====== Lineární prostor, báze a dimenze, řešení soustav lineárních rovnic, lineární zobrazení. Základy maticového počtu. ====== [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680606.html|B0B01LAG]] [[https://math.fel.cvut.cz/en/people/velebil/teaching/b0b01lag.html|Webové stránky předmětu]] * **Lineárnı́ prostor a podprostor** – ilustrace na přı́kladech. * **Lineárnı́ obal** – lineárnı́ závislost a nezávislost. * **Báze, dimense a souřadnice vektoru v bázi**. * **Matice** – sčı́tánı́ a násobenı́ matic. * **Lineárnı́ zobrazenı́** – matice lineárnı́ho zobrazenı́, transformace souřadnic v jedné bázi na souřadnice v jiné bázi. * **Soustavy lineárnı́ch rovnic** – Frobeniova věta a geometrie množiny všech řešenı́ soustavy lineárnı́ch rovnic. * **Determinant čtvercové matice** – výpočet determinantu (GEM a rozvoj determinantu podle řádku nebo sloupce). * **Vlastnı́ čı́sla a vlastnı́ vektory matice** – diagonalisace matice. * **Skalárnı́ součin** – výpočet souřadnic vzhledem k ortogonálnı́ bázi. Ortogonalisačnı́ proces (Gram-Schmidt). ===== 1. Lineární prostor a podprostor ===== ==== Lineární prostor ==== Lineární prostor \( L \) nad tělesem \( F \) je množina s definovanými operacemi: * sčítání vektorů: \( + : L \times L \to L \) * násobení vektoru skalárem: \( \cdot : F \times L \to L \) které splňují následující axiomy: === (1) Axiomy pro sčítání vektorů === * Existence nulového vektoru: \( \exists\ \vec{0} \in L:\ \vec{x} + \vec{0} = \vec{x} \) * Asociativita: \( (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} = \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) \) * Komutativita: \( \vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \) * Existence opačného vektoru: \( \exists\ -\vec{x} \in L:\ \vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{0} \) === (2) Axiomy pro násobení skalárem === * Neutralita násobení jedničkou: \( 1 \cdot \vec{x} = \vec{x} \) * Asociativita násobení skalárem: \( a \cdot (b \cdot \vec{x}) = (a \cdot b) \cdot \vec{x} \) === (3) Distributivní zákony === * Distributivita skalárů: \( (a + b) \cdot \vec{x} = a \cdot \vec{x} + b \cdot \vec{x} \) * Distributivita vektorů: \( a \cdot (\vec{x} + \vec{y}) = a \cdot \vec{x} + a \cdot \vec{y} \) === Příklady lineárních prostorů === * \( \mathbb{R}^2, \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^n \) – vektory v rovině, prostoru, n-rozměrném prostoru * \( \mathbb{R}[x] \) – množina všech reálných polynomů * \( \mathbb{C} \) – množina komplexních čísel * množina všech funkcí \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) === Důsledky definice === * \( 0 \cdot \vec{x} = \vec{0} \) * \( a \cdot \vec{0} = \vec{0} \) * \( a \cdot \vec{x} = \vec{0} \iff a = 0\ \text{nebo}\ \vec{x} = \vec{0} \) === Příklad === Vektorový prostor \( \mathbb{R}^2 \): \[ \vec{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix},\ \vec{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} \] Sčítání: \[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} \] Násobení skalárem: \[ 2 \cdot \vec{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \] === Lineární kombinace === Pro seznam vektorů \( (v_1, v_2, ..., v_n) \in L \) a skaláry \( (a_1, a_2, ..., a_n) \in F \) je lineární kombinace definována jako: \[ a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_n v_n \] Pokud jsou všechny koeficienty \( a_1 = a_2 = ... = a_n = 0 \), mluvíme o **triviální lineární kombinaci**, jejímž výsledkem je nulový vektor. Pokud existuje alespoň jeden koeficient nenulový, jde o **netriviální lineární kombinaci**. Množina všech možných lineárních kombinací vektorů z dané množiny \( M \) se nazývá **lineární obal** této množiny a značí se jako \( \text{span}(M) \). Tvoří podprostor lineárního prostoru \( L \), který obsahuje všechny vektory dosažitelné z \( M \) lineárními kombinacemi. ==== Lineární podprostor ==== Podmnožina \( W \subseteq L \) je lineární podprostor, pokud: * Uzavřenost na sčítání: \( \forall\ \vec{u}, \vec{v} \in W:\ \vec{u} + \vec{v} \in W \) * Uzavřenost na násobení: \( \forall\ a \in F,\ \forall\ \vec{v} \in W:\ a \cdot \vec{v} \in