Differences
This shows you the differences between two versions of the page.
| Both sides previous revisionPrevious revisionNext revision | Previous revision | ||
| courses:b0b01ma2:exams [2025/01/14 22:42] – [Test 10.1.2025] jpelc | courses:b0b01ma2:exams [2025/01/15 00:04] (current) – [Dvojný integrál] jpelc | ||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| - | ====== Test 10.1.2025 | + | ====== Test 9.1.2025 |
| - Určete rozvoj periodického prodloužení funkce $f(t) = |t|$, $-1 \leq t \leq 1$, ve Fourierovu řadu. | - Určete rozvoj periodického prodloužení funkce $f(t) = |t|$, $-1 \leq t \leq 1$, ve Fourierovu řadu. | ||
| - Jaká je vzdálenost plochy $4x^2 + y^2 - z^2 = 1$ od bodu $(0, 0, 0)$? | - Jaká je vzdálenost plochy $4x^2 + y^2 - z^2 = 1$ od bodu $(0, 0, 0)$? | ||
| Line 6: | Line 6: | ||
| - Pomocí Gaussovy věty zjistěte, jaký je tok pole $\vec{F}(x, y, z) = (z^2 - x, -2xy, \frac{3z}{1 + x^2})$ hranicí tělesa omezeného plochami $z = 4 - y^2$, $z = 0$, $x = 0$ a $x = 3$ s vnější orientací. | - Pomocí Gaussovy věty zjistěte, jaký je tok pole $\vec{F}(x, y, z) = (z^2 - x, -2xy, \frac{3z}{1 + x^2})$ hranicí tělesa omezeného plochami $z = 4 - y^2$, $z = 0$, $x = 0$ a $x = 3$ s vnější orientací. | ||
| - | Řešení: | + | ===== Řešení |
| + | |||
| + | ==== Fourierova řada ==== | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | \begin{document} | ||
| + | \begin{tikzpicture}[> | ||
| + | %x axis | ||
| + | \draw[-> | ||
| + | \foreach \x in {-1,1,2} | ||
| + | \draw[shift={(\x, | ||
| + | %y axis | ||
| + | \draw[-> | ||
| + | \foreach \y in {1} | ||
| + | \draw[shift={(0, | ||
| + | \node[below left] at (0,0) {\footnotesize $0$}; | ||
| + | |||
| + | % Function plot (piecewise linear) | ||
| + | \draw[red, thick, domain=-1:1] plot(\x, {abs(\x)}); | ||
| + | \draw[red, thick] (1, 1) -- (2, 0); | ||
| + | \draw[red, thick] (2, 0) -- (2.5, 0.5); | ||
| + | \draw[red, thick] (-1, 1) -- (-1.5, 0.5); | ||
| + | |||
| + | % Points | ||
| + | \fill[red] (-1, 1) circle (1pt) node[above left] {}; | ||
| + | \fill[red] (0, 0) circle (1pt) node[below right] {}; | ||
| + | \fill[red] (1, 1) circle (1pt) node[above right] {}; | ||
| + | \fill[red] (2, 0) circle (1pt) node[below right] {}; | ||
| + | \end{tikzpicture} | ||
| + | \end{document} | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | Perioda rozšíření je $T = 2$, tedy $\omega = \frac{2 \pi}{2} = \pi$. Rozšíření funkce $f$ je sudé (funkce je osově | ||
| + | symetrická podle osy y), takže $b_k = 0$. Zbylé koeficienty Fourierovy řady jsou: $$ a_0 = 2 \cdot \frac{2}{T} \int_{0}^{1} t \, \mathrm{d}t = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{1} = 1 $$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | a pro $k \geq 1$: | ||
| + | $$ | ||
| + | a_k = \frac{2 \cdot 2}{T} \int_{0}^{1} t \cos(k \pi t) \, \mathrm{d}t = | ||
| + | \begin{array}{|c c|} | ||
| + | u=t & v' | ||
| + | u' | ||
| + | \end{array} | ||
| + | = 2 \cdot \left[ \frac{t \sin(k \pi t)}{k \pi} \right]_{0}^{1} - \frac{2}{k \pi} \int_{0}^{1} \sin(k \pi t) \, \mathrm{d}t | ||
| + | = \frac{2}{k^2 \pi^2}(\cos{k \pi} -1). | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | A tedy: | ||
| + | < | ||
| + | a_k = | ||
| + | \begin{cases} | ||
| + | 0, & \text{pro } k=2n \\ | ||
| + | -\frac{4}{k^2 \pi^2}, & \text{pro } k=2n+1, n \in \mathbb{N} | ||
| + | \end{cases} | ||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | Protože periodické rozšíření funkce $f$ je spojité, tak Fourierova řada k němu konverguje stejnoměrně na celém $\mathbb{R}$. | ||
