The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b01num [2025/06/07 12:37] – mistrjirkastatnice:bakalar:b4b01num [2025/06/07 13:38] (current) – [Numerická integrace] mistrjirka
Line 142: Line 142:
  
 ===== Numerické metody řešení nelineárních rovnic ===== ===== Numerické metody řešení nelineárních rovnic =====
-===== Numerické metody řešení nelineární rovnice =====+
  
 **Numerické metody řešení rovnice $f(x) = 0$** slouží k nalezení kořenů, kdy analytické řešení není možné. Předpokladem je separace kořenů – nalezení intervalu $\langle a, b \rangle$ s $f(a) \cdot f(b) < 0$ a jediným kořenem. Metody se liší rychlostí konvergence, požadavky na derivace a garancemi konvergence ,  **Numerické metody řešení rovnice $f(x) = 0$** slouží k nalezení kořenů, kdy analytické řešení není možné. Předpokladem je separace kořenů – nalezení intervalu $\langle a, b \rangle$ s $f(a) \cdot f(b) < 0$ a jediným kořenem. Metody se liší rychlostí konvergence, požadavky na derivace a garancemi konvergence , 
Line 181: Line 181:
 \usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta} \usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta}
 \begin{document} \begin{document}
 +\begin{tikzpicture}[thick,xscale=1,yscale=1]
 +  % Axes
 +  \draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
 +  \draw[->] (0,-1) -- (0,4) node[above] {$f(x)$};
  
-\begin{tikzpicture}[scale=1.0] +  % Function (example cubic) 
-\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; +  \draw[domain=0.5:4.5,smooth,variable=\x,blue] 
-\draw[blue,thick] plot[domain=0.5:4.5] (\x,{0.5*(\x-3)^2 - 1}); +    plot ({\x},{0.1*(\x-3)^3 + 0.5}); 
-\draw[red,dashed] (1,0) node[below] {$a_0$} -- (1,0.5); + 
-\draw[red,dashed] (4.5,0) node[below] {$b_0$} -- (4.5,1.625); +  % Endpoints a=1, b=4 
-\draw[green!60!black,dashed] (2.75,0) node[below] {$x_0$} -- (2.75,{-1+0.5*(2.75-3)^2}); +  \foreach \X/\lbl in {1/a,4/b}{ 
-\draw[red,dashed] (1.875,0) node[below] {$a_1$} -- (1.875,{-1+0.5*(1.875-3)^2}); +    \draw[dashed] (\X,0) node[below] {$\lbl$} 
-\draw[red,dashed] (3.625,0) node[below] {$x_1$} -- (3.625,{-1+0.5*(3.625-3)^2});+      -- (\X,{0.1*(\X-3)^3+0.5}); 
 +    \fill (\X,{0.1*(\X-3)^3+0.5}) circle (1.5pt); 
 +  } 
 + 
 +  % Midpoint c = (a+b)/2 = 2.5 
 +  \coordinate (C) at (2.5,{0.1*(2.5-3)^3+0.5}); 
 +  \draw[dashed] (2.5,0) node[below] {$c$} -- (C); 
 +  \fill (C) circle (1.5pt);
 \end{tikzpicture} \end{tikzpicture}
  
Line 207: Line 218:
 **Visualizace**: **Visualizace**:
  
-<tikzjax> +{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-125539.png?490}}
-\usepackage{amsmath} +
-\usepackage{pgfplots} +
-\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta} +
-\begin{document} +
- +
-\begin{tikzpicture}[scale=1.0] +
-\draw[->] (0,0) -- (4,0) node[right] {$x$}; +
-\draw[blue,thick] plot[domain=0.5:3.5] (\x,{0.3*(\x-1)^3 - (\x-1) + 0.5}); +
-\draw[red,fill] (3,0.8) circle (2pt) node[above] {$x_0$}; +
-\draw[orange,thick] (1.5,1.5) -- (3,0.2); +
-\draw[red,dashed] (2.0,0) node[below] {$x_1$} -- (2.0,0); +
-\draw[green!60!black,thick] (1.0,1.0) -- (2.0,0); +
-\draw[red,dashed] (1.5,0) node[below] {$x_2$} -- (1.5,0); +
-\end{tikzpicture} +
- +
-\end{document} +
-</tikzjax>+
  
