Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b01num [2025/06/07 12:54] – mistrjirkastatnice:bakalar:b4b01num [2026/06/03 08:29] (current) – [Metoda polovičního kroku a odhad chyby] knedl1k
Line 218: Line 218:
 **Visualizace**: **Visualizace**:
  
-<tikzjax> +{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-125539.png?490}}
-\usepackage{amsmath} +
-\usepackage{pgfplots} +
-\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta} +
-\begin{document} +
- +
-\begin{tikzpicture}[thick,yscale=0.8] +
-% Axes +
-  \draw[-latex,name path=xaxis] (-1,0) -- (12,0) node[above]{\large $x$}; +
-  \draw[-latex] (0,-2) -- (0,8) node[right]{\large $y$}; +
- +
-  % Function plot +
-  \draw[ultra thick, orange,name path=function] +
-    plot[smooth,domain=1:9.5] +
-      (\x, {0.1*\x^2 - 1.5}) node[left]{$F(x)$}; +
- +
-  % Tangent at x^(k)=8 +
-  \node[violet,right=0.2cm] at (8,4.9) {\large tangent}; +
-  \draw[gray,thin,dotted] (8,0) -- (8,4.9) +
-    node[circle,fill,inner sep=2pt]{}; +
-  \draw[dashed, violet,name path=Tfunction] +
-    plot[smooth,domain=4.25:9.5] +
-      (\x, {1.6*\x - 7.9}); +
- +
-  % Labels for x^(k) and x^(k+1) +
-  \draw (8,0.1) -- (8,-0.1) node[below] {$x^{(k)}$}; +
-  \draw [name intersections={of=Tfunction and xaxis}] +
-    ($(intersection-1)+(0,0.1)$) -- ++(0,-0.2) +
-    node[below,fill=white] {$x^{(k+1)}$}; +
-\end{tikzpicture} +
- +
-\end{document} +
-</tikzjax>+
  
  
Line 264: Line 232:
 **Visualizace**: **Visualizace**:
  
-<tikzjax> +{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-125807.png?450}}
-\usepackage{amsmath} +
-\usepackage{pgfplots} +
-\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta} +
-\begin{document} +
- +
-\begin{tikzpicture}[thick, xscale=1, yscale=1] +
-  % Axes +
-  \draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$x$}; +
-  \draw[->] (0,-1) -- (0,4) node[above]{$f(x)$}; +
- +
-  % Function +
-  \draw[blue,smooth,domain=0.5:4.5] plot (\x,{0.1*(\x-3)^3+0.5}); +
- +
-  % Initial guesses x0=0.5, x1=1.5 +
-  \coordinate (X0) at (0.5,{0.1*(0.5-3)^3+0.5}); +
-  \coordinate (X1) at (1.5,{0.1*(1.5-3)^3+0.5}); +
-  \fill (X0) circle (1.5pt) (X1) circle (1.5pt); +
- +
-  % Secant line +
-  \draw[red,name path=sec] (X0) -- (X1); +
- +
-  % Intersection X2 with f +
-  \draw[name path=fun2] plot [smooth,domain=0.5:4.5] +
-    (\x,{0.1*(\x-3)^3+0.5}); +
-  \draw[name intersections={of=sec and fun2,by=X2}]; +
-  \draw[dashed] (X2) -- (X2|-0,0) node[below]{$x_2$}; +
-  \fill (X2) circle (1.5pt); +
-\end{tikzpicture}+
  
-\end{document} 
-</tikzjax> 
  
  
Line 308: Line 246:
 **Konvergence**: Lineární při zachování intervalu s kořenem \\ **Konvergence**: Lineární při zachování intervalu s kořenem \\
 **Visualizace**: **Visualizace**:
- 
-<tikzjax> 
-\usepackage{amsmath} 
-\usepackage{pgfplots} 
-\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta} 
-\begin{document} 
- 
-\begin{tikzpicture}[thick, xscale=1, yscale=1] 
-  % Axes 
-  \draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right]{$x$}; 
-  \draw[->] (0,-1) -- (0,4) node[above]{$f(x)$}; 
- 
-  % Plot f 
-  \draw[name path=function,blue,smooth,domain=1:4] 
-    plot (\x,{0.1*(\x-3)^3+0.5}); 
- 
-  % Points A and B 
-  \coordinate (A) at (1,{0.1*(1-3)^3+0.5}); 
-  \coordinate (B) at (4,{0.1*(4-3)^3+0.5}); 
-  \fill (A) circle (1.5pt) (B) circle (1.5pt); 
- 
-  % Secant AB 
-  \draw[name path=secant,red] (A) -- (B); 
- 
-  % Intersection C = false-position 
-  \draw[name intersections={of=secant and function, by=C}]; 
-  \draw[dashed] (C) -- (C|-0,0) node[below]{$c$}; 
-  \fill (C) circle (1.5pt); 
-\end{tikzpicture} 
- 
-\end{document} 
-</tikzjax> 
  