| + | Proto můžeme napsat: | ||
| + | $$ | ||
| + | f(t) = |t| = \frac{1}{2} - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{4}{\pi^2(2n+1)^2}\cos((2n+1)\pi t), \qquad t \in \left\langle -1, 1 \right\rangle. | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ==== Vzdálenost plochy od bodu ==== | ||
| + | Jaká je vzdálenost plochy $M$: $4x^2 + y^2 - z^2 = 1$ od bodu $(0, 0, 0)$? | ||
| + | |||
| + | Ke zjištění vzdálenosti od počátku $(0, 0, 0)$ vezmeme funkci $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$, protože se čtvercem | ||
| + | vzdálenosti se lépe pracuje. Tato funkce „v nekonečnu roste do nekonečna“ (tj. splňuje podmínky o nabytí globálního | ||
| + | minima na $M$). Kandidáta na minimum můžeme opět najít metodou Lagrangeových multiplikátorů. | ||
| + | |||
| + | Máme tedy $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ a vazbovou funkci $g(x, y, z) = 4x^2 + y^2 - z^2 - 1$. Zřejmě pro $(x, y, z) \in M$ | ||
| + | je $\nabla g(x, y, z) = (8x, 2y, -2z) \not= (0, 0, 0)$ (jinak by bylo $(x, y, z)=(0, 0, 0)$, což nesplňuje vazbovou podmínku). | ||
| + | |||
| + | Pro bod $a = (x, y, z) \in M$ lokálního extrému $f$ na $M$ tak existuje $\lambda \in \mathbb{R}$, | ||
| + | $$ | ||
| + | (2x, 2y, 2z) = \nabla f(a) = \lambda \nabla g(a) = \lambda (8x, 2y, -2z)\text{.} | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | Máme tak soustavu rovnic: | ||
| + | \begin{align} | ||
| + | 2x &= 8x \lambda \rightarrow x\\ | ||
| + | 2y &= 2y \lambda \\ | ||
| + | 2z &= -2z \lambda \\ | ||
| + | 4x^2 + y^2 - z^2 &= 1. | ||
| + | \end{align} | ||
| + | |||
| + | Tedy podezřelé body jsou $a_0 = (x, y, z)$. | ||
| + | |||
| + | ==== Konzervativní vektorové pole ==== | ||
| + | |||
| + | Ověřte, že vektorové pole $\vec{F}(x, y, z) = (e^z + z^2 y, \cos(y) + z^2 x, xe^z + 2xyz)$ je konzervativní a | ||
| + | nalezněte jeho potenciál. | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \frac{\partial f}{\partial x} &= e^z + z^2 y \iff f(x, y, z) = xe^z + xyz^2 + C(y, z) & \\ | ||
| + | \frac{\partial f}{\partial y} &= \cos(y) + z^2x \iff f(x, y, z) = xe^z + xyz^2 + \sin(y) + D(z) & \\ | ||
| + | \frac{\partial f}{\partial z} &= xe^z + 2xyz \iff f(x, y, z) = xe^z + xyz^2 + \sin(y) + k, \, k \in \mathbb{R} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Potenciál vektorového pole $\vec{F}$ je: | ||
| + | $ f(x, y, z) = xe^z + xyz^2 + \sin(y) + k, \, k \in \mathbb{R}. $ | ||
| + | |||
| + | TODO: zdůvodnění | ||
| + | |||
| + | ==== Dvojný integrál ==== | ||
| + | |||
| + | Vypočtěte | ||
| + | $$ \int_0^1 \int_{2y}^2 e^{x^2} dx\ dy $$ | ||
| + | |||
| + | Prohodíme pořadí integrace na $dy\ dx$. | ||
| + | \begin{align*} | ||
| + | E\text{: } &0 \leq x \leq 2 & \\ | ||
| + | &0 \leq y \leq \frac{x}{2} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | < | ||
| + | \usepackage{tikz} | ||
| + | |||
| + | \begin{document} | ||
| + | |||
| + | \begin{tikzpicture}[> | ||
| + | % x axis | ||
| + | \draw[-> | ||
| + | \foreach \x in {1,2} | ||
| + | \draw[shift={(\x, | ||
| + | |||
| + | % y axis | ||
| + | \draw[-> | ||
| + | \foreach \y in {1} | ||
| + | \draw[shift={(0, | ||
| + | \node[below left] at (0,0) {\footnotesize $0$}; | ||
| + | |||
| + | % Fill the area manually | ||
| + | \fill[yellow, | ||
| + | |||
| + | % Function plot (piecewise linear) | ||
| + | \draw[thick, | ||
| + | \draw[dashed, | ||
| + | \draw[dashed] (2, 0) -- (2, 1); | ||
| + | \draw[dashed] (2, 1) -- (0, 1); | ||
| + | |||