  
Line 238: Line 232:
 **Visualizace**: **Visualizace**:
  
-<tikzjax> +{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-125807.png?450}}
-\usepackage{amsmath} +
-\usepackage{pgfplots} +
-\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta} +
-\begin{document}+
  
-\begin{tikzpicture}[scale=1.0] 
-\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; 
-\draw[blue,thick] plot[domain=0.5:4.5] (\x,{0.2*(\x-3)^3 - 0.5*(\x-3)}); 
-\draw[red,fill] (1,0.6) circle (2pt) node[above] {$x_0$}; 
-\draw[red,fill] (4,0.4) circle (2pt) node[above] {$x_1$}; 
-\draw[orange,thick] (1,0.6) -- (4,0.4); 
-\draw[red,dashed] (2.5,0) node[below] {$x_2$} -- (2.5,0); 
-\draw[green!60!black,thick] (4,0.4) -- (2.5,0); 
-\draw[red,dashed] (3.0,0) node[below] {$x_3$} -- (3.0,0); 
-\end{tikzpicture} 
- 
-\end{document} 
-</tikzjax> 
  
  
Line 269: Line 246:
 **Konvergence**: Lineární při zachování intervalu s kořenem \\ **Konvergence**: Lineární při zachování intervalu s kořenem \\
 **Visualizace**: **Visualizace**:
- 
-<tikzjax> 
-\usepackage{amsmath} 
-\usepackage{pgfplots} 
-\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta} 
-\begin{document} 
- 
-\begin{tikzpicture}[scale=1.0] 
-\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right] {$x$}; 
-\draw[blue,thick] plot[domain=0.5:4.5] (\x,{0.3*(\x-1.5)^2 - 0.7}); 
-\draw[red,dashed] (1,0) node[below] {$a_0$} -- (1,{-0.7+0.3*(1-1.5)^2}); 
-\draw[red,dashed] (4,0) node[below] {$b_0$} -- (4,{-0.7+0.3*(4-1.5)^2}); 
-\draw[orange,thick] (1,{-0.7+0.3*(1-1.5)^2}) -- (4,{-0.7+0.3*(4-1.5)^2}); 
-\draw[red,dashed] (2.2,0) node[below] {$x_0$} -- (2.2,0); 
-\draw[green!60!black,dashed] (2.2,0) -- (2.2,{-0.7+0.3*(2.2-1.5)^2}); 
-\draw[green!60!black,thick] (2.2,{-0.7+0.3*(2.2-1.5)^2}) -- (4,{-0.7+0.3*(4-1.5)^2}); 
-\draw[red,dashed] (2.8,0) node[below] {$x_1$} -- (2.8,0); 
-\end{tikzpicture} 
- 
-\end{document} 
-</tikzjax> 
  
