The wiki page is under active construction, expect bugs.

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revisionPrevious revision
Next revision		Previous revision
statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:26] – zapleka3statnice:bakalar:b0b01ma1 [2025/06/01 23:53] (current) – zapleka3
Line 1: Line 1:
-==== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ====+====== Funkce jedné proměnné. Určitý a neurčitý integrál, řady ======
  
 [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]] [[https://fel.cvut.cz/cz/education/bk/predmety/46/80/p4680306.html|B0B01MA1]] [[https://moodle.fel.cvut.cz/course/view.php?id=6247|Webové stránky předmětu]]
Line 760: Line 760:
 $$ $$
  
-Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady, $ \sum_{n=1}^{n} a_n $ je $n$-tý částečný součet řady ($s_n$).+Číslo $a_k$ se nazývá $k$-tý člen řady.   
 +$n$-tý **částečný součet** (označujeme $s_n$) je součet prvních $n$ členů: 
 +$$ 
 +s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k 
 +$$
  
 Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá //součet// řady.  Limita posloupnosti částečných součtů se nazývá //součet// řady. 
  
-Řekneme že řada konverguje, má-li konečný součet, má-li nekonečný součet, řada diverguje,nemá-li součet osciluje.+Řekneme, že řada **konverguje**, pokud limita posloupnosti částečných součtů $\lim_{n \to \infty} s_n$ existuje a je konečná.  
  
 +Pokud neexistuje nebo je nekonečná, řada **diverguje**.  
  
-Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ se nazývá absolutně konvergentní, pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$. Absolutní konvergence implikuje konvergenci řady, ale ne naopak.  +Pokud se součty neustálým přičítáním kmitají (např. u některých alternujících řad), řada **osciluje**.
-Příkladem řady která konverguje, ale není absolutně konvergentní je např. alternující řada $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{(n+1)}}{n}$.+
  
 +=== Absolutní konvergence ===
 +
 +Řada $\sum a_n$ je **absolutně konvergentní**, pokud konverguje řada $\sum |a_n|$.
 +
 +  * Absolutní konvergence vždy znamená i běžnou konvergenci.
 +  * Opačně to ale **neplatí** – existují řady, které konvergují, ale nejsou absolutně konvergentní.
 +
 +**Příklad:**
 +
 +Alternující harmonická řada:
 +$$
 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
 +$$
 +konverguje, ale $\sum \frac{1}{n}$ diverguje ⇒ **není absolutně konvergentní**.
 ==== Geometrické řady ==== ==== Geometrické řady ====
-Geometrická řada s kvocientem q je řada tvaru:+ 
 +Geometrická řada je řada tvaru:
 $$ $$
-\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + a_0 q^3 + \ldots+\sum_{n=0}^{\infty} a_0 q^n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \ldots
 $$ $$
-kde $a_0$ je první člen řady a $q$ je kvocient řady.+kde $a_0$ je první člen a $q$ je kvocient řady. 
 Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven: Geometrická řada konverguje právě tehdy, když $|q| < 1$. V takovém případě je její součet roven:
 $$ $$
Line 785: Line 805:
  
 ==== Nutná podmínka konvergence ==== ==== Nutná podmínka konvergence ====
-Nutná podmínka znamená že může platit i když řada diverguje, ale musí platit pro každou konvergující řadu. 
  
-Pokud $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje, pak $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.+Nutná podmínka říká, že pokud má řada $\sum a_n$ konvergovat, pak: 
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} a_n = 0 
 +$$ 
 + 
 +**Pozor:**   
 +  * Tato podmínka je **nutná**, ale **nestačí**. 
 +  * Například harmonická řada splňuje $\lim a_n = 0$, ale **diverguje**.
  
 ==== Podílové kritérium konvergence ==== ==== Podílové kritérium konvergence ====
-Nechť $a_k \neq 0$ pro každé $k \in \mathbb{N}$ 
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. 
-  - Pokud $|\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.   
  
-==== Limitní tvar podílového kritéria konvergence ==== +Zkoumá poměr po sobě jdoucích členů. Hodí se pro řady, kde se členy násobí, nebo obsahují faktoriály. 
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). + 
-  - Pokud $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k}| > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: 
 +$$ 
 +\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q, 
 +$$ 
 +pak řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +Pokud $|a_{n+1}/a_n| > 1$ od jistého $n$ dále, řada diverguje. 
 + 
 +=== Limitní tvar podílového kritéria konvergence === 
 +Pokud  
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +  * Pokud limita je $> 1$, řada diverguje.   
 +  * Pokud limita je $= 1$, kritérium **nerozhoduje**.
  
 ==== Odmocninové kritérium konvergence ==== ==== Odmocninové kritérium konvergence ====
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q < 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje. +Založeno na limitě $k$-té odmocniny z členů. Hodí se pro řady, které obsahují exponenty. 
- - Pokud $\sqrt[k]{|a_k|} \geq 1$ pro každé $k \in \mathbb{N}$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ nekonverguje.+ 
 +Pokud existuje $q < 1$ a pro každé $n$ platí: 
 +$$ 
 +\sqrt[n]{|a_n|} \leq q, 
 +$$ 
 +pak řada konverguje (absolutně). 
 + 
 +Pokud $\sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, řada diverguje. 
 + 
 +=== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence === 
 +Pokud 
 +$$ 
 +\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1, 
 +$$ 
 +řada konverguje.
  
-==== Limitní tvar odmocninového kritéria konvergence ==== +  * Pokud limita $> 1$, řada diverguje.   
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} < 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje (absolutně). +  * Pokud $= 1$, nelze rozhodnout. 
- - Pokud $\lim_{n \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} > 1$, pak řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje.+    
  
 ==== Integrální kritérium konvergence ==== ==== Integrální kritérium konvergence ====
-Nechť $f$ je nezáporná nerostoucí funkce na intervalu $[1, \infty)$. Pak $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ konverguje právě tehdy, když $\int_1^{\infty} f(x) \, dx$ konverguje.+Porovnáváme řadu s integrálem – použitelné hlavně pro **kladné, klesající** posloupnosti. 
 + 
 +Nechť $f$ je nezáporná, klesající funkce definovaná na $[1, \infty)$ a $f(n) = a_n$. 
 + 
 +Pak: 
 + 
 +Řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konverguje **právě tehdy**, když konverguje nevlastní integrál: 
 +$$ 
 +\int_1^{\infty} f(x) \, dx 
 +$$ 
 + 
 +**Příklad:** 
 +Funkce $f(x) = \frac{1}{x^p}$ ⇒ řada $\sum \frac{1}{n^p}$ konverguje, pokud $p > 1$.
  
 ==== Leibnizovo kritérium konvergence ==== ==== Leibnizovo kritérium konvergence ====
 +
 +Používá se pro **alternující řady** – tedy řady, kde se střídají kladné a záporné členy.
 +
 Uvažujme řadu tvaru:  Uvažujme řadu tvaru: 
-$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n $$ +$$ 
-pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost. Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n 
 +$$ 
 + 
 +pro nějaká kladná reálná čísla $a_n$, která tvoří nerostoucí posloupnost.  
 + 
 +Tato řada konverguje $\iff$ posloupnost $a_n$ konverguje k nule.
  
 ==== Harmonická řada (nepovinné) ==== ==== Harmonická řada (nepovinné) ====

Trace: • b4b33alg

Navigation

Playground

QR Code
QR Code statnice:bakalar:b0b01ma1 (generated for current page)