je definována jako: $$ F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = P(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \ldots, X_n \leq x_n) $$

• Tato funkce je:
  • neklesající v každé proměnné,
  • zprava spojitá,
  • její limity jsou 0 v $-\infty$ a 1 v $+\infty$.

Pro spojitý náhodný vektor existuje společná hustota pravděpodobnosti $f(x_1, \ldots, x_n)$ taková, že: $$ F(x_1, \ldots, x_n) = \int_{-\infty}^{x_1} \cdots \int_{-\infty}^{x_n} f(t_1, \ldots, t_n) \, dt_1 \cdots dt_n $$

Náhodné veličiny $X_1, X_2, \ldots, X_n$ jsou nezávislé, pokud pro všechny $x_1, x_2, \ldots, x_n$ platí: $$ F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = F_1(x_1) \cdot F_2(x_2) \cdots F_n(x_n) $$ kde $F_i(x_i)$ je marginální distribuční funkce každé jednotlivé složky $X_i$.

• Pro spojité náhodné veličiny je nezávislost ekvivalentní s podmínkou:

$$ f(x_1, \ldots, x_n) = f_1(x_1) \cdot \ldots \cdot f_n(x_n) $$

• Pokud náhodné veličiny nejsou nezávislé, může se jedna veličina ovlivňovat s jinou.
• Pro úplnou nezávislost všech $n$ veličin je třeba, aby byly nezávislé i všechny jejich kombinace.

Součet náhodných veličin – pokud jsou $X$ a $Y$ nezávislé, pak distribuční funkce jejich součtu $Z = X + Y$ vznikne tzv. konvolucí:

• Pro diskrétní veličiny:

$$ P(Z = z) = \sum_{i} P(X = x_i) \cdot P(Y = z - x_i) $$

• Pro spojité veličiny:

$$ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(t) \cdot f_Y(z - t) \, dt $$

Příklady konvoluce rozdělení:

• $Alt(p) + Alt(p) = Bin(2, p)$
• $Bin(n_1, p) + Bin(n_2, p) = Bin(n_1 + n_2, p)$
• $Po(\lambda_1) + Po(\lambda_2) = Po(\lambda_1 + \lambda_2)$
• $N(\mu_1, \sigma_1^2) + N(\mu_2, \sigma_2^2) = N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$

Kovariance je míra lineární závislosti dvou náhodných veličin $X$ a $Y$: $$ \text{Cov}(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y) $$

• Pokud $\text{Cov}(X, Y) > 0$, mezi $X$ a $Y$ existuje pozitivní lineární závislost.
• Pokud $\text{Cov}(X, Y) < 0$, závislost je negativní.
• Pokud $\text{Cov}(X, Y) = 0$, $X$ a $Y$ jsou lineárně nezávislé (ale nemusí být obecně nezávislé).

Vlastnosti kovariance:

• $\text{Cov}(X, X) = Var(X)$
• $\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)$
• $\text{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \cdot \text{Cov}(X, Y)$
• $Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)$

Korelace (Pearsonův korelační koeficient) je normovaná kovariance, která měří sílu a směr lineární závislosti mezi veličinami: $$ \rho(X, Y) = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} $$

• $\rho(X, Y) \in [-1, 1]$
• $\rho = 1$ znamená úplnou pozitivní lineární závislost
• $\rho = -1$ znamená úplnou negativní lineární závislost
• $\rho = 0$ značí, že mezi veličinami není lineární závislost (ale může být nelineární)

Kovarianční matice a korelační matice:

• Pro náhodný vektor $X = (X_1, ..., X_n)^T$ se definuje střední hodnota vektoru:

$$ E[X] = (E[X_1], E[X_2], \ldots, E[X_n])^T $$

• Kovariance mezi složkami tvoří kovarianční matici:

$$ \Sigma = \begin{bmatrix} Var(X_1) & Cov(X_1, X_2) & \cdots \\ Cov(X_2, X_1) & Var(X_2) & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} $$

• Korelace tvoří korelační matici, kde jsou jednotlivé prvky korelačními koeficienty mezi dvojicemi složek.

Čebyševova nerovnost – centrální limitní věta.

Čebyševova nerovnost je matematická nerovnost, která říká, jak velká část pravděpodobnostní hmoty náhodné veličiny leží blízko její střední hodnoty. Je velmi obecná, protože nevyžaduje znalost konkrétního rozdělení – stačí znát pouze střední hodnotu a rozptyl.

