B0B01MA1 Webové stránky předmětu
Při práci s množinami reálných čísel často hledáme největší nebo nejmenší prvek. Ne vždy však tyto prvky v množině skutečně existují – tehdy si pomáháme pojmy supremum a infimum.
Horní (dolní) závor může být víc – supremum (infimum) je nejmenší (největší) z nich.
Příklad: Mějme množinu $A = \{x \in \mathbb{R} : 0 < x < 2\}$
Množina reálných čísel je omezená shora, pokud existuje horní závora. Je omezená zdola, pokud existuje dolní závora. Je omezená, pokud je omezená shora i zdola.
*Příklady:*
Platí:
Například pro otevřený interval $(0, 1)$:
Pro uzavřený interval $[0, 1]$:
Platí také:
Množina přirozených čísel (někdy začíná od 1, zde je včetně 0): $$ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\} $$
Množina celých čísel: $$ \mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \ldots\} $$
Množina racionálních čísel – všechna čísla, která lze zapsat jako zlomek dvou celých čísel (jmenovatel nesmí být 0): $$ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} \right\} $$
Množina reálných čísel: $$ \mathbb{R} $$
Reálná čísla zahrnují všechna čísla, která lze vyjádřit desetinným rozvojem (i nekonečným). Patří sem:
Reálná čísla lze dále dělit:
Množina komplexních čísel: $$ \mathbb{C} = \{ a + bj : a, b \in \mathbb{R} \}, \quad j^2 = -1 $$
Komplexní čísla obecně nelze uspořádat (nemá smysl porovnávat „větší než“), ale zahrnují všechna reálná čísla jako speciální případ ($b = 0$).
*Reálná* funkce *reálné proměnné* je zobrazení tvaru $f: A \rightarrow \mathbb{R}$, kde $A$ je podmnožina $\mathbb{R}$. Každému prvku $x \in A$ přiřadí právě jedno reálné číslo $f(x)$.
U funkce $f: A \rightarrow B$ platí:
$$ f(M) = \{ f(x) \in \mathbb{R} \;|\; x \in M \} $$
Zobrazení $f: A \rightarrow B$ se nazývá:
*Příklad:* Funkce $f(x) = 2x + 1$ je bijekce z $\mathbb{R}$ do $\mathbb{R}$.
Graf funkce $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ je množina bodů $\{[x,f(x)]: x \in A \}$ v rovině.
Graf inverzní funkce (pokud existuje) je symetrický podle přímky $y = x$ – tedy podle osy prvního a třetího kvadrantu.
Funkce se nazývá:
sudá, pokud platí $f(-x) = f(x)$ pro všechna $x \in D(f)$. Graf je osově souměrný podle osy $y$.
lichá, pokud platí $f(-x) = -f(x)$ pro všechna $x \in D(f)$. Graf je středově souměrný podle počátku.
Funkce $f$ se nazývá omezená na množině $A \subset D(f)$, pokud je omezená množina $f(A)$, tedy všechny hodnoty, kterých funkce na $A$ nabývá.
Funkce $f: A \rightarrow B$ má inverzní funkci $f^{-1}: R(f) \rightarrow A$ právě tehdy, když je prostá (injektivní).
Definice inverzní funkce:
Inverzní funkce “vrací zpět” původní vstup.
Mějme zobrazení $f: A \rightarrow B$. Zobrazení $g: R(f) \rightarrow A$ nazýváme inverzní k zobrazení $f$, pokud $$(g \circ f)(x) = x \text{ pro každé } x \in A$$
Značíme $g = f^{-1}$.
Roustoucí (resp. klesající) funkce je prostá a má inverzní funkci, která je rovněž rostoucí (resp. klesající).
Chování funkce z hlediska růstu nebo poklesu (monotonie) můžeme zkoumat buď na celém intervalu, nebo lokálně v konkrétním bodě. Nejčastěji k tomu využíváme první derivaci.
Monotonie funkce $f$ na intervalu $I$:
Monotonie funkce $f$ v bodě $x$ (pokud má v tomto bodě derivaci):
Extrémy jsou body, kde funkce dosahuje nějakého největšího nebo nejmenšího hodnotového „vrcholu“. Pomocí první a druhé derivace můžeme zjistit, o jaký typ bodu se jedná.
