The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- statnice:bakalar:b4b01dma [2025/05/28 13:13] – [3. Bezoutova identita] mistrjirka
+++ statnice:bakalar:b4b01dma [2025/05/31 10:26] (current) – [Příklad 2 – násobný kořen] mistrjirka
@@ Line 15: / Line 15: @@
 ==== Definice, základní vlastnosti (tranzitivita a podobně), gcd(a,b). ====
-Nechť $a,b\in \mathbb{Z}$. Řekneme, že $a$ dělí $b$, značeno $a|b$, jestliže existuje $k \in \mathbb{Z}$ takové, že $b = k \cdot a$. V takovém případě říkáme $a$ je faktor $b$ a že $b$ je násobek $a$.
+Nechť $a,b\in \mathbb{Z}$. Řekneme, že $a$ dělí $b$, značeno $a \mid b$, jestliže existuje $k \in \mathbb{Z}$ takové, že $b = k \cdot a$. V takovém případě říkáme, že **$a$ je dělitel (faktor) čísla $b$** a že **$b$ je násobek čísla $a$**. Pokud toto není pravda, značíme $a \nmid b$.
-**Vlastnosti této relace:**
+Tato relace je:
-  - reflexivní: ano
+  * **reflexivní** – každé číslo dělí samo sebe, $a \mid a$.
-  - symetrická: ne
+  * **tranzitivní** – pokud $a \mid b$ a $b \mid c$, pak $a \mid c$.
-  - antisymetrická: ano
+  * **antisymetrická** – pokud $a \mid b$ a $b \mid a$, pak $|a| = |b|$.
-  - tranzitivní: ano
+  * **nesymetrická** – obecně neplatí, že $a \mid b \Rightarrow b \mid a$.
-==== GCD ====
+Množina $\mathbb{Z}$ je uzavřená na operace sčítání, odčítání i násobení.
-$\text{gcd}(a,b)$ znamená "Greatest Common Denominator" (největší společný dělitel). Lze se k tomu dostat přes prvočíslený rozklad  nebo Euklidův algoritmus.
+==== Společný dělitel a GCD ====
-$n = \text{gcd}(a,b)$ pokud platí $n|a$ a $n|b$ a $n$ je největší číslo s touto vlastností.
+Číslo $d \in \mathbb{N}$ je **společný dělitel** (common divisor) čísel $a$, $b$, pokud $d \mid a$ a $d \mid b$.
+Největší společný dělitel (greatest common divisor) čísel $a$ a $b$ označujeme $\text{gcd}(a,b)$ a definujeme jako největší číslo, které dělí obě čísla:
+$$
+n = \text{gcd}(a,b) \iff n \mid a \land n \mid b \land \forall d \in \mathbb{Z}: (d \mid a \land d \mid b \Rightarrow d \leq n)
+$$
+Platí:
+  * $\text{gcd}(0, 0) = 0$
+  * $\text{gcd}(a, 0) = |a|$
+  * $\text{gcd}(a, b) = \text{gcd}(|a|, |b|)$ – používáme nezáporné hodnoty
+==== Poznámky ====
+  * Dvě čísla $a$, $b$ jsou **nesoudělná**, pokud $\text{gcd}(a,b) = 1$.
+  * Existuje také pojem **společný násobek**: $m$ je společný násobek čísel $a$, $b$, pokud $a \mid m$ a $b \mid m$.
+  * Nejmenší takové $m$ je **nejmenší společný násobek** (lcm), značíme $\text{lcm}(a,b)$.
+  * Platí:
+    $$
+    \text{lcm}(a, b) \cdot \text{gcd}(a, b) = |a| \cdot |b|
+    $$
+  * pokud $a, b \neq 0$.
+  * Pro libovolné $a$: $\text{lcm}(a, 0) = 0$
+  * Lze se k tomu dostat přes prvočíslený rozklad  nebo Euklidův algoritmus.
 ===== 2. Celá čísla modulo n =====
 – co je kongruence, jak se tam počítá, co je inverzní číslo a kdy existuje.
-**Modulo**: Zbytek po dělení
+==== Modulo ====
-**Kongurence**:
+**Modulo** znamená „zbytek po dělení“. Zapisujeme jako $a \bmod n$ a označuje zbytek po celočíselném dělení $a$ číslem $n$.
