Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b0b01pst [2025/06/08 17:35] – [Matice přechodu] zapleka3statnice:bakalar:b0b01pst [2026/06/13 18:27] (current) – [Nezávislost náhodných jevů] badinmic
Line 1: Line 1:
-==== Způsoby popisu rozdělení náhodných veličin a vektorů. Odhady parametrů rozdělení. Základní statistické testy. Markovské řetězce a jejich asymptotické vlastnosti. ====+====== Způsoby popisu rozdělení náhodných veličin a vektorů. Odhady parametrů rozdělení. Základní statistické testy. Markovské řetězce a jejich asymptotické vlastnosti. ======
  
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/81/p4681506.html|B0B01PST]] [[https://cmp.felk.cvut.cz/~navara/stat/index.htm|Webové stránky předmětu]] [[https://math.fel.cvut.cz/en/people/heliskat/01pst2.html|Helisova stránky předmětu]] [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/81/p4681506.html|B0B01PST]] [[https://cmp.felk.cvut.cz/~navara/stat/index.htm|Webové stránky předmětu]] [[https://math.fel.cvut.cz/en/people/heliskat/01pst2.html|Helisova stránky předmětu]]
Line 55: Line 55:
   * Dvojice jevů může být:   * Dvojice jevů může být:
     * **Neslučitelná a závislá** – např. „padla 1“ a „padla 6“     * **Neslučitelná a závislá** – např. „padla 1“ a „padla 6“
-    * **Nezávislá a slučitelná** – např. „padla sudá“ a „padla větší než 3“+    * **Nezávislá a slučitelná** – např. „padla sudá“ a „padla větší než 4“
  
   * V praxi ověřujeme nezávislost pomocí výpočtu $P(A \cap B)$ a porovnáním s $P(A) \cdot P(B)$   * V praxi ověřujeme nezávislost pomocí výpočtu $P(A \cap B)$ a porovnáním s $P(A) \cdot P(B)$
Line 196: Line 196:
 {{:statnice:bakalar:pasted:20250526-103420.png}} {{:statnice:bakalar:pasted:20250526-103420.png}}
  
- 
-=== Smíšená náhodná veličina === 
-Nabývá jak diskrétních, tak spojitých hodnot. Distribuční funkce je kombinací schodové a spojité části. Hustota pravděpodobnosti je definována jako: 
-$$ 
-f(t) = \sum_{i} p_i \delta(t - t_i) + f_c(t),$$ 
-kde $p_i$ jsou pravděpodobnosti diskrétních hodnot $t_i$ a $f_c(t)$ je hustota spojité části. 
  
