The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b4b01dma [2025/05/30 23:55] – [Charakteristická rovnice] zapleka3statnice:bakalar:b4b01dma [2025/05/31 10:26] (current) – [Příklad 2 – násobný kořen] mistrjirka
Line 440: Line 440:
 H_n = 2 \cdot H_{n-1} + 1 H_n = 2 \cdot H_{n-1} + 1
 \quad\text{tedy}\quad \quad\text{tedy}\quad
-H_n - 2 +H_n - 2H_{n-1} - 1 = 0
 $$ $$
  
Line 477: Line 477:
  
 Pokud je $b_n = 0$ pro všechna $n$, rovnice se nazývá **homogenní** a můžeme k ní přiřadit **charakteristický polynom**: Pokud je $b_n = 0$ pro všechna $n$, rovnice se nazývá **homogenní** a můžeme k ní přiřadit **charakteristický polynom**:
- 
 $$ $$
 p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0 p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0
Line 484: Line 483:
 Řešením rovnice $p(\lambda) = 0$ (tzv. **charakteristická rovnice**) jsou tzv. **charakteristická čísla** (nebo také **kořeny** či „vlastní čísla“). Řešením rovnice $p(\lambda) = 0$ (tzv. **charakteristická rovnice**) jsou tzv. **charakteristická čísla** (nebo také **kořeny** či „vlastní čísla“).
  
-  * Tato čísla určují **základní tvary řešení** – např. $a_n = \lambda^n$ je řešením, pokud $\lambda$ je kořen. +  * Každé charakteristické číslo $\lambda$ generuje **jednu základní posloupnost** $a_n=\lambda^n$. Mluvíme-li o „vektorovém prostoru“, nemyslíme tím čísla $\lambda$, ale **množinu všech posloupností** vzniklých lineárními kombinacemi těchto základních posloupností. 
-  * Pokud má polynom více různých kořenů, tvoří vektorový prostor řešení lineární kombinace členů $\lambda^n$. +  * Pokud má polynom $p$ více různých kořenů $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, tvoří **bázi** prostoru řešení posloupnosti $\lambda_1^n,\dots,\lambda_m^n$. Libovolná lineární kombinace 
-  * Pokud má kořen násobnost > 1, vstupují do báze členy typu $n^r\lambda^n$ (např. $n\lambda^n$, $n^2\lambda^n$ atd.).+$$ 
 +a_n = \alpha_1\lambda_1^n+\dots+\alpha_m\lambda_m^n 
 +$$ 
 +    * je také řešením, takže celý prostor řešení má dimenzi $m$. 
 +  * Má-li některý kořen násobnost $r>1$, přidávají se do báze i členy $n\lambda^n,\,n^2\lambda^n,\dots,n^{r-1}\lambda^n$, aby dimenze prostoru zůstala rovna řádu $k$.
  
 Pomocí těchto tvarů sestavíme obecné řešení homogenní rovnice – každý kořen přispívá jedním nebo více lineárně nezávislými členy. Pomocí těchto tvarů sestavíme obecné řešení homogenní rovnice – každý kořen přispívá jedním nebo více lineárně nezávislými členy.
 +
 +====Příklad 1 – dva různé kořeny====
 +
 +Homogenní rovnice druhého řádu
 +$$
 +a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0
 +$$
 +má charakteristický polynom $p(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2$  
 +a kořeny $\lambda_1=1,\;\lambda_2=2$.
 +
 +  * Základní řešení: $u_n = 1^n = 1$, $v_n = 2^n$.
 +  * Obecné řešení: $$a_n = \alpha\cdot1 + \beta\cdot2^n.$$
 +  * Prostor všech řešení je tedy 2-rozměrný a jeho (jednou z možných) bází je $\{\,1,\,2^n\}$.
 +
 +====Příklad 2 – násobný kořen====
 +
 +Rovnice
 +$$
 +a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0
 +$$
 +má charakteristický polynom $p(\lambda)=(\lambda-1)^2$, kořen $\lambda=1$ s násobností 2.
 +
 +  * Základní řešení: $u_n = 1^n = 1$, $v_n = n\cdot1^n = n$.
 +  * Obecné řešení: $$a_n = \alpha + \beta n.$$
 +  * Znovu dostáváme 2-rozměrný prostor řešení, tentokrát s bází $\{\,1,\,n\}$.
 +
 +
 +
  

Trace: • b0b36dbs

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b4b01dma (generated for current page)