W \) Podprostor obsahuje vždy \( \vec{0} \). === Příklad === Mějme \( L = \mathbb{R}^3 \), množina: \[ W = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} : x,y \in \mathbb{R} \right\} \] (rovina XY v prostoru \( \mathbb{R}^3 \)). * Uzavřenost na sčítání: součet dvou bodů z roviny XY je opět v XY. * Uzavřenost na násobení: násobení libovolným skalárem zůstane v XY. Tedy \( W \) je lineární podprostor \( \mathbb{R}^3 \). ===== 2. Lineární obal, lineární závislost a nezávislost ===== ==== Lineární obal ==== Nechť \( M \subseteq L \) je podmnožina lineárního prostoru \( L \). Lineární obal množiny \( M \), značený jako \( \text{span}(M) \), je množina všech lineárních kombinací vektorů z \( M \): \[ \text{span}(M) = \left\{ \vec{x} \, \middle| \, \vec{x} = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \vec{x}_i, \ a_i \in F, \ \vec{x}_i \in M, \ n \geq 0 \right\} \] * Pokud \( M = \emptyset \), platí \( \text{span}(M) = \{ \vec{0} \} \). * Lineární obal je nejmenší lineární podprostor obsahující množinu \( M \). === Vlastnosti lineárního obalu === * Pokud \( M \subseteq N \), pak \( \text{span}(M) \subseteq \text{span}(N) \). * \( M \subseteq \text{span}(M) \). * \( \text{span}(\text{span}(M)) = \text{span}(M) \). === Příklad === Mějme množinu \( M = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \subset \mathbb{R}^2 \). Pak: \[ \text{span}(M) = \mathbb{R}^2 \] Každý vektor v \( \mathbb{R}^2 \) lze totiž vyjádřit jako: \[ a \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \] ==== Lineární závislost a nezávislost ==== Seznam \( (\vec{x}_1, \vec{x}_2, ..., \vec{x}_n) \) vektorů je **lineárně závislý**, pokud existují skaláry \( a_1, a_2, ..., a_n \) ne všechna rovna nule, taková, že: \[ a_1 \cdot \vec{x}_1 + a_2 \cdot \vec{x}_2 + \ldots + a_n \cdot \vec{x}_n = \vec{0} \] Pokud jediným řešením této rovnice je \( a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0 \), seznam je **lineárně nezávislý**. === Příklady === * Prázdný seznam: vždy lineárně nezávislý. * Seznam obsahující nulový vektor: vždy lineárně závislý. * Seznam obsahující stejný vektor vícekrát: lineárně závislý. * Pokud soustava rovnic \( \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \vec{x}_i = \vec{0} \) má jen triviální řešení (všechna \( a_i = 0 \)), seznam je lineárně nezávislý. === Důležité vlastnosti === * Každá podmnožina lineárně nezávislé množiny je opět lineárně nezávislá. * Každá nadmnožina lineárně závislé množiny je opět lineárně závislá. ===== 3. Báze, dimenze a souřadnice vektoru v bázi ===== ==== Báze ==== Báze lineárního prostoru \( L \) je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární obal je celý prostor \( L \). Pokud je báze konečná, nazývá se **uspořádaná báze**. **Definice:** Množina \( B \subseteq L \) je **bází** prostoru \( L \), pokud: * je lineárně nezávislá, * \( \text{span}(B) = L \). **Poznámky:** * Prostor může mít více různých bází. * Všechny báze prostoru mají stejný počet prvků. **Příklady:** * Prázdná báze generuje triviální prostor \( \{ \vec{0} \} \). * Vektory \( (1,0), (0,1) \) tvoří bázi \( \mathbb{R}^2 \). * Kanonická báze \( \mathbb{R}^3 \) je \( (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \). * Množina \( (1, x, x^2, x^3, \dots) \) tvoří bázi prostoru všech reálných polynomů \( \mathbb{R}[x] \) (nekonečně dimenzionální). ==== Dimenze ==== **Definice:** Dimenze prostoru \( L \), značená jako \( \dim(L) \), je počet prvků libovolné báze prostoru \( L \). **Poznámky:** * Pokud \( L = \{ \vec{0} \} \), pak \( \dim(L) = 0 \). * Pokud \( \dim(L) = n \), každá báze \( L \) má právě \( n \) prvků. * Ne každý prostor má konečnou dimenzi (například \( \mathbb{R}[x] \) má nekonečnou dimenzi). **Příklady:** * \( \dim(\mathbb{R}^n) = n \). * \( \dim(\mathbb{C}) = 1 \) nad \( \mathbb{C} \), ale \( \dim(\mathbb{C}) = 2 \) nad \( \mathbb{R} \). * \( \dim(\mathbb{R}) = 1 \) nad \( \mathbb{R} \), ale nekonečno nad \( \mathbb{Q} \). ==== Souřadnice vektoru v bázi ==== Je-li \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) uspořádaná báze prostoru \( L \), pak pro každý vektor \( \vec{x} \in L \) existuje jediná kombinace: \[ \vec{x} = a_1 \cdot \vec{b}_1 + a_2 \cdot \vec{b}_2 + \ldots + a_n \cdot \vec{b}_n \] kde \( a_1, \ldots, a_n \in F \) jsou tzv. **souřadnice vektoru** \( \vec{x} \) vzhledem k bázi \( B \). **Značení:** \[ \text{coord}_B(\vec{x}) = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \] **Příklady:** * V kanonické bázi \( \mathbb{R}^n \) jsou souřadnice vektoru \( (x_1, ..., x_n) \) přímo \( (x_1, ..., x_n) \). * V různých bázích bude mít tentýž vektor jiné souřadnice. **Vlastnosti:** * Výpočet souřadnic je lineární: * \( \text{coord}_B(\vec{x} + \vec{y}) = \text{coord}_B(\vec{x}) + \text{coord}_B(\vec{y}) \) * \( \text{coord}_B(a \cdot \vec{x}) = a \cdot \text{coord}_B(\vec{x}) \) * Souřadnice základních vektorů báze tvoří kanonické jednotkové vektory. ===== 4. Matice – sčítání a násobení matic ===== ==== Matice ==== Matice nad tělesem \( F \) rozměrů \( r \times s \) je tabulka prvků uspořádaných do řádků a sloupců. Ztotožňujeme ji se zobrazením \( A : F^s \to F^r \). Příklad: Projekce na osy v \( \mathbb{R}^2 \): \[ X = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad Y = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] ==== Sčítání matic ==== Definice: Pro dvě matice \( A, B : F^s \to F^r \) stejného rozměru je součet definován po složkách: \[ A + B = \left( a_{ij} + b_{ij} \right) \] Podmínky: * Sčítáme pouze matice stejného rozměru. * Sčítání je komutativní a asociativní. * Pro každou matici \( A \) existuje opačná matice \( -A \), pro kterou platí \( A + (-A) = 0 \). Příklad: \[ \begin{bmatrix} 5 & 3 & 6 \\ -1 & 0 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 5 & -2 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 4 \\ 0 & 4 & 10 \end{bmatrix} \] ==== Násobení matice skalárem ==== Definice: Pro matici \( A : F^s \to F^r \) a skalár \( a \in F \): \[ a \cdot A = \left( a \cdot a_{ij} \right) \] Vlastnosti: * Platí: \( 1 \cdot A = A \) * Distributivita: \( a \cdot (A + B) = a \cdot A + a \cdot B \) * Asociativita: \( a \cdot (b \cdot A) = (a \cdot b) \cdot A \) Příklad: \[ (-2) \cdot \begin{bmatrix} -3 & 1 & 2 \\ 2 & 6 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2 & -4 \\ -4 & -12 & -8 \end{bmatrix} \] ==== Nulová matice ==== Nulový prvek v prostoru matic \( Lin(F^s, F^r) \) je nulová matice \( O_{r,s} \), kde všechny prvky jsou nulové. Příklad: \[ O_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] ==== Součin matic ==== Definice: Pokud má matice \( A \) rozměry \( p \times s \), matice \( B \) rozměry \( r \times p \), je součin \( B \cdot A \) definován jako: \[ B \cdot A = (B \cdot a_1, B \cdot a_2, ..., B \cdot a_s) \] kde \( a_j \) je j-tý sloupec matice \( A \). Položkový zápis: \[ c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} b_{ik} \cdot a_{kj} \] Podmínka: Počet sloupců první matice = počet řádků druhé matice. ==== Vlastnosti součinu matic ==== * Asociativita: \( C \cdot (B \cdot A) = (C \cdot B) \cdot A \) * Obecně neplatí komutativita: \( B \cdot A \neq A \cdot B \) * Jednotková matice \( E_n = (e_1, ..., e_n) \), kde \( e_i \) je kanonický vektor: \[ E_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \] Platí: \[ E_r \cdot A = A = A \cdot E_s \] ==== Příklady ==== Projekce na osu x v \( \mathbb{R}^2 \): \[ P_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \] Rotace o úhel \( \alpha \): \[ R_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \] Složení: \[ P_x \cdot R_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \] \[ R_\alpha \cdot P_x = \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 \\ \sin \alpha & 0 \end{bmatrix} \] Reflexe podle osy svírající úhel \( \alpha \) s osou x: \[ R_\alpha \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot R_{-\alpha} = \begin{bmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{bmatrix} \] Matice základních lineárních transformací lze definovat i v \( \mathbb{R}^n \) pro \( n \geq 3 \). Aplikace: matematika, fyzika, počítačová grafika. === Důsledek === Není-li čtvercová matice \( A \) regulární, obecně neexistují matice \( X, Y \) takové, aby