 === Smíšená náhodná veličina === === Smíšená náhodná veličina ===
Line 284: Line 278:
 ==== Základní typy rozdělení ==== ==== Základní typy rozdělení ====
 === Diskrétní rozdělení === === Diskrétní rozdělení ===
-**Binomické rozdělení** – popisuje počet úspěchů v $n$ nezávislých Bernoulliho pokusech, kde každý pokus má pravděpodobnost úspěchu $p$. Distribuční funkce je dána jako:+**Binomické rozdělení** – popisuje počet úspěchů v $n$ nezávislých Bernoulliho pokusech, kde každý pokus má pravděpodobnost úspěchu $p$. Distribuční funkce je dána jako: 
 $$ $$
 P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$
-**Poissonovo rozdělení** – popisuje počet událostí, které nastanou v pevném časovém intervalu, pokud jsou tyto události nezávislé a nastávají s konstantní průměrnou rychlostí $\lambda$. Distribuční funkce je dána jako:+Střední hodnota $EX = np$, rozptyl $varX = np(1-p)$.  
 + 
 +**Poissonovo rozdělení** – popisuje počet událostí v pevném intervalu při konstantní intenzitě $\lambda$. Distribuční funkce je: 
 $$ $$
 P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$
-**Geometrické rozdělení** – popisuje počet pokusů potřebných k dosažení prvního úspěchu v sérii nezávislých Bernoulliho pokusů. Distribuční funkce je dána jako:+Střední hodnota i rozptyl $EX = varX = \lambda$. 
 + 
 +**Geometrické rozdělení** – popisuje **počet neúspěchů před prvním úspěchem** v sérii nezávislých Bernoulliho pokusů s pravděpodobností úspěchu $p$. Distribuční funkce je:
 $$ $$
-P(X = k) = (1 - p)^{k - 1} p, \quad k = 1, 2, \ldots$$ +P(X = k) = p(1 - p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$ 
-**Alternativní rozdělení** – popisuje počet pokusů potřebných k dosažení prvního úspěchu v sérii nezávislých Bernoulliho pokusů, ale s různými pravděpodobnostmi úspěchu v jednotlivých pokusech. Distribuční funkce je dána jako: +Střední hodnota $EX = \frac{1-p}{p}$, rozptyl $varX = \frac{1-p}{p^2}$. 
-$$ +*(Pozn.: V některých definicích se udává počet pokusů do prvního úspěchu $(k=1,2,\ldots)$, materiály však explicitně uvádějí $k=0$).* 
-P(X = k) = \prod_{i=1}^{k-1} (1 - p_i) p_k, \quad k = 1, 2, \ldots$$ + 
-**Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat hodnot v intervalu $[a, b]$ s rovnoměrnou pravděpodobností. Distribuční funkce je dána jako:+**Alternativní (Bernoulliho) rozdělení** - popisuje **jediný pokus** s pravděpodobností úspěchu $p$. Nabývá hodnot: 
 +  * $X=1$ (úspěch) s $P(X=1)=p$ 
 +  * $X=0$ (neúspěch) s $P(X=0)=1-p$ 
 +  * Střední hodnota $EX=p$, rozptyl $varX=p(1-p)$.  
 +  * (Pozn.: Popis "počet pokusů do prvního úspěchu s různými $p_i$" neodpovídá Alt(p) v materiálech).* 
 + 
 +**Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu nabývající hodnot $a, a+1, \ldots, b$ s rovnoměrnou pravděpodobností:
 $$ $$
 P(X = k) = \frac{1}{b - a + 1}, \quad k = a, a + 1, \ldots, b$$ P(X = k) = \frac{1}{b - a + 1}, \quad k = a, a + 1, \ldots, b$$
-**Hypergeometrické rozdělení** – popisuje počet úspěchů v náhodném výběru $n$ položek z populace o velikosti $N$, která obsahuje $K$ úspěšných položek. Distribuční funkce je dána jako: + 
-$$ +**Hypergeometrické rozdělení**  
-P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = 0, 1, \ldots, \min(K, n)$$ +  * popisuje počet úspěchů při $n$ náhodných výběrech bez vracení z populace $N$ s $K$ úspěšnými položkami:  
-Napřiklad "M" losů z nichž "J" vyhrává, tak udává počet výherních losů, z výtažených "S" losů. +$$ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = \max(0, n - (N - K)), \ldots, \min(K, n)$$ 
-$$ +Střední hodnota $E(X) = n \frac{K}{N}$.
-E(x) = \frac{(J \cdot S)}{M} +
-$$+
  
 === Spojitá rozdělení === === Spojitá rozdělení ===
-**Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat hodnot v intervalu $[a, b]$ s rovnoměrnou pravděpodobností. Distribuční funkce je dána jako:+**Rovnoměrné rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu na intervalu $[a, b]$ s konstantní hustotou: 
 +$$ 
 +f(x) = \begin{cases} 
 +\frac{1}{b - a}, & a < x < b \\ 
 +0, & \text{jinak} 
 +\end{cases}$$ 
 +Distribuční funkce:
 $$ $$
 F(x) = \begin{cases} F(x) = \begin{cases}
Line 316: Line 324:
 \end{cases} \end{cases}
 $$ $$
-Hustota je tvaru +$E[X] = \frac{b-a}{2}$ 
-$$ +$\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$.
-f(x) = \begin{cases} +
-\frac{1}{b - a}, & a < x < b \\ +
-0, & \text{jinak} +
-\end{cases} +
-$$+
  
