====== Aproximace funkcí. Chyby numerických algoritmů, řešení rovnic a výpočtu integračních ======
  * Zdroje chyb numerických algoritmů.
  * Aproximace funkcí: interpolace polynomy a spliny, metoda nejmenších čtverců. Volba aproximace metody.
  * Numerické metody řešení (jedné) nelineární rovnice, problematika separace kořenů.
  * Numerické řešení soustav lineárních rovnic, možné problémy, argumenty pro použití finitních nebo iteračních metod.
  * Numerická integrace - princip, možné problémy, volba metody, problematika odhadu chyb.

===== Zdroje chyb =====
**Zdroje chyb numerických algoritmů.**
__POZOR AI generated z pdf zdrojů (dochází čas lol)__
==== Řád chyby ====
Řád chyby je jak rychle chyba v numerické metody klesá se zmenšujícím se krokem -> čím výšší řád chyby tím rychleji se chyba zmenšuje s menším dělením, nebo více samplovacími body.
==== Modelová chyba ====
<markdown>
Vzniká při aproximaci skutečného systému matematickým modelem. Například:
- Při odstranění maličkých efektů v fyzikálních rovnicích
- Při zjednodušení složitých procesů pro jejich řešení
- V ekonomických modelech s předpokladem lineárního chování
- V mechanice se zanedbáním vzdušného odporu
</markdown>

==== Diskretizační chyba ====
<markdown>
Vzniká při přepisu spojité úlohy do diskrétního prostoru:
- Při numerickém integrování (Simpsonovo pravidlo)
- V metodě konečných prvků pro řešení diferenciálních rovnic
- Při aproximaci derivace pomocí diferenčních vzorců
</markdown>

==== Chyba zaokrouhlení ====
<markdown>
Vzniká kvůli omezené přesnosti počítačové aritmetiky (floating point čísla):
- Při sčítání velkých a malých čísel
- V iterativních metodách pro řešení soustav rovnic
- Při výpočtu velkých mocnin nebo exponentiály
</markdown>


==== Kombinace chyb ====
<markdown>
Pro optimální výsledek musí být diskretizační chyba stejně velká nebo větší než chyba zaokrouhlení. Pokud není, nepřinese to zlepšení přesnosti.
</markdown>

==== Klíčové postřehy ====
<markdown>
- **Tichonovova regularizace**: Technika užitá pro řešení nestabilních úloh (např. neúplně určených soustav rovnic). Pomáhá omezit vliv velké chyby na koncový výsledek.
- Iterativní metody mohou amplifikovat chyby ze každého kroku
- Stabilita algoritmu znamená, že limituje chyby zaokrouhlení a jejich akumulaci
</markdown>

===== Aproximace funkcí =====
**Interpolace polynomy, splinová interpolace a metoda nejmenších čtverců. Kritéria pro výběr metody.**


**Metody pro nalezení funkce vhodně reprezentující daná data, rozdělené na interpolaci (přesný průchod body) a aproximaci (minimalizace chyby).**

==== Rozlišení interpolace a aproximace ====

  * **Interpolace**: Používáme, když požadujeme **přesnou shodu funkčních hodnot v uzlových bodech**. Vhodná pro:
    * Rekonstrukci křivek z přesných měření (např. fyzikální experimenty) 
    * Úlohy vyžadující exaktní průchod daty (např. CAD systémy) 
  * **Aproximace**: Používáme, když akceptujeme **malou odchylku v bodech** a minimalizujeme celkovou chybu. Vhodná pro:
    * Zpracování šumivých dat (např. ekonomické prognózy) 
    * Kompresi signálů (např. MP3, JPEG) 

==== Interpolace polynomy ====

  * **Definice**: Pro dané body $(x_0,y_0),\dots,(x_{n-1},y_{n-1})$ hledáme polynom $\phi$ stupně $<n$ splňující $\phi(x_i) = y_i$ 
  * **Matematický popis**:
    * //Lagrangeova forma//:\\
$\phi(t) = \sum_{j=0}^{n-1} y_j \rho_j(t)$, kde $\rho_j(t) = \prod_{\substack{i=0 \\ i \neq j}}^{n-1} \frac{t - x_i}{x_j - x_i}$ 
    * //Nevýhody//: Velké oscilace pro $n > 20$, citlivost na lokální změny 
  * **Použití**: Ideální pro malý počet bodů ($n < 15$) a hladké funkce 