Teoretické vzorce: Pro náhodnou veličinu $X$ s konečným rozptylem platí: $$ P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{\varepsilon^2}, \quad \text{pro každé } \varepsilon > 0 $$ kde

• $E(X)$ je střední hodnota náhodné veličiny $X$
• $\operatorname{Var}(X)$ je rozptyl náhodné veličiny $X$

Myšlenka:

Čebyševova nerovnost udává horní odhad pravděpodobnosti, že se hodnota náhodné veličiny odchýlí od své střední hodnoty o více než $\varepsilon$. I když nerozumíme přesnému rozdělení, můžeme tímto způsobem říci, že většina hodnot leží „blízko průměru“.

• Využití: odhad pravděpodobnosti odlehlých hodnot (outliers) bez nutnosti znát konkrétní rozdělení.

Praktická ukázka:

Mějme náhodnou veličinu $X$ se střední hodnotou $E(X) = 50$ a rozptylem $\operatorname{Var}(X) = 25$. Chceme zjistit pravděpodobnost, že se $X$ odchýlí od 50 o více než 10: $$ P(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = 0.25 $$

Interpretace: Nejvýše 25 % hodnot může být mimo interval $[40, 60]$. To znamená, že alespoň 75 % hodnot leží v tomto intervalu.

Grafické znázornění:

Vysvětlení: Červené oblasti znázorňují pravděpodobnost odchylky od $\mu$ o více než $\varepsilon$. Jejich plocha je shora omezena $\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$.

Centrální limitní věta (CLV) je základní výsledek pravděpodobnosti a statistiky, který říká, že součet (nebo průměr) mnoha nezávislých náhodných veličin má přibližně normální rozdělení – bez ohledu na původní rozdělení jednotlivých veličin.

Teoretický vzorec:
Nechť $X_1, X_2, \dots, X_n$ jsou nezávislé, stejně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou $\mu$ a konečným rozptylem $\sigma^2$. Potom platí: $$ Z_n = \frac{\sum_{k=1}^n X_k - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \Rightarrow \mathcal{N}(0, 1) \quad \text{pro } n \to \infty $$

Jinými slovy, rozdělení $Z_n$ konverguje k normovanému normálnímu rozdělení (s průměrem 0 a směrodatnou odchylkou 1).

Pak pro $n \to \infty$ platí:
$$ \lim_{n \to \infty} P(Z_n \leq x) = \Phi(x), $$
kde $\Phi(x)$ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení $\mathcal{N}(0,1)$.

Myšlenka:
CLV ukazuje, že výběrový průměr (nebo součet) mnoha nezávislých veličin má přibližně normální rozdělení, i když původní data nejsou normální. To umožňuje používat normální rozdělení pro aproximace (např. v testování hypotéz).

Praktická ukázka:

Představme si, že házíme klasickou kostkou 100krát. Střední hodnota jednoho hodu je $\mu = 3.5$ a rozptyl je $\sigma^2 = \frac{35}{12} \approx 2.92$.

Chceme zjistit pravděpodobnost, že výběrový průměr všech hodů bude větší než 4.

1. Standardizace: $$ Z = \frac{4 - 3.5}{\sqrt{2.92 / 100}} \approx \frac{0.5}{0.171} \approx 2.93 $$

2. Použití tabulky normálního rozdělení: $$ P(\bar{X} > 4) = 1 - \Phi(2.93) \approx 1 - 0.9983 = 0.0017 $$

Interpretace: Pravděpodobnost, že výběrový průměr přesáhne 4, je velmi malá (přibližně 0.17 %), což dává smysl – je totiž málo pravděpodobné, že by padaly výhradně vysoké hodnoty.

Poznámka: Rychlost konvergence k normálnímu rozdělení je dána tzv. Berry-Essenovou nerovností – čím větší $n$, tím přesnější aproximace.

Grafické znázornění:

Vysvětlení: Modré sloupce znázorňují např. rozdělení hodu kostkou. Červená křivka ukazuje konvergenci výběrového průměru k normálnímu rozdělení s rostoucím $n$.

Základní pojmy statistiky – náhodný výběr, empirické rozdělení.

Náhodný výběr je posloupnost $n$ nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin $X_1, X_2, \dots, X_n$ reprezentujících data z populace. Formálně: $$ \{X_i\}_{i=1}^n \quad \text{kde} \quad X_i \sim F \quad (\text{i.i.d.}) $$

• $n$: rozsah výběru
• $F$: společná distribuční funkce populace
• i.i.d.: *independent and identically distributed* (nezávislé a stejně rozdělené)

Tento koncept znamená, že každá jednotlivá hodnota ve výběru má stejnou pravděpodobnostní distribuci jako ostatní a je na nich nezávislá.