-Čísla $a,b\in \mathbb{Z}$ jsou **kongurentní modulo** $n$ pokud mají stejný zbytek po dělení $n\in \mathbb{Z}$ neboli $n|(b-a)$
+Příklad: $17 \bmod 5 = 2$, protože $17 = 3 \cdot 5 + 2$.
-Značíme:
-$a \equiv b \pmod{n}$.
-**Výpočet Kongurence $a \equiv b \pmod{n}$**:
+==== Kongruence ====
-Můžeme vypočítat pomocí $a \pmod{n} = b \pmod{n}$
+Čísla $a,b\in \mathbb{Z}$ jsou **kongruentní modulo** $n$, pokud mají stejný zbytek po dělení $n$.
-**Vlastnosti:** Nechť n ∈ N , uvažujme a , b , u , v ∈ Z takové, že a ≡ u mod n a b ≡ v mod n
+Formálně:
-  *  $a + b \equiv u + v \pmod{n} \\[6pt]$
+$$
-  *  $a - b \equiv u - v \pmod{n} \\[6pt]$
+a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b)
-  *  $ab \equiv uv \pmod{n}$
+$$
-(bonus - značeni)
+což znamená, že existuje $k \in \mathbb{Z}$ takové, že $a = b + kn$.
-$a \oplus b = (a + b) \mod n $
+Ekvivalentně také platí:
+$$
+a \bmod n = b \bmod n
+$$
-$a \odot b = (a \cdot b) \mod n$
+Kongruence vytváří **ekvivalenční relaci** na množině $\mathbb{Z}$ a rozděluje ji do tříd zbytků.
+Každé číslo $a$ patří do třídy zbytků $[a]_n$, která obsahuje všechna čísla kongruentní s $a$ modulo $n$.
-**Inverzní číslo**
+==== Počítání v $\mathbb{Z}_n$ ====
-Nechť $a \in \mathbb{Z}$. Řekneme, že $x\in \mathbb{Z}$ je **inverzní číslo** k $a$ modulo $n$, jesliže $a\cdot x \equiv 1$
+Nechť $n \in \mathbb{N}$, a platí $a \equiv u \pmod{n}$ a $b \equiv v \pmod{n}$, pak:
-Pro $a$ existuje inverzní číslo modulo $n$ právě tehdy, když $\text{gcd}(a,n) = 1$ a pokud existuje tak je jediný.
+  * $a + b \equiv u + v \pmod{n}$
+  * $a - b \equiv u - v \pmod{n}$
+  * $ab \equiv uv \pmod{n}$
+Tyto operace v modulo aritmetice definují strukturu **komutativního okruhu** $\mathbb{Z}_n$ (množina všech zbytkových tříd modulo $n$).
-===== 3. Bezoutova identita =====
+Alternativní zápis (například v kryptografii nebo při implementaci):
-– Která gcd poskytne jako lineární kombinaci čísel a,b. K čemu se dá použít: hledání inverzního čísla ve světě modulo, řešení diofantických rovnic.
+  * $a \oplus b = (a + b) \bmod n$
+  * $a \odot b = (a \cdot b) \bmod n$
+==== Inverzní číslo ====
-Bezoutova identita je lineární diofantická rovnice. Říká že v $gcd(a,b); a,b\in \mathbb{N}$ lze zapsat jako lineární kombinaci těchto dvou čísel, jejíž koeficienty jsou celá čísla ($\alpha,\beta \in \mathbb{Z}$).
+Nechť $a \in \mathbb{Z}$ a $n \in \mathbb{N}$. Číslo $x \in \mathbb{Z}$ je **inverzní k $a$ modulo $n$**, pokud:
+$$
+a \cdot x \equiv 1 \pmod{n}
+$$
-Neboli:
+Takové $x$ převádí $a$ na jedničku v $\mathbb{Z}_n$, čímž umožňuje dělení (násobení inverzní hodnotou).
-$$gcd(a,b) = \alpha a + \beta b; a,b\in \mathbb{N}; \alpha,\beta \in \mathbb{Z}$$
+**Podmínka existence**: Inverzní číslo existuje právě tehdy, když $\text{gcd}(a,n) = 1$, tj. $a$ a $n$ jsou nesoudělná čísla. Pokud existuje, je v $\mathbb{Z}_n$ jednoznačné.
-Například:
+**Výpočet**:
+  * Pomocí **rozšířeného Eukleidova algoritmu** – najdeme $x, y \in \mathbb{Z}$ tak, že $a \cdot x + n \cdot y = 1$, potom $x \bmod n$ je hledané inverzní číslo.