  
 +{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-130029.png?450}}
  
 ==== 5. Metoda prosté iterace ==== ==== 5. Metoda prosté iterace ====
Line 302: Line 259:
 **Konvergence**: Lineární při $|\phi'(x)| < 1$ v okolí kořene. Řád $p$ pro $\phi^{(k)}(x) \neq 0$ ($k = 1, \dots, p-1$) a $\phi^{(p)}(x) \neq 0$ \\ **Konvergence**: Lineární při $|\phi'(x)| < 1$ v okolí kořene. Řád $p$ pro $\phi^{(k)}(x) \neq 0$ ($k = 1, \dots, p-1$) a $\phi^{(p)}(x) \neq 0$ \\
 **Visualizace** (Cobweb diagram): **Visualizace** (Cobweb diagram):
- 
-<tikzjax> 
-\usepackage{amsmath} 
-\usepackage{pgfplots} 
-\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows, calc, cd, intersections,arrows.meta} 
-\begin{document} 
- 
-\begin{tikzpicture}[scale=1.0] 
-\draw[->] (0,0) -- (4,0) node[right] {$x$}; 
-\draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above] {$y$}; 
-\draw[blue,thick] plot[domain=0:3.5] (\x,{0.5*\x + 1.5}) node[right] {$y=\phi(x)$}; 
-\draw[gray,dashed] (0,0) -- (3.5,3.5) node[right] {$y=x$}; 
-\draw[red,->] (1,0) node[below] {$x_0$} -- (1,1.5); 
-\draw[red,->] (1,1.5) -- (1.5,1.5); 
-\draw[red,->] (1.5,1.5) -- (1.5,1.75); 
-\draw[red,->] (1.5,1.75) -- (1.75,1.75); 
-\draw[red,->] (1.75,1.75) -- (1.75,1.875); 
-\draw[fill=magenta] (2,2) circle (2pt) node[above] {Pevný bod}; 
-\end{tikzpicture} 
- 
-\end{document} 
-</tikzjax> 
- 
  
  
 +{{:statnice:bakalar:pasted:20250607-130215.png?450}}
 ==== Problematika separace kořenů ==== ==== Problematika separace kořenů ====
  
Line 342: Line 277:
     * Nespojitosti, periodické funkce – vyžadují speciální algoritmy (např. kombinace s derivacemi)      * Nespojitosti, periodické funkce – vyžadují speciální algoritmy (např. kombinace s derivacemi) 
  
-===== Numerické řešení soustav lineárních rovnic =====+==== Numerické řešení soustav lineárních rovnic ====
  
-**Numerické řešení soustav lineárních rovnic, možné problémy, argumenty pro použití finitních nebo iteračních metod.**+**Metody pro řešení soustav lineárních rovnic $A\vec{x} = \vec{b}$, jejich matematické formulace, problémy a kritéria volby mezi přímými a iteračními postupy.**
  
-==== 1. Finitní (přímé) metody ====+=== Přímé (finitní) metody ===
  
-  * **Příklady**: Gaussova eliminační metoda, LU dekompozice, QR rozklad.\\+Poskytují teoreticky přesné řešení v konečném počtu kroků: 1. **Gaussova eliminace**:\\ 
 +- Převádí matici $A$ na **horní trojúhelníkový tvar** pomocí ekvivalentních úprav.\\ 
 +- **Algoritmus**:\\ 
 +- Pro $k = 1$ až $n-1$:\\ 
 +$a^{(k)}_{i,j} = a^{(k-1)}_{i,j} - \frac{a^{(k-1)}_{i,k}}{a^{(k-1)}_{k,k}} \cdot a^{(k-1)}_{k,j}$\\ 
 +- **Zpětná substituce**:\\ 
 +$x_i = \frac{1}{a^{(i-1)}_{i,i}} \left( a^{(i-1)}_{i,n+1} - \sum_{j=i+1}^n a^{(i-1)}_{i,j}x_j \right)$ \\ 
 +- Výběr hlavního prvku redukuje zaokrouhlovací chyby.
  
-  * **Výhody**: +  - **LU rozklad**: 
-    * Pro malé a střední matice (např. $n < 1000$) jsou efektivní.\\+    * Rozklad $A = LU$ na **dolní ($L$)** a **horní ($U$) trojúhelníkovou matici**.\\
  
-    * Přesné řešení (do chyby zaokrouhlení) v konečném počtu kroků.\\+    * Řeší se dvě soustavy: 
 +      * $L\vec{y} = \vec{b}$ (dopředná substituce),\\
  
-  * **Problémy**: +      * $U\vec{x} = \vec{y}$ (zpětná substituce).\\
-    * **Výpočetní náročnost**: Složitost $O(n^3)$ pro metody jako LU dekompozice.\\ +
- +
-    * **Numerická nestabilita**: Pro nevhodné matice (např. špatně podmíněné) mohou vzniknout velké chyby zaokrouhlení.\\+
  