  
 +{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-130029.png?450}}
  
 ==== 5. Metoda prosté iterace ==== ==== 5. Metoda prosté iterace ====
Line 352: Line 259:
 **Konvergence**: Lineární při $|\phi'(x)| < 1$ v okolí kořene. Řád $p$ pro $\phi^{(k)}(x) \neq 0$ ($k = 1, \dots, p-1$) a $\phi^{(p)}(x) \neq 0$ \\ **Konvergence**: Lineární při $|\phi'(x)| < 1$ v okolí kořene. Řád $p$ pro $\phi^{(k)}(x) \neq 0$ ($k = 1, \dots, p-1$) a $\phi^{(p)}(x) \neq 0$ \\
 **Visualizace** (Cobweb diagram): **Visualizace** (Cobweb diagram):
- 
-<tikzjax> 
-\usepackage{amsmath} 
-\usepackage{pgfplots} 
-\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta} 
-\begin{document} 
-\begin{tikzpicture}[thick,xscale=1,yscale=1] 
-  % Axes 
-  \draw[->] (0,0) -- (4,0) node[right]{$x$}; 
-  \draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above]{$y$}; 
- 
-  % y = g(x) and y = x 
-  \draw[blue,smooth,domain=0:4] 
-    plot (\x,{1+0.5*(\x-1)}) node[above]{$y=g(x)$}; 
-  \draw[black,domain=0:4] plot (\x,\x) node[right]{$y=x$}; 
- 
-  % One cobweb iteration from x0=1 
-  \coordinate (P0) at (1,0); 
-  \coordinate (P1) at (1,{1+0.5*(1-1)}); 
-  \coordinate (P2) at ({1+0.5*(1-1)},{1+0.5*(1-1)}); 
-  \draw[dashed] (P0) -- (P1) -- (P2); 
-  \fill (P1) circle (1.5pt) (P2) circle (1.5pt); 
-\end{tikzpicture} 
- 
-\end{document} 
-</tikzjax> 
- 
  
  
 +{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-130215.png?450}}
 ==== Problematika separace kořenů ==== ==== Problematika separace kořenů ====
  
Line 398: Line 279:
 ===== Numerické řešení soustav lineárních rovnic ===== ===== Numerické řešení soustav lineárních rovnic =====
  
-**Numerické řešení soustav lineárních rovnic, možné problémy, argumenty pro použití finitních nebo iteračních metod.**+**Metody pro řešení soustav lineárních rovnic $A\vec{x} = \vec{b}$, jejich matematické formulace, problémy a kritéria volby mezi přímými a iteračními postupy.** 
 +=== Přímé (finitní) metody ===
  
 +Poskytují teoreticky přesné řešení v konečném počtu kroků: 
  
 +1. **Gaussova eliminace**:
 +    * Převádí matici $A$ na **horní trojúhelníkový tvar** pomocí ekvivalentních úprav.\\
 +    * **Algoritmus**:\\
 +    * Pro $k = 1$ až $n-1$:\\
 +$a^{(k)}_{i,j} = a^{(k-1)}_{i,j} - \frac{a^{(k-1)}_{i,k}}{a^{(k-1)}_{k,k}} \cdot a^{(k-1)}_{k,j}$\\
 +    * **Zpětná substituce**:\\
 +$x_i = \frac{1}{a^{(i-1)}_{i,i}} \left( a^{(i-1)}_{i,n+1} - \sum_{j=i+1}^n a^{(i-1)}_{i,j}x_j \right)$ \\
 +    * Výběr hlavního prvku redukuje zaokrouhlovací chyby.
  
-===== Numerická integrace =====+2. **LU rozklad**: 
 +    * Rozklad $A = LU$ na **dolní ($L$)** a **horní ($U$) trojúhelníkovou matici**.\\
  
-**Numerická integrace - princip, možné problémy, volba metody, problematika odhadu chyb.**+    * Řeší se dvě soustavy: 
 +      * $L\vec{y} = \vec{b}$ (dopředná substituce), 
 +      * $U\vec{x} = \vec{y}$ (zpětná substituce).
  