+  * Inverzi nelze spočítat, pokud $a$ a $n$ mají společného dělitele většího než 1 (například $2^{-1} \bmod 4$ neexistuje).
-Největší společný dělitel čísel 12 a 42 je 6. Bezoutova identita tedy je:
+==== Prvočísla ====
-$$\alpha \cdot 12 + \beta \cdot 42 = 6$$
+Prvočísla hrají v počítání modulo důležitou roli.
+**Definice**: Přirozené číslo $p > 1$ je **prvočíslo**, pokud jeho jedinými děliteli jsou $1$ a $p$.
+V $\mathbb{Z}_p$ pro prvočíslo $p$ má **každý nenulový prvek inverzi** – $\mathbb{Z}_p$ je tedy pole.
+Čísla, která nejsou prvočísla a mají více než dva různé dělitele, nazýváme **složená čísla**.
+===== 3. Bezoutova identita =====
+– Která gcd poskytne jako lineární kombinaci čísel $a,b$. K čemu se dá použít: hledání inverzního čísla ve světě modulo, řešení diofantických rovnic.
+Bezoutova identita říká, že největší společný dělitel dvou čísel $a, b \in \mathbb{Z}$ lze zapsat jako jejich lineární kombinaci s celočíselnými koeficienty:
+$$
+\gcd(a,b) = \alpha a + \beta b \quad \text{pro nějaká } \alpha, \beta \in \mathbb{Z}
+$$
+Tato identita je základem pro řadu dalších výsledků v teorii čísel, zejména při řešení diofantických rovnic a při hledání inverzního čísla modulo $n$.
+Příklad:
+$$
+\gcd(12, 42) = 6 = (-3) \cdot 12 + 1 \cdot 42
+$$
 Jedno z možných řešení pro $(\alpha,\beta)=(-3,1)$.
-**Hledání inverzního čísla (algoritmus)**
-Hledáme inverzní prvek $a\in\mathbb{Z}_n$ ($\mathbb{Z}_n$ znamená v celých číslech modulo $n$).
+==== Hledání inverzního čísla ====
-  - Najdeme $gcd(a,n) = A\cdot a + B\cdot n$ (v podstatě ve formátu Bezoutovy identity, toto lze nalézt např. pomocí rozšířeného Euklidova algoritmu)
-  - Jestliže $gcd(a,n)>1$, pak inverzní prvek k $a$ v $\mathbb{Z}_n$ neexistuje.
-  - Jestliže $gcd(a,n) = 1$, pak bezoutova identita dává $1 = a \cdot A + B \cdot n$. To znamená, že $a \cdot A \equiv 1 \pmod{n}$ a $A$ je inverzní číslo k $a \mod n$.
+Chceme nalézt inverzní prvek $a^{-1} \in \mathbb{Z}_n$, tedy takové $x$, že $a \cdot x \equiv 1 \pmod{n}$.
-**Definice diofantické rovnice:**
+Postup:
+  * Použijeme rozšířený Eukleidův algoritmus na $a$ a $n$.
+  * Výsledkem bude rovnost $1 = A \cdot a + B \cdot n$.
+  * Z toho plyne $a \cdot A \equiv 1 \pmod{n}$, tedy $A$ je inverzní prvek k $a$ modulo $n$.
+  * Inverzní číslo existuje právě tehdy, když $\gcd(a,n) = 1$.
+Neboli:
+  * Najdeme $\gcd(a, n)$ ve tvaru $1 = A \cdot a + B \cdot n$ (rozšířený Eukleidův algoritmus).
+  * Pokud $\gcd(a,n) > 1$, inverzní prvek **neexistuje**.
+  * Pokud $\gcd(a,n) = 1$, pak $A$ je právě inverzní prvek $a^{-1} \mod n$, protože:
+==== Diofantické rovnice ====
 Pojem **lineární diofantická rovnice** označujme libovolnou rovnici typu $ax + by = c$ s neznámými $x,y\in \mathbb{Z}$, kde $a,b,c \in \mathbb{Z}$ jsou konstanty.
+**Definice**: Diofantická rovnice je rovnice, jejímž cílem je najít **celočíselná** řešení. Např.:
+$$
+ax + by = c
+$$
+Řešení existuje tehdy a jen tehdy, když $c$ je dělitelná $\gcd(a,b)$. Bezoutova identita pak dává způsob, jak jedno řešení najít.