-**Normální rozdělení** – popisuje náhodnou veličinu, která má symetrické rozdělení kolem střední hodnoty $\mu$ a standardní odchylky $\sigma$. Distribuční funkce je dána jako: +**Normální rozdělení** – symetrické rozdělení se střední hodnotou $\mu$ a rozptylem $\sigma^2$.  Hustota:
-$$ +
-\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt.+
 $$ $$
 +f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$
 +Distribuční funkce $\Phi(x)$ nemá uzavřený tvar. Speciální případ: **N(0,1)** s hustotou $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$. 
  
-Hustota je tvaru+**Exponenciální rozdělení** – popisuje **dobu mezi událostmi v Poissonově procesu** s intenzitou $\lambda$: 
 +Hustota:
 $$ $$
-f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} +f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$ 
-$$ +Distribuční funkce:
-**Exponenciální rozdělení** – popisuje čas mezi událostmi v Poissonově procesu. Distribuční funkce je dána jako:+
 $$ $$
 F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$ F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$
-Hustota pravděpodobnosti je dána jako: 
-$$ 
-f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$$ 
- 
 ===== 2. Náhodné vektory a jejich popis ===== ===== 2. Náhodné vektory a jejich popis =====
 **Náhodné vektory a jejich popis** – nezávislost náhodných veličin, kovariance a korelace. **Náhodné vektory a jejich popis** – nezávislost náhodných veličin, kovariance a korelace.
Line 704: Line 703:
  
  
-==== Odhady konkrétních parametrů ==== 
-  * **Odhady střední hodnoty** ($\mu$): 
-    * Výběrový průměr $\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ je nestranným a konzistentním odhadem střední hodnoty $E[X]$.  
-  * **Odhady rozptylu ($\sigma^2$)**: 
-    * Výběrový rozptyl $S^2_n = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline{X}_n)^2$ je nestranným a konzistentním odhadem rozptylu $D[X]$.  
-  * **Odhady směrodatné odchylky ($\sigma$)**: 
-    * Výběrová směrodatná odchylka $S_n = \sqrt{S^2_n}$ je odhadem směrodatné odchylky $\sigma$.  
-<markdown> 
-* **Odhady momentů**: 
-</markdown> 
-    * Pro odhad $k$-tého obecného momentu $E[X^k]$ se používá výběrový $k$-tý obecný moment $m_{X^k} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}x_j^k$.  
  
 ==== Odhady konkrétních parametrů ==== ==== Odhady konkrétních parametrů ====
Line 928: Line 916:
  
 ===== 7. Markovovy řetězce ===== ===== 7. Markovovy řetězce =====
-**Markovovy řetězce** – základní pojmy a vlastnosti, popis přechodovým diagramem a maticí přechodu. Klasifikace stavů, periodicita, rozložitelnost. Asymptotické chování Markovových řetězců.   
- 
 **Markovovy řetězce** – modely náhodného vývoje systému v diskrétním čase, kde přechod do dalšího stavu závisí pouze na aktuálním stavu (tzv. *Markova vlastnost*).   **Markovovy řetězce** – modely náhodného vývoje systému v diskrétním čase, kde přechod do dalšího stavu závisí pouze na aktuálním stavu (tzv. *Markova vlastnost*).  
  
