Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b01num [2025/06/07 13:09] – [Numerické řešení soustav lineárních rovnic] mistrjirkastatnice:bakalar:b4b01num [2026/06/03 08:29] (current) – [Metoda polovičního kroku a odhad chyby] knedl1k
Line 277: Line 277:
     * Nespojitosti, periodické funkce – vyžadují speciální algoritmy (např. kombinace s derivacemi)      * Nespojitosti, periodické funkce – vyžadují speciální algoritmy (např. kombinace s derivacemi) 
  
-==== Numerické řešení soustav lineárních rovnic ====+===== Numerické řešení soustav lineárních rovnic =====
  
 **Metody pro řešení soustav lineárních rovnic $A\vec{x} = \vec{b}$, jejich matematické formulace, problémy a kritéria volby mezi přímými a iteračními postupy.** **Metody pro řešení soustav lineárních rovnic $A\vec{x} = \vec{b}$, jejich matematické formulace, problémy a kritéria volby mezi přímými a iteračními postupy.**
- 
 === Přímé (finitní) metody === === Přímé (finitní) metody ===
  
-Poskytují teoreticky přesné řešení v konečném počtu kroků: 1. **Gaussova eliminace**:\\ +Poskytují teoreticky přesné řešení v konečném počtu kroků:  
-- Převádí matici $A$ na **horní trojúhelníkový tvar** pomocí ekvivalentních úprav.\\ + 
-- **Algoritmus**:\\ +1. **Gaussova eliminace**: 
-- Pro $k = 1$ až $n-1$:\\+    * Převádí matici $A$ na **horní trojúhelníkový tvar** pomocí ekvivalentních úprav.\\ 
 +    * **Algoritmus**:\\ 
 +    * Pro $k = 1$ až $n-1$:\\
 $a^{(k)}_{i,j} = a^{(k-1)}_{i,j} - \frac{a^{(k-1)}_{i,k}}{a^{(k-1)}_{k,k}} \cdot a^{(k-1)}_{k,j}$\\ $a^{(k)}_{i,j} = a^{(k-1)}_{i,j} - \frac{a^{(k-1)}_{i,k}}{a^{(k-1)}_{k,k}} \cdot a^{(k-1)}_{k,j}$\\
-- **Zpětná substituce**:\\+    * **Zpětná substituce**:\\
 $x_i = \frac{1}{a^{(i-1)}_{i,i}} \left( a^{(i-1)}_{i,n+1} - \sum_{j=i+1}^n a^{(i-1)}_{i,j}x_j \right)$ \\ $x_i = \frac{1}{a^{(i-1)}_{i,i}} \left( a^{(i-1)}_{i,n+1} - \sum_{j=i+1}^n a^{(i-1)}_{i,j}x_j \right)$ \\
-- Výběr hlavního prvku redukuje zaokrouhlovací chyby.+    * Výběr hlavního prvku redukuje zaokrouhlovací chyby.
  
-  - **LU rozklad**:+2. **LU rozklad**:
     * Rozklad $A = LU$ na **dolní ($L$)** a **horní ($U$) trojúhelníkovou matici**.\\     * Rozklad $A = LU$ na **dolní ($L$)** a **horní ($U$) trojúhelníkovou matici**.\\
  
     * Řeší se dvě soustavy:     * Řeší se dvě soustavy:
-      * $L\vec{y} = \vec{b}$ (dopředná substituce),\\ +      * $L\vec{y} = \vec{b}$ (dopředná substituce), 
- +      * $U\vec{x} = \vec{y}$ (zpětná substituce).
-      * $U\vec{x} = \vec{y}$ (zpětná substituce).\\+
  
     * Efektivní pro opakované výpočty s různými $\vec{b}$      * Efektivní pro opakované výpočty s různými $\vec{b}$ 
Line 304: Line 304:
 === Iterační metody === === Iterační metody ===
  
-Generují posloupnost aproximací $\vec{x}^{(k)} \to \vec{x}$: 1. **Jacobiho metoda (JIM)**:\\ +Generují posloupnost aproximací $\vec{x}^{(k)} \to \vec{x}$: 
-- Rozklad $A = D + L + U$ ($D$ diagonální, $L$ ostře dolní, $U$ ostře horní trojúhelníková).\\ +
-- **Iterační vzorec**:\\ +
-$\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \vec{b} - (L + U) \vec{x}^{(k)} \right)$ \\ +
-- Jednoduchá implementace, paralelizovatelná, ale pomalá konvergence +
  
-  - **Gaussova-Seidelova metoda (GSM)**: +1. **Jacobiho metoda (JIM)**: 
-    * Využívá již aktualizované hodnoty v aktuální iteraci:\\ +    - Rozklad $A = D + L + U$ ($D$ diagonální, $L$ ostře dolní, $U$ ostře horní trojúhelníková). 
-$\vec{x}^{(k+1)} = (D + L)^{-1} \left( \vec{b} - U \vec{x}^{(k)} \right)$ \\+    - **Iterační vzorec**: $\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \vec{b} - (L + U) \vec{x}^{(k)} \right)$ 
 +    - Jednoduchá implementace, paralelizovatelná, ale pomalá konvergence 
  
