Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:41] – [Podílové kritérium konvergence] zapleka3statnice:bakalar:b0b01ma1 [2026/06/12 13:14] (current) – [Příklady] badinmic
Line 1: Line 1:
-==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====+====== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ======
  
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]] [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]]
Line 334: Line 334:
     * Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$     * Pokud se v čitateli i jmenovateli vyskytuje společný faktor, vytkneme jej a zkrátíme. $$ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4 $$
   * **Racionalizace**     * **Racionalizace**  
-    * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{2} $$+    * Používá se zejména u výrazů se druhými odmocninami.$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{2} $$
   * **Substituce**     * **Substituce**  
     * Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$     * Pokud máme složenou funkci, můžeme změnit proměnnou $$ \lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{t \to b} f(t), \quad \text{kde } t = g(x),\ \lim_{x \to a} g(x) = b $$
Line 744: Line 744:
  
 $\int x^2 \sin(4x)\,dx$   $\int x^2 \sin(4x)\,dx$  
-  * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{2}x \sin(4x) + \frac{1}{8} \cos(4x) + C$+  * Per partes: $= -\frac{1}{4}x^2 \cos(4x) + \frac{1}{8}x \sin(4x) + \frac{1}{32} \cos(4x) + C$
  
 $\int 4x \sin(x^2)\,dx$   $\int 4x \sin(x^2)\,dx$  
Line 827: Line 827:
 Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje. Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje.
  
-==== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ==== +=== Limitní tvar podílového kritéria konvergence === 
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). +Pokud  
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +  * Pokud limita je $> 1$, řada diverguje.   
 +  * Pokud limita je $= 1$, kritérium **nerozhoduje**.
  
 ==== Odmocninové kritérium konvergence ==== ==== Odmocninové kritérium konvergence ====
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. +Založeno na limitě $k$-té odmocniny z členů. Hodí se pro řady, které obsahují exponenty.
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.+
  
-==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ==== +Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: 
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). +$$ 
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+\sqrt[n]{|a_n|} \leq q, 
 +$$ 
 +pak řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje. 
 + 
 +=== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence === 
 +Pokud 
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje. 
 + 
 +  * Pokud limita $> 1$, řada diverguje.   
 +  * Pokud $= 1$, nelze rozhodnout. 
 +    
  
 ==== Integrální kritérium konvergence ==== ==== Integrální kritérium konvergence ====
-Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.+Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro **kladné, klesající** posloupnosti. 
 + 
 +Nechť $f$ je nezáporná, klesající funkce definovaná na $[1, \infty)$ a $f(n) = a_n$. 
 + 
 +Pak: 
 + 
 +Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje **právě tehdy**, když konverguje nevlastní integrál: 
 +$$ 
 +\int_1^{\infty} f(x) \, dx 
 +$$ 
 + 
 +**Příklad:** 
 +Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$.
  
 ==== Leibnizovo kritérium konvergence ==== ==== Leibnizovo kritérium konvergence ====
 +
 +Používá se pro **alternující řady** – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy.
 +
 Uvažujme řadu tvaru:  Uvažujme řadu tvaru: 
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$ +$$ 
-pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n 
 +$$ 
 + 
 +pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost.  
 + 
 +Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
  
 ==== Harmonická řada (nepovinné) ==== ==== Harmonická řada (nepovinné) ====

Trace: • b0b01ma1

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b0b01ma1 (generated for current page)