 ==== Základní pojmy a popis ==== ==== Základní pojmy a popis ====
-<markdown> + 
-Markovovy řetězce jsou stochastické procesy s konečným nebo spočetným počtem stavů, kde pravděpodobnost přechodu do dalšího stavu závisí pouze na aktuálním stavu (vlastnost Markova).   +**Markovův řetězec** je posloupnost náhodných veličin $X_0, X_1, X_2, \ldots$, kde pro každý $n$ a všechny stavy $i_0, \dots, i_{n+1}$ platí: 
-- **Přechodový diagram**: Graf s uzly (stavy) a hranami (pravděpodobnosti přechodu).  +$$ 
-  +P(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n, X_{n-1} = i_{n-1}, \ldots, X_0 = i_0) = P(X_{n+1} = i_{n+1} \mid X_n = i_n) 
-</markdown> +$$ 
-  * **Matice přechodu** $ P(t) $: Matice velikosti $ n \times n $, kde $ p_{ij}(t) $ je pravděpodobnost přechodu ze stavu $ i $ do stavu $ j $ v čase $ t $.  +Tato rovnost říká, že vývoj závisí pouze na aktuálním stavu. 
 + 
 +Pokud jsou pravděpodobnosti přechodu nezávislé na čase (tj. homogenní), pak označujeme: 
 +$$ 
 +p_{ij} = P(X_{n+1} = j \mid X_n = i) 
 +$$ 
 +a tyto pravděpodobnosti uspořádáme do **matice přechodu** $P = (p_{ij})$. 
 + 
 +Součet pravděpodobností v každém řádku je roven 1: 
 +$$ 
 +\sum_{j} p_{ij} = 1 \quad \text{pro každé } i 
 +$$ 
 +$n$-tá mocnina matice $P^n$ udává pravděpodobnosti přechodu za $n$ kroků. Prvek $p_{ij}^{(n)}$ je pravděpodobnost, že se systém dostane ze stavu $i$ do stavu $j$ za právě $n$ kroků.
  
 ==== Přechodový diagram a matice ==== ==== Přechodový diagram a matice ====
  
-**Přechodový diagram** je graf, kde: +**Přechodový diagram** je grafická reprezentace Markovova řetězce. Umožňuje vizuálně sledovat, jak se systém může pohybovat mezi jednotlivými stavy a s jakou pravděpodobností. 
-  * uzly reprezentují stavy, +  * **Uzly** představují možné **stavy systému** (např. A, B, C). 
-  * orientované hrany mezi nimi označují pravděpodobnosti přechodu.+  * **Orientované hrany** značí **možné přechody** mezi stavy. 
 +  * **Čísla na hranách** udávají **pravděpodobnosti přechodu** z jednoho stavu do druhého. 
 + 
 +Diagram se tedy chová jako mapa dynamiky systému — zobrazuje nejen směr možného vývoje, ale i jeho pravděpodobnost.
  
 <tikzjax> <tikzjax>
Line 956: Line 957:
  
   \draw[->, >=latex] (A) to[bend left] node[above] {0.5} (B);   \draw[->, >=latex] (A) to[bend left] node[above] {0.5} (B);
-  \draw[->, >=latex] (A) to[bend left] node[below] {0.3} (C);+  \draw[->, >=latex] (A) to[bend left] node[below] {0.5} (C);
   \draw[->, >=latex] (B) to[loop above] node {1.0} (B);   \draw[->, >=latex] (B) to[loop above] node {1.0} (B);
   \draw[->, >=latex] (C) to[bend left] node[above] {0.1} (A);   \draw[->, >=latex] (C) to[bend left] node[above] {0.1} (A);
Line 965: Line 966:
 </tikzjax> </tikzjax>
  
 +**Matice přechodu**: Tento diagram můžeme přepsat do **matice přechodu** $P$, kde řádky odpovídají výchozím stavům a sloupce cílovým stavům. Hodnota na pozici $p_{ij}$ je pravděpodobnost přechodu ze stavu $i$ do stavu $j$.
  