Příklad: Měření výšky 50 náhodně vybraných studentů $\rightarrow X_i = \text{výška } i\text{-tého studenta}$ Každý student je vybrán náhodně, a tedy všechny výšky jsou považovány za i.i.d. realizace z určité distribuční funkce výšek ve studované populaci.

Empirické rozdělení aproximuje skutečné rozdělení populace pomocí dat z náhodného výběru.

• Empirická distribuční funkce $F_n(x)$:

$$ F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \leq x\}} $$ kde $\mathbf{1}_{\{X_i \leq x\}} = 1$, pokud $X_i \leq x$, jinak $0$.

• Vlastnosti:
  • Skoková funkce s body nespojitosti v hodnotách $X_i$.
  • Pro $n \to \infty$ platí $F_n(x) \to F(x)$ podle zákona velkých čísel.

Tato funkce udává relativní četnost hodnot ve výběru, které jsou menší nebo rovny hodnotě $x$, a tedy slouží jako aproximace skutečné distribuční funkce.

Příklad: Pro výběr $\{1{,}5;\ 2{,}0;\ 3{,}5\}$ je $F_n(x)$ skoková funkce s třemi skoky o velikosti $\frac{1}{3}$, která stoupá vždy, když $x$ překročí jednu z hodnot výběru.

Při odhadování neznámých parametrů základního souboru na základě pozorovaných dat z náhodného výběru se snažíme, aby naše odhady měly určité žádoucí vlastnosti. Tyto vlastnosti nám pomáhají posoudit kvalitu odhadu a vybrat ten nejlepší možný. Odhad je pravidlo nebo funkce, která na základě dat z výběru přiřazuje hodnotu určitému neznámému parametru.

Nejprve si zavedeme značení, které se v teorii odhadu běžně používá:

• $\vartheta$: Jakákoli hodnota parametru (reálné číslo).
• $\vartheta^*$: Skutečná (správná) hodnota parametru (reálné číslo).
• $\hat{\Theta}_n$: Odhad parametru založený na náhodném výběru rozsahu $n$ (toto je náhodná veličina).
• $\hat{\vartheta}$, $\hat{\vartheta}_n$: Realizace odhadu, tj. konkrétní hodnota odhadu získaná z dat (reálné číslo).

Například: Pokud odhadujeme střední hodnotu výšky v populaci, pak $\vartheta$ je neznámá střední výška, $\hat{\Theta}_n$ je výběrový průměr (náhodná veličina závislá na výběru) a $\hat{\vartheta}$ je konkrétní hodnota výběrového průměru vypočtená z dat.

Bodový odhad je funkce náhodného výběru, jejíž předpis nezávisí na odhadovaném parametru. Snažíme se, aby bodové odhady měly následující vlastnosti:

1. Nestrannost (nevychýlenost)
   • Odhad $\hat{\Theta}_n$ se nazývá nestranný, pokud jeho střední hodnota je rovna skutečné hodnotě parametru $\vartheta^*$, tj. $ E[\hat{\Theta}_n] = \vartheta^* $
     • což znamená, že: $ E[\hat{\Theta}_n - \vartheta^*] = 0$
   • Pokud tato podmínka není splněna, říkáme, že odhad je vychýlený (má systematickou chybu).
   • Příklad: Výběrový průměr je nestranný odhad střední hodnoty normálního rozdělení.
2. Asymptotická nestrannost
   • Odhad $\hat{\Theta}_n$ je asymptoticky nestranný, pokud se jeho střední hodnota blíží skutečné hodnotě parametru $\vartheta^*$ s rostoucím rozsahem výběru $n$, tj. $ \lim_{n \rightarrow \infty} E[\hat{\Theta}_n] = \vartheta^* $
   • To znamená, že odhad je sice pro malé $n$ vychýlený, ale bias se s rostoucím $n$ zmenšuje a nakonec zmizí.
   • Např. výběrový rozptyl s dělením $n$ místo $n-1$ je asymptoticky nestranný.
3. Konzistence
   • Odhad $\hat{\Theta}_n$ je konzistentní, pokud s rostoucím rozsahem výběru $n$ konverguje v pravděpodobnosti k odhadovanému parametru $\vartheta^*$, tj.: $ \hat{\Theta}_n \xrightarrow{P} \vartheta^*$
   • To znamená, že:
     • Je asymptoticky nestranný: $ \lim_{n \rightarrow \infty} E[\hat{\Theta}_n] = \vartheta^*$
     • A má klesající rozptyl: $ \lim_{n \rightarrow \infty} D[\hat{\Theta}_n] = 0 $
   • Konzistence znamená, že s větším počtem dat bude náš odhad přesnější.
4. Efektivita (účinnost)
   • Efektivní odhad je takový, který má co nejmenší střední kvadratickou chybu: $ E[(\hat{\Theta}_n - \vartheta^*)^2] $
   • Tuto chybu můžeme rozložit na: $D[\hat{\Theta}_n] + (E[\hat{\Theta}_n] - \vartheta^*)^2 $
   • Pro nestranné odhady tedy platí, že efektivita závisí pouze na jejich rozptylu.
   • Nejlepší nestranný odhad (MVUE – minimum variance unbiased estimator) má ze všech nestranných odhadů nejmenší rozptyl.
   • Pozor: může se stát, že některé vychýlené odhady jsou efektivnější než MVUE – mají menší celkovou chybu.
5. Robustnost
   • Robustní odhad je odolný vůči šumu nebo odlehlým hodnotám (například extrémním datům v souboru).
   • Nemusí být nejefektivnější při ideálních podmínkách, ale je stabilnější v praxi, kde jsou data často zašuměná nebo obsahují chyby.
   • Přesná matematická definice robustnosti často neexistuje, ale prakticky se jedná o velmi důležitou vlastnost.
   • Příklad: Medián je robustnější než průměr, protože není ovlivněn extrémními hodnotami.

• Odhady střední hodnoty ($\mu$):
  • Výběrový průměr $ \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $
    • je nestranným a konzistentním odhadem střední hodnoty $E[X]$.
  • To znamená, že jeho střední hodnota je rovna skutečné střední hodnotě populace, a že s rostoucím počtem dat se přibližuje pravé hodnotě $\mu$.
  • Příklad: Pokud měříme výšku 100 studentů, průměr těchto hodnot odhaduje průměrnou výšku celé populace studentů.

• Odhady rozptylu ($\sigma^2$):
  • Výběrový rozptyl $ S^2_n = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X}_n)^2 $
    • je nestranným a konzistentním odhadem rozptylu $D[X]$.
  • Dělení $n-1$ místo $n$ zajišťuje nestrannost odhadu (tzv. Besselova korekce).
  • Tento odhad popisuje, jak moc se jednotlivé hodnoty výběru rozptylují kolem výběrového průměru.

• Odhady směrodatné odchylky ($\sigma$):
  • Výběrová směrodatná odchylka se definuje jako odmocnina výběrového rozptylu: $ S_n = \sqrt{S^2_n} $
  • Je přirozeným odhadem směrodatné odchylky a udává, jak moc se hodnoty typicky liší od průměru v původních jednotkách.

• Odhady momentů:
  • Pro odhad $k$-tého obecného momentu $E[X^k]$ použijeme výběrový moment: $ m_{X^k} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} x_j^k $
  • Tento moment slouží např. k odhadu tvaru rozdělení (šikmost, špičatost) podle toho, zda se jedná o 3., 4. atd. moment.
  • Příklad: Výběrový druhý moment je základem pro výpočet rozptylu.

Existuje několik metod, jak na základě dat odhadnout neznámé parametry rozdělení. Nejčastěji používané jsou tyto dvě:

