The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- statnice:bakalar:b4b01dma [2025/05/30 23:24] – [3. Bezoutova identita] zapleka3
+++ statnice:bakalar:b4b01dma [2025/05/31 10:26] (current) – [Příklad 2 – násobný kořen] mistrjirka
@@ Line 212: / Line 212: @@
 Ve své základní verzi slouží k hledání GCD (Největšího společného dělitele).
-Hledáme částečné zbytky po dělení, kdy postupně zmenšujeme čísla. Prakticky vždy spočteme zbytek po dělení nalezením největšího násobku dalšího čísla, který od původního odečteme. Jakmile nalezneme 0 algoritmus končí a číslo nad je $\text{gcd}$.
+Postupně počítáme zbytky po dělení, přičemž v každém kroku dělíme předchozí dvě čísla. Vždy odečteme co největší násobek menšího čísla od většího, čímž získáme nové, menší číslo. Algoritmus končí ve chvíli, kdy je zbytek nulový – tehdy je poslední nenulové číslo právě $\gcd(a,b)$.
 Níže je uveden příklad pro čísla $408$ a $108$:
@@ Line 237: / Line 237: @@
 \end{document}
   </tikzjax>
+Díky postupnému zmenšování čísel má algoritmus logaritmickou časovou složitost, což z něj dělá velmi efektivní metodu i pro velká čísla.
 ==== Rozšířený Euklidův algoritmus ====
@@ Line 245: / Line 247: @@
 Každý řádek se skládá z $r_i$ | $x_i$ | $y_i$, kde $r_i = x_i\cdot a + y_i\cdot b$. Pro výpočet řádku $i+1$ hledáme $a = \textbf{floor}(r_{i-1} / r_i)$ poté nový řádek je $r_{i+1}$ | $x_i\cdot (-a) + x_{i-1}$ | $y_i\cdot (-a) + y_{i-1}$
+Každý řádek obsahuje tři hodnoty $r_i \;|\; x_i \;|\; y_i$, kde:
+  * $r_i$ je aktuální zbytek,
+  * $x_i$ a $y_i$ jsou koeficienty, které splňují: $r_i = x_i \cdot a + y_i \cdot b$
 <tikzjax>
@@ Line 302: / Line 308: @@
 </tikzjax>
-===== 5. Binární relace =====
+Rozšířený Euklidův algoritmus vždy vrací koeficienty $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$, které splňují Bezoutovu identitu pro zadaná $a,b$.
-definice a její ilustrace na jednoduchých příkladech. Čtyři základní vlastnosti (reflexivita, symetrie, antisymetrie, tranzitivita): jaký mají význam, umět ilustrovat na grafu relace, popřípadě (alespoň intuitivně) rozpoznat u nějaké relace ze života.
-  - $\mathcal{R}$ je reflexivní, když $\forall a \in A$ platí $ a\mathcal{R}a$
+===== 5. Binární relace =====
-  - $\mathcal{R}$ je symetrická, když $\forall a, b \in A$ platí $ a\mathcal{R}b \implies b\mathcal{R}a$
+– definice a ilustrace na jednoduchých příkladech. Čtyři základní vlastnosti (reflexivita, symetrie, antisymetrie, tranzitivita): jaký mají význam, umět ilustrovat na grafu relace, popřípadě (alespoň intuitivně) rozpoznat u nějaké relace ze života.
-  - $\mathcal{R}$ je antisymetrická, když $\forall a, b \in A$ platí $ (a\mathcal{R}b \land b\mathcal{R}a) \implies a=b$
-  - $\mathcal{R}$ je tranzitivní, když $\forall a, b, c \in A$ platí $ (a\mathcal{R}b \land b\mathcal{R}c) \implies a\mathcal{R}c$
+==== Definice ====
+Nechť $A, B$ jsou množiny. **Binární relace** $R$ z $A$ do $B$ je libovolná podmnožina kartézského součinu:
+$$
+R \subseteq A \times B
+$$
+Jestliže $(a, b) \in R$, zapisujeme $a \mathcal{R} b$ a říkáme, že **prvek $a$ je v relaci s $b$** vzhledem k relaci $\mathcal{R}$.