platilo: \[ A \cdot X = E_n \quad \text{nebo} \quad Y \cdot A = E_n \] Řešení maticových rovnic \( A \cdot X = B \), \( Y \cdot A = C \) je důležitou oblastí teorie lineárních rovnic. ===== 5. Lineární zobrazení ===== ==== Definice ==== Nechť \( L_1, L_2 \) jsou lineární prostory nad tělesem \( F \). Zobrazení \( f : L_1 \to L_2 \) je **lineární zobrazení**, pokud platí: * \( f(\vec{x} + \vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \) * \( f(a \cdot \vec{x}) = a \cdot f(\vec{x}) \) pro všechna \( \vec{x}, \vec{y} \in L_1 \) a všechna \( a \in F \). ==== Princip superpozice ==== Princip superpozice říká, že lineární zobrazení zachovává lineární kombinace – výsledek zobrazení lineární kombinace je stejná lineární kombinace obrazů. \[ f\left(\sum_{i=1}^{n} a_i \cdot \vec{x}_i \right) = \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot f(\vec{x}_i) \] ==== Příklady ==== * Zobrazení \( \text{coord}_B : L \to F^n \) je lineární (souřadnice vektoru v bázi). * Projekce, rotace, reflexe, změna měřítka. ==== Vlastnosti lineárních zobrazení ==== * Složení lineárních zobrazení je lineární. * Identita je lineární zobrazení. * Množina všech lineárních zobrazení tvoří lineární prostor \( \text{Lin}(L_1, L_2) \). ==== Lineární zobrazení a báze ==== Zobrazení \( f : L_1 \to L_2 \) je určeno hodnotami na bázi prostoru \( L_1 \). \[ f(e_j) = a_j, \quad j = 1, \ldots, s \] kde \( e_j \) jsou vektory báze prostoru \( F^s \), \( a_j \) jsou sloupce matice zobrazení. ==== Matice lineárního zobrazení ==== Matice \( A \) nad \( F \) s \( r \) řádky a \( s \) sloupci odpovídá zobrazení: \[ A : F^s \to F^r, \quad e_j \mapsto a_j \] **Příklad základních zobrazení v \( \mathbb{R}^2 \):** * Projekce na osu x: \[ P_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \] * Rotace o úhel \( \alpha \): \[ R_\alpha = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \] * Reflexe: \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \] * Zkosení (shear): \[ S_{a,b} = \begin{bmatrix} 1 & b \\ a & 1 \end{bmatrix} \] ==== Transformace souřadnic mezi bázemi ==== Nechť \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) a \( C = (\vec{c}_1, \ldots, \vec{c}_n) \) jsou uspořádané báze stejného lineárního prostoru \( L \). {{:statnice:bakalar:pasted:20250517-165455.png}} === Definice (matice transformace souřadnic) === Matice \( T_{B \to C} \) je regulární čtvercová matice, která převádí souřadnice vektorů z báze \( B \) na souřadnice v bázi \( C \). Platí: \[ T_{B \to C} \cdot \text{coord}_B(\vec{x}) = \text{coord}_C(\vec{x}) \] j-tý sloupec matice \( T_{B \to C} \) je souřadnicový vektor \( \vec{b}_j \) vyjádřený v bázi \( C \): \[ T_{B \to C} = \left[ \text{coord}_C(\vec{b}_1)\ |\ \cdots\ |\ \text{coord}_C(\vec{b}_n) \right] \] === Vlastnosti matice transformace souřadnic === * Matice \( T_{B \to C} \) je vždy regulární (má inverzi). * Inverzní matice převádí zpět: \( T_{C \to B} = (T_{B \to C})^{-1} \). * Transformace je skladatelná: \( T_{B \to D} = T_{C \to D} \cdot T_{B \to C} \). === Změna matice zobrazení při změně bází === Nechť \( f : L_1 \to L_2 \) je lineární zobrazení, a: * \( B, B' \) jsou báze prostoru \( L_1 \) * \( C, C' \) jsou báze prostoru \( L_2 \) * \( A_f \) je matice zobrazení \( f \) vzhledem k bázím \( B \) a \( C \) Pak matice zobrazení vzhledem k novým bázím \( B', C' \) je: \[ A_f' = T_{C \to C'} \cdot A_f \cdot T_{B' \to B} \] === Bonus: podobnost matic === Pokud \( B = C \) a \( B' = C' \), pak: \[ A' = T^{-1} \cdot A \cdot T \] Dvě matice \( A \), \( B \) jsou si podobné, pokud existuje regulární matice \( T \), pro kterou platí: \[ B = T^{-1} \cdot A \cdot T \] Podobné matice popisují totéž lineární zobrazení v různých bázích. === Shrnutí === * Jakoukoli regulární čtvercovou matici lze chápat jako matici transformace souřadnic z báze \( B \) do kanonické báze \( K_n \), pokud jsou vektory báze \( B \) sloupci této matice. * Pokud je \( A_f \) matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím \( B, C \), pak pro jiné báze \( B', C' \) má matice tvar: \[ A_f' = S \cdot A_f \cdot T \] kde \( S, T \) jsou