The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b33rpz [2025/06/07 11:37] – [Klasifikace metodou nejbližšího souseda] mistrjirkastatnice:bakalar:b4b33rpz [2025/06/07 11:45] (current) – [Příklad s TikZ] mistrjirka
Line 522: Line 522:
 ===== Neuronové sítě ===== ===== Neuronové sítě =====
 **Neuronové sítě s dopředným šířením. Struktura. Učení pomocí metody zpětného šíření. Vlastnosti (výhody a nevýhody).** **Neuronové sítě s dopředným šířením. Struktura. Učení pomocí metody zpětného šíření. Vlastnosti (výhody a nevýhody).**
 +
 +**Neuronové sítě s dopředným šířením jsou vícevrstvé architektury inspirované biologickými neurony, které transformují vstupy na výstupy pomocí vážených spojení a nelineárních aktivačních funkcí. Učí se metodou zpětného šíření chyby.**
 +
 +==== Struktura ====
 +
 +  * Skládá se z vrstev: **vstupní** (přijímá data), **skryté** (provádí výpočty) a **výstupní** (poskytuje výsledek).
 +  * Každý neuron počítá vážený součet vstupů plus bias: $z = \sum w_i x_i + b$, následovaný aktivační funkcí: $a = g(z)$.
 +  * Typické nelineární funkce: sigmoida, tanh, ReLU.
 +
 +==== Učení metodou zpětného šíření ====
 +
 +  - **Dopředné šíření**: Výpočet výstupů vrstev postupně od vstupu.
 +  - **Výpočet chyby**: Porovnání výstupu s cílem pomocí loss funkce (např. MSE).
 +  - **Zpětné šíření**:
 +    * Gradienty chyby se šíří od výstupu ke vstupu pomocí řetězového pravidla.
 +    * Aktualizace vah: $w \leftarrow w - \alpha \frac{\partial L}{\partial w}$, kde $\alpha$ je learning rate.
 +
 +==== Vlastnosti ====
 +
 +  * **Výhody**: Schopnost aproximovat libovolné spojité funkce (univerzální aproximátor), automatická extrakce příznaků.
 +  * **Nevýhody**: Pomalé trénování, riziko přetrénování, citlivost na inicializaci vah.
 +
 +==== Konvoluce (příklad) ====
 +
 +Operace aplikuje filtr (jádro) na vstupní matici pro extrakci lokálních vzorů. Příklad pro vstup $X$ a jádro $K$: $$
 +X = \begin{pmatrix}
 +1 & 2 & 3 \\
 +4 & 5 & 6 \\
 +7 & 8 & 9
 +\end{pmatrix}, \quad
 +K = \begin{pmatrix}
 +0 & -1 \\
 +1 & 0 
 +\end{pmatrix}
 +$$ Výstup pro pozici (1,1): $$
 +(1 \cdot 0) + (2 \cdot -1) + (4 \cdot 1) + (5 \cdot 0) = -2 + 4 = 2
 +$$
 +
 +==== Pooling a MaxPooling (příklad ====
 +
 +Snižuje prostorové rozměry, zachovává dominantní rysy. **MaxPooling** vybírá maximální hodnotu v okně. Příklad pro okno 2×2: $$
 +\text{Vstup: } \begin{pmatrix}
 +5 & 8 & 2 \\
 +3 & 1 & 4 \\
 +6 & 7 & 9
 +\end{pmatrix} \quad
 +\text{Výstup: } \begin{pmatrix}
 +\max(5,8,3,1) & \max(2,4) \\
 +\max(6,7) & \max(9)
 +\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 +8 & 4 \\
 +7 & 9
 +\end{pmatrix}
 +$$
 +
 +==== Použití Softmax ====
 +
 +Převede výstupní vektor na pravděpodobnostní distribuci: $$
 +\text{softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^K e^{z_j}}
 +$$ Používá se ve **výstupní vrstvě** pro klasifikační úlohy (např. rozpoznání digitů v MNIST).
 +
 +==== Nevýhody lineární aktivační funkce ====
 +
 +Pokud by všechny vrstvy používaly **pouze lineární funkce** ($g(z) = z$): - Síť by se degradovala na jediný perceptron (lineární kombinátor). - Ztratila by schopnost modelovat nelineární vztahy, např. XOR problém. - Klesla by výrazně expresivita modelu.
  
