Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- statnice:bakalar:b0b01pst [2025/06/08 20:36] – [Přechodový diagram a matice] zapleka3
+++ statnice:bakalar:b0b01pst [2026/06/13 18:27] (current) – [Nezávislost náhodných jevů] badinmic
@@ Line 55: / Line 55: @@
   * Dvojice jevů může být:
     * **Neslučitelná a závislá** – např. „padla 1“ a „padla 6“
-    * **Nezávislá a slučitelná** – např. „padla sudá“ a „padla větší než 3“
+    * **Nezávislá a slučitelná** – např. „padla sudá“ a „padla větší než 4“
   * V praxi ověřujeme nezávislost pomocí výpočtu $P(A \cap B)$ a porovnáním s $P(A) \cdot P(B)$
@@ Line 278: / Line 278: @@
 ==== Základní typy rozdělení ====
 === Diskrétní rozdělení ===
 **Binomické rozdělení** – popisuje počet úspěchů v $n$ nezávislých Bernoulliho pokusech, kde každý pokus má pravděpodobnost úspěchu $p$. Distribuční funkce je dána jako:
 $$
 P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$
-**Poissonovo rozdělení** – popisuje počet událostí, které nastanou v pevném časovém intervalu, pokud jsou tyto události nezávislé a nastávají s konstantní průměrnou rychlostí $\lambda$. Distribuční funkce je dána jako:
+Střední hodnota $EX = np$, rozptyl $varX = np(1-p)$.
+**Poissonovo rozdělení** – popisuje počet událostí v pevném intervalu při konstantní intenzitě $\lambda$. Distribuční funkce je:
 $$
 P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$
-**Geometrické rozdělení** – popisuje počet pokusů potřebných k dosažení prvního úspěchu v sérii nezávislých Bernoulliho pokusů. Distribuční funkce je dána jako:
+Střední hodnota i rozptyl $EX = varX = \lambda$.
+**Geometrické rozdělení** – popisuje **počet neúspěchů před prvním úspěchem** v sérii nezávislých Bernoulliho pokusů s pravděpodobností úspěchu $p$. Distribuční funkce je:
 $$
-P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, \quad k = 1, 2, \ldots$$
+P(X = k) = p(1 - p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$
-**Alternativní rozdělení** – popisuje počet pokusů potřebných k dosažení prvního úspěchu v sérii nezávislých Bernoulliho pokusů, ale s různými pravděpodobnostmi úspěchu v jednotlivých pokusech. Distribuční funkce je dána jako:
+Střední hodnota $EX = \frac{1-p}{p}$, rozptyl $varX = \frac{1-p}{p^2}$.
-$$
+*(Pozn.: V některých definicích se udává počet pokusů do prvního úspěchu $(k=1,2,\ldots)$, materiály však explicitně uvádějí $k=0$).*
-P(X = k) = \prod_{i=1}^{k-1} (1 - p_i) p_k, \quad k = 1, 2, \ldots$$
-**Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat hodnot v intervalu $[a, b]$ s rovnoměrnou pravděpodobností. Distribuční funkce je dána jako:
+**Alternativní (Bernoulliho) rozdělení** - popisuje **jediný pokus** s pravděpodobností úspěchu $p$. Nabývá hodnot:
+  * $X=1$ (úspěch) s $P(X=1)=p$
+  * $X=0$ (neúspěch) s $P(X=0)=1-p$
+  * Střední hodnota $EX=p$, rozptyl $varX=p(1-p)$.
+  * (Pozn.: Popis "počet pokusů do prvního úspěchu s různými $p_i$" neodpovídá Alt(p) v materiálech).*
+**Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu nabývající hodnot $a, a+1, \ldots, b$ s rovnoměrnou pravděpodobností:
 $$
 P(X = k) = \frac{1}{b - a + 1}, \quad k = a, a + 1, \ldots, b$$
-**Hypergeometrické rozdělení** – popisuje počet úspěchů v náhodném výběru $n$ položek z populace o velikosti $N$, která obsahuje $K$ úspěšných položek. Distribuční funkce je dána jako:
-$$
+**Hypergeometrické rozdělení**
-P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = 0, 1, \ldots, \min(K, n)$$
+  * popisuje počet úspěchů při $n$ náhodných výběrech bez vracení z populace $N$ s $K$ úspěšnými položkami:
-Napřiklad "M" losů z nichž "J" vyhrává, tak udává počet výherních losů, z výtažených "S" losů.
+$$ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = \max(0, n - (N - K)), \ldots, \min(K, n)$$
-$$
+Střední hodnota $E(X) = n \frac{K}{N}$.
-E(x) = \frac{(J \cdot S)}{M}
-$$
 === Spojitá rozdělení ===
-**Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat hodnot v intervalu $[a, b]$ s rovnoměrnou pravděpodobností. Distribuční funkce je dána jako:
+**Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu na intervalu $[a, b]$ s konstantní hustotou:
+$$
+f(x) = \begin{cases}
+\frac{1}{b - a}, & a < x < b \\
+, & \text{jinak}
+\end{cases}$$
+Distribuční funkce:
 $$
 F(x) = \begin{cases}
@@ Line 310: / Line 324: @@
 \end{cases}
 $$
-Hustota je tvaru
+$E[X] = \frac{b-a}{2}$
-$$
+$\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$.
-f(x) = \begin{cases}
-\frac{1}{b - a}, & a < x < b \\
-, & \text{jinak}
-\end{cases}
-$$
-**Normální rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu, která má symetrické rozdělení kolem střední hodnoty $\mu$ a standardní odchylky $\sigma$. Distribuční funkce je dána jako:
+**Normální rozdělení** – symetrické rozdělení se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem $\sigma^2$.  Hustota:
-$$
-\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt.
 $$
+f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
+Distribuční funkce $\Phi(x)$ nemá uzavřený tvar. Speciální případ: **N(0,1)** s hustotou $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.
-Hustota je tvaru
+**Exponenciální rozdělení** – popisuje **dobu mezi událostmi v Poissonově procesu** s intenzitou $\lambda$:
+Hustota:
 $$
-f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
+f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$
-$$
+Distribuční funkce:
-**Exponenciální rozdělení** – popisuje čas mezi událostmi v Poissonově procesu. Distribuční funkce je dána jako:
 $$
 F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$
-Hustota pravděpodobnosti je dána jako:
-$$
-f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$
 ===== 2. Náhodné vektory a jejich popis =====
 **Náhodné vektory a jejich popis** – nezávislost náhodných veličin, kovariance a korelace.

Trace: • b0b01ma1

Differences

Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code