The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:33] – [Geometrické řady] zapleka3
+++ statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:53] (current) – zapleka3
@@ Line 1: / Line 1: @@
-==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====
+====== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ======
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]]
@@ Line 805: / Line 805: @@
 ==== Nutná podmínka konvergence ====
-Nutná podmínka znamená že může platit i když řada diverguje, ale musí platit pro každou konvergující řadu.
-Pokud $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje, pak $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.
+Nutná podmínka říká, že pokud má řada $\sum a_n$ konvergovat, pak:
+$$
+\lim_{n \to \infty} a_n = 0
+$$
+**Pozor:**
+  * Tato podmínka je **nutná**, ale **nestačí**.
+  * Například harmonická řada splňuje $\lim a_n = 0$, ale **diverguje**.
 ==== Podílové kritérium konvergence ====
-Nechť $a_k \neq 0$ pro každé $k \in \mathbb{N}$
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.
-==== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ====
+Zkoumá poměr po sobě jdoucích členů. Hodí se pro řady, kde se členy násobí, nebo obsahují faktoriály.
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně).
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.
+Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí:
+$$
+\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q,
+$$
+pak řada konverguje (absolutně).
+Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje.
+=== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ===
+Pokud
+$$
+\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1,
+$$
+řada konverguje (absolutně).
+  * Pokud limita je $> 1$, řada diverguje.
+  * Pokud limita je $= 1$, kritérium **nerozhoduje**.
 ==== Odmocninové kritérium konvergence ====
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje.
+Založeno na limitě $k$-té odmocniny z členů. Hodí se pro řady, které obsahují exponenty.
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.
-==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ====
+Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí:
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně).
+$$
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.
+\sqrt[n]{|a_n|} \leq q,
+$$
+pak řada konverguje (absolutně).
+Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje.
+=== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ===
+Pokud
+$$
+\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1,
+$$
+řada konverguje.
+  * Pokud limita $> 1$, řada diverguje.
+  * Pokud $= 1$, nelze rozhodnout.
 ==== Integrální kritérium konvergence ====
-Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.
+Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro **kladné, klesající** posloupnosti.
+Nechť $f$ je nezáporná, klesající funkce definovaná na $[1, \infty)$ a $f(n) = a_n$.
+Pak:
+Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje **právě tehdy**, když konverguje nevlastní integrál:
+$$
+\int_1^{\infty} f(x) \, dx
+$$
+**Příklad:**
+Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$.
 ==== Leibnizovo kritérium konvergence ====
+Používá se pro **alternující řady** – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy.
 Uvažujme řadu tvaru:
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$
+$$
-pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n
+$$
+pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost.
+Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
 ==== Harmonická řada (nepovinné) ====

Trace:

Differences

Search

Navigation

Print/export

Tools

QR Code