matice transformace souřadnic. * Speciální případ: pokud \( L_1 = L_2 \), \( B = C \) a \( B' = C' \), pak platí podobnost: \[ A' = T^{-1} \cdot A \cdot T \] ==== Jádro a obraz ==== Pro lineární zobrazení \( f : L_1 \to L_2 \): * Jádro: \( \text{ker}(f) = \{ \vec{x} \in L_1 \ | \ f(\vec{x}) = \vec{0} \} \) * Obraz: \( \text{im}(f) = \{ f(\vec{x}) \ | \ \vec{x} \in L_1 \} \) Platí: * \( \text{ker}(f) \) je podprostor \( L_1 \). * \( \text{im}(f) \) je podprostor \( L_2 \). {{:statnice:bakalar:pasted:20250517-164124.png}} ==== Defekt a hodnost ==== \[ \text{def}(f) = \dim(\text{ker}(f)) \] . \[ \quad \text{rank}(f) = \dim(\text{im}(f)) \] . \[ \dim(L_1) = \text{def}(f) + \text{rank}(f) \] ==== Klasifikace zobrazení ==== * **Monomorfismus**: injektivní zobrazení (prosté), \( \text{def}(f) = 0 \). * **Epimorfismus**: surjektivní zobrazení (na), \( \text{im}(f) = L_2 \). * **Isomorfismus**: bijektivní zobrazení, \( \text{def}(f) = 0, \ \dim(L_1) = \dim(L_2) \). ==== Matice lineárního zobrazení ==== Je-li \( f : L_1 \to L_2 \), \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_s) \), \( C = (\vec{c}_1, \ldots, \vec{c}_r) \): * Matice \( A_f \) má \( r \) řádků, \( s \) sloupců. * j-tý sloupec \( A_f \) je \( \text{coord}_C(f(\vec{b}_j)) \). ==== Věta o inverzi matice isomorfismu ==== Pokud \( f : L_1 \to L_2 \) je isomorfismus s maticí \( A_f \): \[ A_f^{-1} \cdot A_f = E_n = A_f \cdot A_f^{-1} \] ==== Poznámky ==== * Souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi \( B \) lze chápat jako lineární zobrazení \( \text{coord}_B : L \to F^n \), které je isomorfismus. * Každý konečně dimenzionální prostor nad \( F \) je izomorfní s prostorem \( F^n \). * Matice transformace souřadnic: pokud \( Af \) je matice zobrazení vzhledem k bázím \( B, C \), pak vzhledem k jiným bázím \( B', C' \) platí: \[ A' = S \cdot Af \cdot T \] kde \( S, T \) jsou regulární matice transformace mezi bázemi. ==== Bonus: Typy matic ==== * **Regulární matice**: Inverzní čtvercová matice. Existuje \( A^{-1} \), takže \( A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E_n \). * **Singulární matice**: Čtvercová matice, která není invertibilní (neexistuje její inverze). Například pokud má nulový determinant nebo závislé řádky. * **Nulová matice**: Všechny prvky jsou nulové. \[ O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \] * **Jednotková matice**: Čtvercová matice s jedničkami na diagonále, jinak nuly. \[ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \] * **Diagonální matice**: Jen diagonála může obsahovat nenulové hodnoty. \[ D = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \\ \end{bmatrix} \] * **Horní trojúhelníková matice**: Všechny prvky pod diagonálou jsou nulové. \[ U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix} \] * **Dolní trojúhelníková matice**: Všechny prvky nad diagonálou jsou nulové. \[ L = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 2 & 0 \\ 8 & 9 & 3 \\ \end{bmatrix} \] * **Symetrická matice**: \( A = A^T \). Matice je zrcadlově stejná podle diagonály. \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix} \] * **Antisymetrická matice**: \( A^T = -A \), na diagonále jsou jen nuly. \[ A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0 \\ \end{bmatrix} \] * **Ortogonální matice**: Čtvercová matice, kde \( A^T = A^{-1} \). Sloupce tvoří ortonormální bázi. \[ A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix} \] * **Ortonormální matice**: Matice, jejíž **sloupce jsou ortonormální** vektory – tedy jsou navzájem kolmé (ortogonální) a všechny mají jednotkovou délku. Zároveň platí \( A^T \cdot A = I \), což znamená, že je také **ortogonální**. \[ A = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix} \] * **Kontrola ortonormálnosti**: - Označme sloupce jako \( \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \), \( \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \) - \( \|\vec{v}_1\| = \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1 \) - \( \|\vec{v}_2\| = 1 \) - \( \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \) - Sloupce jsou jednotkové a navzájem