-    * **Paměťové nároky**: Ukládání celé matice (i pro řídké matice).\\+    * Efektivní pro opakované výpočty s různými $\vec{b}$ 
  
-    * **Pivotace**: Někdy nutná pro stabilitu (např. při eliminaci bez pivotace mohou nastat dělení nulou). +=== Iterační metody ===
-  * **Příklady z materiálů**: +
-    * **Normální rovnice** pro řešení přeurčených soustav (např. nejmenší čtverce): $A^T A x = A^T b$.\\+
  
-    * **QR rozklad** pro řešení soustav s LN sloupci: $Ax = b \Rightarrow Q R x = b \Rightarrow x = R^{-1} Q^T b$.+Generují posloupnost aproximací $\vec{x}^{(k)} \to \vec{x}$: 1. **Jacobiho metoda (JIM)**:\\ 
 +- Rozklad $A = D + L + U$ ($D$ diagonální, $L$ ostře dolní, $U$ ostře horní trojúhelníková).\\ 
 +- **Iterační vzorec**:\\ 
 +$\vec{x}^{(k+1)} = D^{-1} \left( \vec{b} - (L + U) \vec{x}^{(k)} \right)$ \\ 
 +- Jednoduchá implementace, paralelizovatelná, ale pomalá konvergence 
  
-==== 2. Iterační metody ====+  - **Gaussova-Seidelova metoda (GSM)**: 
 +    * Využívá již aktualizované hodnoty v aktuální iteraci:\\ 
 +$\vec{x}^{(k+1)} = (D + L)^{-1} \left( \vec{b} - U \vec{x}^{(k)} \right)$ \\
  
-  * **Příklady**: Jacobiho metoda, Gaussova-Seidelova metoda, metoda konjugovaných gradientů (pro symetrické pozitivně definitní matice).\\+    * Rychlejší konvergence než JIM, ale sekvenční výpočet  
 +  - **Superrelaxační metoda (SOR)**: 
 +    * Zavádí relaxační parametr $\omega$ pro urychlení konvergence:\\ 
 +$\vec{x}^{(k+1)} = (D + \omega L)^{-1} \left[ (1-\omega)D \vec{x}^{(k)} - \omega U \vec{x}^{(k)} \right] + \omega (D + \omega L)^{-1} \vec{b}$ \\
  
-  * **Výhody**: +    * Pro $\omega = 1$ přechází na GSM. Optimální $\omega$ zrychluje konvergenci, ale špatná volba způsobí divergenci 
-    * Efektivní pro **velké řídké matice** (např. $n > 10^4$), protože využívají jen operace s nenulovými prvky.\\+
  
-    * Nižší paměťové nároky (neukládá se celá matice, jen její struktura).\\+=== Problémy a kritéria volby metod ===
  
   * **Problémy**:   * **Problémy**:
-    * **Konvergence** není zaručena: Závisí na vlastnostech matice (např. diagonální dominance, pozitivní definitnost).\\+    * **Špatná podmíněnost**: Malé změny v $A$ nebo $\vec{b}$ vedou k velkým změnám řešení (kritérium: velké $\|A^{-1}\|$) \\
  
-    * **Pomalá konvergence** bez předpodmínky (preconditioner).\\+    * **Zaokrouhlovací chyby**: Akumulují se v přímých metodách, zejména bez výběru hlavního prvku \\
  
-    * **Citlivost na volbu počátečního odhadu**. +    * **Konvergence iterací**: Zajištěna pouze pokud $\rho(B) < 1$ (spektrální poloměr iterační matice) \\
-  * **Příklady z materiálů**: +
-    * **Nejmenší čtverce** pro přeurčené soustavy: Minimalizace $||Ax - b||_2$ pomocí QR nebo SVD.\\+
  
-    * **Pseudoinverze** pro matice bez plné hodnosti (např. SVD rozklad).+    * **Řídké matice**: Přímé metody ztrácejí na efektivitě kvůli “zaplnění” (fill-in), iterační metody ji zachovávají  
 +  * **Volba metody**:
  