Pokud je funkce $f$ spojitá na intervalu $I$ a má v bodě $x_0 \in I$ derivaci, pak:
Pro nalezení globálního extrému funkce $f$ na intervalu $I$ je třeba:
| Funkce | Inverzní funkce | Monotonie | Limity hlavní funkce | Limity inverzní funkce |
|---|---|---|---|---|
| $x^n,\;n\in\mathbb{N}, n\text{ liché}$ | $x^{1/n},\;x\in\mathbb{R}$ | rostoucí na $\mathbb{R}$ | $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$; $\lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty$ | $\lim_{x\to+\infty}x^{1/n}=+\infty$; $\lim_{x\to-\infty}x^{1/n}=-\infty$ |
| $x^n,\;n\in\mathbb{N}, n\text{ sudé}$, $x\ge0$ | $x^{1/n},\;x\ge0$ | rostoucí na $[0,\infty)$ | $\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty$ | $\lim_{x\to+\infty}x^{1/n}=+\infty$; $\lim_{x\to0^+}x^{1/n}=0$ |
| $e^x$ | $\ln x,\;x>0$ | rostoucí na $\mathbb{R}$ | $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$; $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ | $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$; $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ |
| $\ln x,\;x>0$ | $e^x$ | rostoucí na $(0,\infty)$ | $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$; $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ | $\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$; $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ |
| $\sin x$ | $\arcsin x,\;x\in[-1,1]$ | rostoucí na $[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2]$ | oscilační (není hranice) | $\lim_{x\to-1}\arcsin x=-\tfrac\pi2$; $\lim_{x\to1}\arcsin x=\tfrac\pi2$ |
| $\arcsin x,\;x\in[-1,1]$ | $\sin x$ | rostoucí na $[-1,1]$ | $\lim_{x\to-1}\arcsin x=-\tfrac\pi2$; $\lim_{x\to1}\arcsin x=\tfrac\pi2$ | osciluje mezi $-1$ a $1$ (není hranice) |
| $\cos x$ | $\arccos x,\;x\in[-1,1]$ | klesající na $[0,\pi]$ | oscilační (není hranice) | $\lim_{x\to-1}\arccos x=\pi$; $\lim_{x\to1}\arccos x=0$ |
| $\arccos x,\;x\in[-1,1]$ | $\cos x$ | klesající na $[-1,1]$ | $\lim_{x\to-1}\arccos x=\pi$; $\lim_{x\to1}\arccos x=0$ | oscilační mezi $-1$ a $1$ (není hranice) |
| $\tan x$ | $\arctan x,\;x\in\mathbb{R}$ | rostoucí na $(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2)$ | $\lim_{x\to\frac\pi2^-}\tan x=+\infty$; $\lim_{x\to-\frac\pi2^+}\tan x=-\infty$ | $\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\tfrac\pi2$; $\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\tfrac\pi2$ |
| $\arctan x,\;x\in\mathbb{R}$ | $\tan x$ (na $(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2)$) | rostoucí na $\mathbb{R}$ | $\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\tfrac\pi2$; $\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\tfrac\pi2$ | $\lim_{x\to\frac\pi2^-}\tan x=+\infty$; $\lim_{x\to-\frac\pi2^+}\tan x=-\infty$ |
Při kreslení grafu funkce postupujeme v několika základních krocích. U funkce f(x) = x·eˣ bychom měli provést následující:
1. Určíme definiční obor
2. Najdeme průsečíky s osami
⇒ $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$ ⇒ průsečík [0, 0]
3. Zjistíme limitní chování
4. Spočítáme první derivaci a zjistíme monotonii
$$ f'(x) = (x \cdot e^x)' = e^x + x \cdot e^x = e^x (1 + x) $$
$$ e^x (1 + x) = 0 \Rightarrow x = -1 $$
5. Spočítáme druhou derivaci a určíme typ extrému
$$ f''(x) = (f'(x))' = \left( e^x (1 + x) \right)' = e^x (1 + x) + e^x = e^x (2 + x) $$
6. Uděláme si stručný obrázek chování funkce
$$ f(-1) = -1 \cdot e^{-1} = -\frac{1}{e} $$
Shrnutí:
Limita funkce popisuje, k jaké hodnotě se funkce blíží v okolí určitého bodu. Je to klíčový nástroj pro analýzu spojitosti, derivací a chování funkcí.
Formální definice říká: Funkce $\text{f}(\mathbf{x})$ má v bodě $\mathbf{a}$ limitu $\mathbf{b}$, pokud pro každé prstencové okolí $\mathbf{U_{b}}$ bodu $\mathbf{b}$ existuje prstencové okolí $\mathbf{U_{a}}$ bodu $\mathbf{a}$ takové, že $\text{f}(\mathbf{U_{a}}) \subset \mathbf{U_{b}}$.