+Pokud $(a, b) \notin R$, pak $a$ **není v relaci** s $b$.
+Pokud je relace na jedné množině ($A = B$), říkáme, že je **na množině $A$**.
+==== Čtyři základní vlastnosti ====
+Relace $\mathcal{R}$ na množině $A$ může mít tyto čtyři základní vlastnosti:
+  * $\mathcal{R}$ je reflexivní, když $\forall a \in A$ platí $ a\mathcal{R}a$. Každý prvek je v relaci sám se sebou. Např. relace „má stejnou hodnotu jako“.
+  * $\mathcal{R}$ je symetrická, když $\forall a, b \in A$ platí $ a\mathcal{R}b \implies b\mathcal{R}a$. Pokud $a$ souvisí s $b$, pak i $b$ souvisí s $a$. Např. „je sourozenec“ nebo „je stejně vysoký jako“.
+  * $\mathcal{R}$ je antisymetrická, když $\forall a, b \in A$ platí $ (a\mathcal{R}b \land b\mathcal{R}a) \implies a=b$. Pokud $a$ souvisí s $b$ a zároveň $b$ s $a$, pak musí jít o stejný prvek. Např. relace „je menší nebo rovno“.
+  * $\mathcal{R}$ je tranzitivní, když $\forall a, b, c \in A$ platí $ (a\mathcal{R}b \land b\mathcal{R}c) \implies a\mathcal{R}c$. Pokud $a$ souvisí s $b$ a $b$ s $c$, pak $a$ souvisí s $c$. Např. „je předchůdce“ nebo „má stejné příjmení jako“.
+==== Ekvivalence ====
+Relace $\mathcal{R}$ na množině $A$ je **ekvivalence**, pokud splňuje: reflexivitu, symetrii, tranzitivitu.
+Taková relace přirozeně rozdělí množinu $A$ na **třídy ekvivalence** – tedy podmnožiny, kde jsou prvky navzájem v relaci.
+**Definice třídy ekvivalence**:
+Pro $a \in A$ definujeme:
+$$
+[a]_{\mathcal{R}} = \{ b \in A \mid a \mathcal{R} b \}
+$$
+Každý prvek $a$ náleží právě jedné třídě, množina všech tříd tvoří rozklad $A$.
+==== Částečné uspořádání ====
+Relace $\mathcal{R}$ na množině $A$ je **částečné uspořádání**, pokud splňuje: reflexivitu, antisymetrii, tranzitivitu.
+Takovou relaci značíme často symbolem $\preceq$ nebo $\leq$ (např. „dělitelnost“). Dvojice $(A, \mathcal{R})$ se pak nazývá **částečně uspořádaná množina**.
+==== Hasseův diagram ====
+**Hasseův diagram** je grafické znázornění částečně uspořádané množiny.
+  * Vrcholy představují prvky množiny $A$.
+  * Hrana mezi $a$ a $b$ značí relaci $a \mathcal{R} b$, kde $a < b$ a neexistuje $c$, pro které by $a < c < b$.
+  * Prvek $a$ je v diagramu **níž** než $b$, pokud $a \mathcal{R} b$.
+**Další pojmy v uspořádání**:
+  * **Největší prvek** – prvek, ke kterému vede cesta z každého jiného prvku (nemusí existovat).
+  * **Maximum** – prvek, nad kterým už není žádný jiný.
+  * **Nejmenší prvek** – prvek, ze kterého vede cesta ke všem ostatním (nemusí existovat).
+  * **Minimum** – prvek, pod kterým už není žádný jiný.
+**Linearizace částečného uspořádání**:
+Z Hasseova diagramu vytvoříme posloupnost prvků (např. zleva doprava, po úrovních), která zachovává uspořádání.