 **Řešení diofantických rovnic:**
@@ Line 102: / Line 177: @@
 Uvažujme rovnici $ax+by=0$ pro $a,b \in \mathbb{Z}$. Množina všech jejích celočíslených řešení je $$\left\{ \left(k \frac{b}{\gcd(a, b)}, - k \frac{a}{\gcd(a, b)}\right) : k \in \mathbb{Z} \right\} $$
-**Algoritmus řešení diofantických rovnic**:
+==== Algoritmus řešení diofantických rovnic ====
 **Algoritmus** pro nalezení všech celočíselných řešení rovnice $ax+by=c$.
@@ Line 112: / Line 188: @@
     - Sečtením partikulárního a obecného homogenního řešení získáme množinu všech celočíselných řešení $$x = x_p + kb', y = y_p - ka' \text{ pro } k \in \mathbb{Z}$$ Případně lze prohodit $-$ pro získání $$x = x_p - kb', y = y_p + ka' \text{ pro } k \in \mathbb{Z}$$
+Pro řešení difonatických rovnic musíme najít 2 části řešení, homogenní a partikulární část. Partikulární část řešení najde jedno specifické řešení diofantické rovnice, ale abychom našli všechny řešení tak musíme vyřešit homogenní část ta nám umožní najít všechny řešení.
-Slovy autora: "Pro řešení difonatických rovnic musíme najít 2 části řešení, homogenní a partikulární část. Partikulární část řešení najde jedno specifické řešení diofantické rovnice, ale abychom našli všechny řešení tak musíme vyřešit homogenní část ta nám umožní najít všechny řešení."
+==== Bonus: Malá Fermatova věta ====
+Malá Fermatova věta se často používá při hledání inverzních prvků modulo prvočíslo.
+  * Pro každé prvočíslo $p$ a každé celé číslo $a$ platí:
+    $$
+    a^p \equiv a \pmod{p}
+    $$
+  * Pokud $a \not\equiv 0 \pmod{p}$, pak:
+    $$
+    a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}
+    $$
+Z toho plyne, že inverzní prvek lze vypočítat jako:
+$$
+a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod{p}
+$$
 ===== 4. Euklidův algoritmus =====
 – jak funguje, teoreticky (přechod ke zbytku po dělení) i prakticky, jak se pozná kdy končí. Jak funguje jeho rozšířená verze, která umí poskytnout Bezoutovu identitu (prakticky).
-Ve své základní verzi slouží k hledání GCD (Největšího společného násobku).
+Ve své základní verzi slouží k hledání GCD (Největšího společného dělitele).
-Hledáme částečné zbytky po dělení, kdy postupně zmenšujeme čísla. Prakticky vždy spočteme zbytek po dělení nalezením největšího násobku dalšího čísla, který od původního odečteme. Jakmile nalezneme 0 algoritmus končí a číslo nad je $\text{gcd}$.
+Postupně počítáme zbytky po dělení, přičemž v každém kroku dělíme předchozí dvě čísla. Vždy odečteme co největší násobek menšího čísla od většího, čímž získáme nové, menší číslo. Algoritmus končí ve chvíli, kdy je zbytek nulový – tehdy je poslední nenulové číslo právě $\gcd(a,b)$.
 Níže je uveden příklad pro čísla $408$ a $108$:
@@ Line 146: / Line 237: @@
 \end{document}
   </tikzjax>
+Díky postupnému zmenšování čísel má algoritmus logaritmickou časovou složitost, což z něj dělá velmi efektivní metodu i pro velká čísla.
 ==== Rozšířený Euklidův algoritmus ====
@@ Line 154: / Line 247: @@
 Každý řádek se skládá z $r_i$ | $x_i$ | $y_i$, kde $r_i = x_i\cdot a + y_i\cdot b$. Pro výpočet řádku $i+1$ hledáme $a = \textbf{floor}(r_{i-1} / r_i)$ poté nový řádek je $r_{i+1}$ | $x_i\cdot (-a) + x_{i-1}$ | $y_i\cdot (-a) + y_{i-1}$
+Každý řádek obsahuje tři hodnoty $r_i \;|\; x_i \;|\; y_i$, kde:
+  * $r_i$ je aktuální zbytek,
+  * $x_i$ a $y_i$ jsou koeficienty, které splňují: $r_i = x_i \cdot a + y_i \cdot b$
 <tikzjax>
@@ Line 211: / Line 308: @@
 </tikzjax>
-===== 5. Binární relace =====
+Rozšířený Euklidův algoritmus vždy vrací koeficienty $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$, které splňují Bezoutovu identitu pro zadaná $a,b$.