Lidsky řečeno, limita existuje pouze tehdy, pokud se funkce v bodu $\mathbf{a}$ blíží stejné hodnotě zleva i zprava - má stejnou levou i pravou limitu.
Limita funkce (pokud existuje) je vždy jednoznačná – v jednom bodě může mít maximálně jednu limitu.
$\text{f}(\mathbf{x})$ nemůže mít navíc limitu $\mathbf{c}$, protože existuje takové prstencové okolí $\mathbf{U_{b}}$ a $\mathbf{U_{c}}$, že $\mathbf{U_{b}} \cap \mathbf{U_{c}} = \emptyset$.
To vyplývá z definice: pokud by existovaly dvě různé limity $\mathbf{b}$ a $\mathbf{c}$, musela by být jejich okolí navzájem disjunktní (nepřekrývala by se), což by odporovalo vlastnosti limit.
Při práci s limitami často používáme jednoduchá pravidla pro základní operace:
* Součet/diference funkcí: $$ \lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) $$
* Součin funkcí: $$ \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) $$
* Podíl funkcí (pokud $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$): $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} $$
Tato pravidla platí pouze tehdy, když limity jednotlivých funkcí existují.
Existuje několik běžných technik pro výpočet limit – podle povahy výrazu použijeme nejvhodnější:
Další speciální způsob, který může pomoc s výpočtem určitých limit.
Pokud při výpočtu limit dostaneme neurčitý tvar $0/0$ nebo $\infty/\infty$, můžeme použít tzv. l’Hospitalovo pravidlo. Spočívá v podělení derivací čitatele a jmenovatele:
\[ \boxed{ \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} \;=\; \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} } \qquad \text{za předpokladu} \quad \begin{cases} f \text{ and } g \text{ jsou derivovatelná v prstencovém okolí } c,\\[2pt] \displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\lim_{x\to c}g(x)=0 \;\text{or}\; \displaystyle\lim_{x\to c}|f(x)|=\lim_{x\to c}|g(x)|=\infty,\\[6pt] \displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ existuje (konečná nebo } \pm\infty). \end{cases} \]
Toto pravidlo platí jen za splnění těchto podmínek:
Kromě limit v konkrétním bodě můžeme zkoumat i chování funkce, když se $x$ blíží k nekonečnu nebo k nule. Tyto limity ukazují, jak se funkce “chová na krajích” svého definičního oboru.
Značení: $$ \lim_{x \to +\infty} f(x), \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) $$
Tato limita vyjadřuje, ke které hodnotě se funkce blíží, když $x$ roste do kladného nebo záporného nekonečna.
Příklady:
Poznámka: Často se používají při zjišťování asymptot funkce (např. vodorovné nebo šikmé).
Limity, kde se $x$ blíží k nule, jsou zvlášť zajímavé v případě:
Slouží např. k posouzení spojitosti nebo k vyšetření vlastností funkcí s nespojitostí v 0.
Příklady:
Při výpočtu limit v nekonečnu nebo v nule se často používá:
Příklad výpočtu pomocí l’Hospitalova pravidla: $$ \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0 $$
Spojitost funkce je klíčová vlastnost, která nám říká, že „graf se dá nakreslit jedním tahem“. Matematicky to znamená, že se hodnota funkce v bodě neruší ani neodchyluje od toho, kam směřuje její limita.
Funkce f je spojitá v bodě $x_0$, pokud existuje limita funkce $f$ v bodě $x_0$ a je rovna hodnotě funkce v tomto bodě: $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $$
Funkce je spojitá na intervalu $I$, pokud je spojitá v každém bodě intervalu $I$. Funkce je spojitá na intervalu $I$, pokud pro každé $x_0 \in I$ platí:
Složená funkce $f \circ g$ je spojitá v bodě $x_0$, pokud $g$ je spojitá v bodě $x_0$ a $f$ je spojitá v bodě $g(x_0)$.
U složené funkce $f \circ g$ (tedy $f(g(x))$) platí, že je spojitá v bodě $x_0$, pokud:
Základní operace zachovávají spojitost (pokud jsou jednotlivé funkce spojité):
Spojité funkce mají několik důležitých vlastností, které zaručují, že se „chovají slušně“ na daném intervalu:
Je-li funkce f spojitá na intervalu I a nabývá hodnot m a M, kde $m < M$, pak nabývá všech hodnot mezi nimi – tedy každou hodnotu z intervalu $\langle m, M \rangle$. Tuto vlastnost nazýváme věta o mezihodnotě.