kolmé ⇒ matice je ortonormální. * **Řídká matice**: Obsahuje převážně nuly. Např. ve velkých systémech rovnic. \[ S = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \] * **Hustá matice**: Většina prvků je nenulová. Opak řídké matice. * **Stochastická matice**: Matice pravděpodobnostního přechodu. Každý sloupec (nebo řádek) má součet 1, prvky jsou nezáporné. \[ P = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.6 \\ 0.7 & 0.4 \\ \end{bmatrix} \] * **Permutační matice**: Jednotková matice s přeházenými řádky nebo sloupci. \[ P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \] ===== 6. Soustavy lineárních rovnic ===== ==== Základní zápis ==== Soustava \( m \) lineárních rovnic o \( n \) neznámých se zapisuje ve tvaru: \[ A \cdot \vec{x} = \vec{b} \] kde: * \( A \in F^{m \times n} \) je **matice soustavy**, * \( \vec{x} \in F^n \) je **vektor neznámých**, * \( \vec{b} \in F^m \) je **vektor pravých stran**. Rozšířená matice soustavy: \[ (A \mid \vec{b}) = \left[ \begin{array}{ccc|c} a_{11} & \dots & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} & b_m \\ \end{array} \right] \] ==== Geometrická interpretace ==== * Řešení soustavy odpovídá průsečíku několika hyperrovin. * Nebo jinak: hledáme takové koeficienty lineární kombinace sloupců matice \( A \), které dají vektor \( \vec{b} \). ==== Gaussova eliminační metoda (GEM) ==== Pomocí **elementárních řádkových úprav** převádíme matici na **horní blokový tvar (HBT)**: * Prohození dvou řádků. * Násobení řádku nenulovým skalárem. * Přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku. Definice (horní blokový tvar): 1. Nenulové řádky jsou nad nulovými. 2. Každý pivot (první nenulový prvek v řádku) je dále vpravo než pivot řádku nad ním. Získáme: * **rank**: počet pivotů = počet nenulových řádků. * **defekt**: \( \text{def}(A) = n - \text{rank}(A) \) ==== Frobeniova věta ==== Soustava \( A \cdot \vec{x} = \vec{b} \) má řešení **právě tehdy**, když: \[ \text{rank}(A) = \text{rank}(A \mid \vec{b}) \] Pokud řešení existuje, všechna řešení mají tvar: \[ \vec{x} = \vec{p} + \vec{x}_h, \quad \text{kde } \vec{x}_h \in \ker(A) \] kde \( \vec{p} \) je jedno (libovolné) partikulární řešení. ==== Homogenní soustava ==== Soustava tvaru \( A \cdot \vec{x} = \vec{0} \) je **homogenní**. * Množina řešení tvoří lineární podprostor: \( \ker(A) \subseteq F^n \) * Báze tohoto prostoru se nazývá **fundamentální systém**. * Má právě \( \text{def}(A) \) prvků. * Každé řešení je lineární kombinací těchto vektorů. ==== Obecné řešení soustavy ==== \[ \vec{x} = \vec{p} + \sum_{i=1}^{d} \alpha_i \cdot \vec{v}_i, \quad \vec{v}_i \in \ker(A) \] * \( \vec{p} \) je partikulární řešení * \( \vec{v}_i \) tvoří bázi jádra * \( d = \text{def}(A) \) ==== Geometrický význam ==== * Řešení soustavy tvoří **afinní podprostor** \( \vec{p} + \ker(A) \). * Homogenní soustava definuje rovinu/přímku/... procházející počátkem. * Inhomogenní soustava posouvá tento prostor do bodu \( \vec{p} \). ===== 6. Determinant čtvercové matice ===== ==== Permutace a jejich vlastnosti ==== * **Permutace** je libovolná bijekce množiny {1, 2, ..., n}. * **Symetrická grupa permutací** (značení \( S_n \)) je množina všech permutací této množiny s operací skládání. * **Znaménko permutace** (signum): * sudý počet inverzí → \( \text{sign}(\pi) = +1 \) * lichý počet inverzí → \( \text{sign}(\pi) = -1 \) * Platí: \( \text{sign}(\pi \cdot \sigma) = \text{sign}(\pi) \cdot \text{sign}(\sigma) \) ==== Definice determinantu ==== * Nechť \( A \) je čtvercová matice řádu \( n \) nad tělesem \( F \). Potom: \[ \det(A) = \sum_{\pi \in S_n} \text{sign}(\pi) \cdot a_{\pi(1),1} \cdot a_{\pi(2),2} \cdots a_{\pi(n),n} \] * Interpretace: Každý člen součtu odpovídá jedné permutaci a vybírá prvek z každého sloupce a různého řádku. ==== Geometrický význam ==== * \( \det(A) \) vyjadřuje orientovaný objem rovnoběžnostěnu daného řádky/sloupci matice. * Například pro \( 2 \times 2 \) matici je absolutní hodnota determinantu plocha rovnoběžníku. ==== Vlastnosti determinantu ==== * \( \det(A^T) = \det(A) \) * \( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \) * \( \det(\alpha