| + | % Label for the shaded region | ||
| + | \node[font=\scriptsize] at (1.5,0.35) {$E$}; | ||
| + | \end{tikzpicture} | ||
| + | |||
| + | \end{document} | ||
| + | |||
| + | </ | ||
| + | |||
| + | \begin{align*} | ||
| + | \int_0^2 \int_{0}^{\frac{x}{2}} e^{x^2} dy\ dx = \int_{0}^{2} \frac{x}{2} e^{x^2} dx = | ||
| + | \begin{array}{|c|} | ||
| + | u=x^2\\ | ||
| + | du = 2x\ dx\\ | ||
| + | \end{array} | ||
| + | = \frac{1}{4} \int_0^4 e^u\ du = \frac{1}{4} (e^4 - 1)\text{.} | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | ==== Gaussova věta ==== | ||
| + | |||
| + | Pomocí Gaussovy věty zjistěte, jaký je tok pole $\vec{F}(x, y, z) = (z^2 -x, -2xy, \frac{3z}{1+x^2})$ hranicí tělesa | ||
| + | omezeného plochami $z = 4 - y^2$, $z=0$, $x=0$ a $x=3$ s vnější orientací. | ||
| + | |||
| + | Ze zadání máme skoro všechny meze útvaru známé, jen si nakreslíme $z$ v závislosti na $y$, abychom zjistili meze pro $y$. | ||
| + | \begin{multicols}{2} | ||
| + | \begin{tikzpicture}[> | ||
| + | %x axis | ||
| + | \draw[-> | ||
| + | \foreach \x in {-2, -1, 1,2} | ||
| + | \draw[shift={(\x, | ||
| + | %y axis | ||
| + | \draw[-> | ||
| + | \foreach \y in {1, 2, 3, 4} | ||
| + | \draw[shift={(0, | ||
| + | \node[below left] at (0,0) {\footnotesize $0$}; | ||
| + | |||
| + | % Function plot (piecewise linear) | ||
| + | \draw[name path=A, thick, domain=0:2] plot(\x, {4-\x^2} ); | ||
| + | \draw[name path=B, thick, domain=-2: | ||
| + | \draw[name path=C, thick, domain=-2: | ||
| + | \tikzfillbetween[of=A and C, on layer=bg]{yellow}; | ||
| + | \tikzfillbetween[of=B and C, on layer=bg]{yellow}; | ||
| + | \node[font=\scriptsize] at (0.8,1.5) {$E$}; | ||
| + | |||
| + | \end{tikzpicture} | ||
| + | \columnbreak | ||
| + | \begin{flalign*} | ||
| + | E\text{: } -2 &\leq y \leq 2 & \\ | ||
| + | \phantom{-}0 &\leq z \leq 4-y^2 | ||
| + | \end{flalign*} | ||
| + | \end{multicols} | ||
| + | $$ | ||
| + | \iiint\limits_{(M)} div(\vec{F}) \dif \vec{S} = \int_{0}^{3} \int_{-2}^{2} \int_{0}^{4-y^2} -1 -2x + \frac{3}{1+x^2} | ||
| + | \dif z \dif y \dif x = -\int_{0}^{3} \int_{-2}^{2} 1(4-y^2) + 2x(4-y^2) - \frac{3(4-y^2)}{1+x^2} \dif y \dif x = | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | -\int_{0}^{3} \int_{-2}^{2} 4 - y^2 + 8x -2xy^2 - \frac{12}{1+x^2} + \frac{3y^2}{1+x^2} \dif y \dif x = -\int_{0}^{3} 16 - | ||
| + | \frac{16}{3} + 32x - \frac{32x}{3} - \frac{48}{1+x^2} + \frac{16}{1+x^2} \dif x = | ||
| + | $$ | ||
| + | |||
| + | $$ | ||
| + | -\int_{0}^{3} \frac{32}{3} + \frac{64x}{3} - \frac{32}{1+x^2} \dif x = -(32 + 96 - 32 \arctan(3)) = 32(\arctan(3) - 4)\text{.} | ||
| + | $$ | ||
| ====== Test 10.1.2025 ====== | ====== Test 10.1.2025 ====== | ||
| - Rozviňte funkci $ f(x) = \frac{x}{1+2x^2} $ se středem v $ x_0 = 0 $ do mocninné řady. Určete největší otevřený interval, kde nastává rovnost funkce a řady. | - Rozviňte funkci $ f(x) = \frac{x}{1+2x^2} $ se středem v $ x_0 = 0 $ do mocninné řady. Určete největší otevřený interval, kde nastává rovnost funkce a řady. | ||
| Line 25: | Line 228: | ||
| - v polárních souřadnicích se středem v počátku v pořadí $\mathrm{d}\rho\ \mathrm{d}\varphi$. | - v polárních souřadnicích se středem v počátku v pořadí $\mathrm{d}\rho\ \mathrm{d}\varphi$. | ||
| - Pomocí Gaussovy věty zjistěte, jaký je tok pole $ \vec{F}(x, y, z) = (-2xy^2 + z, y^3 + xz, \cos(x - y)) $ hranicí tělesa | - Pomocí Gaussovy věty zjistěte, jaký je tok pole $ \vec{F}(x, y, z) = (-2xy^2 + z, y^3 + xz, \cos(x - y)) $ hranicí tělesa | ||
| + | |||
| + | Řešení: TBD | ||