-definice a její ilustrace na jednoduchých příkladech. Čtyři základní vlastnosti (reflexivita, symetrie, antisymetrie, tranzitivita): jaký mají význam, umět ilustrovat na grafu relace, popřípadě (alespoň intuitivně) rozpoznat u nějaké relace ze života.
-  - $\mathcal{R}$ je reflexivní, když $\forall a \in A$ platí $ a\mathcal{R}a$
+===== 5. Binární relace =====
-  - $\mathcal{R}$ je symetrická, když $\forall a, b \in A$ platí $ a\mathcal{R}b \implies b\mathcal{R}a$
+– definice a ilustrace na jednoduchých příkladech. Čtyři základní vlastnosti (reflexivita, symetrie, antisymetrie, tranzitivita): jaký mají význam, umět ilustrovat na grafu relace, popřípadě (alespoň intuitivně) rozpoznat u nějaké relace ze života.
-  - $\mathcal{R}$ je antisymetrická, když $\forall a, b \in A$ platí $ (a\mathcal{R}b \land b\mathcal{R}a) \implies a=b$
-  - $\mathcal{R}$ je tranzitivní, když $\forall a, b, c \in A$ platí $ (a\mathcal{R}b \land b\mathcal{R}c) \implies a\mathcal{R}c$
+==== Definice ====
+Nechť $A, B$ jsou množiny. **Binární relace** $R$ z $A$ do $B$ je libovolná podmnožina kartézského součinu:
+$$
+R \subseteq A \times B
+$$
+Jestliže $(a, b) \in R$, zapisujeme $a \mathcal{R} b$ a říkáme, že **prvek $a$ je v relaci s $b$** vzhledem k relaci $\mathcal{R}$.
+Pokud $(a, b) \notin R$, pak $a$ **není v relaci** s $b$.
+Pokud je relace na jedné množině ($A = B$), říkáme, že je **na množině $A$**.
+==== Čtyři základní vlastnosti ====
+Relace $\mathcal{R}$ na množině $A$ může mít tyto čtyři základní vlastnosti:
+  * $\mathcal{R}$ je reflexivní, když $\forall a \in A$ platí $ a\mathcal{R}a$. Každý prvek je v relaci sám se sebou. Např. relace „má stejnou hodnotu jako“.
+  * $\mathcal{R}$ je symetrická, když $\forall a, b \in A$ platí $ a\mathcal{R}b \implies b\mathcal{R}a$. Pokud $a$ souvisí s $b$, pak i $b$ souvisí s $a$. Např. „je sourozenec“ nebo „je stejně vysoký jako“.
+  * $\mathcal{R}$ je antisymetrická, když $\forall a, b \in A$ platí $ (a\mathcal{R}b \land b\mathcal{R}a) \implies a=b$. Pokud $a$ souvisí s $b$ a zároveň $b$ s $a$, pak musí jít o stejný prvek. Např. relace „je menší nebo rovno“.
+  * $\mathcal{R}$ je tranzitivní, když $\forall a, b, c \in A$ platí $ (a\mathcal{R}b \land b\mathcal{R}c) \implies a\mathcal{R}c$. Pokud $a$ souvisí s $b$ a $b$ s $c$, pak $a$ souvisí s $c$. Např. „je předchůdce“ nebo „má stejné příjmení jako“.
+==== Ekvivalence ====
+Relace $\mathcal{R}$ na množině $A$ je **ekvivalence**, pokud splňuje: reflexivitu, symetrii, tranzitivitu.
+Taková relace přirozeně rozdělí množinu $A$ na **třídy ekvivalence** – tedy podmnožiny, kde jsou prvky navzájem v relaci.
+**Definice třídy ekvivalence**:
+Pro $a \in A$ definujeme:
+$$
+[a]_{\mathcal{R}} = \{ b \in A \mid a \mathcal{R} b \}
+$$
+Každý prvek $a$ náleží právě jedné třídě, množina všech tříd tvoří rozklad $A$.
+==== Částečné uspořádání ====
+Relace $\mathcal{R}$ na množině $A$ je **částečné uspořádání**, pokud splňuje: reflexivitu, antisymetrii, tranzitivitu.
+Takovou relaci značíme často symbolem $\preceq$ nebo $\leq$ (např. „dělitelnost“). Dvojice $(A, \mathcal{R})$ se pak nazývá **částečně uspořádaná množina**.