 ===== Klasifikace metodou nejbližšího souseda ===== ===== Klasifikace metodou nejbližšího souseda =====
Line 606: Line 670:
  
 ===== Shlukování metodou k-means ===== ===== Shlukování metodou k-means =====
-**Shlukování metodou k-means, formulace úlohy a popis algoritmu. Vlastnosti algoritmu. Zobecnění - použití pro jiné ztrátové funkce než L2.** 
  
 +**Shlukování metodou k-means, formulace úlohy a popis algoritmu. Vlastnosti algoritmu. Zobecnění – použití pro jiné ztrátové funkce než L2.**
 +
 +==== Formulace úlohy ====
 +
 +Cílem je rozdělit množinu $n$ datových bodů $\mathcal{D} = \{ \mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_n \}$ v $d$-rozměrném prostoru do $k$ shluků ($k$ předem zadané). Optimalizuje se ztrátová funkce:\\
 +$$
 +J = \sum_{i=1}^k \sum_{\mathbf{x} \in C_i} \|\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}_i\|^2  
 +$$\\
 +kde $C_i$ je $i$-tý shluk a $\boldsymbol{\mu}_i$ jeho centroid (průměr bodů ve shluku).
 +
 +==== Popis algoritmu ====
 +
 +  - **Inicializace:** Náhodný výběr $k$ počátečních centroidů.\\
 +
 +  - **Přiřazení bodů:** Každý bod přiřazen k nejbližšímu centroidu (Eukleidovská vzdálenost):\\
 +$$
 +C_i = \{ \mathbf{x} : \|\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}_i\|^2 \leq \|\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}_j\|^2 \, \forall j \}
 +$$\\
 +
 +  - **Aktualizace centroidů:**\\
 +$$
 +\boldsymbol{\mu}_i = \frac{1}{|C_i|} \sum_{\mathbf{x} \in C_i} \mathbf{x}
 +$$\\
 +
 +  - **Ukončení:** Opakování kroku 2–3, dokud se přiřazení bodů nemění nebo nedojde k maximálnímu počtu iterací.
 +
 +==== Příklad ====
 +
 +<tikzjax>
 +\usepackage{amsmath}
 +\usepackage{pgfplots}
 +\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta}
 +\begin{document}
 +
 +\begin{tikzpicture}
 +% Data points
 +\filldraw[blue] (0.5,1.5) circle (2pt);
 +\filldraw[blue] (1,1) circle (2pt);
 +\filldraw[blue] (1.5,0.5) circle (2pt);
 +\filldraw[red] (3,2) circle (2pt);
 +\filldraw[red] (3.5,2.5) circle (2pt);
 +\filldraw[red] (4,3) circle (2pt);
 +\filldraw[green] (2,4) circle (2pt);
 +\filldraw[green] (2.5,4.5) circle (2pt);
 +\filldraw[green] (3,5) circle (2pt);
 +
 +% Centroids (after convergence)
 +\filldraw[black] (1,1) circle (4pt) node[below] {$\mu_1$};
 +\filldraw[black] (3.5,2.5) circle (4pt) node[below] {$\mu_2$};
 +\filldraw[black] (2.5,4.5) circle (4pt) node[above] {$\mu_3$};
 +\end{tikzpicture}
 +
 +\end{document}
 +</tikzjax>
 +//Výsledek po konvergenci: 3 shluky s centroidy $\mu_1, \mu_2, \mu_3$.//
 +
 +==== Vlastnosti algoritmu ====
 +
 +  * **Rychlý a škálovatelný** pro velká data ($O(n \cdot k \cdot d)$ na iteraci).\\
 +
 +  * **Citlivý na inicializaci** (špatná volba centroidů → suboptimální řešení).\\
 +
 +  * **Předpokládá konvexní shluky** stejné velikosti (špatně zpracuje nestejnoměrná data).\\
 +
 +  * **Lokální optimum:** Konverguje k nejbližšímu lokálnímu minimu $J$.
 +
 +==== Zobecnění pro jiné ztrátové funkce ====
 +
 +Místo Eukleidovské vzdálenosti ($\ell_2$) lze použít:\\
 +- **Manhattanská vzdálenost ($\ell_1$):**\\
 +$$
 +  J = \sum_{i=1}^k \sum_{\mathbf{x} \in C_i} \|\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}_i\|_1
 +  $$\\
 +Centroid aktualizován jako **medián** shluku (odolnější vůči odlehlým hodnotám).\\
 +- **Obecná Minkowského metrika ($\ell_p$):**\\
 +$$
 +  \|\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}_i\|_p = \left( \sum_{j=1}^d |x_j - \mu_{ij}|^p \right)^{1/p}
 +  $$\\
 +- **Kosinová podobnost:** Pro textová/data s vysokou dimenzí.
 +
 +==== K-means++ ====
 +
 +Vylepšení inicializace centroidů:\\
 +1. První centroid náhodně vybrán z dat.\\
 +2. Každý další centroid vybrán s pravděpodobností úměrnou $\|\mathbf{x} - \mu_{\text{nejblížší}}\|^2$.\\
 +**Výhody:** Snižuje riziko špatné konvergence, často dosáhne globálního optima s menším počtem iterací.
 +
 +==== Aplikace ====
 +
 +  * Segmentace zákazníků, analýza genomických dat, komprese obrazu (redukce barev), detekce anomálií.
  

Trace:

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b33rpz (generated for current page)