A) = \alpha^n \cdot \det(A) \) pro skalár \( \alpha \) * Prohození dvou řádků mění znaménko. * Přičtení násobku jednoho řádku k jinému nemění determinant. * Vynásobení řádku skalárem \( a \) změní determinant \( a \)-násobně. * Determinant trojúhelníkové matice je součin prvků na diagonále. ==== Výpočet determinantu ==== === (1) Gaussova eliminační metoda (GEM) === * Převeď matici na horní trojúhelníkový tvar. * Výsledek je součin diagonálních prvků, upravený podle operací: * Změna znaménka při výměně řádků. * Dělení při násobení řádku. === (2) Laplaceův rozvoj === * Pro pevný řádek nebo sloupec: \[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij}) \] * kde \( A_{ij} \) je matice vzniklá vynecháním \( i \)-tého řádku a \( j \)-tého sloupce. * Pomalý výpočetně (složitost \( n! \)), ale vhodný pro řídké matice. ==== Adjungovaná matice ==== * \( \text{adj}(A) \) je transpozice matice všech algebraických doplňků \( A_{ij} \). * Platí: \[ A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n \] * Pokud \( A \) je regulární, potom: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \] ==== Cramerovo pravidlo ==== Pro soustavu \( A \cdot x = b \), kde \( A \) je regulární \( n \times n \) matice: \[ x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)} \] kde \( A_j \) je matice vzniklá nahrazením \( j \)-tého sloupce v \( A \) vektorem \( b \). ==== Shrnutí ==== * Determinant měří objem a orientaci vektorů tvořících matici. * Nulový determinant znamená, že matice je singulární (neinvertibilní). * Výpočet pomocí GEM je nejrychlejší, ale pozor na změny během úprav. * Laplaceův rozvoj je přehledný, ale výpočetně náročný. ===== 7. Vlastní čísla a vlastní vektory matice ===== ==== Definice ==== * Vlastní číslo (eigenvalue) \( \lambda \in F \) lineárního zobrazení \( f : L \rightarrow L \) je takové číslo, pro které existuje nenulový vektor \( \vec{x} \in L \) splňující \( f(\vec{x}) = \lambda \cdot \vec{x} \). * Takovému vektoru \( \vec{x} \) říkáme vlastní vektor (eigenvector) příslušný k vlastní hodnotě \( \lambda \). * Vlastní vektory tvoří podprostor \( \text{eigen}(\lambda, f) = \{ \vec{x} \mid f(\vec{x}) = \lambda \vec{x} \} \). * \( \lambda \) je vlastní číslo právě tehdy, když \( \text{eigen}(\lambda, f) \neq \{ \vec{0} \} \). ==== Charakteristický polynom ==== * Definice: \( \text{char}_A(x) = \det(A - x E_n) \), kde \( A \) je čtvercová matice řádu \( n \). * Je to polynom stupně \( n \); v tělese \( F \) může mít maximálně \( n \) kořenů (včetně násobnosti). * Podobné matice mají stejný charakteristický polynom: pokud \( A \approx B \), pak \( \text{char}_A(x) = \text{char}_B(x) \). ==== Diagonalizace matice ==== * Matice \( A \) je **diagonalisovatelná**, pokud existuje regulární matice \( T \), taková že: \[ T^{-1} A T = D \] * \( D \) je diagonální matice s vlastními čísly \( \lambda_1, ..., \lambda_n \) na diagonále * Sloupce matice \( T \) tvoří bázi složenou z vlastních vektorů matice \( A \) * Podmínky diagonalizace: * Charakteristický polynom rozložitelný na lineární faktory * Algebraická násobnost \( \lambda \) = geometrická násobnost \( \lambda \) * Tzn. \( \dim(\text{eigen}(\lambda, A)) = \text{násobnost } \lambda \) ==== Výpočet vlastních čísel a vektorů ==== * Najdeme kořeny charakteristického polynomu \( \det(A - \lambda E) = 0 \) * Pro každé \( \lambda \) řešíme soustavu: \[ (A - \lambda E) \cdot \vec{x} = \vec{0} \] * Výsledkem jsou vlastní vektory — báze podprostoru \( \ker(A - \lambda E) \) ==== Výpočet mocnin diagonalisovatelných matic ==== * Pokud \( A = T^{-1} D T \), potom: \[ A^k = T^{-1} D^k T \] * Diagonální matici \( D \) lze snadno umocnit: mocníme diagonální prvky ==== Jordanův tvar ==== * Pro matici, kterou nelze diagonalizovat, lze často najít tzv. **Jordanův tvar** * Skládá se z bloků \( J_i \), kde každý blok má tvar: \[ J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_i & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & \lambda_i \end{pmatrix} \] * Jordanova buňka je nilpotentní (mocniny vedou k nulové matici) ==== Shrnutí ==== * Vlastní