1. Metoda momentů (MM)
   • Princip: Vycházíme z předpokladu, že teoretické momenty náhodné veličiny (např. střední hodnota, rozptyl atd.) závisí na parametrech rozdělení. Tyto teoretické momenty nahradíme jejich výběrovými odhady spočítanými z dat a vyřešíme rovnice, které takto vzniknou.
   • Cíl: Najít takové hodnoty parametrů, aby teoretické vlastnosti rozdělení (momenty) „odpovídaly“ těm vypočteným z dat
   • Postup (příklad pro dva parametry $\theta_1$ a $\theta_2$):
     • Sečteme data a spočítáme výběrové momenty:
     • $$ \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i, \quad m_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2 $$
     • Sestavíme rovnice z teoretických momentů $E[X]$, $E[X^2]$ (ty závisí na $\theta_1, \theta_2$) a položíme je rovné výběrovým momentům.
     • Řešíme soustavu rovnic a získáme odhady parametrů.
   • Výhody:
     • Poměrně jednoduchá metoda, často poskytuje uzavřené (analytické) řešení.
     • Zohledňuje všechna data.
     • Není potřeba znát přesnou formu pravděpodobnostní funkce.
   • Nevýhody:
     • Řešení nemusí existovat nebo může být nejednoznačné.
     • Odhady nemusí být nejpřesnější (např. ve smyslu rozptylu).
   • Poznámka:
     • Používá se např. tehdy, když je výpočetně náročné použít metodu maximální věrohodnosti.
2. Metoda maximální věrohodnosti (MLE – Maximum Likelihood Estimation)
   • Princip: Hledáme takovou hodnotu parametru $\theta$, která maximalizuje pravděpodobnost pozorovaných dat. Jinými slovy: jaké nastavení parametrů by „nejlépe vysvětlovalo“ data, která jsme viděli?
   • Postup:
     • Sestrojíme věrohodnostní funkci $L(\theta)$:
       • Spojitý případ: $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) $$
       • Diskrétní případ: $$ L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i = x_i; \theta) $$
     • Z logaritmu věrohodnostní funkce vytvoříme tzv. log-věrohodnost: $$ \ell(\theta) = \ln L(\theta) $$
       • Přechod na logaritmus je praktický – převádí součiny na součty, což zjednoduší derivování.
     • Najdeme extrém log-věrohodnosti:
       • Vypočteme derivaci podle $\theta$, položíme ji rovnu nule a řešíme: $$ \frac{\partial \ell(\theta)}{\partial \theta} = 0 $$
     • Výsledné řešení $\hat{\theta}$ je maximálně věrohodný odhad parametru.
   • Výhody:
     • Při splnění určitých podmínek poskytuje MLE odhady s dobrými vlastnostmi – jsou asymptoticky nestranné, efektivní a konzistentní.
     • Obvykle poskytuje přesnější výsledky než metoda momentů.
   • Nevýhody:
     • V některých případech může být složité nebo nemožné analyticky řešit rovnici pro maximum.
     • Výsledky mohou být citlivé na odlehlé hodnoty.
   • Poznámka:
     • V jednoduchých situacích (např. normální rozdělení) obě metody vedou ke stejným odhadům.
     • V praxi se metoda volí podle dostupnosti informací o rozdělení a výpočetní náročnosti.

Na rozdíl od bodového odhadu, který poskytuje pouze jednu hodnotu pro neznámý parametr, intervalový odhad poskytuje interval, ve kterém se s určitou pravděpodobností nachází skutečná hodnota tohoto parametru. Tento přístup lépe vystihuje nejistotu spojenou s odhadem.

• Definice: $(1 - \alpha) \times 100\%$ interval spolehlivosti pro parametr $\vartheta$ je interval $(L, U)$ takový, že: $$ P(L < \vartheta^* < U) \geq 1 - \alpha $$
  • kde:
    • $L$ je dolní mez intervalu,
    • $U$ je horní mez intervalu,
    • $\vartheta^*$ je skutečná (neznámá) hodnota parametru.

• Koeficient spolehlivosti $(1 - \alpha)$ vyjadřuje pravděpodobnost, že interval pokrývá skutečnou hodnotu parametru. Například:
  • Pro $95\%$ spolehlivost platí $\alpha = 0.05$.
  • Pro $99\%$ spolehlivost platí $\alpha = 0.01$.

• Hladina významnosti $\alpha$ představuje pravděpodobnost, že skutečný parametr leží mimo interval (tj. že interval není „úspěšný“). Často se dělí na dvě části – pro dolní a horní mez (např. $\alpha/2$ a $\alpha/2$).

• Existují různé typy intervalových odhadů:
  • Oboustranný interval: $$ I = (L, U) $$
    • kde interval symetricky pokrývá oblast kolem bodového odhadu.
  • Dolní jednostranný interval: $$ I = (L, \infty) $$
  • Horní jednostranný interval: $$ I = (-\infty, U) $$

• Symetrický oboustranný interval je takový, kde pravděpodobnost, že parametr leží pod dolní mezí, i nad horní mezí, je stejná, tedy: $$ P(\vartheta^* < L) = P(\vartheta^* > U) = \frac{\alpha}{2} $$

• Abychom mohli interval spolehlivosti zkonstruovat, musíme znát pravděpodobnostní rozdělení bodového odhadu $\hat{\Theta}_n$, případně rozdělení vhodné statistiky, která z něj vychází (např. pomocí normálního nebo t-rozdělení).