==== Splinová interpolace ====

  * **Definice**: Po částech polynomiální funkce (obvykle kubické), spojitá v první a druhé derivaci  Pro intervaly $[x_{i-1}, x_i]$: $\phi_i(t) = y_{i-1}\eta_i(t) + y_i\varrho_i(t) + c_{i-1}\sigma_i(t) + c_i\tau_i(t)$,\\
kde $\eta_i, \varrho_i, \sigma_i, \tau_i$ jsou kubické polynomy 
  * **Podmínky**:
    * Spojitost derivací: $\phi_i'(x_i) = \phi_{i+1}'(x_i)$, $\phi_i''(x_i) = \phi_{i+1}''(x_i)$ pro $i=1,\dots,n-2$ 
  * **Výhody**: Minimalizace oscilací, odolnost vůči lokálním změnám 

==== Metoda nejmenších čtverců ====

  * **Definice**: Minimalizuje součet čtverců odchylek $\min \sum_{i=0}^{n-1} (\phi(x_i) - y_i)^2$ 
  * **Matematický popis**:\\
Pro bázi $\{\phi_0,\dots,\phi_{k-1}\}$ hledáme koeficienty $c_j$ řešením soustavy:\\
$\sum_{j=0}^{k-1} c_j \left( \phi_j(\vec{x}) \cdot \phi_m(\vec{x}) \right) = \vec{y} \cdot \phi_m(\vec{x})$, $m=0,\dots,k-1$ 
  * **Použití**:
    * Přeurčené soustavy ($n > k$), šumivá data 
    * Speciální případ: trigonometrická aproximace pro periodické signály (FFT) 

==== Kritéria pro výběr metody ====

  - **Počet bodů**:
    * $n \leq 15$: Polynomiální interpolace 
    * $n > 15$: Spliny nebo nejmenší čtverce 
  - **Požadovaná přesnost**:
    * Exaktní shoda: Interpolace 
    * Tolerovatelná chyba: Nejmenší čtverce 
  - **Charakter dat**:
    * Periodická data: Goniometrický polynom + FFT 
    * Nespojitosti/hrany: Spliny 
  - **Výpočetní náročnost**:
    * Rychlé vyhodnocení: Lineární/lokální spliny 
    * Optimalizace: Ortogonální báze (Čebyševovy polynomy) 

<tikzjax>
\usepackage{amsmath}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta}
\begin{document}

% Vizualizace metod
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
% Data points
\draw[fill=black] (1,1) circle (2pt) node[below]{$(x_0,y_0)$};
\draw[fill=black] (3,2) circle (2pt) node[above]{$(x_1,y_1)$};
\draw[fill=black] (5,0.5) circle (2pt) node[below]{$(x_2,y_2)$};
\draw[fill=black] (7,3) circle (2pt) node[above]{$(x_3,y_3)$};




% Spline interpolation (blue)
\draw[blue, thick] (1,1) .. controls (2,1.4) and (2.5,2.2) .. (3,2);
\draw[blue, thick] (3,2) .. controls (4,1.8) and (4.5,0.3) .. (5,0.5);
\draw[blue, thick] (5,0.5) .. controls (6,0.7) and (6.5,2.5) .. (7,3);

% Least squares (green)
\draw[green, thick, domain=0.8:7.5] plot (\x, {0.4*\x + 0.2});

% Legend
\node at (4,-1.5) {Legenda:};
\draw[blue, thick] (3,-2.5) -- (4,-2.5) node[right]{Spline};
\draw[green, thick] (3,-3) -- (4,-3) node[right]{Nejmenší čtverce};

\end{tikzpicture}

\end{document}
</tikzjax>

===== Numerické metody řešení nelineárních rovnic =====


**Numerické metody řešení rovnice $f(x) = 0$** slouží k nalezení kořenů, kdy analytické řešení není možné. Předpokladem je separace kořenů – nalezení intervalu $\langle a, b \rangle$ s $f(a) \cdot f(b) < 0$ a jediným kořenem. Metody se liší rychlostí konvergence, požadavky na derivace a garancemi konvergence , 

==== Přehled metod ====

^Metoda            ^Vstup   ^Derivace^Konvergence         ^Řád konvergence                     ^
|**Bisekce**       |Interval|Ne      |Vždy                |1                                   |
|**Regula falsi**  |Interval|Ne      |Vždy                |1                                   |
|**Metoda sečen**  |2 body  |Ne      |Lokální             |$\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$|
|**Newtonova**     |1 bod   |1.      |Lokální             |2                                   |
|**Prostá iterace**|1 bod   |Ne      |Kontraktivita $\phi$|1                                   |