+==== Hasseův diagram ====
+**Hasseův diagram** je grafické znázornění částečně uspořádané množiny.
+  * Vrcholy představují prvky množiny $A$.
+  * Hrana mezi $a$ a $b$ značí relaci $a \mathcal{R} b$, kde $a < b$ a neexistuje $c$, pro které by $a < c < b$.
+  * Prvek $a$ je v diagramu **níž** než $b$, pokud $a \mathcal{R} b$.
+**Další pojmy v uspořádání**:
+  * **Největší prvek** – prvek, ke kterému vede cesta z každého jiného prvku (nemusí existovat).
+  * **Maximum** – prvek, nad kterým už není žádný jiný.
+  * **Nejmenší prvek** – prvek, ze kterého vede cesta ke všem ostatním (nemusí existovat).
+  * **Minimum** – prvek, pod kterým už není žádný jiný.
+**Linearizace částečného uspořádání**:
+Z Hasseova diagramu vytvoříme posloupnost prvků (např. zleva doprava, po úrovních), která zachovává uspořádání.
 ===== 6. Indukce =====
@@ Line 223: / Line 377: @@
 ==== Slabý princip matematické indukce ====
-Nechť $n_0 \in \mathbb{Z}$, nechť $V(n)$ je vlastnost celých čísel, která má smysl pro $n \geq n_0$.
+Nechť $n_0 \in \mathbb{Z}$, ať $V(n)$ je výrok (vlastnost) pro celá čísla $n \geq n_0$.
 Předpokládejme, že platí:
-  * $V(n_0)$,
+  * $V(n_0)$
-  * $\forall n \geq n_0:\; V(n)\Rightarrow V(n+1)$.
+  * $\forall n \geq n_0: \; V(n) \Rightarrow V(n+1)$
-Potom $V(n)$ platí pro všechna $n \geq n_0$.
-==== Příklad (slabá indukce) ====
+Pak $V(n)$ platí pro všechna $n \geq n_0$.
-Dokážeme, že $\;2^n \ge n+1\;$ pro každé $n\in\mathbb{N}_0$.
-  * **Základ:** $n=0$: $2^0=1\ge1$.
+==== Příklad (slabá indukce) ====
-  * **Indukční krok:** Předpokládejme $2^n\ge n+1$. Pak
-    $2^{n+1}=2\cdot2^n \ge 2(n+1)\ge(n+1)+1$, protože $n+1\ge1$.
+Dokážeme, že $2^n \ge n+1$ pro každé $n \in \mathbb{N}_0$.
+  * **Základ:** $n = 0$: $2^0 = 1 \ge 1$
+  * **Indukční krok:** Předpokládáme $2^n \ge n+1$. Pak:
+    $$
+^{n+1} = 2 \cdot 2^n \ge 2(n+1) \ge (n+1)+1
+    $$
+protože $n+1 \ge 1$
 ==== Silný princip matematické indukce ====
-**Krátké vysvětlení:**
+**Vysvětlení:**
-U silné indukce při kroku $n+1$ můžeme předpokládat, že tvrzení platí **pro všechna** menší čísla $n_0, n_0\!+\!1,\dots,n$.
+Na rozdíl od slabé indukce zde při kroku $n+1$ předpokládáme, že tvrzení platí **pro všechna** menší čísla $n_0, n_0\!+\!1,\dots,n$.
 Je to, jako bys stavěl schody a u každého nového stupínku směl využít celou „platformu“ před sebou, nejen poslední schod.
@@ Line 248: / Line 408: @@
 ==== Příklad (silná indukce) ====
-Každé celé číslo $n\ge2$ lze rozepsat jako součin prvočísel.
+Dokážeme, že každé celé číslo $n \ge 2$ lze zapsat jako součin prvočísel.
+  * **Základ:** $n = 2$ je prvočíslo, tedy rozklad existuje.
+  * **Indukční krok:** Předpokládáme, že tvrzení platí pro všechna $k$ s $2 \le k \le n$.
+  * Uvažujme $n+1$:
+    - Pokud je $n+1$ prvočíslo, rozklad je hotový.
+    - Pokud je složené, existují $a, b$ taková, že $n+1 = a \cdot b$ a $2 \le a,b \le n$.
+    - Podle indukčního předpokladu lze $a$ i $b$ rozložit na součin prvočísel.
+    - Součinem těchto rozkladů získáme rozklad i pro $n+1$.