-==== 3. Porovnání a výběr metody ====+^**Parametr**             ^**Přímé metody**               ^**Iterační metody**                       ^ 
 +|**Velikost matice**      |Malé až střední systémy        |Velké systémy ($n > 10^3$)                | 
 +|**Struktura matice**     |Plné nebo řídké                |Řídké (např. diskretizace PDE)            | 
 +|**Přesnost**             |Vysoká (teoreticky přesné)     |Přibližná (kontrola rezidua $\|\vec{r}\|$)| 
 +|**Vícenásobná $\vec{b}$**|Efektivní (jednorázový rozklad)|Výhodné s dobrým počátečním odhadem       | 
 +|**Paměťová náročnost**   |Vyšší (např. LU: $O(n^2)$)     |Nižší (např. JIM: $O(n)$)                 |
  
-^**Kritérium**        ^**Finitní metody**                       ^**Iterační metody**                    ^ +=== Odhady chyb a optimalizace ===
-|**Rozměr matice**    |Malé a střední ($n < 1000$)              |Velké ($n > 10^4$)                     | +
-|**Dostupnost paměti**|Vyžadují větší paměť                     |Efektivní pro řídké matice             | +
-|**Přesnost**         |Vysoká (do chyby zaokrouhlení)           |Závislá na konvergenci a iteracích     | +
-|**Použití**          |Řešení přesných soustav, nejmenší čtverce|Řídké matice, paralelizovatelné systémy|+
  
-==== 4. Typické problémy v numerice ====+  * **Reziduální odhad**: $\vec{r} = \vec{b} - A\vec{x}_c$ umožňuje zpřesnění řešení \\
  
-  * **Špatně podmíněné matice**: Malá nebo nulová determinant, velké chyby v řešení.\\+  * **Složitost**: 
 +    * Přímé metody: $O(n^3)$ pro GEM, $O(n^2)$ pro zpětný chod.\\
  
-  * **Numerická nestabilita**: Např. v Gaussově eliminaci bez pivotace.\\+    * Iterační metody: $O(n^2)$ na iteraci (pro husté matice), $O(n)$ pro řídké 
  
-  * **Chyby zaokrouhlení**: Akumulace v přímých metodách pro velké $n$.\\ 
  
-  * **Řídké matice**: Iterační metody výrazně převyšují přímé metody.+===== Numerická integrace =====
  
-==== 5. Ukázkové příklady z materiálů ====+**Numerická integrace slouží k přibližnému výpočtu určitého integrálu, když analytické řešení není možné. Zahrnuje diskretizaci intervalu, výpočet ploch pod křivkou pomocí jednoduchých geometrických tvarů a řízení chyb.**
  
-  * **Přeurčená soustava** $Ax = b$: Řešeno metodou nejmenších čtverců pomocí normálních rovnic nebo QR.\\+==== Metody numerické integrace ====
  
-  * **Příklad řídké matice**: Iterační metoda (např. CG) pro řešení $Ax = b$, kde $A$ má jen $O(n)$ nenulových prvků.+  - **Metoda levých obdélníků** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou v **levém konci** každého podintervalu.\\
  
-==== 6. Závěr ====+    * **Matematicky:** Pro interval $[a, b]$ rozdělený na $n$ podintervalů o šířce $h = \frac{b-a}{n}$:\\ 
 +$$ 
 +I_L = h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i), \quad x_i = a + i \cdot h. 
 +$$\\
  
-  * **Finitní metody** jsou vhodné pro malé matice a přesné řešení.\\+    * **Řád metody:** 1 (přesná pro polynomy stupně 0, např. konstantní funkce). 
 +  - **Metoda středních obdélníků** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje hodnotou ve **středu** každého podintervalu.\\
  