Odhad střední hodnoty se známým rozptylem pomocí kvantilů normálního rozdělení ($u$): Pokud známe rozptyl populace $\sigma^2$, použijeme normální rozdělení. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu $\mu$ se pak určuje pomocí kvantilu $u$ z normálního rozdělení. Tento přístup je vhodný, když víme, že data pocházejí z normálního rozdělení a zároveň známe rozptyl.

Odhad střední hodnoty a rozptylu pomocí kvantilů $t$ a $\chi^2$: Pokud je rozptyl neznámý, pro odhad střední hodnoty použijeme Studentovo t-rozdělení, které zohledňuje nejistotu ve výběrovém rozptylu. Pro intervalový odhad rozptylu použijeme chí-kvadrát rozdělení – dolní a horní mez intervalu spočteme pomocí kvantilů z $\chi^2$.

Odhad střední hodnoty pomocí centrální limitní věty (CLV): Pokud výběr není z normálního rozdělení, ale máme dostatečně velký počet pozorování, použijeme CLV. Ta zaručuje, že výběrový průměr má přibližně normální rozdělení, takže můžeme použít normální kvantily $u$ i bez normality původního rozdělení.

Asymptotický intervalový odhad: Používá se v obecných případech, kdy neznáme přesné rozdělení výběru, ale máme velký rozsah $n$. Intervaly jsou pak založené na odhadech ze vzorku (např. výběrový rozptyl místo známého rozptylu) a přibližují skutečné pokrytí při velkém $n$.

Poznámka: Lze tímto způsobem odhadovat i rozptyly, i když závisí na střední hodnotě. Typicky například u Poissonova rozdělení, kde platí $\mu = \sigma^2$, nebo u alternativního rozdělení (Bernoulliho), kde je rozptyl určen parametrem $p$ a zároveň souvisí se střední hodnotou. V těchto případech se často využívají speciální odhady přizpůsobené danému typu rozdělení.

Princip statistického testování hypotéz – testy střední hodnoty a rozptylu, porovnání dvou rozdělení, $\chi^2$-test dobré shody, test nezávislosti v kontingenční tabulce.

Princip statistického testování hypotéz je metoda, jak ověřit, zda data poskytují dostatek důkazů pro zamítnutí nějakého předpokladu (tzv. hypotézy) o rozdělení nebo parametrech náhodných veličin. Tento postup je základem pro rozhodování v mnoha oblastech statistiky, experimentů a datové analýzy.

1. Formulace hypotéz:
   • Nulová hypotéza ($H_0$): výchozí tvrzení, které předpokládáme, že platí – např. „střední hodnota je rovna 0“, „data mají normální rozdělení“, „dva výběry pochází ze stejné populace“ atd.
   • Alternativní hypotéza ($H_1$): tvrzení, které se snažíme potvrdit – např. „střední hodnota se liší od 0“, „data nejsou normálně rozložena“, „dva výběry se liší“.
   • Příklad:
     • $H_0$: $\mu = 50$
     • $H_1$: $\mu \neq 50$
2. Volba hladiny významnosti ($\alpha$):
   • Jedná se o pravděpodobnost chyby I. druhu – tj. že zamítneme $H_0$, i když je ve skutečnosti pravdivá.
   • Typicky se volí $\alpha = 0.05$ nebo $\alpha = 0.01$.
   • Například při $\alpha = 0.05$ připouštíme maximálně 5% pravděpodobnost, že učiníme chybný závěr ve prospěch $H_1$.
3. Výběr testové statistiky:
   • Zvolíme vhodnou testovou statistiku v závislosti na typu dat a testované hypotéze.
     • Např. pro testování střední hodnoty normálně rozdělené veličiny použijeme t-test.
     • Pro rozptyl může být použit F-test.
     • Pro testy shody rozdělení použijeme např. $\chi^2$-test.
   • Testová statistika je funkce vzorku, jejíž rozdělení známe, pokud $H_0$ platí.
4. Výpočet kritické hodnoty nebo p-hodnoty:
   • Kritická hodnota: hodnota testové statistiky, kterou porovnáme s vypočtenou hodnotou. Jestliže překročí tuto mez, zamítáme $H_0$.
   • p-hodnota: pravděpodobnost, že bychom při platnosti $H_0$ získali stejně nebo více extrémní hodnotu testové statistiky. Pokud:$$ \text{p-hodnota} < \alpha, $$
   • pak zamítáme $H_0$.
   • Poznámka: p-hodnota je velmi praktický způsob testování, protože přímo říká, jak „nepravděpodobná“ jsou data za předpokladu, že $H_0$ platí.
5. Rozhodnutí:
   • Pokud p-hodnota < $\alpha$ nebo testová statistika je větší než kritická hodnota, zamítáme $H_0$.
   • Jinak $H_0$ nezamítáme – což ale neznamená, že ji potvrzujeme; pouze nemáme dostatek důkazů k jejímu zamítnutí.