 ===== 6. Indukce =====
@@ Line 314: / Line 377: @@
 ==== Slabý princip matematické indukce ====
-Nechť $n_0 \in \mathbb{Z}$, nechť $V(n)$ je vlastnost celých čísel, která má smysl pro $n \geq n_0$.
+Nechť $n_0 \in \mathbb{Z}$, ať $V(n)$ je výrok (vlastnost) pro celá čísla $n \geq n_0$.
 Předpokládejme, že platí:
-  * $V(n_0)$,
+  * $V(n_0)$
-  * $\forall n \geq n_0:\; V(n)\Rightarrow V(n+1)$.
+  * $\forall n \geq n_0: \; V(n) \Rightarrow V(n+1)$
-Potom $V(n)$ platí pro všechna $n \geq n_0$.
+Pak $V(n)$ platí pro všechna $n \geq n_0$.
+==== Příklad (slabá indukce) ====
+Dokážeme, že $2^n \ge n+1$ pro každé $n \in \mathbb{N}_0$.
-==== Příklad (slabá indukce) ====
+  * **Základ:** $n = 0$: $2^0 = 1 \ge 1$
-Dokážeme, že $\;2^n \ge n+1\;$ pro každé $n\in\mathbb{N}_0$.
+  * **Indukční krok:** Předpokládáme $2^n \ge n+1$. Pak:
-  * **Základ:** $n=0$: $2^0=1\ge1$.
+    $$
-  * **Indukční krok:** Předpokládejme $2^n\ge n+1$. Pak
+^{n+1} = 2 \cdot 2^n \ge 2(n+1) \ge (n+1)+1
-    $2^{n+1}=2\cdot2^n \ge 2(n+1)\ge(n+1)+1$, protože $n+1\ge1$.
+    $$
+protože $n+1 \ge 1$
 ==== Silný princip matematické indukce ====
-**Krátké vysvětlení:**
+**Vysvětlení:**
-U silné indukce při kroku $n+1$ můžeme předpokládat, že tvrzení platí **pro všechna** menší čísla $n_0, n_0\!+\!1,\dots,n$.
+Na rozdíl od slabé indukce zde při kroku $n+1$ předpokládáme, že tvrzení platí **pro všechna** menší čísla $n_0, n_0\!+\!1,\dots,n$.
 Je to, jako bys stavěl schody a u každého nového stupínku směl využít celou „platformu“ před sebou, nejen poslední schod.
@@ Line 339: / Line 408: @@
 ==== Příklad (silná indukce) ====
-Každé celé číslo $n\ge2$ lze rozepsat jako součin prvočísel.
+Dokážeme, že každé celé číslo $n \ge 2$ lze zapsat jako součin prvočísel.
+  * **Základ:** $n = 2$ je prvočíslo, tedy rozklad existuje.
+  * **Indukční krok:** Předpokládáme, že tvrzení platí pro všechna $k$ s $2 \le k \le n$.
+  * Uvažujme $n+1$:
+    - Pokud je $n+1$ prvočíslo, rozklad je hotový.
+    - Pokud je složené, existují $a, b$ taková, že $n+1 = a \cdot b$ a $2 \le a,b \le n$.
+    - Podle indukčního předpokladu lze $a$ i $b$ rozložit na součin prvočísel.
+    - Součinem těchto rozkladů získáme rozklad i pro $n+1$.
 **Krátký slovní popis:**
@@ Line 346: / Line 423: @@
 Je-li $n+1$ složené, rozdělíme ho na dva menší činitele $a,b$ (to lze díky tomu že víme, že čísla která nejsou prvočíslo jsou dělitelná ne jen sama sebou a 1) a pro oba už známe rozklad (protože čísla jsou menší než $n$ a pro ty už jsme si to dokázali) → jejich součinem dostaneme
 rozklad i pro $n+1$.
-  - **Základ:** $n=2$ je prvočíslo.
-  - **Indukční krok:** Předpokládej základní tvrzení pro všechna $k$ s $2\le k\le n$.