 +2. **Gaussova-Seidelova metoda (GSM)**:
 +    * Využívá již aktualizované hodnoty v aktuální iteraci: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + L)^{-1} \left( \vec{b} - U \vec{x}^{(k)} \right)$
     * Rychlejší konvergence než JIM, ale sekvenční výpočet      * Rychlejší konvergence než JIM, ale sekvenční výpočet 
-  - **Superrelaxační metoda (SOR)**: +3. **Superrelaxační metoda (SOR)**: 
-    * Zavádí relaxační parametr $\omega$ pro urychlení konvergence:\\ +    * Zavádí relaxační parametr $\omega$ pro urychlení konvergence: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + \omega L)^{-1} \left[ (1-\omega)D \vec{x}^{(k)} - \omega U \vec{x}^{(k)} \right] + \omega (D + \omega L)^{-1} \vec{b}$
-$\vec{x}^{(k+1)} = (D + \omega L)^{-1} \left[ (1-\omega)D \vec{x}^{(k)} - \omega U \vec{x}^{(k)} \right] + \omega (D + \omega L)^{-1} \vec{b}$ \\ +
     * Pro $\omega = 1$ přechází na GSM. Optimální $\omega$ zrychluje konvergenci, ale špatná volba způsobí divergenci      * Pro $\omega = 1$ přechází na GSM. Optimální $\omega$ zrychluje konvergenci, ale špatná volba způsobí divergenci 
  
Line 324: Line 321:
  
   * **Problémy**:   * **Problémy**:
-    * **Špatná podmíněnost**: Malé změny v $A$ nebo $\vec{b}$ vedou k velkým změnám řešení (kritérium: velké $\|A^{-1}\|$) \\ +    * **Špatná podmíněnost**: Malé změny v $A$ nebo $\vec{b}$ vedou k velkým změnám řešení (kritérium: velké $\|A^{-1}\|$) 
- +    * **Zaokrouhlovací chyby**: Akumulují se v přímých metodách, zejména bez výběru hlavního prvku 
-    * **Zaokrouhlovací chyby**: Akumulují se v přímých metodách, zejména bez výběru hlavního prvku \\ +    * **Konvergence iterací**: Zajištěna pouze pokud $\rho(B) < 1$ (spektrální poloměr iterační matice)
- +
-    * **Konvergence iterací**: Zajištěna pouze pokud $\rho(B) < 1$ (spektrální poloměr iterační matice) \\ +
     * **Řídké matice**: Přímé metody ztrácejí na efektivitě kvůli “zaplnění” (fill-in), iterační metody ji zachovávají      * **Řídké matice**: Přímé metody ztrácejí na efektivitě kvůli “zaplnění” (fill-in), iterační metody ji zachovávají 
   * **Volba metody**:   * **Volba metody**:
Line 348: Line 342:
  
     * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké      * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké 
 +
  
 ===== Numerická integrace ===== ===== Numerická integrace =====
  
-**Numerická integrace - princip, možné problémy, volba metody, problematika odhadu chyb.**+**Numerická integrace slouží k přibližnému výpočtu určitého integrálu, když analytické řešení není možné. Zahrnuje diskretizaci intervalu, výpočet ploch pod křivkou pomocí jednoduchých geometrických tvarů a řízení chyb.**
  