==== 1. Metoda půlení intervalu (Bisekce) ====

**Matematický princip**:\\
Interval $\langle a_i, b_i \rangle$ se rekurzivně půlí:\\
$$
x_i = \frac{a_i + b_i}{2}
$$\\
Nový interval:\\
$$
\langle a_{i+1}, b_{i+1} \rangle = 
\begin{cases} 
\langle a_i, x_i \rangle & \text{pokud } f(a_i) \cdot f(x_i) < 0 \\
\langle x_i, b_i \rangle & \text{jinak}
\end{cases}
$$\\
**Konvergence**: Lineární ($\varepsilon_i = \frac{b_0 - a_0}{2^i}$), garantovaná pro spojité funkce \\
**Visualizace**:

<tikzjax>
\usepackage{amsmath}
\usepackage{pgfplots}
\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[thick,xscale=1,yscale=1]
  % Axes
  \draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1) -- (0,4) node[above] {$f(x)$};

  % Function (example cubic)
  \draw[domain=0.5:4.5,smooth,variable=\x,blue]
    plot ({\x},{0.1*(\x-3)^3 + 0.5});

  % Endpoints a=1, b=4
  \foreach \X/\lbl in {1/a,4/b}{
    \draw[dashed] (\X,0) node[below] {$\lbl$}
      -- (\X,{0.1*(\X-3)^3+0.5});
    \fill (\X,{0.1*(\X-3)^3+0.5}) circle (1.5pt);
  }

  % Midpoint c = (a+b)/2 = 2.5
  \coordinate (C) at (2.5,{0.1*(2.5-3)^3+0.5});
  \draw[dashed] (2.5,0) node[below] {$c$} -- (C);
  \fill (C) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}

\end{document}
</tikzjax>



==== 2. Newtonova metoda ====

**Matematický princip**:\\
Tečna v $x_i$:\\
$$
x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}
$$\\
**Konvergence**: Kvadratická ($\lim_{i \to \infty} \frac{|x - x_i|}{|x - x_{i-1}|^2} = \left| \frac{f''(x)}{2f'(x)} \right|$) při $f'(x) \neq 0$ \\
**Visualizace**:

{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-125539.png?490}}



==== 3. Metoda sečen ====

**Matematický princip**:\\
Aproximace derivace:\\
$$
x_{i+1} = x_i - f(x_i) \cdot \frac{x_i - x_{i-1}}{f(x_i) - f(x_{i-1})}
$$\\
**Konvergence**: Superlineární ($\lim_{i \to \infty} \frac{\ln |x_{i+1} - x_i|}{\ln |x_i - x_{i-1}|} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$) \\
**Visualizace**:

{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-125807.png?450}}




==== 4. Regula falsi ====

**Matematický princip**:\\
Kombinace bisekce a sečen. Průsečík sečny s osou $x$:\\
$$
x_i = \frac{a_i f(b_i) - b_i f(a_i)}{f(b_i) - f(a_i)}
$$\\
**Konvergence**: Lineární při zachování intervalu s kořenem \\
**Visualizace**:


{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-130029.png?450}}

==== 5. Metoda prosté iterace ====

**Matematický princip**:\\
Transformace na $x = \phi(x)$, iterace:\\
$$
x_{i+1} = \phi(x_i)
$$\\
**Konvergence**: Lineární při $|\phi'(x)| < 1$ v okolí kořene. Řád $p$ pro $\phi^{(k)}(x) \neq 0$ ($k = 1, \dots, p-1$) a $\phi^{(p)}(x) \neq 0$ \\
**Visualizace** (Cobweb diagram):


{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-130215.png?450}}
==== Problematika separace kořenů ====

  - **Analýza funkce**:
    * Tabulace hodnot, hledání intervalů se znaménkovou změnou\\

    * Studium derivací pro monotonii ($f'(x) > 0$ → rostoucí)\\

  - **Problémy**:
    * Násobné kořeny (např. $f(x) = (x-2)^2$): $f(a) \cdot f(b) < 0$ neplatí\\

    * Řešení: Transformace $h(x) = \frac{f(x)}{f'(x)}$ redukuje násobnost \\

  - **Kritické případy**:
    * Nespojitosti, periodické funkce – vyžadují speciální algoritmy (např. kombinace s derivacemi) 