-  - Pro $n+1$:
-    - je-li $n+1$ prvočíslo, rozklad je hotov;
-    - jinak existují $a,b$ taková, že $n+1=ab$ a $2\le a,b\le n$. Podle indukčního předpokladu lze $a$ i $b$ rozložit na součin prvočísel, a tedy i $n+1$.
 ===== 7. Rekurentní rovnice =====
  – základní vlastnosti homogenních lineárních rekurentních rovnic (jejich množina řešení tvoří vektorový prostor dimenze rovné řádu rovnice, takže řešení lze generovat pomocí vhodné báze), jak najít vhodnou bázi (pomocí kořenů charakteristického polynomu).
-**Definice:** Rekurentní vztah či rekurzivní vztah pro posloupnost ${a_k}$ je libovolná rovnice typu
+**Definice:**
-$F(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_0) = 0$, kde $F$ je nějaká funkce. Např. podstata problému Hanojských věží se dá vyjádřit vztahem
-$H_n - 2 \cdot H_{n-1} - 1 = 0$.
+Rekurentní (nebo také rekurzivní) vztah pro posloupnost $\{a_k\}$ je libovolná rovnice typu:
+$$
+F(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_0) = 0
+$$
+kde $F$ je nějaká funkce.
+Například problém Hanojských věží lze vyjádřit vztahem:
+$$
+H_n = 2 \cdot H_{n-1} + 1
+\quad\text{tedy}\quad
+H_n - 2H_{n-1} - 1 = 0
+$$
 ====Lineární rekurentní rovnice====
-popřípadě **lineární rekurzivní rovnice** řádu $k \in \mathbb{N}_0$ je libovolná rovnice ve tvaru
-$a_{n+k} + c_{k-1}(n)a_{n+k-1} + \dots + c_2(n)a_{n+2} + c_1(n)a_{n+1} + c_0(n)a_n = b_n$ pro všechna $n \geq n_0$,
+Lineární rekurentní rovnice (nebo také lineární rekurzivní rovnice) **řádu $k$** je rovnice tvaru:
+$$
+a_{n+k} + c_{k-1}(n)a_{n+k-1} + \dots + c_1(n)a_{n+1} + c_0(n)a_n = b_n
+\quad \text{pro všechna } n \geq n_0
+$$
-kde $n_0 \in \mathbb{Z}$, $c_i(n)$ pro $i = {0, \dots, k-1}$ (tzv. koeficienty rovnice) jsou nějaké funkce $\mathbb{Z} \mapsto \mathbb{R}$, přičemž $c_0(n)$ není identicky nulová funkce, a ${b_n}_{n\geq n_0}$ (tzv. pravá strana rovnice) je pevně zvolená posloupnost reálných čísel.
+  * $k$ je řád rovnice – největší indexový posun v levé straně.
-Jestliže $b_n = 0$ pro všechna $n \geq n_0$, pak se příslušná rovnice nazývá homogenní.
+  * Koeficienty $c_i(n)$ jsou funkce $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ (mohou být konstantní nebo závislé na $n$).
+  * $b_n$ je tzv. pravá strana rovnice (např. nulová, nebo jiná posloupnost).
-  * Základní vlastnosti – jejich množina řešení tvoří vektorový prostor dimenze rovné řádu rovnice, takže řešení lze generovat pomocí vhodné báze.
+Rovnice se nazývá **homogenní**, pokud platí $b_n = 0$ pro všechna $n \geq n_0$.
-  * Jak najít vhodnou bázi – pomocí kořenů charakteristického polynomu.
+  * Množina všech řešení homogenní rovnice tvoří **vektorový prostor** dimenze $k$.
+  * Řešení lze vyjádřit pomocí **báze** tohoto prostoru, kterou určujeme z kořenů tzv. charakteristického polynomu.
 ====Řešení====
-Nechť je dána **lineární rekurentní rovnice**
+Nechť je dána lineární rekurentní rovnice:
+$$
+a_{n+k} + c_{k-1}(n)a_{n+k-1} + \dots + c_1(n)a_{n+1} + c_0(n)a_n = b_n
+$$
-$a_{n+k} + c_{k-1}(n)a_{n+k-1} + \dots + c_1(n)a_{n+1} + c_0(n)a_n = b_n$ pro všechna $n \geq n_0$.
