The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:41] – [Podílové kritérium konvergence] zapleka3statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:53] (current) – zapleka3
Line 1: Line 1:
-==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====+====== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ======
  
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]] [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]]
Line 827: Line 827:
 Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje. Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje.
  
-==== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ==== +=== Limitní tvar podílového kritéria konvergence === 
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). +Pokud  
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +  * Pokud limita je $> 1$, řada diverguje.   
 +  * Pokud limita je $= 1$, kritérium **nerozhoduje**.
  
 ==== Odmocninové kritérium konvergence ==== ==== Odmocninové kritérium konvergence ====
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. +Založeno na limitě $k$-té odmocniny z členů. Hodí se pro řady, které obsahují exponenty.
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.+
  
-==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ==== +Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: 
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). +$$ 
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+\sqrt[n]{|a_n|} \leq q, 
 +$$ 
 +pak řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje. 
 + 
 +=== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence === 
 +Pokud 
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje. 
 + 
 +  * Pokud limita $> 1$, řada diverguje.   
 +  * Pokud $= 1$, nelze rozhodnout. 
 +    
  
 ==== Integrální kritérium konvergence ==== ==== Integrální kritérium konvergence ====
-Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.+Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro **kladné, klesající** posloupnosti. 
 + 
 +Nechť $f$ je nezáporná, klesající funkce definovaná na $[1, \infty)$ a $f(n) = a_n$. 
 + 
 +Pak: 
 + 
 +Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje **právě tehdy**, když konverguje nevlastní integrál: 
 +$$ 
 +\int_1^{\infty} f(x) \, dx 
 +$$ 
 + 
 +**Příklad:** 
 +Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$.
  
 ==== Leibnizovo kritérium konvergence ==== ==== Leibnizovo kritérium konvergence ====
 +
 +Používá se pro **alternující řady** – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy.
 +
 Uvažujme řadu tvaru:  Uvažujme řadu tvaru: 
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$ +$$ 
-pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n 
 +$$ 
 + 
 +pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost.  
 + 
 +Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
  
 ==== Harmonická řada (nepovinné) ==== ==== Harmonická řada (nepovinné) ====

Trace:

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b0b01ma1 (generated for current page)