Funkce $F$ se nazývá primitivní funkce k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F'$ = $f$ pro každé $x \in I$.
Pro každou spojitou funkci $f$ na intervalu $I$ existuje alespoň jedna primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na intervalu $I$. Funkce $F$ je spojitá na intervalu $I$.
Pro nalezení globálního extrému spojité funkce $f$ na intervalu $I$ je třeba:
$$ \int_a^b f(x) \, dx \quad \text{existuje} $$
Spojitá funkce je tedy nejen dobře definovaná a předvídatelná, ale má i všechny potřebné vlastnosti pro další analýzu – derivování, integrování i hledání extrémů.
Derivace nám říká, jak rychle se funkce mění – odpovídá tedy směrnici tečny ke grafu funkce. Základní představa vychází z průměrné změny, která se pomocí limity přechodu k bodu $a$ mění na okamžitou změnu.
Mějme funkci f definovanou na okolí bodu a. Změna proměnné o hodnotu h vede ke změně funkční hodnoty o $f(a + h) − f(a)$, což dává průměrnou rychlost změny (směrnici sečny):
$$ \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$
Okamžitou rychlost změny získáme jako limitu, kde $h \to 0$, tedy jako derivaci:
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} $$
Geometricky je derivace směrnice tečny ke grafu funkce v bodě $a$.
Součet a rozdíl funkcí: $$ (f \pm g)' = f' \pm g' $$
Součin funkcí (tzv. Leibnizovo pravidlo): $$ (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' $$
Podíl funkcí: $$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$
Složená funkce (řetězové pravidlo): $$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Tečna ke grafu funkce $f(x)$ v bodě $x = a$ je přímka, která se “dotýká” grafu funkce v tomto bodě a má směrnici rovnou hodnotě derivace $f'(a)$. Hledáme její rovnici ve tvaru:
$$ y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a) $$
Postup:
Tento tvar vychází z bodového tvaru přímky procházející bodem $[a, f(a)]$ se směrnicí $f'(a)$.
Derivace se používá k analýze chování funkcí:
Nejprve spočítáme derivaci: $$ f'(x) = 4x^3 - 16x $$
*Spočítáme stacionární body (kde $f'(x) = 0$):* $$ 4x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0,\; x = \pm2 $$
To jsou kandidáti na extrémy (minima / maxima).
*Druhá derivace:* $$ f''(x) = 12x^2 - 16 $$
Zkouška druhou derivací:
V bodě x = 0:
Tečna je vodorovná: $$ y = 8 $$
V bodě x = -1:
Rovnice tečny: $$ y = 12(x + 1) + 1 = 12x + 13 $$
Integrály nám umožňují spočítat celkovou změnu veličiny (například plochu pod křivkou) nebo obnovit funkci na základě její derivace. Rozlišujeme neurčitý a určitý integrál, které spolu úzce souvisí.
Funkce $F$ se nazývá primitivní funkce k funkci $f$ na otevřeném intervalu $I$, pokud $F' = f$ pro každé $x \in I$.
Pokud existuje alespoň jedna primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na intervalu $I$, nazýváme množinu všech primitivních funkcí k funkci $f$ neurčitým integrálem funkce $f$ na $I$ a značíme ji: $$ \int f(x) \, dx $$
Z charakteristiky množiny primitivních funkcí pak můžeme psát: $$ \int f(x) \, dx = \{ F(x) + C: C \in \mathbb{R} \} $$
Základní tabulkové integrály: \begin{align*} \int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq - 1 \\ \int \frac{1}{x} \, dx &= \ln |x| + C \\ \int e^x \, dx &= e^x + C \\ \int a^x \, dx &= \frac{a^x}{\ln(a)} + C \\ \int \sin(x) \, dx &= -\cos(x) + C \\ \int \cos(x) \, dx &= \sin(x) + C \\ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx &= \arctan(x) + C \end{align*}
Určitý integrál vyjadřuje například plochu pod grafem funkce mezi dvěma body $a$ a $b$, pro nezápornou funkci.
$\langle a, b \rangle$ je konečná množina $D \subset \langle a, b \rangle$ obsahující body $a, b$.
Značíme ji $D = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$, kde $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$.