 +|       | A     | B     | C     |
 +|-------|-------|-------|-------|
 +| **A** | 0.0   | 0.5   | 0.5   |
 +| **B** | 0.0   | 1.0   | 0.0   |
 +| **C** | 0.1   | 0.2   | 0.7   |
  
 +**Jak číst tuto matici:**
 +  * První řádek: Pokud jsme ve stavu **A**, máme 0% šanci zůstat v A, 50% šanci jít do B a 50% do C.
 +  * Druhý řádek: Ze stavu **B** se nikam jinam nedostaneme, zůstáváme v B (s pravděpodobností 1).
 +  * Třetí řádek: Ze stavu **C** máme 10% šanci jít do A, 20% do B a 70% zůstat v C.
  
  
-==== Rozložitelnost a asymptotika ==== +==== Rozložitelnost a komponenty ==== 
-<markdown> + 
-- **Rozložitelnost (reducibilní řetězec)**: Pokud neexistuje cesta mezi některými stavy.   +  * **Rozložitelný řetězec** (reducibilní): Ne všechny stavy jsou vzájemně dosažitelné. Existují skupiny stavů, mezi kterými není přechod. 
-- **Irreducibilní řetězec**: Všechny stavy jsou vzájemně dosažitelné.   +  * **Nerozložitelný řetězec** (irreducibilní): Každý stav je dosažitelný z každého jiného – tvoří jednu komunikující třídu. 
-</markdown> +  
-  * **Asymptotické chování**: Pro irreducibilní, aperiodické a pozitivně rekurentní řetězce konverguje distribuce k **stacionárnímu rozdělení** $\pi$, které splňuje $\pi = \pi P$.  +  * **Uzavřená množina stavů**: Jakmile se do této množiny dostaneme, nemůžeme ji opustit. 
 +  * **Komponenta**: Největší možná uzavřená množina, která neobsahuje menší uzavřenou podmnožinu. 
 + 
 +==== Asymptotické chování a stacionární rozdělení ==== 
 + 
 +Pro ireducibilní, aperiodický a pozitivně rekurentní řetězec existuje **stacionární rozdělení** $\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$, které splňuje: 
 +$$ 
 +\pi = \pi P \quad \text{a} \quad \sum_{i=1}^{n} \pi_i = 1 
 +$$ 
 +  * Toto rozdělení reprezentuje **dlouhodobé pravděpodobnosti** – tj. jaký podíl času systém stráví ve stavech v limitě $t \to \infty$. 
 +  * Lze ho nalézt jako **vlastní vektor** matice $P$ k vlastnímu číslu 1. 
 + 
 +==== Konvergence a rozklad matice ==== 
 +Pro markovský řetězec s trvalými a přechodnými stavy lze matici přechodu přepsat jako blokovou matici: 
 +$$ 
 +P = \begin{bmatrix} 
 +D & 0 \\ 
 +R & Q 
 +\end{bmatrix} 
 +$$ 
 +  * $D$: přechody mezi trvalými stavy 
 +  * $Q$: přechody mezi přechodnými stavy 
 +  * $R$: přechody z přechodných do trvalých 
 + 
 +Matice **fundamentální** $F = (I - Q)^{-1}$ a **absorpční pravděpodobnosti**: 
 +$$ 
 +M = F \cdot R = (I - Q)^{-1} R 
 +$$ 
 +vyjadřují pravděpodobnosti, že systém skončí v některém z trvalých stavů.
  
 +==== Asymptotické chování stavů ====
 +  * **Přechodný stav**: $\lim_{n \to \infty} p_{ii}^{(n)} = 0$
 +  * **Trvalý nulový stav**: $\lim_{n \to \infty} p_{ii}^{(n)} = 0$
 +  * **Trvalý nenulový, aperiodický**: $\lim_{n \to \infty} p_{ii}^{(n)} = \pi_i$
 +  * **Periodický stav**: Limitní pravděpodobnosti oscilují v závislosti na periodě.
  
  

Trace: • bakalar

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b0b01pst (generated for current page)