-  * **Iterační metody** dominují u velkých řídkých matic a při náročnosti na paměť.\\ +    * **Matematicky:**\\
- +
-  * Výběr závisí na rozměru matice, její struktuře a požadované přesnosti. +
-===== Numerická integrace ===== +
- +
-**Numerická integrace - princip, možné problémy, volba metody, problematika odhadu chyb.** +
- +
-==== Princip numerické integrace ==== +
- +
-Numerická integrace je postup přibližného výpočtu **definitního integrálu**\\+
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx+I_S = h \sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i + \frac{h}{2}\right).
 $$\\ $$\\
-pro případy, kdy analytická řešení (primitivní funkce) nelze získat nebo je výpočet složitý. Základní přístup spočívá v **discretizaci** intervalu $[a, b]$ a aproximaci integrálu pomocí **polynomů**, **geometrických útvarů** nebo **kvadraturních vzorců**. 
  
-==== Hlavní metody numerické integrace ====+    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy, např. $x^1$). 
 +  - **Lichoběžníková metoda (Trapezoid)** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **lineárně** mezi konci podintervalu (plocha lichoběžníku).\\
  
-=== 1. Obdélníková metoda (Rectangle Rule) === +    * **Matematicky:**\\
- +
-  * **Princip**: Rozdělí interval $[a, b]$ na $n$ podintervalů, v každém z nich integrand nahradí **konstantou** (hodnotou v levém, pravém nebo středním bodě).\\ +
- +
-  * **Formule**:\\+
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b - a}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)+I_T = \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right].
 $$\\ $$\\
-kde $x_i$ je bod v $i$-tém podintervalu (např. střed = **střední metoda**).\\ 
  
-  * **Řád metody**: pro levé a pravé obdelníky: 1 (chyba je $O(h)$, kde $h = \frac{b-a}{n}$)., pro střední je řád 2 (chyba je $O(h^2)$)+    * **Řád metody:** 2 (přesná pro lineární polynomy). 
 +  - **Simpsonova metoda** 
 +    * **Myšlenka:** Funkce se aproximuje **kvadratickou** parabolou přes dvojice podintervalů.\\
  
-  * **Výhody**: Jednoduchost, malá početní náročnost.\\ +    * **Matematicky (pro sudé $n$):**\\
- +
-  * **Nevýhody**: Malá přesnost, nevhodné pro funkcí s rychlým zrychlením. +
- +
-=== 2. Lichoběžníková metoda (Trapezoidal Rule) === +
- +
-  * **Princip**: Interval rozdělí na $n$ podintervalů, které aproximuje **lichoběžníky** (lineární interpolace).\\ +
- +
-  * **Formule**:\\+
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{2} \left[ f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b) \right], \quad h = \frac{b - a}{n}+I_S = \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4 \sum_{i=1,3,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(b) \right].
 $$\\ $$\\
  
-  * **Řád metody**: 2 (chyba $O(h^2)$).\\ +    * **Řád metody:** 4 (přesná pro kubické polynomy, např. $x^3$). 
- +  - **Gaussova kvadratura** 
-  * **Výhody**: Lépe přesná než obdélníková, stabilní pro hladké funkce.\\ +    * **Myšlenka:** Volí **optimální body a váhy** v intervalu $[-1, 1]$ pro maximální přesnost. Transformuje se na $[a, b]$.\\
- +
-  * **Nevýhody**: Chyba se zvětšuje pro funkce s velkými druhými derivacemi. +
- +
-=== 3. Simpsonova metoda (Simpson’s Rule) === +
- +
-  * **Princip**: Užívá **parabolické interpolace** (kvadratické polynomy) na párových podintervalech.\\+
  
-  * **Formule**:\\+    * **Matematicky:** Pro $n$ bodů:\\
 $$ $$
-\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{(n/2)-1} f(x_{2i}) + f(b) \right]+I_G = \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^n w_i f\left( \frac{b-a}{2} t_i + \frac{a+b}{2} \right),
 $$\\ $$\\
-(vyžaduje sudé $n$).\\+kde $t_i$ jsou kořeny Legendreových polynomů, $w_i$ odpovídající váhy.\\
  
