Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b01dma [2025/05/30 23:55] – [Charakteristická rovnice] zapleka3statnice:bakalar:b4b01dma [2025/05/31 10:26] (current) – [Příklad 2 – násobný kořen] mistrjirka
Line 440: Line 440:
 H_n = 2 \cdot H_{n-1} + 1 H_n = 2 \cdot H_{n-1} + 1
 \quad\text{tedy}\quad \quad\text{tedy}\quad
-H_n - 2 +H_n - 2H_{n-1} - 1 = 0
 $$ $$
  
Line 477: Line 477:
  
 Pokud je $b_n = 0$ pro všechna $n$, rovnice se nazývá **homogenní** a můžeme k ní přiřadit **charakteristický polynom**: Pokud je $b_n = 0$ pro všechna $n$, rovnice se nazývá **homogenní** a můžeme k ní přiřadit **charakteristický polynom**:
- 
 $$ $$
 p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0 p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0
Line 484: Line 483:
 Řešením rovnice $p(\lambda) = 0$ (tzv. **charakteristická rovnice**) jsou tzv. **charakteristická čísla** (nebo také **kořeny** či „vlastní čísla“). Řešením rovnice $p(\lambda) = 0$ (tzv. **charakteristická rovnice**) jsou tzv. **charakteristická čísla** (nebo také **kořeny** či „vlastní čísla“).
  
-  * Tato čísla určují **základní tvary řešení** – např. $a_n = \lambda^n$ je řešením, pokud $\lambda$ je kořen. +  * Každé charakteristické číslo $\lambda$ generuje **jednu základní posloupnost** $a_n=\lambda^n$. Mluvíme-li o „vektorovém prostoru“, nemyslíme tím čísla $\lambda$, ale **množinu všech posloupností** vzniklých lineárními kombinacemi těchto základních posloupností. 
-  * Pokud má polynom více různých kořenů, tvoří vektorový prostor řešení lineární kombinace členů $\lambda^n$. +  * Pokud má polynom $p$ více různých kořenů $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, tvoří **bázi** prostoru řešení posloupnosti $\lambda_1^n,\dots,\lambda_m^n$. Libovolná lineární kombinace 
-  * Pokud má kořen násobnost > 1, vstupují do báze členy typu $n^r\lambda^n$ (např. $n\lambda^n$, $n^2\lambda^n$ atd.).+$$ 
 +a_n = \alpha_1\lambda_1^n+\dots+\alpha_m\lambda_m^n 
 +$$ 
 +    * je také řešením, takže celý prostor řešení má dimenzi $m$. 
 +  * Má-li některý kořen násobnost $r>1$, přidávají se do báze i členy $n\lambda^n,\,n^2\lambda^n,\dots,n^{r-1}\lambda^n$, aby dimenze prostoru zůstala rovna řádu $k$.
  
 Pomocí těchto tvarů sestavíme obecné řešení homogenní rovnice – každý kořen přispívá jedním nebo více lineárně nezávislými členy. Pomocí těchto tvarů sestavíme obecné řešení homogenní rovnice – každý kořen přispívá jedním nebo více lineárně nezávislými členy.
 +
 +====Příklad 1 – dva různé kořeny====
 +
 +Homogenní rovnice druhého řádu
 +$$
 +a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0
 +$$
 +má charakteristický polynom $p(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2$  
 +a kořeny $\lambda_1=1,\;\lambda_2=2$.
 +
 +  * Základní řešení: $u_n = 1^n = 1$, $v_n = 2^n$.
 +  * Obecné řešení: $$a_n = \alpha\cdot1 + \beta\cdot2^n.$$
 +  * Prostor všech řešení je tedy 2-rozměrný a jeho (jednou z možných) bází je $\{\,1,\,2^n\}$.
 +
 +====Příklad 2 – násobný kořen====
 +
 +Rovnice
 +$$
 +a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0
 +$$
 +má charakteristický polynom $p(\lambda)=(\lambda-1)^2$, kořen $\lambda=1$ s násobností 2.
 +
 +  * Základní řešení: $u_n = 1^n = 1$, $v_n = n\cdot1^n = n$.
 +  * Obecné řešení: $$a_n = \alpha + \beta n.$$
 +  * Znovu dostáváme 2-rozměrný prostor řešení, tentokrát s bází $\{\,1,\,n\}$.
 +
 +
 +
  

Trace:

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b01dma (generated for current page)