Shrnutí principu: Testování hypotéz je proces, jak rozhodnout, zda jsou odchylky pozorované ve vzorku od očekávaných hodnot důkazem proti výchozímu tvrzení. Pomáhá vyhnout se náhodným závěrům na základě šumu v datech, a umožňuje učinit rozhodnutí s kvantifikovanou mírou nejistoty.

Testy střední hodnoty:

• Jednovýběrový t-test: Testuje hypotézu, zda střední hodnota jedné populace je rovna určité hodnotě. Používá se, pokud známe výběrový průměr a výběrový rozptyl a buď:
  • data pocházejí z normálního rozdělení, nebo
  • velikost výběru je dostatečně velká (např. $n > 30$, podle CLV).
  • Příklad: Zajímá nás, zda průměrná výška studentů přesahuje 175 cm.

• Dvouvýběrový t-test: Testuje, zda se liší střední hodnoty dvou nezávislých výběrů. Používá se při porovnání dvou skupin.
  • Příklad: Průměrná výška studentů v ČR vs. SR.

• Párový t-test: Testuje rozdíl středních hodnot dvou závislých výběrů, tj. každá hodnota v první skupině má přiřazenou dvojici v druhé skupině.
  • Příklad: Výška člověka před a po půlročním tréninku.

Testy rozptylu:

• F-test: Slouží ke srovnání dvou rozptylů. Je citlivý na odchylky od normality.
  • Příklad: Testujeme, zda se rozptyl známek ve dvou třídách liší.

• $\chi^2$-test rozptylu: Používá se k ověření, zda rozptyl náhodné veličiny je roven určité teoretické hodnotě.
  • Výpočet statistiky: $ \chi^2 = \frac{(n - 1) \cdot S^2}{\sigma_0^2} $
  • kde $S^2$ je výběrový rozptyl, $\sigma_0^2$ je hypotetická hodnota rozptylu a $n$ velikost výběru.

Porovnání dvou rozdělení:

• Kolmogorov-Smirnovův test: Testuje, zda dvě empirické distribuční funkce se výrazně liší. Používá se u spojitých veličin. Citlivý k rozdílům ve tvaru rozdělení.
• Mann-Whitneyho test: Neparametrický test rozdílu středních hodnot mezi dvěma nezávislými skupinami. Nepotřebuje předpoklad normality – vhodný pro pořadová nebo ne-normální data.
• Wilcoxonův test: Neparametrický párový test – alternativní k párovému t-testu, když data nejsou normálně rozložena.

Používá se pro ověření, zda četnosti pozorovaných dat odpovídají určitému teoretickému rozdělení (např. binomickému, Poissonovu, normálnímu). Vhodné např. pro kategorická data.

Výpočet testové statistiky: $$ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} $$ kde:

• $O_i$ jsou pozorované četnosti,
• $E_i$ jsou teoreticky očekávané četnosti.

Předpoklady:

• Očekávané četnosti $E_i$ by měly být větší nebo rovny 5, aby byl výsledek testu spolehlivý (jinak se používají úpravy nebo sloučení kategorií).

Test nezávislosti:

• Používá se u dvou kategoriálních proměnných – např. pohlaví a preference typu produktu.
• Kontingenční tabulka zachycuje četnosti kombinací hodnot obou proměnných.

Testová statistika: $$ \chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} $$ kde:

• $O_{ij}$ jsou pozorované četnosti v buňkách tabulky,
• $E_{ij}$ jsou očekávané četnosti při nezávislosti proměnných: $ E_{ij} = \frac{r_i \cdot c_j}{n} $
• kde $r_i$ je součet řádku, $c_j$ součet sloupce a $n$ je celkový počet pozorování.

Interpretace:

• Malá hodnota $\chi^2$ znamená, že rozdíly mezi $O_{ij}$ a $E_{ij}$ jsou malé → proměnné jsou pravděpodobně nezávislé.
• Velká hodnota $\chi^2$ vede k zamítnutí hypotézy nezávislosti.

Předpoklad: Očekávané četnosti v buňkách by měly být alespoň 5.

Markovovy řetězce – modely náhodného vývoje systému v diskrétním čase, kde přechod do dalšího stavu závisí pouze na aktuálním stavu (tzv. *Markova vlastnost*).