-==== Princip numerické integrace ====+==== Metody numerické integrace ====
  
-Numerická integrace je postup přibližného výpočtu **definitního integrálu**\\+1. **Metoda levých obdélníků** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu. 
 +    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$:
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx +I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h.
-$$\\ +
-pro případy, kdy analytická řešení (primitivní funkce) nelze získat nebo je výpočet složitý. Základní přístup spočívá v **discretizaci** intervalu $[a, b]$ a aproximaci integrálu pomocí **polynomů**, **geometrických útvarů** nebo **kvadraturních vzorců**. +
- +
-==== Hlavní metody numerické integrace ==== +
- +
-=== 1. Obdélníková metoda (Rectangle Rule) === +
- +
-  * **Princip**: Rozdělí interval $[a, b]$ na $n$ podintervalů, v každém z nich integrand nahradí **konstantou** (hodnotou v levém, pravém nebo středním bodě).\\ +
- +
-  * **Formule**:\\+
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) +    * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce). 
-$$\\ +2. **Metoda středních obdélníků** 
-kde $x_i$ je bod v $i$-tém podintervalu (např. střed = **střední metoda**).\\ +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu. 
- +    * **Matematicky:** 
-  * **Řád metody**: pro levé a pravé obdelníky: 1 (chyba je $O(h)$, kde $h = \frac{b-a}{n}$)., pro střední je řád 2 (chyba je $O(h^2)$) +$$ 
- +I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right).
-  * **Výhody**: Jednoduchost, malá početní náročnost.\\ +
- +
-  * **Nevýhody**: Malá přesnost, nevhodné pro funkcí s rychlým zrychlením. +
- +
-=== 2. Lichoběžníková metoda (Trapezoidal Rule) === +
- +
-  * **Princip**: Interval rozdělí na $n$ podintervalů, které aproximuje **lichoběžníky** (lineární interpolace).\\ +
- +
-  * **Formule**:\\+
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right], \quad h = \frac{b - a}{n} +    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$). 
-$$\\ +3. **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)** 
- +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku). 
-  * **Řád metody**: 2 (chyba $O(h^2)$).\\ +    * **Matematicky:** 
- +$$ 
-  * **Výhody**: Lépe přesná než obdélníková, stabilní pro hladké funkce.\\ +I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right]. 
- +$$ 
-  * **Nevýhody**: Chyba se zvětšuje pro funkce s velkými druhými derivacemi. +    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy). 
- +4. **Simpsonova metoda** 
-=== 3. Simpsonova metoda (Simpson’s Rule) === +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů. 
- +    * **Matematicky (pro sudé $n$):**
-  * **Princip**: Užívá **parabolické interpolace** (kvadratické polynomy) na párových podintervalech.\\ +
- +
-  * **Formule**:\\+
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{(n/2)-1} f(x_{2i}) + f(b) \right] +I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right]. 
-$$\\ +$$ 
-(vyžaduje sudé $n$).\\ +    * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$). 
- +5. **Gaussova kvadratura** 
-  * **Řád metody**: 4 (chyba $O(h^4)$).\\ +    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$. 
- +    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů: 
-  * **Výhody**: Vysoká přesnost pro hladké funkce.\\ +$$ 
- +I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right), 
-  * **Nevýhody**: Závislost na počtu podintervalů, složitější výpočet -> velmi pomalé. +$$ 
- +kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy. 
-=== 4. Newton-Cotesovy vzorce ===+    * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$). 
 +=== Bonus: Newton-Cotesovy vzorce ===
  
 Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\ Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\
Line 421: Line 397:
  
 ==== Problémy a optimalizace ==== ==== Problémy a optimalizace ====
 +  * **Problémy:** Numerické chyby (zaokrouhlovací, metody), singularity, oscilace funkce.\\
  
-=== 1. Odhad chyby a kompozitní metody ===+=== Metoda polovičního kroku a odhad chyby ===
  
-  * **Kompozice**: Rozdělení $[a, b]$ na $n$ podintervalů a aplikace metody na každý.\\ +  * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\
- +
-  * **Chyba trapezoidální metody**:\\+
 $$ $$
-E \approx -\frac{(b - a)^3}{12n^2} f''(\xi), \quad \xi \in [a,b]+E_{1/2} \approx \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.
 $$\\ $$\\
  
-  * **Chyba Simpsonovy metody**:\\ +  * **Vylepšení integrálu:**\\
-$$ +
-E \approx -\frac{(b - a)^5}{180n^4} f^{(4)}(\xi)+
 $$ $$
 +I_{\text{vylepšené}} = I_{h/2} + E_{1/2}.
 +$$\\
  
-=== 2. Richardsonova extrapolace ===+  * **Souvislost s Richardsonovou extrapolací:** Tento postup je jejím speciálním případem. Kombinací výsledků pro různé $h$ eliminuje vedoucí člen chyby 
  
-Sloučení dvou odhadů s různými kroky $h$ a $h/2$ pro odstranění vedení v chybě.\\ +=== Řád metody === 
-- **Příklad**: U trapezoidální metody:\\ + 
-$$ +  * **Význam:** Udává, do jakého stupně polynomu metoda počítá integrál přesně. Např. metoda řádu 2 přesně integruje polynomy stupně $\leq 1$ (tj. $x^{1}$ a nižší).\\ 
-  I(h/2) = I(h) + \frac{E(h)}{4} \Rightarrow \text{vyšší řád} O(h^4) + 
-  $$+  * **Chyba metody:** Pro krok $h$ a řád $p$ je globální chyba $O(h^p)$.
  
-=== 3. Adaptivní kvadratura ===+ 
 +==== Řád chyby ==== 
 + 
 +  * **Definice:** Řád chyby $p$ znamená, že chyba metody klesá jako $h^p$ při zmenšování kroku $h$. 
 +  * **Příklad:** Pro metodu s řádem 2, zmenšení kroku $h$ na polovinu sníží chybu 4krát, protože $E \propto h^2$. 
 + 
 +=== Adaptivní kvadratura ===
  
 Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami). Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami).
Line 470: Line 451:
 ==== Kritéria volby metody ==== ==== Kritéria volby metody ====
  
-  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova).\\ +  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova). 
- +  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.
-  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.\\ +
   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.
  

Trace: • b4b36sin • b0b33opt • b4b33alg • b4b01num

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b01num (generated for current page)