 **Krátký slovní popis:**
@@ Line 255: / Line 423: @@
 Je-li $n+1$ složené, rozdělíme ho na dva menší činitele $a,b$ (to lze díky tomu že víme, že čísla která nejsou prvočíslo jsou dělitelná ne jen sama sebou a 1) a pro oba už známe rozklad (protože čísla jsou menší než $n$ a pro ty už jsme si to dokázali) → jejich součinem dostaneme
 rozklad i pro $n+1$.
-  - **Základ:** $n=2$ je prvočíslo.
-  - **Indukční krok:** Předpokládej základní tvrzení pro všechna $k$ s $2\le k\le n$.
-  - Pro $n+1$:
-    - je-li $n+1$ prvočíslo, rozklad je hotov;
-    - jinak existují $a,b$ taková, že $n+1=ab$ a $2\le a,b\le n$. Podle indukčního předpokladu lze $a$ i $b$ rozložit na součin prvočísel, a tedy i $n+1$.
 ===== 7. Rekurentní rovnice =====
  – základní vlastnosti homogenních lineárních rekurentních rovnic (jejich množina řešení tvoří vektorový prostor dimenze rovné řádu rovnice, takže řešení lze generovat pomocí vhodné báze), jak najít vhodnou bázi (pomocí kořenů charakteristického polynomu).
-**Definice:** Rekurentní vztah či rekurzivní vztah pro posloupnost ${a_k}$ je libovolná rovnice typu
+**Definice:**
-$F(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_0) = 0$, kde $F$ je nějaká funkce. Např. podstata problému Hanojských věží se dá vyjádřit vztahem
-$H_n - 2 \cdot H_{n-1} - 1 = 0$.
+Rekurentní (nebo také rekurzivní) vztah pro posloupnost $\{a_k\}$ je libovolná rovnice typu:
+$$
+F(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_0) = 0
+$$
+kde $F$ je nějaká funkce.
+Například problém Hanojských věží lze vyjádřit vztahem:
+$$
+H_n = 2 \cdot H_{n-1} + 1
+\quad\text{tedy}\quad
+H_n - 2H_{n-1} - 1 = 0
+$$
 ====Lineární rekurentní rovnice====
-popřípadě **lineární rekurzivní rovnice** řádu $k \in \mathbb{N}_0$ je libovolná rovnice ve tvaru
-$a_{n+k} + c_{k-1}(n)a_{n+k-1} + \dots + c_2(n)a_{n+2} + c_1(n)a_{n+1} + c_0(n)a_n = b_n$ pro všechna $n \geq n_0$,
+Lineární rekurentní rovnice (nebo také lineární rekurzivní rovnice) **řádu $k$** je rovnice tvaru:
+$$
+a_{n+k} + c_{k-1}(n)a_{n+k-1} + \dots + c_1(n)a_{n+1} + c_0(n)a_n = b_n
+\quad \text{pro všechna } n \geq n_0
+$$
-kde $n_0 \in \mathbb{Z}$, $c_i(n)$ pro $i = {0, \dots, k-1}$ (tzv. koeficienty rovnice) jsou nějaké funkce $\mathbb{Z} \mapsto \mathbb{R}$, přičemž $c_0(n)$ není identicky nulová funkce, a ${b_n}_{n\geq n_0}$ (tzv. pravá strana rovnice) je pevně zvolená posloupnost reálných čísel.
+  * $k$ je řád rovnice – největší indexový posun v levé straně.
-Jestliže $b_n = 0$ pro všechna $n \geq n_0$, pak se příslušná rovnice nazývá homogenní.
+  * Koeficienty $c_i(n)$ jsou funkce $\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ (mohou být konstantní nebo závislé na $n$).
+  * $b_n$ je tzv. pravá strana rovnice (např. nulová, nebo jiná posloupnost).
-  * Základní vlastnosti – jejich množina řešení tvoří vektorový prostor dimenze rovné řádu rovnice, takže řešení lze generovat pomocí vhodné báze.
+Rovnice se nazývá **homogenní**, pokud platí $b_n = 0$ pro všechna $n \geq n_0$.
-  * Jak najít vhodnou bázi – pomocí kořenů charakteristického polynomu.
+  * Množina všech řešení homogenní rovnice tvoří **vektorový prostor** dimenze $k$.
+  * Řešení lze vyjádřit pomocí **báze** tohoto prostoru, kterou určujeme z kořenů tzv. charakteristického polynomu.