-  * **Řád metody**: 4 (chyba $O(h^4)$).\\ +    * **Řád metody:** $2n-1$ (pro $n$ bodů přesná pro polynomy stupně $\leq 2n-1$).
- +
-  * **Výhody**: Vysoká přesnost pro hladké funkce.\\ +
- +
-  * **Nevýhody**: Závislost na počtu podintervalů, složitější výpočet -> velmi pomalé.+
  
 === 4. Newton-Cotesovy vzorce === === 4. Newton-Cotesovy vzorce ===
Line 491: Line 414:
  
 ==== Problémy a optimalizace ==== ==== Problémy a optimalizace ====
 +  * **Problémy:** Numerické chyby (zaokrouhlovací, metody), singularity, oscilace funkce.\\
  
-=== 1. Odhad chyby a kompozitní metody ===+=== Metoda polovičního kroku a odhad chyby ===
  
-  * **Kompozice**: Rozdělení $[a, b]$ na $n$ podintervalů a aplikace metody na každý.\\ +  * **Princip:** Integrál $I_h$ se spočte s krokem $h$, pak s $h/2$ pro jemnější dělení. Chyba pro metodu řádu $p$ je:\\
- +
-  * **Chyba trapezoidální metody**:\\+
 $$ $$
-E \approx -\frac{(b - a)^3}{12n^2} f''(\xi), \quad \xi \in [a,b]+E_h \approx \frac{I_h - I_{h/2}}{2^p - 1}.
 $$\\ $$\\
  
-  * **Chyba Simpsonovy metody**:\\ +  * **Vylepšení integrálu:**\\
-$$ +
-E \approx -\frac{(b - a)^5}{180n^4} f^{(4)}(\xi)+
 $$ $$
 +I_{\text{lepšené}} = I_{h/2} + \frac{I_{h/2} - I_h}{2^p - 1}.
 +$$\\
  
-=== 2. Richardsonova extrapolace ===+  * **Souvislost s Richardsonovou extrapolací:** Tento postup je jejím speciálním případem. Kombinací výsledků pro různé $h$ eliminuje vedoucí člen chyby 
  
-Sloučení dvou odhadů s různými kroky $h$ a $h/2$ pro odstranění vedení v chybě.\\ +=== Řád metody === 
-- **Příklad**: U trapezoidální metody:\\ + 
-$$ +  * **Význam:** Udává, do jakého stupně polynomu metoda počítá integrál přesně. Např. metoda řádu 2 přesně integruje polynomy stupně $\leq 1$ (tj. $x^{1}$ a nižší).\\ 
-  I(h/2) = I(h) + \frac{E(h)}{4} \Rightarrow \text{vyšší řád} O(h^4) + 
-  $$+  * **Chyba metody:** Pro krok $h$ a řád $p$ je globální chyba $O(h^p)$.
  
-=== 3. Adaptivní kvadratura ===+ 
 +==== Řád chyby ==== 
 + 
 +  * **Definice:** Řád chyby $p$ znamená, že chyba metody klesá jako $h^p$ při zmenšování kroku $h$. 
 +  * **Příklad:** Pro metodu s řádem 2, zmenšení kroku $h$ na polovinu sníží chybu 4krát, protože $E \propto h^2$. 
 + 
 +=== Adaptivní kvadratura ===
  
 Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami). Metody jako **Gauss-Kronrod** automaticky rozdělují intervaly podle lokálního chybového odhadu (lepší efektivita pro funkcí s různými charakteristikami).
Line 540: Line 468:
 ==== Kritéria volby metody ==== ==== Kritéria volby metody ====
  
-  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova).\\ +  - **Hladkost funkce**: Pro funkce s velkými derivacemi preferovat metody s vysokým řádem (např. Simpsonova). 
- +  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.
-  - **Interval délky**: Pro velké intervaly nebo singulární body použít adaptivní metody nebo substituci.\\ +
   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.   - **Výpočetní náročnost**: Obdélníková je nejrychlejší, ale malá přesnost.
  

Trace: • b4b33alg

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b01num (generated for current page)