čísla jsou kořeny charakteristického polynomu \( \det(A - \lambda E_n) = 0 \) * Vlastní vektory odpovídají řešením homogenní soustavy \( (A - \lambda E)x = 0 \) * Matice je diagonalisovatelná, pokud existuje báze tvořená vlastními vektory * Výpočty usnadňuje přechod do báze, kde je matice diagonální * Pokud nelze diagonalizovat, lze často použít Jordanův tvar ===== 8. Skalární součin a ortogonalizace ===== ==== Skalární součin a norma ==== * Skalární součin vektorů \( \vec{u}, \vec{v} \) v \( \mathbb{R}^n \): \[ \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \sum_{i=1}^n u_i v_i = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\alpha) \] * Vlastnosti: * \( \langle \vec{x}, \vec{x} \rangle \geq 0 \) * \( \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \langle \vec{y}, \vec{x} \rangle \) * Lineární ve druhé složce: \( \langle \vec{x}, \vec{y} + \vec{z} \rangle = \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle + \langle \vec{x}, \vec{z} \rangle \) * Cauchy-Schwarzova nerovnost: \( |\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle| \leq \|\vec{x}\| \cdot \|\vec{y}\| \) * Norma vektoru: \[ \|\vec{x}\| = \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle} \] ==== Výpočet souřadnic v ortogonální bázi ==== * Nechť \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) je ortonormální báze prostoru se skalárním součinem. * Souřadnice vektoru \( \vec{x} \) vzhledem k této bázi se spočítají jako: \[ \text{coord}_B(\vec{x}) = \begin{pmatrix} \langle \vec{b}_1, \vec{x} \rangle \\ \vdots \\ \langle \vec{b}_n, \vec{x} \rangle \end{pmatrix} \] * Pokud báze není normalizovaná, používáme ortogonální projekce: \[ \text{coord}_{\vec{b}_i}(\vec{x}) = \frac{\langle \vec{b}_i, \vec{x} \rangle}{\langle \vec{b}_i, \vec{b}_i \rangle} \] ==== Gram-Schmidtův ortogonalizační proces ==== Z libovolné báze \( B = (\vec{b}_1, \ldots, \vec{b}_n) \) vytvoříme ortogonální bázi \( C = (\vec{c}_1, \ldots, \vec{c}_n) \): * \( \vec{c}_1 = \vec{b}_1 \) * \( \vec{c}_2 = \vec{b}_2 - \frac{\langle \vec{b}_2, \vec{c}_1 \rangle}{\langle \vec{c}_1, \vec{c}_1 \rangle} \cdot \vec{c}_1 \) * \( \vec{c}_3 = \vec{b}_3 - \frac{\langle \vec{b}_3, \vec{c}_1 \rangle}{\langle \vec{c}_1, \vec{c}_1 \rangle} \cdot \vec{c}_1 - \frac{\langle \vec{b}_3, \vec{c}_2 \rangle}{\langle \vec{c}_2, \vec{c}_2 \rangle} \cdot \vec{c}_2 \) * Obecně: \[ \vec{c}_k = \vec{b}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{\langle \vec{b}_k, \vec{c}_i \rangle}{\langle \vec{c}_i, \vec{c}_i \rangle} \cdot \vec{c}_i \] * Gram-Schmidtův proces postupně upravuje vektory báze tak, aby každý nový vektor byl kolmý na předchozí, čímž vzniká ortogonální báze se stejným roztahem jako původní. ==== Ortonormalizace ==== * Vektory \( \vec{c}_i \) se normalizují na jednotkovou délku: \[ \vec{u}_i = \frac{\vec{c}_i}{\|\vec{c}_i\|} \] * Výsledná báze \( (\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_n) \) je ortonormální. ==== Obecný skalární součin ==== * Obecný tvar: \( \langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = \vec{x}^T G \vec{y} \), kde \( G \) je pozitivně definitní symetrická matice (tzv. metrický tensor) * Takový skalární součin indukuje normu i metriku: * \( \|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x}^T G \vec{x}} \) * \( d(\vec{x}, \vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\| \) ==== Metoda nejmenších čtverců ==== * Pokud \( A \vec{x} = \vec{b} \) nemá řešení, hledáme řešení minimalizující \( \|\vec{b} - A \vec{x}\|^2 \) * Řešení: \( \vec{x} = (A^T A)^{-1} A^T \vec{b} \) * Interpretace: ortogonální projekce vektoru \( \vec{b} \) na \( \text{im}(A) \) ==== Shrnutí ==== * Skalární součin definuje normu, která určuje vzdálenost. * V ortonormální bázi lze souřadnice spočítat přímo pomocí skalárního součinu. * Gram-Schmidtův proces převádí libovolnou bázi na ortogonální. * Ortonormalizací získáme výhodnou bázi pro výpočty, souřadnice a projekce mají jednoduché vzorce. * Obecný skalární součin je definován pomocí pozitivně definitní matice \( G \). * Metoda nejmenších čtverců je založena na ortogonální projekci.