+**Řešením** rozumíme posloupnost $\{a_n\}_{n=n_0}^\infty$, která po dosazení splňuje rovnici pro všechna $n \geq n_0$.
-Jako její řešení označíme libovolnou posloupnost $\{a_n\}_{n=n_0}^{\infty}$ takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna $n$ pravdivý výrok.
 ====Charakteristická rovnice====
 **Definice:**
-Nechť je dána lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficienty
+$$
+a_{n+k} + c_{k-1}a_{n+k-1} + \dots + c_0a_n = b_n
+$$
+Pokud je $b_n = 0$ pro všechna $n$, rovnice se nazývá **homogenní** a můžeme k ní přiřadit **charakteristický polynom**:
+$$
+p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0
+$$
+Řešením rovnice $p(\lambda) = 0$ (tzv. **charakteristická rovnice**) jsou tzv. **charakteristická čísla** (nebo také **kořeny** či „vlastní čísla“).
+  * Každé charakteristické číslo $\lambda$ generuje **jednu základní posloupnost** $a_n=\lambda^n$. Mluvíme-li o „vektorovém prostoru“, nemyslíme tím čísla $\lambda$, ale **množinu všech posloupností** vzniklých lineárními kombinacemi těchto základních posloupností.
+  * Pokud má polynom $p$ více různých kořenů $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, tvoří **bázi** prostoru řešení posloupnosti $\lambda_1^n,\dots,\lambda_m^n$. Libovolná lineární kombinace
+$$
+a_n = \alpha_1\lambda_1^n+\dots+\alpha_m\lambda_m^n
+$$
+    * je také řešením, takže celý prostor řešení má dimenzi $m$.
+  * Má-li některý kořen násobnost $r>1$, přidávají se do báze i členy $n\lambda^n,\,n^2\lambda^n,\dots,n^{r-1}\lambda^n$, aby dimenze prostoru zůstala rovna řádu $k$.
+Pomocí těchto tvarů sestavíme obecné řešení homogenní rovnice – každý kořen přispívá jedním nebo více lineárně nezávislými členy.
+====Příklad 1 – dva různé kořeny====
+Homogenní rovnice druhého řádu
+$$
+a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0
+$$
+má charakteristický polynom $p(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2$
+a kořeny $\lambda_1=1,\;\lambda_2=2$.
+  * Základní řešení: $u_n = 1^n = 1$, $v_n = 2^n$.
+  * Obecné řešení: $$a_n = \alpha\cdot1 + \beta\cdot2^n.$$
+  * Prostor všech řešení je tedy 2-rozměrný a jeho (jednou z možných) bází je $\{\,1,\,2^n\}$.
+====Příklad 2 – násobný kořen====
+Rovnice
+$$
+a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0
+$$
+má charakteristický polynom $p(\lambda)=(\lambda-1)^2$, kořen $\lambda=1$ s násobností 2.
-$a_{n+k} + c_{k-1}a_{n+k-1} + \dots + c_1a_{n+1} + c_0a_n = b_n$ pro všechna $n \geq n_0$.
+  * Základní řešení: $u_n = 1^n = 1$, $v_n = n\cdot1^n = n$.
+  * Obecné řešení: $$a_n = \alpha + \beta n.$$
+  * Znovu dostáváme 2-rozměrný prostor řešení, tentokrát s bází $\{\,1,\,n\}$.
-Její charakteristický polynom (characteristic polynomial) je definován jako polynom
-$p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0$.
-Kořeny charakteristického polynomu se nazývají charakteristická čísla, popřípadě vlastní čísla dané rovnice (characteristic numbers/roots or eigenvalues).
-K získání charakteristických čísel potřebujeme vyřešit rovnici
-$p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0 = 0$, které se také říká charakteristická rovnice.

Trace:

Differences

Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code