-==== Princip numerické integrace ====+    * Efektivní pro opakované výpočty s různými $\vec{b}$ 
  
-Numerická integrace je postup přibližného výpočtu **definitního integrálu**\\ +=== Iterační metody ===
-$$ +
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx +
-$$\\ +
-pro případy, kdy analytická řešení (primitivní funkce) nelze získat nebo je výpočet složitý. Základní přístup spočívá v **discretizaci** intervalu $[a, b]$ a aproximaci integrálu pomocí **polynomů**, **geometrických útvarů** nebo **kvadraturních vzorců**.+
  
-==== Hlavní metody numerické integrace ====+Generují posloupnost aproximací $\vec{x}^{(k)} \to \vec{x}$: 
  
-=== 1. Obdélníková metoda (Rectangle Rule) ===+1. **Jacobiho metoda (JIM)**: 
 +    - Rozklad $A = D + L + U$ ($D$ diagonální, $L$ ostře dolní, $U$ ostře horní trojúhelníková). 
 +    - **Iterační vzorec**: $\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \vec{b} - (L + U) \vec{x}^{(k)} \right)$ 
 +    - Jednoduchá implementace, paralelizovatelná, ale pomalá konvergence 
  
-  * **Princip**: Rozdělí interval $[a, b]$ na $n$ podintervalů, v každém z nich integrand nahradí **konstantou** (hodnotou v levém, pravém nebo středním bodě).\\+2. **Gaussova-Seidelova metoda (GSM)**: 
 +    * Využívá již aktualizované hodnoty v aktuální iteraci: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + L)^{-1} \left( \vec{b} - U \vec{x}^{(k)} \right)$ 
 +    * Rychlejší konvergence než JIM, ale sekvenční výpočet  
 +3. **Superrelaxační metoda (SOR)**: 
 +    * Zavádí relaxační parametr $\omega$ pro urychlení konvergence: $\vec{x}^{(k+1)} = (D + \omega L)^{-1} \left[ (1-\omega)D \vec{x}^{(k)} - \omega U \vec{x}^{(k)} \right] + \omega (D + \omega L)^{-1} \vec{b}$ 
 +    * Pro $\omega = 1$ přechází na GSM. Optimální $\omega$ zrychluje konvergenci, ale špatná volba způsobí divergenci 
  
-  * **Formule**:\\ +=== Problémy a kritéria volby metod ===
-$$ +
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) +
-$$\\ +
-kde $x_i$ je bod v $i$-tém podintervalu (např. střed = **střední metoda**).\\+
  
-  * **Řád metody**: pro levé a pravé obdelníky: 1 (chyba je $O(h)$, kde $h = \frac{b-a}{n}$)., pro střední je řád 2 (chyba je $O(h^2)$)+  * **Problémy**: 
 +    * **Špatná podmíněnost**: Malé změny v $A$ nebo $\vec{b}$ vedou k velkým změnám řešení (kritérium: velké $\|A^{-1}\|$) 
 +    * **Zaokrouhlovací chyby**: Akumulují se v přímých metodách, zejména bez výběru hlavního prvku 
 +    * **Konvergence iterací**: Zajištěna pouze pokud $\rho(B) < 1$ (spektrální poloměr iterační matice) 
 +    * **Řídké matice**: Přímé metody ztrácejí na efektivitě kvůli “zaplnění” (fill-in), iterační metody ji zachovávají  
 +  * **Volba metody**:
  
-  * **Výhody**: Jednoduchost, malá početní náročnost.\\+^**Parametr**             ^**Přímé metody**               ^**Iterační metody**                       ^ 
 +|**Velikost matice**      |Malé až střední systémy        |Velké systémy ($n > 10^3$)                | 
 +|**Struktura matice**     |Plné nebo řídké                |Řídké (např. diskretizace PDE)            | 
 +|**Přesnost**             |Vysoká (teoreticky přesné)     |Přibližná (kontrola rezidua $\|\vec{r}\|$)| 
 +|**Vícenásobná $\vec{b}$**|Efektivní (jednorázový rozklad)|Výhodné s dobrým počátečním odhadem       | 
 +|**Paměťová náročnost**   |Vyšší (např. LU: $O(n^2)$)     |Nižší (např. JIM: $O(n)$)                 |
  
-  * **Nevýhody**: Malá přesnost, nevhodné pro funkcí s rychlým zrychlením.+=== Odhady chyb a optimalizace ===
  
-=== 2. Lichoběžníková metoda (Trapezoidal Rule) ===+  * **Reziduální odhad**: $\vec{r} = \vec{b} - A\vec{x}_c$ umožňuje zpřesnění řešení \\
  
-  * **Princip**: Interval rozdělí na $n$ podintervalů, které aproximuje **lichoběžníky** (lineární interpolace).\\+  * **Složitost**: 
 +    * Přímé metody: $O(n^3)$ pro GEM, $O(n^2)$ pro zpětný chod.\\
  
-  * **Formule**:\\ +    * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké 
-$$ +
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right], \quad h = \frac{b - a}{n} +
-$$\\+
  
-  * **Řád metody**: 2 (chyba $O(h^2)$).\\ 
  
-  * **Výhody**: Lépe přesná než obdélníková, stabilní pro hladké funkce.\\+===== Numerická integrace =====
  