===== Numerické řešení soustav lineárních rovnic =====

**Metody pro řešení soustav lineárních rovnic $A\vec{x} = \vec{b}$, jejich matematické formulace, problémy a kritéria volby mezi přímými a iteračními postupy.**
=== Přímé (finitní) metody ===

Poskytují teoreticky přesné řešení v konečném počtu kroků: 

1. **Gaussova eliminace**:
    * Převádí matici $A$ na **horní trojúhelníkový tvar** pomocí ekvivalentních úprav.\\
    * **Algoritmus**:\\
    * Pro $k = 1$ až $n-1$:\\
$a^{(k)}_{i,j} = a^{(k-1)}_{i,j} - \frac{a^{(k-1)}_{i,k}}{a^{(k-1)}_{k,k}} \cdot a^{(k-1)}_{k,j}$\\
    * **Zpětná substituce**:\\
$x_i = \frac{1}{a^{(i-1)}_{i,i}} \left( a^{(i-1)}_{i,n+1} - \sum_{j=i+1}^n a^{(i-1)}_{i,j}x_j \right)$ \\
    * Výběr hlavního prvku redukuje zaokrouhlovací chyby.

2. **LU rozklad**:
    * Rozklad $A = LU$ na **dolní ($L$)** a **horní ($U$) trojúhelníkovou matici**.\\

    * Řeší se dvě soustavy:
      * $L\vec{y} = \vec{b}$ (dopředná substituce),
      * $U\vec{x} = \vec{y}$ (zpětná substituce).

    * Efektivní pro opakované výpočty s různými $\vec{b}$ 

=== Iterační metody ===

Generují posloupnost aproximací $\vec{x}^{(k)} \to \vec{x}$: 

1. **Jacobiho metoda (JIM)**:
    - Rozklad $A = D + L + U$ ($D$ diagonální, $L$ ostře dolní, $U$ ostře horní trojúhelníková).
    - **Iterační vzorec**: $\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \vec{b} - (L + U) \vec{x}^{(k)} \right)$
    - Jednoduchá implementace, paralelizovatelná, ale pomalá konvergence 

2. **Gaussova-Seidelova metoda (GSM)**:
    * Využívá již aktualizované hodnoty v aktuální iteraci: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + L)^{-1} \left( \vec{b} - U \vec{x}^{(k)} \right)$
    * Rychlejší konvergence než JIM, ale sekvenční výpočet 
3. **Superrelaxační metoda (SOR)**:
    * Zavádí relaxační parametr $\omega$ pro urychlení konvergence: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + \omega L)^{-1} \left[ (1-\omega)D \vec{x}^{(k)} - \omega U \vec{x}^{(k)} \right] + \omega (D + \omega L)^{-1} \vec{b}$
    * Pro $\omega = 1$ přechází na GSM. Optimální $\omega$ zrychluje konvergenci, ale špatná volba způsobí divergenci 

=== Problémy a kritéria volby metod ===

  * **Problémy**:
    * **Špatná podmíněnost**: Malé změny v $A$ nebo $\vec{b}$ vedou k velkým změnám řešení (kritérium: velké $\|A^{-1}\|$)
    * **Zaokrouhlovací chyby**: Akumulují se v přímých metodách, zejména bez výběru hlavního prvku
    * **Konvergence iterací**: Zajištěna pouze pokud $\rho(B) < 1$ (spektrální poloměr iterační matice)
    * **Řídké matice**: Přímé metody ztrácejí na efektivitě kvůli “zaplnění” (fill-in), iterační metody ji zachovávají 
  * **Volba metody**:

^**Parametr**             ^**Přímé metody**               ^**Iterační metody**                       ^
|**Velikost matice**      |Malé až střední systémy        |Velké systémy ($n > 10^3$)                |
|**Struktura matice**     |Plné nebo řídké                |Řídké (např. diskretizace PDE)            |
|**Přesnost**             |Vysoká (teoreticky přesné)     |Přibližná (kontrola rezidua $\|\vec{r}\|$)|
|**Vícenásobná $\vec{b}$**|Efektivní (jednorázový rozklad)|Výhodné s dobrým počátečním odhadem       |
|**Paměťová náročnost**   |Vyšší (např. LU: $O(n^2)$)     |Nižší (např. JIM: $O(n)$)                 |

=== Odhady chyb a optimalizace ===

  * **Reziduální odhad**: $\vec{r} = \vec{b} - A\vec{x}_c$ umožňuje zpřesnění řešení \\

  * **Složitost**:
    * Přímé metody: $O(n^3)$ pro GEM, $O(n^2)$ pro zpětný chod.\\

    * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké 


===== Numerická integrace =====

**Numerická integrace slouží k přibližnému výpočtu určitého integrálu, když analytické řešení není možné. Zahrnuje diskretizaci intervalu, výpočet ploch pod křivkou pomocí jednoduchých geometrických tvarů a řízení chyb.**

==== Metody numerické integrace ====

1. **Metoda levých obdélníků**
    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu.
    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$:
$$
I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h.
$$
    * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce).
2. **Metoda středních obdélníků**
    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu.
    * **Matematicky:**
$$
I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right).
$$
    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$).
3. **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)**
    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku).
    * **Matematicky:**
$$
I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right].
$$
    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy).
4. **Simpsonova metoda**
    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů.
    * **Matematicky (pro sudé $n$):**
$$
I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right].
$$
    * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$).
5. **Gaussova kvadratura**
    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$.
    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů:
$$
I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right),
$$
kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy.
    * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$).
=== Bonus: Newton-Cotesovy vzorce ===

Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\
- **Vzorce**:\\
$$
  \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \sum_{i=0}^{n} w_i f(x_i)
  $$\\
kde $w_i$ jsou váhy závislé na počtu uzlů $n+1$.\\
- **Problém**: Pro $\ge 8$ uzlů nastává **Rungeova fenoména** (oscilace interpolujících polynomů).

==== Problémy a optimalizace ====
  * **Problémy:** Numerické chyby (zaokrouhlovací, metody), singularity, oscilace funkce.\\

=== Metoda polovičního kroku a odhad chyby ===

  * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\
$$
E_{1/2} \approx \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.
$$\\

  * **Vylepšení integrálu:**\\
$$
I_{\text{vylepšené}} = I_{h/2} + E_{1/2}.
$$\\

  * **Souvislost s Richardsonovou extrapolací:** Tento postup je jejím speciálním případem. Kombinací výsledků pro různé $h$ eliminuje vedoucí člen chyby 

=== Řád metody ===

  * **Význam:** Udává, do jakého stupně polynomu metoda počítá integrál přesně. Např. metoda řádu 2 přesně integruje polynomy stupně $\leq 1$ (tj. $x^{1}$ a nižší).\\

  * **Chyba metody:** Pro krok $h$ a řád $p$ je globální chyba $O(h^p)$.


==== Řád chyby ====

  * **Definice:** Řád chyby $p$ znamená, že chyba metody klesá jako $h^p$ při zmenšování kroku $h$.
  * **Příklad:** Pro metodu s řádem 2, zmenšení kroku $h$ na polovinu sníží chybu 4krát, protože $E \propto h^2$.

=== Adaptivní kvadratura ===

Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami).

==== Integrace v nekonečném intervalu ====

=== 1. Substituce změny proměnné ===

  * **Příklad 1**: Pro $\int_{a}^{\infty} f(x) \, dx$:\\
$$
x = \frac{a}{1 - t}, \quad t \in [0,1] \Rightarrow dx = \frac{a}{(1 - t)^2} dt
$$\\

  * **Příklad 2**: Pro $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx$:\\
$$
x = \tan(t), \quad t \in (-\pi/2, \pi/2) \Rightarrow dx = \sec^2(t) dt
$$

=== 2. Speciální kvadratury ===

  * **Gauss-Laguerre**: Pro $\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx$.\\

  * **Gauss-Hermite**: Pro $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx$.

==== Kritéria volby metody ====

  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova).
  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.
  - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.

==== Příklad aplikace ====

**Vypočtěte** $\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx$ s přesností $10^{-4}$ pomocí trapezoidální metody:\\
1. Odhad chyby:\\
$$
   \left| E \right| \leq \frac{(1-0)^3}{12n^2} \max |f''(x)| \Rightarrow \max |f''(x)| = \max |4x^2 - 2| e^{-x^2} \approx 2 \text{ na } [0,1]
   $$\\
2. Vyžaduje $n \approx \sqrt{2/(12 \cdot 10^{-4})} \approx 37$.

==== Souhrn ====

  * **Vysoký řád** (Simpson) vs. **efektivita** (adaptivní metody).\\

  * Pro **nekonečné intervaly** používejte substituce nebo specializované kvadratury.\\

  * **Chyba** je klíčová pro optimalizaci výpočtu.

**Poznámka**: Pro reálné problémy doporučuje se použít numerické knihovny (např. ''%%scipy.quad%%''), které kombinují různé metody a optimalizují chybu automaticky.