Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revisionPrevious revisionNext revision | Previous revision | ||
| statnice:bakalar:b0b01pst [2025/06/09 23:49] – [Základní typy rozdělení] mistrjirka | statnice:bakalar:b0b01pst [2026/06/13 18:27] (current) – [Nezávislost náhodných jevů] badinmic | ||
|---|---|---|---|
| Line 55: | Line 55: | ||
| * Dvojice jevů může být: | * Dvojice jevů může být: | ||
| * **Neslučitelná a závislá** – např. „padla 1“ a „padla 6“ | * **Neslučitelná a závislá** – např. „padla 1“ a „padla 6“ | ||
| - | * **Nezávislá a slučitelná** – např. „padla sudá“ a „padla větší než 3“ | + | * **Nezávislá a slučitelná** – např. „padla sudá“ a „padla větší než 4“ |
| * V praxi ověřujeme nezávislost pomocí výpočtu $P(A \cap B)$ a porovnáním s $P(A) \cdot P(B)$ | * V praxi ověřujeme nezávislost pomocí výpočtu $P(A \cap B)$ a porovnáním s $P(A) \cdot P(B)$ | ||
| Line 278: | Line 278: | ||
| ==== Základní typy rozdělení ==== | ==== Základní typy rozdělení ==== | ||
| === Diskrétní rozdělení === | === Diskrétní rozdělení === | ||
| - | **Binomické rozdělení** – popisuje počet úspěchů v $n$ nezávislých Bernoulliho pokusech, kde každý pokus má pravděpodobnost úspěchu $p$. Distribuční funkce je dána jako: [1] | + | **Binomické rozdělení** – popisuje počet úspěchů v $n$ nezávislých Bernoulliho pokusech, kde každý pokus má pravděpodobnost úspěchu $p$. Distribuční funkce je dána jako: |
| $$ | $$ | ||
| P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$ | P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$ | ||
| - | Střední hodnota $EX = np$, rozptyl $varX = np(1-p)$. | + | Střední hodnota $EX = np$, rozptyl $varX = np(1-p)$. |
| - | **Poissonovo rozdělení** – popisuje počet událostí v pevném intervalu při konstantní intenzitě $\lambda$. Distribuční funkce je: [1] | + | **Poissonovo rozdělení** – popisuje počet událostí v pevném intervalu při konstantní intenzitě $\lambda$. Distribuční funkce je: |
| $$ | $$ | ||
| P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, | P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, | ||
| - | Střední hodnota i rozptyl $EX = varX = \lambda$. | + | Střední hodnota i rozptyl $EX = varX = \lambda$. |
| - | **Geometrické rozdělení** – popisuje **počet neúspěchů před prvním úspěchem** v sérii nezávislých Bernoulliho pokusů s pravděpodobností úspěchu $p$. Distribuční funkce je: [1] | + | **Geometrické rozdělení** – popisuje **počet neúspěchů před prvním úspěchem** v sérii nezávislých Bernoulliho pokusů s pravděpodobností úspěchu $p$. Distribuční funkce je: |
| $$ | $$ | ||
| P(X = k) = p(1 - p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$ | P(X = k) = p(1 - p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$ | ||
| - | Střední hodnota $EX = \frac{1-p}{p}$, | + | Střední hodnota $EX = \frac{1-p}{p}$, |
| *(Pozn.: V některých definicích se udává počet pokusů do prvního úspěchu $(k=1, | *(Pozn.: V některých definicích se udává počet pokusů do prvního úspěchu $(k=1, | ||
| - | **Alternativní (Bernoulliho) rozdělení** | + | **Alternativní (Bernoulliho) rozdělení** |
| - | - $X=1$ (úspěch) s $P(X=1)=p$ | + | |
| - | - $X=0$ (neúspěch) s $P(X=0)=1-p$ | + | |
| - | Střední hodnota $EX=p$, rozptyl $varX=p(1-p)$. | + | |
| - | *(Pozn.: Popis " | + | * (Pozn.: Popis " |
| - | **Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu nabývající hodnot $a, a+1, \ldots, b$ s rovnoměrnou pravděpodobností: | + | **Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu nabývající hodnot $a, a+1, \ldots, b$ s rovnoměrnou pravděpodobností: |
| $$ | $$ | ||
| P(X = k) = \frac{1}{b - a + 1}, \quad k = a, a + 1, \ldots, b$$ | P(X = k) = \frac{1}{b - a + 1}, \quad k = a, a + 1, \ldots, b$$ | ||
| - | **Hypergeometrické rozdělení** | + | **Hypergeometrické rozdělení** |
| - | $$ | + | * popisuje počet úspěchů při $n$ náhodných výběrech bez vracení z populace $N$ s $K$ úspěšnými položkami: |
| - | P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}, | + | $$ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}, |
| - | Střední hodnota $E(X) = n \frac{K}{N}$. | + | Střední hodnota $E(X) = n \frac{K}{N}$. |
| === Spojitá rozdělení === | === Spojitá rozdělení === | ||
| - | **Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu na intervalu $[a, b]$ s konstantní hustotou: | + | **Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu na intervalu $[a, b]$ s konstantní hustotou: |
| $$ | $$ | ||
| f(x) = \begin{cases} | f(x) = \begin{cases} | ||
| Line 324: | Line 324: | ||
| \end{cases} | \end{cases} | ||
| $$ | $$ | ||
| + | $E[X] = \frac{b-a}{2}$ | ||
| + | $\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$. | ||
| - | **Normální rozdělení** – symetrické rozdělení se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem $\sigma^2$. Hustota: | + | **Normální rozdělení** – symetrické rozdělení se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem $\sigma^2$. |
| $$ | $$ | ||
| f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ | f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ | ||
| - | Distribuční funkce $\Phi(x)$ nemá uzavřený tvar. Speciální případ: **N(0,1)** s hustotou $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$. | + | Distribuční funkce $\Phi(x)$ nemá uzavřený tvar. Speciální případ: **N(0,1)** s hustotou $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$. |
| - | **Exponenciální rozdělení** – popisuje **dobu mezi událostmi v Poissonově procesu** s intenzitou $\lambda$: | + | **Exponenciální rozdělení** – popisuje **dobu mezi událostmi v Poissonově procesu** s intenzitou $\lambda$: |
| Hustota: | Hustota: | ||
| $$ | $$ | ||