Markovův řetězec je posloupnost náhodných veličin $X_0, X_1, X_2, \ldots$, kde pro každý $n$ a všechny stavy $i_0, \dots, i_{n+1}$ platí: $$ P(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n, X_{n-1} = i_{n-1}, \ldots, X_0 = i_0) = P(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n) $$ Tato rovnost říká, že vývoj závisí pouze na aktuálním stavu.

Pokud jsou pravděpodobnosti přechodu nezávislé na čase (tj. homogenní), pak označujeme: $$ p_{ij} = P(X_{n+1} = j \mid X_n = i) $$ a tyto pravděpodobnosti uspořádáme do matice přechodu $P = (p_{ij})$.

Součet pravděpodobností v každém řádku je roven 1: $$ \sum_{j} p_{ij} = 1 \quad \text{pro každé } i $$ $n$-tá mocnina matice $P^n$ udává pravděpodobnosti přechodu za $n$ kroků. Prvek $p_{ij}^{(n)}$ je pravděpodobnost, že se systém dostane ze stavu $i$ do stavu $j$ za právě $n$ kroků.

Přechodový diagram je grafická reprezentace Markovova řetězce. Umožňuje vizuálně sledovat, jak se systém může pohybovat mezi jednotlivými stavy a s jakou pravděpodobností.

• Uzly představují možné stavy systému (např. A, B, C).
• Orientované hrany značí možné přechody mezi stavy.
• Čísla na hranách udávají pravděpodobnosti přechodu z jednoho stavu do druhého.

Diagram se tedy chová jako mapa dynamiky systému — zobrazuje nejen směr možného vývoje, ale i jeho pravděpodobnost.

Matice přechodu: Tento diagram můžeme přepsat do matice přechodu $P$, kde řádky odpovídají výchozím stavům a sloupce cílovým stavům. Hodnota na pozici $p_{ij}$ je pravděpodobnost přechodu ze stavu $i$ do stavu $j$.

Jak číst tuto matici:

• První řádek: Pokud jsme ve stavu A, máme 0% šanci zůstat v A, 50% šanci jít do B a 50% do C.
• Druhý řádek: Ze stavu B se nikam jinam nedostaneme, zůstáváme v B (s pravděpodobností 1).
• Třetí řádek: Ze stavu C máme 10% šanci jít do A, 20% do B a 70% zůstat v C.

• Rozložitelný řetězec (reducibilní): Ne všechny stavy jsou vzájemně dosažitelné. Existují skupiny stavů, mezi kterými není přechod.
• Nerozložitelný řetězec (irreducibilní): Každý stav je dosažitelný z každého jiného – tvoří jednu komunikující třídu.

• Uzavřená množina stavů: Jakmile se do této množiny dostaneme, nemůžeme ji opustit.
• Komponenta: Největší možná uzavřená množina, která neobsahuje menší uzavřenou podmnožinu.

Pro ireducibilní, aperiodický a pozitivně rekurentní řetězec existuje stacionární rozdělení $\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$, které splňuje: $$ \pi = \pi P \quad \text{a} \quad \sum_{i=1}^{n} \pi_i = 1 $$

• Toto rozdělení reprezentuje dlouhodobé pravděpodobnosti – tj. jaký podíl času systém stráví ve stavech v limitě $t \to \infty$.
• Lze ho nalézt jako vlastní vektor matice $P$ k vlastnímu číslu 1.

Pro markovský řetězec s trvalými a přechodnými stavy lze matici přechodu přepsat jako blokovou matici: $$ P = \begin{bmatrix} D & 0 \\ R & Q \end{bmatrix} $$

• $D$: přechody mezi trvalými stavy
• $Q$: přechody mezi přechodnými stavy
• $R$: přechody z přechodných do trvalých

Matice fundamentální $F = (I - Q)^{-1}$ a absorpční pravděpodobnosti: $$ M = F \cdot R = (I - Q)^{-1} R $$ vyjadřují pravděpodobnosti, že systém skončí v některém z trvalých stavů.

• Přechodný stav: $\lim_{n \to \infty} p_{ii}^{(n)} = 0$
• Trvalý nulový stav: $\lim_{n \to \infty} p_{ii}^{(n)} = 0$
• Trvalý nenulový, aperiodický: $\lim_{n \to \infty} p_{ii}^{(n)} = \pi_i$
• Periodický stav: Limitní pravděpodobnosti oscilují v závislosti na periodě.