Nechť $f$ je omezená funkce na intervalu $\langle a, b \rangle$ a $D = \{x_0, \ldots, x_n\}$ je dělení intervalu $\langle a, b \rangle$. Dolní a horní integrální součet funkce $f$ pro dělení $D$ jsou:
$$ \underline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf f(\langle x_{i-1}, x_i \rangle) \cdot (x_i - x_{i-1}) $$
$$ \overline{\mathcal{S}}(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup f(\langle x_{i-1}, x_i \rangle) \cdot (x_i - x_{i-1}) $$
Tato formule propojuje neurčitý a určitý integrál:
Pokud $f$ je spojitá na $\langle a, b \rangle$ a $F$ je její primitivní funkce, pak: $$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$
Navíc: $$ F(x) = \int_a^x f(t) \, dt + C $$
Lineární vlastnost integrálu znamená, že lze integrovat jednotlivé části výrazu zvlášť a konstanty vytknout před integrál. Tato vlastnost se často používá k rozložení složitějších výrazů na jednodušší.
Pro konstanty $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ a funkce $f, g$ platí: $$ \int (\alpha f + \beta g) \, dx = \alpha \int f \, dx + \beta \int g \, dx $$
Metoda per partes se používá, pokud máme součin dvou funkcí – jednu snadno derivujeme, druhou integrujeme. Umožňuje převést integrál do jednoduššího tvaru.
$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$
Například: $$ \newcommand\diff{\mathop{}\!d} \int x \log x \diff x = \left[ \begin{alignedat}{2} u &= \log x \quad & \diff v &= x\diff x \\ \diff u &= \frac{1}{x}\diff x \quad & v &= \frac{x^2}{2} \end{alignedat}\, \right] = \frac{x^2}{2}\log x - \int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x}\diff x = \frac{x^2}{2}\log x - \frac{1}{4}x^2 + C $$
Používá se, pokud lze vhodně nahradit výraz novou proměnnou $u = g(x)$. U určitého integrálu nezapomeň přepočítat meze.
Příklad: $$ \int 2x e^{x^2} \, dx \quad \text{zvolíme } u = x^2, \; du = 2x \, dx $$
$$ = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C $$
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Výpočet přes aproximaci plochy pod křivkou pomocí sum.
$\int x^2 \sin(4x)\,dx$
$\int 4x \sin(x^2)\,dx$
$\int \frac{2x + 1}{x^2 + 1}\,dx$
Číselná řada je nekonečný součet členů posloupnosti $a_1, a_2, a_3, \ldots$. Značí se:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots $$
Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady. $n$-tý částečný součet (označujeme $s_n$) je součet prvních $n$ členů: $$ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k $$
Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá součet řady.
Řekneme, že řada konverguje, pokud limita posloupnosti částečných součtů $\lim_{n \to \infty} s_n$ existuje a je konečná.
Pokud neexistuje nebo je nekonečná, řada diverguje.
Pokud se součty neustálým přičítáním kmitají (např. u některých alternujících řad), řada osciluje.
Řada $\sum a_n$ je absolutně konvergentní, pokud konverguje řada $\sum |a_n|$.
Příklad:
Alternující harmonická řada: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} $$ konverguje, ale $\sum \frac{1}{n}$ diverguje ⇒ není absolutně konvergentní.
Geometrická řada je řada tvaru: $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \ldots $$ kde $a_0$ je první člen a $q$ je kvocient řady.
Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven: $$ S = \frac{a_0}{1 - q} $$ Pokud $|q| \geq 1$, řada diverguje.
Příklad: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$
Nutná podmínka říká, že pokud má řada $\sum a_n$ konvergovat, pak: $$ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $$
Pozor:
Zkoumá poměr po sobě jdoucích členů. Hodí se pro řady, kde se členy násobí, nebo obsahují faktoriály.
Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: $$ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q, $$ pak řada konverguje (absolutně).
Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje.
Pokud $$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, $$ řada konverguje (absolutně).
Založeno na limitě $k$-té odmocniny z členů. Hodí se pro řady, které obsahují exponenty.
Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: $$ \sqrt[n]{|a_n|} \leq q, $$ pak řada konverguje (absolutně).
Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje.
Pokud $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1, $$ řada konverguje.
Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro kladné, klesající posloupnosti.
Nechť $f$ je nezáporná, klesající funkce definovaná na $[1, \infty)$ a $f(n) = a_n$.
Pak:
Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje právě tehdy, když konverguje nevlastní integrál: $$ \int_1^{\infty} f(x) \, dx $$
Příklad: Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$.
Používá se pro alternující řady – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy.
Uvažujme řadu tvaru: $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$
pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost.
Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
Harmonická řada je řada tvaru: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots $$ Harmonická řada diverguje.
Harmonická řada se nazývá Harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.