 ====Řešení====
-Nechť je dána **lineární rekurentní rovnice**
+Nechť je dána lineární rekurentní rovnice:
+$$
+a_{n+k} + c_{k-1}(n)a_{n+k-1} + \dots + c_1(n)a_{n+1} + c_0(n)a_n = b_n
+$$
-$a_{n+k} + c_{k-1}(n)a_{n+k-1} + \dots + c_1(n)a_{n+1} + c_0(n)a_n = b_n$ pro všechna $n \geq n_0$.
+**Řešením** rozumíme posloupnost $\{a_n\}_{n=n_0}^\infty$, která po dosazení splňuje rovnici pro všechna $n \geq n_0$.
-Jako její řešení označíme libovolnou posloupnost $\{a_n\}_{n=n_0}^{\infty}$ takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna $n$ pravdivý výrok.
 ====Charakteristická rovnice====
 **Definice:**
-Nechť je dána lineární rekurentní rovnice s konstantními koeficienty
+$$
+a_{n+k} + c_{k-1}a_{n+k-1} + \dots + c_0a_n = b_n
+$$
+Pokud je $b_n = 0$ pro všechna $n$, rovnice se nazývá **homogenní** a můžeme k ní přiřadit **charakteristický polynom**:
+$$
+p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0
+$$
+Řešením rovnice $p(\lambda) = 0$ (tzv. **charakteristická rovnice**) jsou tzv. **charakteristická čísla** (nebo také **kořeny** či „vlastní čísla“).
+  * Každé charakteristické číslo $\lambda$ generuje **jednu základní posloupnost** $a_n=\lambda^n$. Mluvíme-li o „vektorovém prostoru“, nemyslíme tím čísla $\lambda$, ale **množinu všech posloupností** vzniklých lineárními kombinacemi těchto základních posloupností.
+  * Pokud má polynom $p$ více různých kořenů $\lambda_1,\dots,\lambda_m$, tvoří **bázi** prostoru řešení posloupnosti $\lambda_1^n,\dots,\lambda_m^n$. Libovolná lineární kombinace
+$$
+a_n = \alpha_1\lambda_1^n+\dots+\alpha_m\lambda_m^n
+$$
+    * je také řešením, takže celý prostor řešení má dimenzi $m$.
+  * Má-li některý kořen násobnost $r>1$, přidávají se do báze i členy $n\lambda^n,\,n^2\lambda^n,\dots,n^{r-1}\lambda^n$, aby dimenze prostoru zůstala rovna řádu $k$.
+Pomocí těchto tvarů sestavíme obecné řešení homogenní rovnice – každý kořen přispívá jedním nebo více lineárně nezávislými členy.
+====Příklad 1 – dva různé kořeny====
+Homogenní rovnice druhého řádu
+$$
+a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0
+$$
+má charakteristický polynom $p(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2$
+a kořeny $\lambda_1=1,\;\lambda_2=2$.
+  * Základní řešení: $u_n = 1^n = 1$, $v_n = 2^n$.
+  * Obecné řešení: $$a_n = \alpha\cdot1 + \beta\cdot2^n.$$
+  * Prostor všech řešení je tedy 2-rozměrný a jeho (jednou z možných) bází je $\{\,1,\,2^n\}$.
+====Příklad 2 – násobný kořen====
+Rovnice
+$$
+a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=0
+$$
+má charakteristický polynom $p(\lambda)=(\lambda-1)^2$, kořen $\lambda=1$ s násobností 2.
-$a_{n+k} + c_{k-1}a_{n+k-1} + \dots + c_1a_{n+1} + c_0a_n = b_n$ pro všechna $n \geq n_0$.
+  * Základní řešení: $u_n = 1^n = 1$, $v_n = n\cdot1^n = n$.
+  * Obecné řešení: $$a_n = \alpha + \beta n.$$
+  * Znovu dostáváme 2-rozměrný prostor řešení, tentokrát s bází $\{\,1,\,n\}$.
-Její charakteristický polynom (characteristic polynomial) je definován jako polynom
-$p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0$.
-Kořeny charakteristického polynomu se nazývají charakteristická čísla, popřípadě vlastní čísla dané rovnice (characteristic numbers/roots or eigenvalues).
-K získání charakteristických čísel potřebujeme vyřešit rovnici
-$p(\lambda) = \lambda^k + c_{k-1}\lambda^{k-1} + \dots + c_1\lambda + c_0 = 0$, které se také říká charakteristická rovnice.

Trace:

Differences

Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code