-  * **Nevýhody**: Chyba se zvětšuje pro funkce s velkými druhými derivacemi.+**Numerická integrace slouží k přibližnému výpočtu určitého integrálu, když analytické řešení není možné. Zahrnuje diskretizaci intervalu, výpočet ploch pod křivkou pomocí jednoduchých geometrických tvarů a řízení chyb.**
  
-=== 3. Simpsonova metoda (Simpson’s Rule) ===+==== Metody numerické integrace ====
  
-  * **Princip**: Užívá **parabolické interpolace** (kvadratické polynomy) na párových podintervalech.\\ +1. **Metoda levých obdélníků** 
- +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu. 
-  * **Formule**:\\+    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$: 
 +$$ 
 +I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h. 
 +$$ 
 +    * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce). 
 +2. **Metoda středních obdélníků** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu. 
 +    * **Matematicky:** 
 +$$ 
 +I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right). 
 +$$ 
 +    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$). 
 +3. **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku). 
 +    * **Matematicky:** 
 +$$ 
 +I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right]. 
 +$$ 
 +    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy). 
 +4. **Simpsonova metoda** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů. 
 +    * **Matematicky (pro sudé $n$):** 
 +$$ 
 +I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right]. 
 +$$ 
 +    * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$). 
 +5. **Gaussova kvadratura** 
 +    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$. 
 +    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů:
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{(n/2)-1} f(x_{2i}) + f(b) \right] +I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right), 
-$$\\ +$$ 
-(vyžaduje sudé $n$).\\ +kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy. 
- +    * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$). 
-  * **Řád metody**: 4 (chyba $O(h^4)$).\\ +=== Bonus: Newton-Cotesovy vzorce ===
- +
-  * **Výhody**: Vysoká přesnost pro hladké funkce.\\ +
- +
-  * **Nevýhody**: Závislost na počtu podintervalů, složitější výpočet -> velmi pomalé. +
- +
-=== 4. Newton-Cotesovy vzorce ===+
  
 Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\ Soubor metod, které zobecňují trapezoidální a Simpsonovu metodu.\\
Line 474: Line 397:
  
 ==== Problémy a optimalizace ==== ==== Problémy a optimalizace ====
 +  * **Problémy:** Numerické chyby (zaokrouhlovací, metody), singularity, oscilace funkce.\\
  
-=== 1. Odhad chyby a kompozitní metody === +=== Metoda polovičního kroku a odhad chyby ===
- +
-  * **Kompozice**: Rozdělení $[a, b]$ na $n$ podintervalů a aplikace metody na každý.\\+
  
-  * **Chyba trapezoidální metody**:\\+  * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\
 $$ $$
-E \approx -\frac{(b - a)^3}{12n^2} f''(\xi), \quad \xi \in [a,b]+E_{1/2} \approx \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.
 $$\\ $$\\
  
-  * **Chyba Simpsonovy metody**:\\ +  * **Vylepšení integrálu:**\\
-$$ +
-E \approx -\frac{(b - a)^5}{180n^4} f^{(4)}(\xi)+
 $$ $$
 +I_{\text{vylepšené}} = I_{h/2} + E_{1/2}.
 +$$\\
  
-=== 2. Richardsonova extrapolace ===+  * **Souvislost s Richardsonovou extrapolací:** Tento postup je jejím speciálním případem. Kombinací výsledků pro různé $h$ eliminuje vedoucí člen chyby 
  
-Sloučení dvou odhadů s různými kroky $h$ a $h/2$ pro odstranění vedení v chybě.\\ +=== Řád metody === 
-- **Příklad**: U trapezoidální metody:\\ + 
-$$ +  * **Význam:** Udává, do jakého stupně polynomu metoda počítá integrál přesně. Např. metoda řádu 2 přesně integruje polynomy stupně $\leq 1$ (tj. $x^{1}$ a nižší).\\ 
-  I(h/2) = I(h) + \frac{E(h)}{4} \Rightarrow \text{vyšší řád} O(h^4) + 
-  $$+  * **Chyba metody:** Pro krok $h$ a řád $p$ je globální chyba $O(h^p)$. 
 + 
 + 
 +==== Řád chyby ==== 
 + 
 +  * **Definice:** Řád chyby $p$ znamená, že chyba metody klesá jako $h^p$ při zmenšování kroku $h$. 
 +  * **Příklad:** Pro metodu s řádem 2, zmenšení kroku $h$ na polovinu sníží chybu 4krát, protože $E \propto h^2$.
  
-=== 3. Adaptivní kvadratura ===+=== Adaptivní kvadratura ===
  
 Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami). Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami).
Line 523: Line 451:
 ==== Kritéria volby metody ==== ==== Kritéria volby metody ====
  
-  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova).\\ +  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova). 
- +  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.
-  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.\\ +
   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.
  

Trace:

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b01num (generated for current page)