The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b01num [2025/06/07 13:09] – [Numerické řešení soustav lineárních rovnic] mistrjirkastatnice:bakalar:b4b01num [2025/06/07 13:38] (current) – [Numerická integrace] mistrjirka
Line 348: Line 348:
  
     * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké      * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké 
 +
  
 ===== Numerická integrace ===== ===== Numerická integrace =====
  
-**Numerická integrace - princip, možné problémy, volba metody, problematika odhadu chyb.**+**Numerická integrace slouží k přibližnému výpočtu určitého integrálu, když analytické řešení není možné. Zahrnuje diskretizaci intervalu, výpočet ploch pod křivkou pomocí jednoduchých geometrických tvarů a řízení chyb.** 
 + 
 +==== Metody numerické integrace ====
  
-==== Princip numerické integrace ====+  - **Metoda levých obdélníků** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu.\\
  
-Numerická integrace je postup přibližného výpočtu **definitního integrálu**\\+    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$:\\
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx+I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h.
 $$\\ $$\\
-pro případy, kdy analytická řešení (primitivní funkce) nelze získat nebo je výpočet složitý. Základní přístup spočívá v **discretizaci** intervalu $[a, b]$ a aproximaci integrálu pomocí **polynomů**, **geometrických útvarů** nebo **kvadraturních vzorců**. 
  
-==== Hlavní metody numerické integrace ====+    * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce). 
 +  - **Metoda středních obdélníků** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu.\\
  
-=== 1. Obdélníková metoda (Rectangle Rule) ===+    * **Matematicky:**\\ 
 +$$ 
 +I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right). 
 +$$\\
  
-  * **Princip**: Rozdělí interval $[a, b]$ na $n$ podintervalů, v každém z nich integrand nahradí **konstantou** (hodnotou v levém, pravém nebo středním bodě).\\+    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$). 
 +  - **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku).\\
  
-  * **Formule**:\\+    * **Matematicky:**\\
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)+I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right].
 $$\\ $$\\
-kde $x_i$ je bod v $i$-tém podintervalu (např. střed = **střední metoda**).\\ 
- 
-  * **Řád metody**: pro levé a pravé obdelníky: 1 (chyba je $O(h)$, kde $h = \frac{b-a}{n}$)., pro střední je řád 2 (chyba je $O(h^2)$) 
- 
-  * **Výhody**: Jednoduchost, malá početní náročnost.\\ 
- 
-  * **Nevýhody**: Malá přesnost, nevhodné pro funkcí s rychlým zrychlením. 
- 
-=== 2. Lichoběžníková metoda (Trapezoidal Rule) === 
  
-  * **Princip**: Interval rozdělí na $n$ podintervalů, které aproximuje **lichoběžníky** (lineární interpolace).\\+    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy). 
 +  - **Simpsonova metoda** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů.\\
  
-  * **Formule**:\\+    * **Matematicky (pro sudé $n$):**\\
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right], \quad h = \frac{b - a}{n}+I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right].
 $$\\ $$\\
  
-  * **Řád metody**: 2 (chyba $O(h^2)$).\\+    * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$). 
 +  - **Gaussova kvadratura** 
 +    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$.\\
  
-  * **Výhody**: Lépe přesná než obdélníková, stabilní pro hladké funkce.\\ +    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů:\\
- +
-  * **Nevýhody**: Chyba se zvětšuje pro funkce s velkými druhými derivacemi. +
- +
-=== 3. Simpsonova metoda (Simpson’s Rule) === +
- +
-  * **Princip**: Užívá **parabolické interpolace** (kvadratické polynomy) na párových podintervalech.\\ +
- +
-  * **Formule**:\\+
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{(n/2)-1} f(x_{2i}) + f(b) \right]+I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right),
 $$\\ $$\\
-(vyžaduje sudé $n$).\\ +kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy.\\
- +
-  * **Řád metody**: 4 (chyba $O(h^4)$).\\ +
- +
-  * **Výhody**: Vysoká přesnost pro hladké funkce.\\+
  
-  * **Nevýhody**: Závislost na počtu podintervalů, složitější výpočet -> velmi pomalé.+    * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$).
  
 === 4. Newton-Cotesovy vzorce === === 4. Newton-Cotesovy vzorce ===
Line 421: Line 414:
  
 ==== Problémy a optimalizace ==== ==== Problémy a optimalizace ====
 +  * **Problémy:** Numerické chyby (zaokrouhlovací, metody), singularity, oscilace funkce.\\
  
-=== 1. Odhad chyby a kompozitní metody ===+=== Metoda polovičního kroku a odhad chyby ===
  
-  * **Kompozice**: Rozdělení $[a, b]$ na $n$ podintervalů a aplikace metody na každý.\\ +  * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\
- +
-  * **Chyba trapezoidální metody**:\\+
 $$ $$
-E \approx -\frac{(b - a)^3}{12n^2} f''(\xi), \quad \xi \in [a,b]+E_h \approx \frac{I_h - I_{h/2}}{2^p - 1}.
 $$\\ $$\\
  
-  * **Chyba Simpsonovy metody**:\\ +  * **Vylepšení integrálu:**\\
-$$ +
-E \approx -\frac{(b - a)^5}{180n^4} f^{(4)}(\xi)+
 $$ $$
 +I_{\text{lepšené}} = I_{h/2} + \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.
 +$$\\
  
-=== 2. Richardsonova extrapolace ===+  * **Souvislost s Richardsonovou extrapolací:** Tento postup je jejím speciálním případem. Kombinací výsledků pro různé $h$ eliminuje vedoucí člen chyby 
  
-Sloučení dvou odhadů s různými kroky $h$ a $h/2$ pro odstranění vedení v chybě.\\ +=== Řád metody ===
-- **Příklad**: U trapezoidální metody:\\ +
-$$ +
-  I(h/2) = I(h) + \frac{E(h)}{4} \Rightarrow \text{vyšší řád} O(h^4) +
-  $$+
  
-=== 3. Adaptivní kvadratura ===+  * **Význam:** Udává, do jakého stupně polynomu metoda počítá integrál přesně. Např. metoda řádu 2 přesně integruje polynomy stupně $\leq 1$ (tj. $x^{1}$ a nižší).\\ 
 + 
 +  * **Chyba metody:** Pro krok $h$ a řád $p$ je globální chyba $O(h^p)$. 
 + 
 + 
 +==== Řád chyby ==== 
 + 
 +  * **Definice:** Řád chyby $p$ znamená, že chyba metody klesá jako $h^p$ při zmenšování kroku $h$. 
 +  * **Příklad:** Pro metodu s řádem 2, zmenšení kroku $h$ na polovinu sníží chybu 4krát, protože $E \propto h^2$. 
 + 
 +=== Adaptivní kvadratura ===
  
 Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami). Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami).
Line 470: Line 468:
 ==== Kritéria volby metody ==== ==== Kritéria volby metody ====
  
-  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova).\\ +  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova). 
- +  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.
-  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.\\ +
   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.
  

Trace:

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b01num (generated for current page)